平面向量(选择、填空题型)

线建立关于m，n的方程组求解．
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uuuur [规范解答] ∵OM ＝ma＋nb，
uuuur uuuur uuur ∴ AM ＝OM －OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， uAuDur ＝OuuDur －OuuAur ＝12OuuBur －OuuAur ＝－a＋12b.
uuuur uuur ∵A，M，D三点共线，∴ AM 与 AD共线．
AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 AP·AC ＝ ________.
uuur uuur uuur uuur 解析：设AC与BD的交点为O，则 AP ·AC ＝ AP ·2 AO ＝
uuur uuur uuur 2 AP2＋2 AP·PO＝2×32＋0＝18. 答案：18
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6．(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，
导练 感悟高考
做考题 体验高考 析考情 把脉高考
热点一
专第
题
三 热点 透析高考
二讲
热点二 热点三
通法——归纳领悟
冲刺 直击高考
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[做考题 体验高考]
1．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，
则cos 2θ等于
()
A.
2 2
C．0
B.12 D．－1
AB＝ 2，BC＝2，点E为BC的中点，
uuur uuur 点F在边CD上，若 AB·AF ＝ 2，则
uuur uuur AE ·BF 的值是________．
解析：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建
立直角坐标系，则 B( 2，0)，E( 2，1)，D(0,2)，C( 2，2)． uuur uuur
n14n2，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均为1，故a∘b＝n21＝12.
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3．(2012·湖北高考)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 (1)与2a＋b同向的单位向量的坐标为________； (2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________． 解析：(1)因为2a＋b＝(3,1)，所以与它同向的单位向量的坐标
解析：选 C 由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
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2．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝
αβ··ββ.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且
a∘b和b∘a都在集合
n2n∈Z中，则a∘b＝
A.52
B.32
()
C．1
解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋
|b|2＝4－2 2|b|＋|b|2＝10，
即|b|2－2
2|b|－6＝0，∴|b|＝2
2＋ 2
32＝3
2(负值舍去)．
答案：3 2
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5．(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中， uuur uuur
uuur uuur uuur CB＝OB－OC
＝b－14a＝－14a＋b，
uuuur uuur 又C、M、B三点共线，∴CM 与CB共线．
同理可得4m＋n＝1.②
联立①②，解得，m＝17，n＝37.
uuuur 故OM
＝17a＋37b.
[答案]
1 7
3 7
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解决此类问题应注意以下几点 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共 点时，才能得出三点共线． (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
uuuur uuur 故存在实数t，使得 AM ＝t AD， 即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b， ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.
m－1＝－t， ∴n＝2t .
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消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①
uuuur ∵CM
uuuur ＝OM
uuur －OC
＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，
1 D.2
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解析：选 D 根据新定义得a∘b＝ab··bb＝|a||b|b|c|2os θ＝||ab||·cos θ，b∘a＝
ba··aa ＝
|a||b|cos |a|2
θ
＝
|b| |a|
cos
θ.又因为a∘b和b∘a都在集合
n2n∈Z 中，
设a∘b＝
n1 2
，b∘a＝
n2 2
(n1，n2∈Z)，那么(a∘b)·(b∘a)＝cos2θ＝
uuur uuur uuur (4) OA＝λ OB ＋μ OC (λ，μ为实数)，若A、B、C三点共 线，则λ＋μ＝1.
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平面向量的概念及线性运算
[例1]
uuur 如图，在△ABO中，OC
＝14OuuAur ，
OuuDur ＝12OuuBur ，AD与BC相交于点M，设OuuAur ＝a，
uuur
uuuur
OB＝b，若OM ＝ma＋nb，则m＝________，
n＝________.
[思路点拨] 可利用A、D、M三点共线及B、C、M三点共
3年7考 3年6考 3年17考 3年6考
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考情分析 (1)对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及 其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数 的值. (2)对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下 两点： ①以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关 向量；②利用坐标运算解决平行、垂直问题. (3)数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：①向量数 量积的运算；②求向量的模；③求向量的夹角.
为31ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10， 1100；
(2)b－3a＝(－2,1)，所以(b－3a)·a＝－2，|b－3a|＝ 5，所以
b－3a与a夹角的余弦为|bb－－33aa||·aa|＝－52＝－2
5 5
答案：(1)31010， 1100；(2)－255
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4．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1， |2a－b|＝ 10，则|b|＝________.
设 F(x,2)(0≤x≤ 2)，由 AB·AF ＝ 2⇒ 2x＝ 2⇒x＝1， uuur uuur
所以 F(1,2)， AE ·BF ＝( 2，1)·(1－ 2，2)＝ 2.
答案： 2
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[析考情 把脉高考]
考点统计 平面向量的概念及线性运算 平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的数量积 平面向量的应用