导学案4-4参数方程

圆的参数方程学习目标1．通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤. 2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。

学习过程一、学前准备1.在直角坐标系中圆的标准方程 在直角坐标系中圆的一般方程 二、新课导学◆探究新知（预习教材23、24页，找出疑惑之处）如图：设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置0M （0t =时的位置）出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，0OM 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。

显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数。

如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是(),M x y ，那么t θω=。

设OM r =，那么由三角函数定义，有cos ,sin ,x yt t r r ωω== 即 )(sin cos 为参数t tr y t r x ⎩⎨⎧==ωω这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中参数t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。

考虑到t θω=，也可以取θ为参数，于是有 )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x◆应用示例例1．圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，()6,0Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹. 解：◆反馈练习1．下列参数方程中，表示圆心在(1,0)，半径为1的圆的参数方程为（ ）A 、cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩B 、1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩C 、cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩D 、1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩2、如图，设ABM 为一钢体直杆，,AM a BM b ==，A 点沿x 轴滑动，B 点沿y 轴滑动，则端点M 的运动轨迹的参数方程为（ ）（提示：取xAM θ∠=为参数） A 、cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ B 、sin cos x b y a θθ=⎧⎨=⎩C 、cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩D 、sin cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩课后作业1．曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 2、动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3/m s 和4/m s ，直角坐标系的单位长度是1m ，点M 的起始位置在点0(2,1)M 处，求点M 的轨迹的参数方程。

3、已知M 是正三角形ABC 的外接圆上的任意一点，求证222MA MB MC ++ 为定值。

4.已知(,)P x y 是圆心在(1,1)，半径为2的圆上任意一点，求x y +的最大值和最小值。

x参数方程与普通方程的互化学习目标1．明确参数方程与普通方程互化的必要性. 2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.学习过程一、学前准备复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2. 写出圆222x y r +=的参数方程，圆()()222x a y b r -+-=呢？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 24～P 26，找出疑惑之处） 问题１：方程()2231x y -+=表示什么图形？问题2：上节课例2中求出点M 的参数方程是cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩， 那么点M 的轨迹是什么？小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. ◆应用示例例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：（１）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数） （２）sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）例2 .将椭圆普通方程22194x y +=按以下要求化为参数方程： （1）设3cos ,x ϕϕ=为参数 （2）2,y t t =为参数◆反馈练习1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）cos ()cos 21x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数） （2）5cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程： １）2101,y x y y t t ---==-设为参数.2）1114222cos ,x y ax a ϕϕ+==设为参数三、总结提升◆本节小结 1. 消去参数的常用方法有：１）代入法 ２）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数. 2.互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. 3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程. 检测试题1．曲线2y x =的一种参数方程是（ ）. 2．在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点为（ ）A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 3. 曲线)(sin 2cos 12为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一条射线C ．一个圆D ．一条线段 4．方程)(cos 2为参数θθ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线是（ ）A ．余弦曲线B ．与x 轴平行的线段C ．直线D ．与y 轴平行的线段 4.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

2224sin A. B. C.sin x t x t x t x y t y t y t y t ==⎧⎧=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩⎩（1）()sin cos 1sin 2x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩为参数 （2）1()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数 5.已知圆的方程y y x 222=+，选择适当的参数将它化为参数方程.椭圆的参数方程学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化 学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 学习过程：阅读教材27—29页，找出疑问。

典型例题例1． 参数方程与普通方程互化1．把下列普通方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)11622=+y x2．把下列参数方程化为普通方程(1))(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2))(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_______。

例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩例3、已知椭圆16410022=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。

达标检测： ( )?____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。

上各点连线的中点轨迹为参数和椭圆、求定点)(sin cos {)0,2(3θθθb y a x a ==的最大值和最小值吗？求出的前提下，满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：y x z y x y x 211625,22-==+直线的参数方程教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.写出直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角α和所过的一个定点()00,y x A ，请写出直线的方程．5. .已知两个向量)0(,≠ab a ，则b a ,共线的充要条件是的坐标，求点的倾斜角为为原点，上一点，且在第一象限为参数是椭圆、P O OP y x P 3)()(sin 32cos 44πθθθ==⎩⎨⎧二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =； ②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =． 2. 类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？ 问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．4. 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？ 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．问题：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？ 总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．抄写一遍：1.直线03=+-y x的一个参数方程为2.直线的参数方程为参数）t t y t x (233212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，那么它的斜截式方程为 3.直线为参数）t t y t x (20cos 20sin 300⎪⎩⎪⎨⎧=+=的倾斜角是三、运用知识，培养能力例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t ．（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？例2、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．四、自主解决，深入理解练习：已知过点(2,0)P ，斜率为43的直线和抛物线22y x 相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标．五、归纳总结，提升认识1．知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想． 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （b a ,为常数，t 为参数），请思考参数t 的意义．六、布置作业，巩固提高1. 教材P39第一题：2. 教材P39第三题：3. 教材P39第四题：（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。