傅里叶Fourier级数的指数形式与傅里叶变换
积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开
-
fT (t )e
j nw t
dt
因此可以合写成一个式子 cn
T
1
T 2 T 2
-
fT (t )e
- jwn t
dt ( n 0, 1, 2,)
fT (t )
ce
n n -
jwn t
2 jwnt - jwn d e -T fT ( )e T n - 2 1
前面计算出
cn 1 2 Sa (wn ) ( n 0, 1, 2,) 2p T np 2 , 可将cn以竖线标在频率图上
wn nw n
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构 造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
f (t 8n),
n -
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0 cn c- n a0 2 , n 1,2,3, , n 1,2,3, ,
an - jbn 2 an jbn 2
f T (t ) c0 cn e
n 1
jw n t
c- n e
- jw n t
积分变换
第1讲
信号Fourier变换整理
傅立叶变换是一种很重要的算法，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
在数字信号处理领域的应用尤其广泛。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的算法即为傅立叶变换。
傅里叶函数的三角函数级数表达式：直流系数余弦分量系数正弦分量系数下面是积分形式的傅里叶函数 (注: x 等同于t)()()()0()cos sin 11cos sin k k k k f x a kx b kx dka f x kxdxb f x kxdxππ∞∞∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰复指数形式的傅里叶函数由欧拉公式，得到三角函数形式和复指数形式的傅里叶函数系数间关系：傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的。
傅里叶变换后，只不过是从频率的角度去理解。
傅里叶变换就是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
傅里叶变换表达式：ωωπωd e F t f tj ⋅=⎰∞∞-)(21)( dt e t f w F t j ωπ-∞∞-⋅=⎰)(21)()sin cos (2)(11101t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞=⎰+=100).(210T t t dtt f T a ⎰+=100.cos ).(211T t t n dt t n t f T a ωdtt n t f T b T t t n .sin ).(210011⎰+=ω1()(0,1,2,)jn t n n f t C e n ω∞=-∞==±±∑011011()t T jn tn t C f t e dtT ω+-=⎰0000C f d a ===1()2n j n n n n C C e a jb ϕ==-22212121nn n n n b a d f C +===1()(0,1,2,)jn tnn f t C en ω∞=-∞==±±∑下面图示一些例子，表明时域和频域的区别t()1()t f()ωF 1ωt21ω()π0t 2121-()t sgn 21ωt1()t uω()ωF ()πdt t df )(τE22τ2τ-tτE2-τE2τE2τE4-2τ2τ-22)(dtt f d t)(ωF 0ω22τE τπ22τ-2ττ2E τ-τt)(t f拉普拉斯变换，也是工程数学中常用的一种积分变换。
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1
A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质傅里叶级数和傅里叶变换是数学中很重要的概念，它们在物理学、通信工程、信号处理等领域中得到广泛的应用。
傅里叶级数是将周期函数分解为无穷多个简单的正弦函数和余弦函数的和，而傅里叶变换则是将信号在频域上分解为各个频率分量的和。
本文将从数学的角度探讨傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质。
一、傅里叶级数的性质傅里叶级数是将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限和，因此它具有一些很有趣的性质。
首先，傅里叶级数是周期函数，其周期与原函数相同。
其次，傅里叶级数是线性的，即如果有两个函数的傅里叶级数分别是a_n和b_n，那么它们的线性组合c_n=a_n+b_n的傅里叶级数就是这两个函数的线性组合。
第三，若原函数为偶函数，则傅里叶级数只包含余弦项，若原函数为奇函数，则傅里叶级数只包含正弦项。
傅里叶级数的性质还包括Parseval定理，它是对傅里叶级数的能量守恒原理的定量表述。
具体而言，Parseval定理指出，如果S是傅里叶级数的系数，则原函数在一个周期内的平方积分与各个傅里叶系数的平方和相等，即∫|f(x)|^2 dx=∑|S_n|^2。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换是将信号在频域上分解的方法。
在实际应用中，我们通常将连续时间信号离散化，因此离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的应用更为广泛。
傅里叶变换也具有许多重要的性质。
首先，傅里叶变换是线性的，它满足叠加原理。
具体而言，若x和y分别是两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合z=ax+by的傅里叶变换就是ax的傅里叶变换和by的傅里叶变换的和。
其次，傅里叶变换具有频移性质。
如果x(t)的傅里叶变换是X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的傅里叶变换是X(f-f0)/2+X(f+f0)/2。
这个性质表明，将一个信号乘上一个不同频率的正弦波，等价于将原信号在频域上移动到新的频率处。
最后，傅里叶变换还有卷积定理。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
傅里叶变换基本性质总结
第八章 傅里叶变换8.1 基本要求与内容提要1. Fourier 级数的概念Fourier 级数所考虑的对象是以T 为周期的实值函数)(t f T .（1） Fourier 级数的三角形式∑+∞=+=100)cos (2)(n n T t n a a t f ω，)2,1,0(cos )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T a T T T n ω， )2,1(sin )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T b T T T n ω.其中，Tπω20=称为基频.（2） Fourier 级数的指数形式∑+∞-∞==n t jn n T e c t f 0)(ω， )2,1,0()(12/2/0 ±±==⎰-n dt e t f Tc T T t jn T n ω.其中，1-=j 为虚数单位.注1：上述公式要成立，一般要求函数)(t f T 在[-T/2 ，T/2]上满足Dirichlrt 条件——连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点.注2：在)(t f T 间断处，公式左边的)(t f T 应为[])0()0(21-++t f t f T T . 注3：三角形式与指数形式之间可由Euler 公式 t n j t n etjn 00sin cos 0ωωω+=相互转换，它们的系数之间有如下关系：200a c =，2n n n jb a c -=，2nn n jb a c +=- （n=1, 2 …）. 2. Fourier 变换的概念Fourier 变换所考虑的对象通常是定义在()+∞∞-,上的非周期函数)(t f . （1） Fourier 积分公式ωττπωωτd e d e f t f t j j ⎰⎰∞+∞-∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(21)(. （2） Fourier 变换的定义Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F ft f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，其中，)(ωF 称为)(t f 的像函数，)(t f 称为)(ωF 的像原函数。
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系傅里叶级数展开和傅里叶变换是信号处理领域中常用的数学工具，用于分析和处理周期性和非周期性信号。
它们在电子工程、通信工程、图像处理、物理学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数展开和傅里叶变换的定义、区别和联系。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性信号分解为多个正弦波成分的方法。
对于一个周期为T的信号f(t)，它可以表示为以下级数展开的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中a₀、aₙ和bₙ分别为信号的直流分量、余弦系数和正弦系数，n为正整数，ω₀为角频率。
通过计算这些系数，可以将信号分解为多个具有不同频率的正弦波成分。
傅里叶级数展开的优势在于对周期性信号的分析和重构具有简洁的数学表达形式，能够准确地描述信号的频谱特性。
然而，傅里叶级数展开仅适用于周期性信号，对于非周期性信号需要通过周期化处理后再进行展开。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期性信号分解为连续频谱成分的方法。
对于一个非周期信号f(t)，它的傅里叶变换表达式为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中F(ω)为信号的频谱，ω为角频率，e^(-jωt)为复指数函数。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布。
与傅里叶级数展开不同，傅里叶变换适用于非周期性信号的分析和频谱表示。
它能够捕捉信号的全局变化和瞬态特性，对于时域上的瞬变信号和非周期性信号分析更加有效。
然而，傅里叶变换无法对离散信号进行处理，需要使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）等离散形式进行处理。
三、傅里叶级数展开与傅里叶变换的联系傅里叶级数展开和傅里叶变换有着紧密的联系，它们是傅里叶分析的两种不同形式。
傅里叶级数展开是傅里叶变换的特殊情况，当一个信号为周期性时，它的傅里叶变换可以用傅里叶级数展开来表示。
6.1 傅里叶积分定理
]
上连续或只有有限个第一类间断点;
2)
在
[
T 2
,
T 2
]
上只有有限个极值点,
则函数 f T(x)在
[
T 2
,
T2上] 可以展开成傅里叶级数.
在 fT (t) 的连续点处，
其中
，且
傅里叶级数的三角形式
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 0,1, 2,)
2
bn
2 T
T
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是 的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
(
)
cos(t
)d
d
可得 f (t) 1
0
f
(
) cos (t
)d
d
利用三角函数公式
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
dn
1 T
T T
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t)eintdt cn
上述两个系数可以合并为一个
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
n 0,1, 2,
推导过程如下
第五章傅里叶(Fourier)变换
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1
i
kp x l
ck e
i
kp x l
信号分析与处理-傅里叶变换
第三章傅里叶变换本章提要：◆傅里叶级数（Fourier Series）◆非周期信号的傅里叶变换◆傅里叶变换的性质◆周期信号的傅里叶变换◆采样信号和采样定理J.B.J. 傅里叶（Fourier）◆1768年生于法国◆1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但其数学证明不很完善。
◆拉普拉斯赞成，但拉格朗日反对发表◆1822年首次发表在《热的分析理论》◆1829年狄里赫利第一个给出收敛条件周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶分析方法的应用：（1）泊松（Possion）、高斯（Gauss）等将其应用于电学中；（2）在电力系统中，三角函数、指数函数及傅里叶分析等数学工具得到广泛的应用。
（3）20世纪以后，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中开辟了广阔的前景。
（4）力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等得到广泛而普遍的应用。
§ 3.1 周期信号的傅立叶级数◆三角函数形式的傅里叶级数◆复指数形式的傅里叶级数◆几种典型周期信号的频谱◆吉伯斯现象一、三角函数形式的傅里叶级数∞Tianjin University Tianjin University二、复指数形式的傅里叶级数周期信号的复数频谱图三、几种典型周期信号的频谱+-1T t tjn ωTianjin UniversityTianjin University∞n A τωτ思考题：KHz T f T 100101011 26=⨯===-，πω2. 奇函数：f (t )= -f (-t)1tω只含正弦项n F =3.奇谐函数T四、吉伯斯现象)(t f有限项的N越大，误差越小例如: N=11§ 3.2 非周期信号的傅立叶变换∞从物理意义来讨论傅立叶变换(FT)Tianjin University Tianjin UniversityTianjin UniversityTianjin University )0>arctg -=)(t f时域中信号变化愈尖锐，其频域所包含的高频分量就愈丰富；反之，信号在时域中变化愈缓慢，其频域所包含的低频分量就愈多。
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
(完整版)傅立叶级数的指数形式(图)
傅立叶级数的指数形式（图）上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。
但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。
一、傅立叶级数的三角形式对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为（2）（3）（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分量系数。
二、傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式有（5）其中j为虚数单位，即（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：（7）其中傅立叶系数一般为复数（8）三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系根据欧拉公式由式（7）有（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。
其中两种形式的傅立叶系数关系如下：（10）或（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。
四、周期信号的频谱分析从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。
由式（9）得（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为（13）基波分量的振幅为（14）基波初相位为各高次谐波分量的振幅为（16）各高次谐波分量的初相位为（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为（18）五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。
在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即（19）傅立叶系数一般为复数，可写成（20）其模就是双边的振幅频谱其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。
再看看傅立叶级数的指数形式可写成（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶系数C n的幅角。
23周期序列的傅里叶变换级数及傅里叶变换表达式
其Fourier变换是
在 0 处的单位冲激函数，幅度是2π,即
X a ( j) FT[x a (t )] e j 0t e jt dt 2( 0 )
(2.3.8)
对于时域离散系统， x(n) e j 0n 由于n是整数，故有
e j 0n e j(0 2r )n 因此，x(n)的FT为
对于一般周期序列 ~ x (n ) 按式(2.3.5)展开后，第k次谐波为：
因此，k次谐波和复指数序列 x(n) e j 0n 的FT相比较，见(2.3.9) k次谐波的FT为： (其频率为ωk= 2πk / N )
~ (X(k) / N)
这样，序列 ~ x (n )的FT应为：
N1
r
设x(n)是以N为周期的序列，因是周期的，可展成Fourier级数:
j 2N kn ~ x (n ) a k e
N 1 k 0
(2.3.1)
ak是周期序列,为什 么?
式中，ak 是Fourier级数的系数：
ak
1 N
N1 n 0
j kn ~ x(n)e N , k
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.3.1 周期序列的离散Fourier级数
2.3 周期序列的离散傅 里叶级数及傅里叶变换
2.3 周期序列的离散Fourier级数及Fourier变换表示式
周期序列因不满足式(2.2.2)绝对可和条件，因此它的FT不存 在，但由于是周期性的，可以展成离散Fourier级数。
2
(2.3.3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
ak
1 N N1 n 0 j kn ~ x(n)e N , k 2
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换专题摘要：根据欧拉（Euler）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。
通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。
这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。
所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。
而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。
傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。
因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。
我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o只有有限个极值点。
那么)(t f 在]2,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。
在连续点处∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1）其中Tπω2=，),2,1,0(,cos )(222 ==⎰-n dt t n t f T a TT n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222==⎰-n dt t n t f T b TT n ω， （3）根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4）若令综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子,2,1,0,)(122±±==⎰--n dt e t f T c TT t jn n ω， （5）若令,2,1,0,±±==n n nωω，则（1）式可写为∑∑+∞-∞=∞=--=++=n tj nn tj n tj n n n n e c ec ec c t f ωωω10)()(， （6）这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
傅里叶变换 拉普拉斯变换
傅里叶变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它是以法国数学家约瑟夫·傅里叶的名字命名的，用于分析周期性信号和非周期性信号。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的前身，它是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的无限级数的方法。
根据欧拉公式，正弦和余弦函数可以表示为复指数形式：$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$假设一个连续周期函数$f(t)$可以表示为以下级数：$$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omegat)+b_n\sin(n\omega t))$$其中$\omega$是角频率，$a_0,a_n,b_n$是系数。
这个级数就称为$f(t)$的傅里叶级数。
通过求解系数$a_0,a_n,b_n$，可以得到$f(t)$在周期内任意时刻$t$的值。
2. 傅里叶变换对于非周期信号，我们无法使用傅里叶级数进行分析。
此时，我们需要使用傅里叶变换。
傅里叶变换将一个时域信号$f(t)$转换为一个频域函数$F(\omega)$，它表示了$f(t)$中各个频率成分的强度和相位。
傅里叶变换的定义如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中$\omega$是角频率，$e^{-i\omega t}$是复指数形式的正弦函数。
$F(\omega)$表示了$f(t)$在频率为$\omega$时的贡献。
3. 傅里叶逆变换傅里叶变换可以将一个时域信号转换为一个频域函数，那么我们是否可以将一个频域函数转换回时域信号呢？答案是肯定的，这就需要用到傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换的定义如下：$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omegat}d\omega$$其中$F(\omega)$是$f(t)$的傅里叶变换。
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(4)
2
T
2
T
f (t)dt
傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。
通过对描述实际对象数学模型的数学分析、
求解，对所得结果给以物
理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。
这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。
所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。
而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。
傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数
的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。
因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。
我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式
一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有
2 2
数。
在连续点处
有限个第一类间断点;
2。
只有有限个极值点。
那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级
f(t)
a
0 ,.
(a n cosn ・t b n sin n ・t)
(1)
其中
a n
T
2
f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)，
_2
根据欧拉（Euler ）公式:
b n
；认）州艸（n=1,2,3,），
(3)
e" - cos ： j si ， （1）式化为
f(t)二色二 a 2 J
e jn
e" n
jn ・ £ j jn ・ t
+b e —e
M n
2j
若令
a n - j
b n
一 2
jn ;.-：t . a n jb n ©弓曲
2 」，
可以证明(详细过程可参阅文 [46])，当T > ::时，有
1 -ter -fee
f (t )= 2兀
⑴e j05t g ，
公式(8)称为傅里叶积分公式。
从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里 叶积分定
理。
傅里叶变换
根据傅里叶积分定理，设
& =別 心=1 匚 f(t)cosn tdt — jZ 2r f(t)sinn tdt 2 T 匕 "- T
7 .........
T -2 1 2r f (t)[cosn t 一 j sin n t]dt 二一¥f(t)e 」n t
dt, n =1,2,3, T
~2
JgeP 2,2,3,
综合c 0, c n , c 』，可合并成一个式子
T
舟 f(t)e 』Pt,
n =0, _1, _2,…，
(5)
右令」n = n ；：： , n = 0,丄1，工2,，则(1 )式可写为
f(t)二Co • v ©e j nt
• je"1 nt
) = 7 5e j nt
,
n z !
n -.：:
(6)
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。
或写成
4 二 T
f (t)=—迟 If 2r f (£)e
e
T ~2
r nt。
(7)
傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数 f(t)都可以看成是由某个周期函数
f T (t)当T >
时转化
而来的，即lim f T (t) =f(t)。
于是有
T T H
(8)
(9)
F( “ 二f(t)「t dt，
1 咼
f (t) F ( ‘)e d ■ , (10)
2兀8
从上两式可以看出， f (t)和F(・J通过指定的积分运算可以相互表达。
(9)式叫做f (t)的傅里叶变换，记为
F()二F[f(t)].
FC )叫做f(t)的象函数，(10)式叫做F(「)的傅里叶逆变换，记为
-1
f(t)= F [F( )].
f(t)叫做F(「)的原象函数。