圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

湖北省天门中学薛德斌

一、圆锥曲线的极坐标方程

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：.

1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．

当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

二、圆锥曲线的焦半径公式

设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则

∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF

ep

．

1ecos

当P在双曲线的左支上时，PF

ep

1ecos

.

推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有

112

.

MF NF ep

2

cos 2

.

c

2 2 2

三、圆锥曲线的焦点弦长

若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，

a 2

b 2 ep ep

2ab 2

1、椭圆中， p ， MN

c

c

1 ecos

1 ecos(

) a 2 c

2、双曲线中，

ep ep

2ab 2

若 M 、N 在双曲线同一支上， MN

；

1 ecos

1 ecos(

)

a 2 c 2 cos

ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN

.

1 ecos

1 ecos

c 2 cos a 2

3、抛物线中， MN

p

p

2p

.

1 cos 1 cos(

)

sin

四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF

1

2

1

a ex ，PF

2

a ex ；

2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2

当点 P 在双曲线右支上时， PF

1

ex a ， PF

2

ex a ；

当点 P 在双曲线左支上时， PF

1

a ex ， PF

2

a ex ；

3、若 F 是抛物线的焦点， PF

x

p . 2