高等数学第七版上册总复习PPT
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同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
最新同济大学高等数学第七版上册定积分精品课件
则有
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
2
三、小结
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。
作业
P254 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 6; 7 (4), (9), (10)
2 2arctant 1 2 .
0
2
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f ( x 1)dx . 0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
2xdx
0 1 x dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 ) dx
0
1
1 x
1 1 2 ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
T f ( x)dx .
a
0
aT
证 a f ( x)dx
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f ( x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
同济第七高等数学总复习PPT教案
第8页/共118页
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若有 k 重实根 r (C0 C1x Ck1xk1)erx
若有k 重共轭 复根 i
[1] 空间直线的一般方程 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z
1 L
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
L
:
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
o
y
第33页/共118页
34
[2] 空间直线的对称式方程
x x0 y y0 z z0
的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
定理 2 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y*是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
y2 x2 z2 a2 c2 1
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
第21页/共118页
22
（1）球面
（2）圆锥面 （3）旋转双曲 面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
a （ax , ay, az） b （bx , by, bz）
同济第七版高等数学总复习ppt课件
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )( 2 )
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
高等数学-第七版-课件-高等数学课件介绍
反复、对照，也方便学生记笔记；
示例一：导数概念
（1）变速直线运动的速度 （2）平面曲线的切线
匀速运动： v s
t
物 理 问 题 变速运动： v(t0) ?
f (t0)
f (t0 t)
s f (t)
t0
t t0 t
t
s f (t0 t) f (t0 )
s v t
v(t0)
lim
t 0
R
,
2
k)
z
例5 求曲线 x t , y t 2 , z t3在点(1,1,1)处
的切线方程和法平面方程.
o
x
y
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
法平面方程 (t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
示例二：直线、平面的相互关系
本课件是为教师课堂教学而设计的,不是供学生学习的教案．
设计时,避免让课件“说话”,造成课件与讲授的冲突,而是
给教师讲授留出足够的空间．
这里为不此妨，啰采嗦取几了句许：多方法，比如：将要讲授的道理变成各种 流现 授程在课图某时、些就框课给图件人、常“表常念格把课、要件动讲”画的的；大感课段觉件原。中话其仅放实出在，现课如一件果个里真简。是明这这的样样论，的断在课， 教件师，再那围么绕听这众个多论半断会展不开由讲自解主等地等自．己“念课件”，而不再听 讲。老师的讲课反而影响了听众的“念”。不仅如此，由于 老师另不外知，听随众时念注到意了课哪件里的，播只放顾与自讲己解翻的屏同，步倒．是更加阻碍了 听众。这会导致不折不扣的“冲突”。因此，作者认为： “不让课件说话”是设计课件的一个重要原则
示例一：导数概念
（1）变速直线运动的速度 （2）平面曲线的切线
匀速运动： v s
t
物 理 问 题 变速运动： v(t0) ?
f (t0)
f (t0 t)
s f (t)
t0
t t0 t
t
s f (t0 t) f (t0 )
s v t
v(t0)
lim
t 0
R
,
2
k)
z
例5 求曲线 x t , y t 2 , z t3在点(1,1,1)处
的切线方程和法平面方程.
o
x
y
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
法平面方程 (t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
示例二：直线、平面的相互关系
本课件是为教师课堂教学而设计的,不是供学生学习的教案．
设计时,避免让课件“说话”,造成课件与讲授的冲突,而是
给教师讲授留出足够的空间．
这里为不此妨，啰采嗦取几了句许：多方法，比如：将要讲授的道理变成各种 流现 授程在课图某时、些就框课给图件人、常“表常念格把课、要件动讲”画的的；大感课段觉件原。中话其仅放实出在，现课如一件果个里真简。是明这这的样样论，的断在课， 教件师，再那围么绕听这众个多论半断会展不开由讲自解主等地等自．己“念课件”，而不再听 讲。老师的讲课反而影响了听众的“念”。不仅如此，由于 老师另不外知，听随众时念注到意了课哪件里的，播只放顾与自讲己解翻的屏同，步倒．是更加阻碍了 听众。这会导致不折不扣的“冲突”。因此，作者认为： “不让课件说话”是设计课件的一个重要原则
大学高等数学第七版----第一章第六讲1
x
x
解 ： 原 式
lim ln[2x (1
x
1 2x
)] ln(1
3) x
lim {[(x ln 2)
x
ln(1
1 2x
)] ln(1
3 )}
x
3
1
3
lim [(x ln 2) ln(1
x
) x
ln(1
2x
)ln(1
)] x
lim [3ln 2
x
ln(1 3
3) x ]
lim
x
1 2x
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
上一页 下一页 返回
例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
上一页 下一页 返回
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
上一页 下一页 返回
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
高等数学第七版上册总复习PPT课件.ppt
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
高等数学-第七版-课件-11-1 反常积分概念
1
1 dx dx 1 故当 0 q 1时， q lim q ; 0 x 1q u 0 u x 1
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
1 1 (0 0) 0 2 2 . p p
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
dx 例5 讨论瑕积分 q q 0 的收敛性. 0 x 1 1q 1 u ,q 1 1 dx 解 q 1 q ux ln u, q 1,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
a
a
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分
0
t e pt dt
p 0 的收敛性.
解
因此
te
0
pt
t pt 1 pt dt e 2 e C , p p
t 1 t e pt dt e pt 2 e pt p p 0
推得
a
x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
高等教育出版社
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
数学分析 第十一章 反常积分
1 dx dx 1 故当 0 q 1时， q lim q ; 0 x 1q u 0 u x 1
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
1 1 (0 0) 0 2 2 . p p
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
dx 例5 讨论瑕积分 q q 0 的收敛性. 0 x 1 1q 1 u ,q 1 1 dx 解 q 1 q ux ln u, q 1,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
a
a
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分
0
t e pt dt
p 0 的收敛性.
解
因此
te
0
pt
t pt 1 pt dt e 2 e C , p p
t 1 t e pt dt e pt 2 e pt p p 0
推得
a
x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
高等教育出版社
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
数学分析 第十一章 反常积分
同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较 PPT
1 - cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有 2
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
高等数学同济第七版第一章课件
(1
2x
3x
1
)x.
解:
x
令 f (x)
(1
2x
3x
1
)x
3
(13) x
(32) x
1
1 x
则
1
3 f (x) 33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13
4. 解:
xx
由
得 (x) ln(1 x) ,
(x) (x)
x ( , 0]
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f ( ) f (7) f [
]
f ( ) f (9) 6
阅读与练习
P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6
P74 题*6. 证明: 若 f (x) 在 ( , )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x1
b limex e
x1
例4. 设 f (x) 定义在区间
上 , 且对任意实数
, 若 f (x) 在
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
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n n 1
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
（2） 三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
第二章 导数与微分
第三章 中值定理和导数的应用
第四章 不定积分
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
a n 1 x a n P ( x ) a0 x a1 x Q ( x ) b x m b x m 1 b 0 1 m 1 x bm
2 2u 1 u sin x cos x 2 1 u 1 u2
x 令 u tan 2
x 2 arctan u
2 dx du 2 1 u
2
2u 1 u 2 R(sin x , cos x )dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, ax b )
n
ax b R( x , ) cx e
n
解决方法：作代换去掉根号．
令t ax b;
n
ax第一章 函数与极限
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性
反函数 反函数与直接 函数之间关系
(二)数列极限
(三)函数极限
(三)连续与间断
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
（2） 三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
第二章 导数与微分
第三章 中值定理和导数的应用
第四章 不定积分
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
a n 1 x a n P ( x ) a0 x a1 x Q ( x ) b x m b x m 1 b 0 1 m 1 x bm
2 2u 1 u sin x cos x 2 1 u 1 u2
x 令 u tan 2
x 2 arctan u
2 dx du 2 1 u
2
2u 1 u 2 R(sin x , cos x )dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, ax b )
n
ax b R( x , ) cx e
n
解决方法：作代换去掉根号．
令t ax b;
n
ax第一章 函数与极限
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性
反函数 反函数与直接 函数之间关系
(二)数列极限
(三)函数极限
(三)连续与间断
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0