微积分10_4函数展开成幂级数共28页文档
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
微积分中的幂级数展开
微积分中的幂级数展开幂级数展开是微积分中的重要概念之一，它是将一个函数表示成一系列幂函数的和的形式，是微积分中对函数进行近似和研究的基础。
本文将从幂级数的基本概念和定义开始，进一步探讨幂级数展开的应用和实际意义。
一、\hspace{0.5em}幂级数的基本概念和定义幂级数是指由函数$f(x)$的幂次组成的无穷级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n +...$$其中$a_n$称为幂级数$f(x)$的系数，也就是说，幂级数展开的核心就在于求解幂级数的系数。
对于幂级数的收敛性，我们需要使用柯西收敛原理。
具体地，如果序列$\{a_n\}$满足：$$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$$则幂级数的收敛半径为$R=\dfrac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$。
幂级数在其收敛半径内的收敛性由黑格尔定理（或阿贝尔定理）给出：如果幂级数$f(x)$的收敛半径$R>0$，那么$f(x)$在$(-R,R)$内一致收敛；如果幂级数$f(x)$在某个点$x_0\neq 0$处发散，那么幂级数在所有点$x$处均发散。
二、\hspace{0.5em}幂级数展开的应用幂级数展开在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些具体的例子。
1.泰勒级数泰勒级数是指将一个函数$f(x)$在某一点$x=a$处展开的幂级数：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$x=a$处的$n$阶导数。
泰勒级数可以用于求解函数的近似值，以及函数的性质和应用。
例如，我们可以通过泰勒级数在$x=0$处展开$\sin x$和$\cos x$，得到：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$2.幂级数解微分方程通过对微分方程进行幂级数变换，我们可以得到幂级数解，并且可以在一定程度上揭示微分方程的一些性质和规律。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式（原创实用版）目录1.幂级数的概念和基本形式2.泰勒公式和洛必达法则3.常见函数的幂级数展开4.函数展成幂级数的应用正文一、幂级数的概念和基本形式幂级数是指一个函数可以表示为若干个幂函数（形如 x^n，n 为实数）的有限或无穷和。
幂级数是微积分学中的一个重要概念，它在函数逼近、数值计算等方面有着广泛的应用。
二、泰勒公式和洛必达法则1.泰勒公式：泰勒公式是指用幂级数来表示一个可微函数在某一点附近的近似值。
泰勒公式的基本形式为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)，其中 f(x) 为可微函数，a 为函数的某一点，f"(a)、f""(a) 等表示函数在点 a 的各阶导数，Rn(x) 为泰勒公式的余项。
2.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的方法，它可以用来求解形如“0/0”、“∞/∞”这样的不定式极限。
洛必达法则的基本思想是将极限中的函数展开为幂级数，并利用泰勒公式求解。
三、常见函数的幂级数展开1.指数函数：指数函数 e^x 的幂级数展开为：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...+ x^n/n! +...，随着 n 的增大，各项的绝对值逐渐减小，趋近于 0。
2.对数函数：自然对数函数 ln(x) 的幂级数展开为：ln(x) = x -x^2/2! + x^3/3! - x^4/4! +...，这个级数在 x=1 处收敛，即 ln(1)=0。
3.三角函数：正弦函数 sin(x) 和余弦函数 cos(x) 的幂级数展开为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...和 cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...，这些级数在 x=0 处收敛。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
高等数学方明亮版数学课件104函数展开成幂级数共22页
2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数.
例4 将函数
展开成 x 的幂级数.（补充题）
解: 因为
1 1 x x2 ( 1 )nxn (1x1) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得
（自学课本 例6）
1 1 x2
1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n (1x1)
12.04.2020
12
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例5 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
n
n
!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1x1x21x3 1xn ,
2 ! 3 !
n !
12.04.2020
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例2 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n)(x)
f (n)(0) (01),k ,
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内nl im Rn(x)是否为0.
12.04.2020
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例1 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)ex, f(n)(0)1(n0,1, )故, 得级数
1 x 1 x 2 1 x 3 1 xn
2! 3!
n!
其收敛半径为
1
R lim
称为拉格朗日余项 .
12.04.2020
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
函数如何展开成幂级数
函数如何展开成幂级数在数学中，幂级数是一种函数展开的形式，其中函数可以表示为幂次项的无限和。
它在数学和物理领域具有广泛的应用，尤其是在微积分和解析几何中。
一个函数可以展开成幂级数，可以使我们更好地理解函数的性质和行为，同时也可以方便计算。
如果一个函数可以展开成幂级数，那么这个函数必须满足一些条件，比如在展开点附近必须有定义，并且在这个点附近是光滑的。
展开成幂级数的函数可以是多项式函数或者是一些特殊函数，比如正弦函数、余弦函数和指数函数等。
让我们以一个简单的例子来说明如何将一个函数展开成幂级数。
考虑函数 f(x) = sin(x)，我们希望将其展开为一个幂级数。
我们知道，sin(x) 在原点附近是光滑的，并且其所有导数在原点都有定义。
因此，我们可以使用泰勒级数来展开 sin(x)。
泰勒级数是一种将一个函数展开成幂级数的方法，使用函数在展开点处的各阶导数来确定幂次项的系数。
对于函数 f(x) = sin(x)，它的泰勒级数展开可以表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在这个展开式中，每一项的系数都是通过函数在展开点处的导数来计算的。
具体来说，幂级数的第n项系数是：a_n=f^(n)(a)/n!其中f^(n)(a)表示函数f(x)在展开点a处的n阶导数。
对于我们的例子 sin(x)，它的展开点是原点 a = 0。
因此，我们需要计算函数在原点的导数。
对于 sin(x) 而言，它的所有导数都是周期性的，且根据周期性，我们可以推导出所有的导数在原点的值。
sin(x) 的导数序列是 1，cos(x)，-sin(x)，-cos(x)，sin(x) ...可以看到，当 n 是 4 的倍数时，导数在原点的值为 0；当 n 是奇数时，导数在原点的值为 -1n/(n-1)！因此，我们可以得到 sin(x) 在原点展开的幂级数表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是 sin(x) 的泰勒级数展开。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数是一种将一个函数表示为无限幂级数的方法。
这种展开可以在数学和物理等领域中有广泛的应用。
然而，并不是所有的函数都可以展开成幂级数，需要满足一定的条件。
首先，函数必须在某个区间内具有无穷个可导性。
这意味着函数在这个区间内可以进行无限次的导数运算。
如果函数在某些点上不可导或者导数不连续，那么它就不能展开成幂级数。
其次，函数必须在展开点的邻域内收敛。
展开点是指在该点附近进行幂级数展开的点。
如果函数在展开点的邻域内是发散的或者收敛半径为零，那么它就不能展开成幂级数。
最后，函数必须在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这意味着在展开点的邻域内，函数的展开式是唯一确定的，不存在多种可能性。
如果函数在展开点的邻域内存在多个展开式，那么它就不能展开成幂级数。
需要注意的是，即使函数满足上述条件，它的幂级数展开也不一定能够收敛到原函数本身。
幂级数的收敛性需要根据函数在展开点附近的性质来判断。
总结起来，函数能够展开成幂级数的条件包括：在某个区间内具有无穷个可导性、在展开点的邻域内收敛以及在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这些条件是幂级数展开的基础，通过幂级数展开，可以将复杂的函数表示为简单的无限级数形式，从而方便了对函数的研究和计算。
函数展开成幂级数
即
lim
n
Rn
(
x
)
0
，
x
U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
其中 pn( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 n!
f
(n)( x0 )( x
x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时， 余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数分布图示★引言 ★泰勒级数的的概念★麦克劳林级数★函数展开成幂级数—直接法 ★例1★例2 ★例3 ★例4 ★例5★常用麦克劳林展开式★函数展开成幂级数—间接法 ★例6★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★函数的幂级数展开式的应用★内容小结 ★课堂练习★习题7-5内容要点一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数)(x f 能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果)(x f 能展开成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于)(x f 的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.四、计算定积分：许多函数, 如xx x e x ln 1,sin ,2-等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.五、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数,0∑∞=n n a 构造幂级数∑∞=0n n n x a ;（2）利用幂级数的运算性质，求出∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s ;（3） 所求数项级数).(lim 10x s a x n n -→∞==∑ 例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1（E01）将函数xe xf =)(展开成x 幂级数.解 由,)()(x n e x f =得1)0()(=n f ),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为 +++++n x n x x !1!2112 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间)，有 |)(|)(x R n 1)!1(++=n x n e ξ.)!1(||1||+⋅<+n x e n x 因x e 有限,而)!1(||1++n x n 是级数∑∞=++01)!1(||n n n x 的一般项，所以)!1(||1||+⋅+n x e n x 0→),(∞→n 即有,0)(lim =∞→x R n n 于是 x e ,!1!2112 +++++=n x n x x ).,(+∞-∞∈x例2（E02）将函数x x f sin )(=展成x 的幂级数.解 )()(x f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x ),2,1,0( =n )0()(n f 顺序循环地取 ,1,0,1,0-),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为++-+-+-+)!12()1(51!311253n x x x x n n 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξξ(介于0与x 之间)，有)(x R n =1)!1(2)1(sin ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n x n n πξ)!1(1+<+n x n 有 )(x R n )!1(1+<+n xn 0→),(∞→n于是 x sin ,)!12()1(!31123 ++-++-=+n x x x n n ).,(+∞-∞∈x例3（E03）将函数x x f cos )(=展成x 的幂级数.解 利用幂级数的运算性质,由x sin 的展开式x sin ,)!12()1(!5!31253 ++-+-+-=+n x x x x n n ),(+∞-∞∈x 逐项求导得x cos ,)!2()1(!4!21242 +-+-+-=n x x x n n ),(+∞-∞∈x例4（E04）将函数)1ln()(x x f +=展成x 的幂级数.解 因为,11)('xx f +=而 x+11,)1(132 +-++-+-=n n x x x x )1,1(-∈x 在上式两端从 0 到x 逐项积分,得 )1ln(x +,1)1(!3!2132 ++-+-+-=+n x x x x n n ]1,1(-∈x 上式对1=x 也成立.因为上式右端的幂级数当1=x 时收敛，而上式左端的函数)1ln(x +在 1=x 处有定义且连续.例5（E05）将函数)()1()(R x x f ∈+=αα展开成x 的幂级数. 解 )(x f ',)1(1-+=a x a)(x f '',)1)(1(2-+-=a x a a …)()(x f n ,)1)(1()2)(1(n a x n a a a a -++---= … 所以,1)0(=f ,)0('a f =),1()0(''-=a a f …),1()1()0()(+--=n a a a f n … 于是)(x f 的麦克劳林级数为+-++2!2)1(1x a a ax ++--+n x n n a a a !)1()1( )1( 该级数相邻两项的系数之比的绝对值n n a a 1+1+-=n n a 1→),(∞→n 因此，该级数的收敛半径,1=R 收域区间为).1,1(-设级数(1)的和函数为),(x s 则可求得 ,)1()(n x x s +=)1,1(-∈x即 +++=+ ax x a 1)1( ++--n x n n a a a !)1()1()1,1(-∈x (2) 在区间的端点1±=x 处，展开式(2)是否成立要看a 的取值而定.可证明:当1-≤a 时，收敛域为);1,1(-当01<<-a 时，收敛域为];1,1(-当0>a 时，收敛 域为].1,1[-公式(2)称为二项展开式.特别地,当a 为正整数时，级数成为x 的a 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 例如，对应21=a 、21-=a 的二项展开式分别为 ,64231421211132 +⋅⋅⋅+⋅-+=+x x x x ];1,1[-∈x ].1,1(,64253142312111132-∈+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+x x x x x例6 将函数x sin 展开成()4/π-x 的幂级数.解 )]4/(4/sin[sin ππ-+=x x)4/sin()4cos()4(cos )4sin(ππππ-+-=x x)]4sin()4[cos(21ππ-+-=x x --+--=!4)4/(!2)4/(1[2142ππx x --+---+!5)4/(!3)4/()4/(53πππx x x ]!3)4/(!2)4/()4/(1[2132 +-----+=πππx x x ).(+∞<<-∞x利用间接法将函数展开成幂级数例7（E06）将函数x x f arctan )(=展开成x 的幂级数.解 ⎰+=201arctan x dx x x dx x x x n n x ⎰+-+-+-=])1(1[2420 ,12)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ).1,1(-∈x 当1=x 时，级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛;当1-=x 时，级数∑∞=++-0112)1(n n n 收敛.且当1±=x 时，函数x arctan 连续，所以,12)1(5131arctan 1253 ++-+-+-=+n x x x x x n n ].1,1[-∈x例8 将函数x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(展开成x 的幂级数. 解 由于11121)1111(41)('2-+⋅+-++=x x x x f,111114044∑∑∞=∞==-=--n n n n x xx且,0)0(=f 所以dx x dx x f x f n n x x )()()(1400∑⎰⎰∞=='=).1,1(,14114-∈+=∑∞=+x n x n n例9（E07）将函数213+x 展开成x 的幂级数. 解3ln 2221213333x x x e =⋅=+=,23ln !3123ln !2123ln 133322⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++ x x x ).,(+∞-∞∈x例10 将函数 ()234ln x x --展开成x 的幂级数.解 )4)(1ln()34ln(2x x x x +-=--)4ln()1ln(x x ++-=而)](1ln[)1ln(x x -+=- --+---=3)(2)()(32x x x )11(<≤-x )41(4ln )4ln(x x +=+)41ln(4ln x ++= -⋅+⋅-+=32)4(31)4(2144ln x x x )44(≤<-x 所以)34ln(2x x --= -⋅+⋅-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332232434244ln 32x x x x x x).11(192633217434ln 32<≤-----=x x x x例11 将函数()21x x f =展开成()2-x 的幂级数. 解 因为2)2(11+-=x x 221121-+⨯=x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- 32222222121x x x n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=).2|2(|<-x 逐项求导,得 ,)2(2)1(211112-∞=--=-∑n n n n x n x所以 11112)2(2)1(1)(-+∞=+--==∑n n n n x nx x f ).40(<<x例12（E08）将函数341)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数. 解 341)(2++=x x x f )3)(1(1++=x x )3(21)1(21x x +-+==,4118121141⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 而 ∑∞=--=-+0)1(2)1(41)211(41n n n nx x ),31(<<-x n n n n x x )1(4)1(81)411(810--=-+∑∞=),53(<<-x 故 n n n n n x x x )1)(2121()1(34132202---=++++∞=∑).31(<<-x例13（E09）将x x x f --=41)(展开成1-x 的幂级数, 并求).1()(n f 解 )1(3141--=-x x )311(31--=x ],)31()31(311[312 +-++-+-+=n x x x ,3|1|<-x ∴x x x x --=--41)1(41=,3)1(3)1(3)1()1(313322 +-++-+-+-n n x x x x .31<-x 于是,31!)1()(n n n f =故.3!)1()(n n n f =。
同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数
n0
内的和函数为 f( x )，即
f x lim S n x lim
n n n k 0
n0
k a k x x 0 , I U x 0, .
记: Rn( x )= f( x )- S n( x )，I = U( x 0 , )，则有
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称
这种方法为直接法。
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。 用直接法求 f( x )的马克劳林展开式
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 f x a n x x 0 n.
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函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：
• 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数；
• 如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； • 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数 f( x ). (1) 分析函数展开为幂级数的条件
由归纳法可求得
f ( 2k- 1 )( x )= 2 2k -2 sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ]
= 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )( k-1 ) 2 2k -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k -1 sin[ 2 x + k - /2 ] =( - 1 ) =( - 1 )