多因素方差分析

多重比较
把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值， 列成下表：
x9
x8
x7
x6
x5
x4
x3
x2
x1
33.5**
31**
30.75**
22**
14.5*
11.5
3.75
3
x2Fra Baidu bibliotekx3 x4
求得：Sx MSe / n 61.35/ 4 3.9163 ，df=27
查Duncan检验的r值表， df=27, k=2~9,
K
r0.05
R0.05
r0.01
R0.01
2
2.91
11.40
3.92
15.35
3
3.05
11.94
4.10
16.06
4
3.14
12.30
4.20
16.45
5
3.21
b j 1

2 j
E(MS AB )
E( SS AB ) 2
(a 1)(b 1)

n (a 1)(b 1)
a i 1
b
(
)
2 ij
j 1
E ( MS e
)

E( SSe ab(n 1)
)


2
检验H01，H02，H03的统计量
检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中， 分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：
30.5**
28**
27.75**
19**
11.5
8.5
29.75** 27.25**
27**
18.25** 10.75 7.75
22**
19.5**
19.25**
10.5
3
19**
16.5**
16.25**
7.5
0.75
x5
11.5
9
8.75
x6
2.75
0.25
x7
2.5
x8
Duncan检验的r值
计算步骤
计算排列如下表：
表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行
的平均
xij. , xi.. , x. j.
方差分析表
变差来源 平方和 自由度
主效应A 主效应B 交互效应
AB
误差
总和
均方
统计量F
F测验
把计算所得结果填入上表后，再根据各F统计量的自由度 查出其F0.95及F0.99分位数，并将F计算值与相应分位数相比， 大于F0.95则在统计量F右上角标一个“*”号；大于F0.99则再加 一个“*”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结， 即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显 著
即：
SST = SSA + SSB + SSAB + SSe
自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)
均方数学期望
E(MS A )

E( SS A ) a 1


2

bn a 1
a i 1

2 i
E(MS B
)

E( SSB ) b 1


2

an b 1
交互效应
B3 B2 B1
A1 A2 A3 (a) 无交互效应
B3 B2
B1 A1 A2 A3
(b) 有交互效应
图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平 行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。 以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中， 我们对交互作用的有无也可进行统计检验。
FA

MS A MS e
,
FB

MS B MS e
FAB

MS AB MS e
从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三 个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若 某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应 的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行 检验。
各效应的估计值
ˆ x...
aˆi xi.. x...
ˆ j x. j. x...
(ˆ)i j xij. xi.. x. j. x...
其中i=1, 2 ……a, j=1, 2, ……b。
计算公式
SST

a i1
bn
xi2jk
j1 k 1
12.57
4.29
16.80
6
3.27
12.81
4.35
17.04
7
3.30
12.92
4.40
17.23
8
3.34
13.08
4.45
17.43
9
3.36
13.16
4.49
17.58
x1，x2，x3视为无差异
分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都 没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6 至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6 ~ x9差异均达极显著。 另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于 现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要 关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2， x3视为无差异
各处理平均数
j i 1
2
3
x. j.
1
34.5 49 45.25 42.92
2
18.25 37.5 46 33.92
3
18 15.5 27 20.12
xi..
23.58
34
39.42
发酵实验方差分析表
变差来源 平方和
原料A 温度B
AB 误差
总和
1554.18 3150.50 808.82 1656.50
多因素方差分析
上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素方差分析 的原理与方法。在实际工作中，问题常常比较复杂，要求 我们同时考虑两种甚至更多因素，以及这些因素共同作用 的影响。
多因素方差分析繁复
进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着 因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂 性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现 出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；
各处理间进行多重比较
在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需 要的条件组合。例如在例4.3中，我们已经发现原料，温度 以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进 一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比 较了 。
如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最 常用Duncan法。
按因素类型进行分类
多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型 三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假 设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。
按实验设计分类
多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这 两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为 例，介绍它们试验设计方面的不同点。
零假设
H01: i =0, i=1, 2, ……a H02:βj=0, j=1, 2, ……b H03:()ij=0, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b 备择假设为: HA: 上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个 备择假设。)
总变差分解
方差分析的基本思想仍是总变差分解：
交互作用不存在
如果MSAB小于或约等于MSe，即FAB小于或约等于1， 说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把MSAB和 MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作为σ2的估 计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下
MS e

SS e df e
SS AB df AB
然后可用作统计量FA和FB的分母，对两个主效应进行统计 检验。注意查表时分母自由度要相应改变。
F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,
∴FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标 上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与 它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的 发酵温度。
两因素交叉分组方差分析
1. 固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模 型为：
xijk=+i+j+()ij+ijk, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b; k=1, 2, ……n
其中：：总平均值；i：A因素i水平主效应；j：B因素 j水平主效应；
()ij：A因素i水平与B因素j水平的交互效应；ijk：随机 误差。
选择最适发酵条件
原
料
种
类
30℃
(A)
温 度（B） 35℃
40℃
1 41 49 23 25 11 13 25 24 6
22 26 18
2 47 59 50 40 43 38 33 36 8
22 14 18
3 35 53 50 43 38 47 44 55 33 26 29 30
固定因素
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这 两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复 的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验 应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的
交叉分组：实验中，A因素的每个水平都会和B因素的 每个水平相遇，因此A，B的地位是完全对称的。这是最常 见的实验设计方法。
系统分组：
先按A因素的a个水平分为a组，在每一组内再按B的水平细 分。一般A因素不同水平的组内B因素的水平可取不同值。 例如研究PH值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最 适PH值，因此应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个 水平，而不同的酶(因素A的不同水平) PH值(因素B)的水平 可能是不相同的。
几点注意事项：
当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法 把SSAB与SSe分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固 定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。
对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水 平，不能任意推广到其他水平上去。
当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特 殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。
模型类型及交互作用概念
单因素方差分析相比，交互作用是多因素方差分析中 新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素 的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人 的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用 同样的肥料，增产效果也有不同，等等。
7170.00
自由度
2 2 4 27
35
均方
777.09 1575.25 202.21 61.35
F
12.67** 25.68** 3.30*
F测验
查 F 分 布 表 ， 得 ： F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,
x.2.. abn
SSB

1 an
b
x.2j.
j1

x.2.. abn
SS A

1 bn
a i 1
x2 i..

x2 ...
abn
SSST

1 n
a i 1
b j 1
xi2j.

x.2.. abn
SSAB SSST SSA SSB , SSe SST SSST