多因素方差分析
方差分析(单因素、多因素方差分析)
单因素方差分析1.基本理解方差分析：是一种利用实验获取数据并进行分析的统计方法，经常用于研究不同效应对指定实验的影响是否显著。
方差分析用于检验连续型随机变量在三及以上分类数据不同水平上的差异情况。
方差分析包括：单因素方差分析、多元素方差分析、多元方差分析、协方差分析、重复测量方差分析。
在问卷数据中：单因素方差分析使用较多。
单因素方差分析：用于检验单个因素取不同水平是某因变量的均值是否有显著的变化，也可进一步用于因变量均值的多重比较（检验某些水平下的实验结果具体区别于其他水平的显著差异）。
图1检验步骤2.单因素方差分析操作步骤操作步骤第一步：首先将数据导入spss中并进行赋值后，点击分析、比较平均值、单因素ANOVA检验。
图2单因素方差分析第一步操作步骤第二步：进入图中对话框后将需检验的变量放入因变量列表中，在因子中放入分类变量，点击事后比较勾选假定等方差（LSD），不假定等方差（塔姆黑泥T2）点击继续。
图3单因素方差分析事后比较勾选3.当因素方差分析结果后点击线性进入图中下方选项框、勾选描述、方差齐性检验点击继续、确定。
图4单因素方差分析选项勾选然后单因素方差分析的描述、方差齐性、假设检验就出来了。
图5单因素方差分析结果单因素方差分析事后两两比较结果。
图6事后比较结果4.结果整理将首先将描述统计的结果粘贴复制到Excel表格中进行整理，保留均值和标准差及前面的内容，后在后面加入ANOVA表中的F和p值，将整理好的两两比较结果粘贴到表格的最后，最后将整理好的结果粘贴到Word文档中进行整理。
可参考图中结果整理。
（注：一般在看结果时首先看ANOVA表的结果，看显著情况，显著（p<0.05）看方差齐性检验的结果，若方差齐性检验的结果方差齐（p>0.05），然后再看事后比较的结果，方差齐看LSD，方差不齐看塔姆黑泥的结果，同样差异的显著看事后比较每行对应的显著性（若p<0.05，代表比较的对象显著。
多因素方差分析
多因素方差分析1. 基本思想：用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。
可以分析多个控制变量单独作用对观测变量的影响（这叫做主效应），也可以分析多个控制因素的交互作用对观测变量的影响（也称交互效应），还可以考虑其他随机变量是否对结果产生影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
根据观测变量（即因变量）的数目，可以把多因素方差分析分为：单变量多因素方差分析（也叫一元多因素方差分析）与多变量多因素方差分析（即多元多因素方差分析）。
一元多因素方差分析:只有一个因变量，考察多个自变量对该因变量的影响。
例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时，可将农作物产量作为观测变量，品种和施肥量作为控制变量。
利用多因素方差分析方法，研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的，并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
多元多因素方差分析：是对一元多因素方差分析的扩展，不仅需要检验自变量的不同水平上，因变量的均值是否存在差异，而且要检验各因变量之间的均值是否存在差异。
例如，用四个班级学生分别对两种教材、两种教学方法进行试验，除了要考虑着两种教材、两种教学方法的四种搭配以外，还要考虑四个班级学生的学习能力这些因素。
2. 原理：通过计算F统计量，进行F检验。
F统计量是平均组间平方和与平均组内平方和的比。
尸$控制您童H卜尸6小=的机竇量这里，把总的影响平方和记为SST它分为两个部分，一部分是由控制变量引起的离差，记为SSA组间离差平方和），另一部分是由随机变量引起的SS（组内离差平方和）。
即SST=SSA+SS组间离差平方和SSA是各水平均值和总体均值离差的平方和，反映了控制变量的影响。
组内离差平方和是每个数据与本水平组平均值离差的平方和，反映了数据抽样误差的大小程度。
通过F值看出，如果控制变量的不同水平对观测变量有显著影响，那观测变量的组间离差平方和就大，F值也大；相反，如果控制变量的不同水平没有对观测变量造成显著影响，那组内离差平方和就比较大，F值就比较小。
多因素方差分析结果解读
多因素方差分析结果解读多因素方差分析（MultivariateAnalysisofVariance，简称MANOVA）是一种用于检验多个自变量对一个因变量的影响的统计分析方法，它主要应用于研究多个自变量的整体影响，以及多个自变量之间的交互影响。
在多因素方差分析中，研究者需要对自变量、因变量、因素、水平、抽样设计和拟合统计模型等参数进行合理安排并给出具体分析方法、统计检验方法以及分析结果解读方法，以便得出准确的分析结果。
本文主要就如何正确解读多因素方差分析结果做一个讨论。
首先要明确的是，多因素方差分析结果从两个角度进行解读：整体的影响和交互的影响。
在解读多因素方差分析结果的整体影响时，关键是检验多个自变量对因变量的影响，这通常是通过检验拟合模型的F统计量来实现的，如果F统计量达到显著性水平（一般认为是α=0.05），则可以得出多个自变量对因变量有统计学意义的整体影响的结论，但不能准确判断具体哪个自变量对因变量最有影响力，需要进一步解读它们之间的交互影响。
多因素方差分析的另一个重点是检验多个自变量之间的交互影响，它是检验多个自变量对因变量的影响的补充，可以更精确地判断出多个自变量之间的某种特定关系。
这里有几种常用的检验交互影响的方法：F检验、Wilks’检验、Hotelling-Lawley Trace检验以及Bartlett-Box F检验、Roy’s大F检验等，其中F检验用于检验各个因素与交互因素之间的关系；Wilks’检验和Hotelling-Lawley Trace检验用于检验因素之间以及因素与交互因素之间的关系；Bartlett-Box F检验和Roy’s大F检验则用于检验因素、交互因素与因变量之间的关系。
总的来说，在解读多因素方差分析结果时，要同时检验多个自变量对因变量的影响和多个自变量之间的交互影响，不仅要给出准确的分析方法和统计检验方法，而且要根据检验结果准确解读分析结果，以便正确地概括出多个自变量对因变量的整体影响及多个自变量之间的具体关系，以达到准确仿真分析实际情况的目的。
SPSS操作多因素方差分析
SPSS操作多因素方差分析
一、多因素方差分析简介
多因素方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，利用它可以检验两个
或多个样本的总体均值是否相同。
它的基本假设是，多个样本取自同一总
体的正态分布，样本之间的差异是根据其中一种因素的变化而产生的，而
不是随机变化。
多因素方差分析一般用于检验不同变量的数据间的差异性。
二、多因素方差分析SPSS使用步骤
1、打开并登录SPSS：在Windows桌面找到SPSS图标，双击打开，
输入用户名和密码即可进入SPSS主界面。
2、导入数据：在SPSS主界面点击【文件】，再点击【导入数据】，
从计算机中找到需要导入的数据文件，打开，确定即可将数据文件导入到SPSS中。
3、运行多因素方差分析：在SPSS主界面点击【分析】，再点击【多
因素方差分析】，它会弹出一个多因素方差分析窗口，在窗口中配置多因
素方差分析的模型，一般情况下，前三步不需要修改，点击【下一步】；
第四步，需要在【变量】框中选择要分析的变量，点击【下一步】；第五步，需要在【因子】框中添加本次分析的因子，双击所选变量，添加到
【因子】框中，确定添加无误后，点击【下一步】；第六步，设定多因素
方差分析的显著性水平，点击【完成】，结束设置。
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式方差分析公式计算单因素和多因素方差分析的方法是统计学中常用的数据分析技术。
方差分析可以用来比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
在本文中，将介绍单因素方差分析和多因素方差分析的计算公式和步骤。
一、单因素方差分析的计算公式单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异。
在进行单因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和表示各组数据与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SST = Σ(xi - x)²其中，xi为每个观察值，x为所有观察值的均值。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和表示各组数据与各组均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSW = Σ(xi - x i)²其中，xi为每个观察值，x i为各组观察值的均值。
3. 组间平方和（SSB）：组间平方和表示各组均值与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSB = Σ(ni * (x i - x)²)其中，ni为每个组的观察次数，x i为各组观察值的均值，x为所有观察值的均值。
4. 平均平方和（MSW和MSB）：平均平方和表示各组之间的平均差异程度。
其计算公式如下：MSW = SSW / (n - k)MSB = SSB / (k - 1)其中，n为总观察次数，k为组的个数。
5. F统计量：F统计量用于检验组间均值是否存在显著差异。
其计算公式如下：F = MSB / MSW二、多因素方差分析的计算公式多因素方差分析适用于两个或更多个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异，并确定各因素之间的交互影响。
在进行多因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
SPSS多因素方差分析
SPSS多因素方差分析多因素方差分析（ANOVA）是广泛应用于统计学中的一种技术，用于研究多个因素对一个或多个连续变量的影响。
这个方法可以帮助研究者确定哪些因素对所研究的问题有显著影响，以及不同因素之间的交互效应。
在SPSS中进行多因素方差分析的步骤如下：第一步是收集数据并导入SPSS中。
确保数据集中包含所有要研究的变量，包括一个或多个连续变量和一个或多个因素变量。
连续变量是要研究的主要变量，而因素变量是要考察其对结果变量的影响的自变量。
第二步是选择“分析”菜单中的“通用线性模型（GLM）”选项。
在该对话框中，将结果变量拖放到因变量窗口，并将因素变量拖放到因子1-因子n窗口中。
确保正确选择了想要研究的因素变量。
第三步是进行前提条件检验。
在多因素方差分析中，要检验因变量是否满足正态性假设和方差齐性假设。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“图形”选项卡并勾选“残差统计”。
第四步是进行主要分析。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“因子”选项卡。
在这里，可以选择添加交互项以考察不同因素之间的交互效应。
第五步是进行后续分析。
如果主要分析显示有显著的组间差异，则可以进行进一步的事后比较以确定哪些组之间有显著差异。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“事后比较”选项卡，并选择适当的事后比较方法。
第六步是解释结果并报告分析结果。
通过主效应（主要因素的影响）和交互效应（不同因素之间的影响）来解读分析结果。
同时，也要包括各组之间的均值和差异的置信区间。
多因素方差分析在实际应用中有很多场景，比如在医学研究中，可以使用多因素方差分析来确定一些治疗对疾病的治疗效果；在教育研究中，可以使用多因素方差分析来确定不同教育方法对学生学习成绩的影响。
总之，SPSS提供了一个强大的工具来进行多因素方差分析。
通过遵循上述步骤，研究者可以在自己的数据集上进行多因素方差分析，并从中获取有关因素对结果变量的影响以及因素之间相互作用的重要信息。
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
多因素方差分析结果解读
多因素方差分析结果解读多因素方差分析是一种统计学方法，用于衡量研究变量之间的统计关系，以了解不同变量之间的交互作用。
多因素方差分析(ANOVA)可以使科学家、工程师和其他研究者探索并发现不同因素（变量）之间的关系，以便对有效的解释和可视化的信息进行解读。
本文将讨论多因素方差分析结果解读的基本概念，以及基于多因素方差分析数据分析结果正确解读的重要性。
首先，需要了解多因素方差分析的基本知识和步骤。
“多因素方差分析”是一种在统计学中用来确定多个变量之间关系的统计方法。
它可以在每个变量之间检测不同水平的均方差，以了解变量之间的交互作用。
这种分析通过定义变量并应用严格的统计标准来识别和分析变量之间的关系。
多因素方差分析的结果解释是有价值的，因为它们可以帮助研究者了解不同变量之间的关系，从而推断其中的交互作用。
多因素方差分析结果的正确解读可以帮助科学家和其他研究者更好地了解和探究变量之间的关系，以便建立准确有效的模型。
进行多因素方差分析时，最重要的是执行正确的统计分析，以便对数据进行准确描述。
多因素方差分析结果解释也是一种重要的工具，可以帮助研究者确定变量之间的关系，从而建立有效的模型。
正确的解释需要考虑变量之间的相关性，以及它如何影响整个分析的结果。
多因素方差分析的结果可以很好地说明变量之间的关系。
研究者可以根据结果检查各个变量之间的相关性，以及每个变量如何影响研究结果。
多因素方差分析结果解释可以帮助研究者更好地识别和分析变量之间的关系，从而建立有效的模型。
多因素方差分析结果解释的重要性在于它可以帮助研究者更加准确地了解研究问题，并对不同变量之间的相互作用做出准确的推断。
多因素方差分析的结果可以帮助研究者了解具体的研究内容，从而更好地回答研究问题。
总之，多因素方差分析结果解释在研究变量之间关系的统计学中十分重要，可以帮助研究者更加准确地了解研究变量之间的关系，并对不同变量之间的相互作用做出准确的推断。
正确理解和使用多因素方差分析结果解释，可以帮助研究者更好地利用和分析其研究结果，从而产生更有效的解决方案。
多因素方差分析的重要公式详解
多因素方差分析的重要公式详解多因素方差分析是一种常用的统计分析方法，可以用于研究实验设计中多个自变量对因变量的影响。
它通过计算各种不同因素所引起的变异程度来确定因素之间的差异是否显著。
本文将详细解析多因素方差分析中的重要公式，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
1. 总变异(SST)公式总变异是指因变量整体的变异情况，可以通过计算各观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
总变异公式如下：SST = Σ(yij - ȳ..)^2其中，yij表示第i个处理水平下的第j个观测值，ȳ..表示所有观测值的均值。
2. 处理效应(SSA)公式处理效应是指不同因素水平对因变量的影响程度，可以通过计算各处理水平下观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
处理效应公式如下：SSA = rΣ(ȳi. - ȳ..)^2其中，ȳi.表示第i个处理水平下的观测值均值，r表示每个处理水平下的观测次数。
3. 误差(SSW)公式误差是指无法被因素解释的随机因素引起的变异，可以通过计算各观测值与其所在处理水平均值之间的离差平方和来得到。
误差公式如下：S SW = Σ(yij - ȳi.)^24. 自由度(df)公式自由度是指数据集中独立变动的观测个数。
在多因素方差分析中，自由度的计算有以下几个关键公式：- 总自由度(dft) = 总处理次数 - 1 = I - 1- 处理自由度(dfa) = 处理水平数 - 1 = a - 1- 误差自由度(dfe) = 总观测次数 - 总处理次数 = N - I其中，I表示总处理次数，a表示处理水平数，N表示总观测次数。
5. 均方(MS)公式均方是指各来源变异的均值，可以通过总平方和除以相应的自由度来得到。
均方公式如下：- 处理均方(MSA) = SSA / dfa- 误差均方(MSE) = SSW / dfe6. F比值公式F比值是判断因素之间差异是否显著的依据，可以通过处理均方除以误差均方来计算。
多因素方差分析
多因素⽅差分析01.前⾔在前⾯我们讲过简单的单因素⽅差分析，这⼀篇我们讲讲双因素⽅差分析以及多因素⽅差分析，双因素⽅差分析是最简单的多因素⽅差分析。
单因素分析就是只考虑⼀个因素会对要⽐较的均值产⽣影响，⽽多因素分析是有多个因素会对均值产⽣影响。
需要注意的是⼀个因素可能会有不同的⽔平值，即不同的取值。
⽐如要判断某⼀款药对某种病症有没有效果，服⽤不同的剂量效果应该是不⼀样的，虽然因素都是服药这⼀个因素，但是不同的药剂量代表不同的⽔平。
双因素（多因素）⽅差分析⼜可以分为两种，⼀种是有交互作⽤的，⼀种是没有交互作⽤的。
啥意思呢？什么是交互作⽤呢？⽐如我们⼤家所熟知的，⽜奶和药是不可以⼀起吃的，如果单独喝⽜奶有助于⾝体蛋⽩质的补充，如果单独吃药可以有助于治疗病症，但是⽜奶和药同时吃就会把两者的作⽤抵消掉。
这种两者之间的相互作⽤就可以理解成是交互作⽤，当然了，有的时候交互是正向呢，有的时候是负向的。
02.⽆交互作⽤⽅差分析现在有如下⼀份不同品牌不同地区的产品销量数据表，想要看⼀下不同品牌和不同地区这两个因素是否对销量有显著性影响：我们先来看看⽆交互作⽤的双因素⽅差分析具体怎么做呢，所谓的⽆交互也就是假设品牌和地区之间是没有交互作⽤的，相互不影响，只是彼此单独对销量产⽣影响。
前⾯单因素⽅差分析中，我们是⽤F值去检验显著性的，多因素⽅差分析也同样是⽤F值.F = 组间⽅差/组内⽅差。
对于没有交互作⽤的多因素，可以单纯理解为多个单因素。
也就是你可以单独去看品牌对销量的影响，然后再单独去看地区对销量的影响。
那单独怎么看呢？这就回到了我们前⾯讲过的单因素⽅差分析。
我们先来计算品牌的组内平⽅和:SSA = (每个品牌的均值 - 全部销量均值)^2*每个品牌内样本数 = (344.20-328.45)^2*5 + (347.80-328.45)^2*5 + (337.00-328.45)^2*5 + (284.80-328.45)^2*5 = 13004.55我们再来计算地区的组内平⽅和:SSB = (每个地区的均值 - 全体销量均值)^2*每个地区内样本数 = (339.00-328.45)^2*4 + (330.25-328.45)^2*4 + (339.25-328.45)^2*4 + (318.25-328.45)^2*4 = 2011.7接着我们来计算全部平⽅和：SST = (每个值-总体均值)^2 = 17888.95除此之外还有⼀个平⽅和：SSE = SST - SSA - SSB这部分是除品牌和地区以外的其他因素所产⽣的，称为随机误差平⽅和。
多因素方差分析原理
107.634
.000
父母药物滥用
10.361
2
5.180
.911
.406
父母教养方式 * 父母药物滥用
26.238
6
4.373
.769
.597
Error
500.661
88
5.689
Total
30104.000
100
Corrected Total
2614.360
99
a. R Squared = .808 (Adjus ted R Squared = .785)
• 各实验处理之间的方差一致—即实验处理 内的方差彼此间无显著差异。
方差分析的几个概念和符号
• 离均差 • 离均差之和 • 离均差平方和（SS） • 方差（2 S2 ）也叫均方（MS） • 标准差：S • 自由度： df • 关系： MS= SS/ df
方差分析的步骤
• 一、求平方和 总平方和(SST) 组间平方和(SSB) 组内平方和(SSW) SST= SSW+ SSB
方差分析的基本思想
• 方差分析（ANOVA）是由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推 断多个总体均数有无差异。是一种典型的 还原论思想。
方差分析的基本思想
• 方差分析与t检验的区别 t检验只适宜检验两个平均数之间是否存在 差异。对于一个复杂的问题，t检验只能进 行多组平均数两两之间的差异检验。而方 差分析可以同时检验两个或多个平均数之 间的差异以及几个因素水平之间的交互作 用。
• 方差分析的主要功能是分析因变量的总变 异中不同来源的变异。
方差分析的基本假设
多因素方差的分析心得
多因素方差的分析心得
多因素方差的分析是一种用来研究多个因素对于一个变量的影响的统计方法。
通过对数据的方差分解，我们可以确定每个因素对于总体方差的贡献程度，从而找到主要影响因素。
在进行多因素方差的分析时，需要考虑各个因素之间的交互作用，以及它们与变量之间的关系。
通过比较各个因素的影响大小，我们可以确定哪些因素对于变量的影响最为显著。
通过多因素方差的分析，我们可以得到多个结论。
首先，我们可以确定主要影响因素。
这对于科学研究和实际应用都具有重要意义，可以帮助我们理解问题的本质及其成因。
其次，在实际应用中，我们可以根据这些影响因素来做出相应的调整和改进，以提高产品质量或优化过程。
然而，多因素方差的分析在实践中也存在一些挑战。
例如，在数据收集过程中，可能会存在一些误差或者偏差，这可能会对结果产生影响。
此外，如果样本容量较小，可能会限制对结果的推广性。
总之，多因素方差的分析是一种有力的统计方法，可以帮助我们确定影响变量的主要因素。
然而，在进行分析时需要注意数据的收集和处理过程，以克服一些潜在的问题。
利用这一方法得到的结论可以为科学研究和实际应用提供有价值的指
导和决策支持。
06_多因素方差分析
比较(comparison): 对各处理水平平均数之间差异的估 价。当一个处理的主效应显著，且处理的水平多于2 时，需要进一步揭示主效应显著的意义，即那些水平 之间比较是差异显著的。 组间变异(between-group variation):接受不同处理的被 试的分数围绕总平均数的变化。 组内变异(with-group variation):每个组内被试分数围 绕组平均分数的变化。这个变异是由随机误差造成的， 将各处理组内的变异相加，即是整个实验的实验误差。 无关变量：指一个研究中除了自变量以外所有可能对 因变量产生影响的因素。
完全随机实验设计的方差分析
• 适用条件:一个自变量，自变量有两个或多 于两个水平（P2） • 被试分配
A1 S1 S5 S9 S13 A2 S2 S6 S10 S14 A3 S3 S7 S11 S15 A4 S4 S8 S12 S16
（3）检验的假设和实验设计模型
H 0 : 1 2 p 或 H 0 : j 0, j 1,2,, p 即无处理效应 模型： ij j ij , i 1,2,, n, j 1,2,, p y
两因素完全随机实验设计的计算表
a1 b1 3 6 4 3 a1 b2 4 6 4 2 a1 b3 5 7 5 2 a2 b1 4 5 3 3 a2 b2 8 9 8 7 a2 b3 12 13 12 11
* two-factors randomized experiment anova. DATA LIST/ A 1 B 3 Y 5-6. BEGIN DATA 113 116 114 113 124 126 124 122 135 137 135 132 214
多因素方差分析
多因素方差分析定义:多因素方差分析中的控制变量在两个或两个以上，研究目的是要分析多个控制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机变量是否对结果产生了显著影响。
前提：1总体正态分布.当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性.3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时,各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验.多因素方差分析的三种情况：只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量；考虑主效应和交互效应，但不考虑协变量；考虑主效应、交互效应和协变量。
一、多因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”和“性别”是否对观察变量“数学”有显著性影响，而控制变量只有两个，即“组别”、“性别”，所以本题采用双因素分析法,但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2建立数据文件在SPSS17.0中建立数据文件，定义4个变量:“人名”、“数学”、“组别”、“性别”。
控制变量为“组别”、“性别”,观察变量为“数学”。
在数据视图输入数据，得到如下数据文件：3正态检验（P>0。
05，服从正态分布)正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别"、“性别”放入“因子列表",将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制"，出现“探索:图"窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定"，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图(Normality plots with test，复选框）:选择此项，将进行正态性检验,并生成正态Q —Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
表1 控制变量为“组别"的正态性检验结果，Shapiro-Wilk的p值0.884、0。
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式方差分析是一种统计方法，用于比较不同因素对变量的影响是否显著。
通过方差分析，我们可以确定不同因素之间是否存在统计学差异，并进一步研究这些差异的来源。
在方差分析中，单因素与多因素方差分析是两种常见的方法。
本文将介绍这两种方差分析中的关键公式。
一、单因素方差分析公式在单因素方差分析中，我们只考虑一个因素对变量的影响。
假设我们有k个水平（或组），每个水平下有n个观测值。
那么总观测值的个数为N=k*n。
在进行单因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SST = Σ(Σ(x_ij - X¯)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯表示所有观测值的均值。
2. 组间平方和（SSB）：表示各组均值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSB = Σ(n_i * (X¯_i - X¯)^2)其中，n_i表示第i组的观测值个数，X¯_i表示第i组的均值。
3. 组内平方和（SSW）：表示每组内个体与组内均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSW = Σ(Σ(x_ij - X¯_i)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯_i表示第i组的均值。
根据以上统计量，我们可以计算方差分析的F值，来判断组间差异是否显著。
F值的计算公式为：F = (SSB / (k-1)) / (SSW / (N - k))其中，k表示组数，N表示总观测值的个数。
二、多因素方差分析公式在多因素方差分析中，我们考虑两个或两个以上的因素对变量的影响。
假设我们有r个因素，每个因素有k个水平（或组）。
那么总观测值的个数为N = k^r。
在进行多因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
单因素方差分析与多因素方差分析
单因素方差分析与多因素方差分析在统计学中，方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本或组之间是否存在显著性差异。
它分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。
本文将对这两种分析方法进行详细讲解，并探讨其应用场景及步骤。
一、单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量（或称因素）的情况。
它的目的是通过比较组间的差异，确定各组之间是否存在显著性差异。
以下是进行单因素方差分析的步骤：1. 设定假设：在进行方差分析之前，首先需要设定空假设和备择假设。
空假设（H0）通常假设各组的总体均值相等，备择假设（Ha）则假设至少有一组的总体均值与其他组不同。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
3. 计算平方和：根据收集到的数据，计算总平方和（SST），组内平方和（SSW）和组间平方和（SSB）。
总平方和表示总体误差的方差，组内平方和表示各组内部误差的方差，组间平方和表示不同组之间的差异。
4. 计算均方：根据平方和计算均方，即总均方（MST），组内均方（MSW）和组间均方（MSB）。
均方是指平方和除以自由度。
5. 计算F值：通过计算方差比（F值）来检验组间差异的显著性。
F值越大，说明组间差异越显著。
6. 进行假设检验：基于计算的F值和设定的显著性水平，进行假设检验。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间存在显著差异。
7. 进行事后比较：如果拒绝了空假设，需要进一步进行事后比较，确定具体哪些组之间存在显著差异。
一般常用的事后比较方法有Tukey、LSD等。
二、多因素方差分析多因素方差分析适用于有两个以上自变量的情况。
它能够同时考察多个自变量对因变量的影响，并进一步分析这些自变量之间的交互效应。
以下是进行多因素方差分析的步骤：1. 设定假设：与单因素方差分析一样，需要设定空假设和备择假设。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
SPSS第6单元多因素方差分析
数学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 89.00 55.00 50.00 67.00 67.00 56.00 56.00
组别 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
SPSS应用
图5-9 “Univariate: Options”对话框 （一）
SPSS应用
图5-10 “Univariate:
Post Hoc Multiple Comparisons for Observed Means”对话框
SPSS应用
SPSS应用
图5-11 “Univariate：Model”对话框
SPSS应用
图5-12 “Univariate：Profile Plots”对话框
SPSS应用
图5-13 “Univariate：Contrasts”对话框
5.3.3 结果和讨论
SPSS应用
（1）SPSS输出结果文件中的第一部分如 下两表所示。
SPSS应用
（2）输出的结果文件中第二部分如下表所示
SPSS应用
多因素方差分析（Univariate）是检验两 个或两个以上因素变量（自变量）的不同水平 是否给一个（或几个相互独立的）因变量造成 了显著的差异或变化的分析方法。
SPSS应用
多因素方差分析包含一个因变量，至少两个 自变量（因素）每个因素把被试区分为至少 两个实验水平，因变量必须是连续型变量。 多因素设计的方差分析过程通常分两步，首 先对因素主效应和交互效应进行综合检验，如 果效应显著，然后再作进一步检验。
性别 male female male male female male male female male male female male female male female male female male
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模型类型及交互作用概念
单因素方差分析相比，交互作用是多因素方差分析中 新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素 的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人 的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用 同样的肥料，增产效果也有不同，等等。
各效应的估计值
ˆ x...
aˆi xi.. x...
ˆ j x. j. x...
(ˆ)i j xij. xi.. x. j. x...
其中i=1, 2 ……a, j=1, 2, ……b。
计算公式
SST
a i1
bn
xi2jk
j1 k 1
零假设
H01: i =0, i=1, 2, ……a H02:βj=0, j=1, 2, ……b H03:()ij=0, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b 备择假设为: HA: 上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个 备择假设。)
总变差分解
方差分析的基本思想仍是总变差分解：
交互作用不存在
如果MSAB小于或约等于MSe，即FAB小于或约等于1， 说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把MSAB和 MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作为σ2的估 计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下
MS e
SS e df e
SS AB df AB
然后可用作统计量FA和FB的分母，对两个主效应进行统计 检验。注意查表时分母自由度要相应改变。
选择最适发酵条件
原
料
种
类
30℃
(A)
温 度（B） 35℃
40℃
1 41 49 23 25 11 13 25 24 6
22 26 18
2 47 59 50 40 43 38 33 36 8
22 14 18
3 35 53 50 43 38 47 44 55 33 26 29 30
固定因素
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这 两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复 的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验 应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的
两因素交叉分组方差分析
1. 固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模 型为：
xijk=+i+j+()ij+ijk, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b; k=1, 2, ……n
其中：：总平均值；i：A因素i水平主效应；j：B因素 j水平主效应；
()ij：A因素i水平与B因素j水平的交互效应；ijk：随机 误差。
各处理平均数
j i 1
2
3
x. j.
1
34.5 49 45.25 42.92
2
18.25 37.5 46 33.92
3
18 15.5 27 20.12
xi..
23.58
34
39.42
发酵实验方差分析表
变差来源 平方和
原料A 温度B
AB 误差
总和
1554.18 3150.50 808.82 1656.50
12.57
4.29
16.80
6
3.27
12.81
4.35
17.04
7
3.30
12.92
4.40
17.23
8
3.34
13.08
4.45
17.43
9
3.36
13.16
4.49
17.58
x1，x2，x3视为无差异
分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都 没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6 至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6 ~ x9差异均达极显著。 另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于 现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要 关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2， x3视为无差异
F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,
∴FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标 上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与 它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的 发酵温度。
交互效应
B3 B2 B1
A1 A2 A3 (a) 无交互效应
B3 B2
B1 A1 A2 A3
(b) 有交互效应
图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平 行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。 以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中， 我们对交互作用的有无也可进行统计检验。
x.2.. abn
SSB
1 an
b
x.2j.
j1
x.2.. abn
SS A
1 bn
a i 1
x2 i..
x2 ...
abn
SSST
1 n
a i 1
b j 1
xi2j.
x.2.. abn
SSAB SSST SSA SSB , SSe SST SSST
b j 1
2 j
E(MS AB )
E( SS AB ) 2
(a 1)(b 1)
n (a 1)(b 1)
a i 1
b
(
)
2 ij
j 1
E ( MS e
)
E( SSe ab(n 1)
)
2
检验H01，H02，H03的统计量
检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中， 分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：
求得：Sx MSe / n 61.35/ 4 3.9163 ，df=27
查Duncan检验的r值表， df=27, k=2~9,
K
r0.05
R0.05
r0.01
R0.01
2
2.91
11.40
3.92
15.35
3
3.05
11.94
4.10
16.06
4
3.14
12.30
4.20
16.45
5
3.21
30.5**
28**
27.75**
19**
11.5
8.5
29.75** 27.25**
27**
18.25** 10.75 7.75
22**
19.5**
19.25**
10.5
3
19**
16.5**
16.25**
7.5
0.75
x5
11.5
9
8.75
x6
2.75
0.25
x7
2.5
x8
Duncan检验的r值
7170.00
自由度
2 2 4 27
35
均方
777.09 1575.25 202.21 61.35
F
12.67** 25.68** 3.30*
F测验
查 F 分 布 表 ， 得 ： F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,
按因素类型进行分类
多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型 三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假 设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。
按实验设计分类
多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这 两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为 例，介绍它们试验设计方面的不同点。
即：
SST = SSA + SSB + SSAB + SSe
自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)
均方数学期望
E(MS A )
E( SS A ) a 1
2பைடு நூலகம்
bn a 1
a i 1
2 i
E(MS B
)
E( SSB ) b 1
2
an b 1
多重比较
把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值， 列成下表：
x9
x8
x7
x6
x5
x4
x3
x2
x1
33.5**
31**
30.75**
22**
14.5*
11.5
3.75
3
x2 x3 x4
各处理间进行多重比较
在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需 要的条件组合。例如在例4.3中，我们已经发现原料，温度 以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进 一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比 较了 。
如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最 常用Duncan法。
多因素方差分析
上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素方差分析 的原理与方法。在实际工作中，问题常常比较复杂，要求 我们同时考虑两种甚至更多因素，以及这些因素共同作用 的影响。