竞赛中关于立体几何的存在性问题
谈谈求解立体几何问题的思路
立体几何是高考数学的必考内容，且立体几何问题在高考试题中占有较大的比重.这类问题侧重于考查同学们的空间想象和运算能力.下面结合几道例题，来归纳总结一下三类立体几何问题的特点以及解题思路.一、立体几何中的存在性问题立体几何中的存在性问题一般较为复杂，通常要求判断某两条线段的比值、垂直关系、平行关系、点等是否存在.解答这类问题，需首先画出相应的立体几何图形；然后假设要判断的对象存在，并将其看作已知的条件，代入题设中进行推理运算.若得出与题意、相关结论、公式相矛盾的结论，则说明该假设不成立，否则，该假设成立.解题时，要确保推理合理，逻辑严密.例1.如图1，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1,AB =1,AC =2,∠BAC =60°.那么在线段PC 上是否存在一点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求MCPM的值，若不存在，请说明理由.解：假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，此时MCPM=3.如图1，过点M 作MN //PA ，交AC 于点N ，连接BN ,BM ，因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故PA ⊥AC ，MN ⊥AC .由MN //PA 可知：AN NC =PM MC =13，则AN =12.在ΔABN 中，BN 2=AB 2+AN 2-2AB ⋅AN cos∠BAC =34，所以AN 2+BN 2=AB 2，即AC ⊥BN .由于BN ⋂MN =N 且BN ,MN ⊂面MBN ，故AC ⊥平面MBN ，因为BM ⊂面MBN ，所以AC ⊥BM .我们先假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，并据此得出相应的结论；然后根据题意和几何图形添加合适的辅助线，根据线面垂直的性质定理、相似三角形的性质、勾股定理证明AC ⊥BN ；再根据线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面MBN ，得出AC ⊥BM ，即可说明该假设成立.需要注意的是，在假设要判断的对象存在后，需用相关的性质、定理验证该假设是否满足题意.二、立体几何图形折叠问题立体几何图形折叠问题对同学们的空间想象力有较高的要求.在解题时，需明确折叠前后几何图形中的点、线、面的位置及其关系，通过观察图形，根据折叠图形的性质找出其中不变的量，抓住这些不变的量的特征来建立关系式.也可以将折叠后的几何体投影到平面上，利用平面几何知识进行研究、分析.例2.如图2，在等腰直角三角形PAD 中，∠A =90°，AD =8,AB =3，B ,C 分别是PA ,PD 上的点，且AD //BC ，M ,N 分别为BP ,CD 的中点.现将ΔBCP 沿BC 折起，得到四棱锥P -ABCD ，连接MN ，如图3.（1）证明：MN //平面PAD（2）在翻折的过程中，当PA =4时，求二面角B -PC -D 的余弦值.图2图3解：（1）证明过程略；（2）由题意可知BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，∴BC ⊥平面PAB .又BC //AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA .∵AD ⊥AB ,AB ⊥PA ，以点A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图4所示的空间直角坐标系A -xyz .得A (0,0,0),B (3,0,0),C (3,5,0),P (0,0,4),D (0,8,0)，所以 PB =(3,0,-4), PC =(3,5,-4),PD =(0,8,-4),图147设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量，则ìíî m ⋅ PC =0, m ⋅ PB =0,即ìíî3x 1-4z 1=0,3x 1+5y 1-4z 1=0,令x 1=4，则y 1=0,z 1=2,m =(4,0,3).设n=(x 2,y 2,z 2)为平面PCD 的一个法向量，则ìíîm ⋅PC =0, m ⋅PD =0,即ìíî8y 2-4z 2=0,3x 2+5y 2-4z 2=0,令y 2=1，则x 2=1,z 2=2,n =(1,1,2).设二面角B -PC -D 的大小为α，由向量的夹角公式可得：cos α=-|cos< m ,n >|=-|m ⋅n || m |⋅|n |=所以二面角B -PC -D 的余弦值为解答本题，需先明确ΔPAD 的特点、性质，以及其中各点、线段的位置关系，知晓折叠前后ΔBCP 以及梯形ABCP 中的改变量与不变量；然后根据直线与平面垂直的性质定理和判定定理证明AB 、AP 、AD 三条直线两两互相垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角B -PC -D 的余弦值.解答立体几何图形折叠问题，要熟悉折叠图形的性质：折叠前后图形的形状、面积、边长、角度均不改变.三、立体几何中的作图问题立体几何中的作图问题比较常见.解答此类题目，往往要先通过观察，明确题意，确定图形中的点、直线、平面之间的位置关系，灵活运用简单几何体的性质寻找一些垂直、平行的关系，据此发现一些特殊的点、位置，以确定要求作的点、直线、平面的位置，进而作出完整的图形.例3.如图5，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱B 1C 1的中点，F ,G 分别是棱CC 1,BC上的动点（不与顶点重合），请作出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，并说明理由.图5解：如图5，连接DG ，并延长交AB 的延长线于点P ，连接A 1P ，交BB 1于Q ，连接GQ ，则GQ 所在的直线即为作出的平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线.理由如下：∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,∴平面CBB 1C 1//平面ADD 1A 1,而平面CBB 1C 1⋂平面A 1DG =GQ ，平面ADD 1A 1⋂平面A 1DG =A 1D ,∴A 1D //GQ .要画出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，需根据平面的延展性、正方体的性质，以及平行平面的性质：若两个平行平面被第三个平面所截，则其交线平行.在平面CBB 1C 1内寻找与A 1D平行的直线GQ 即可.例4.某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为().A.1B.2C.3D.4解：俯视图从左到右依次记为：图6图7图8图9如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图6；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图9；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的，则俯视图如图7；以图8为俯视图的几何体的正视图不是正方形.故选C.本题主要考查三视图的定义的应用以及画三视图的方法.画三视图要注意几个要点：（1）主视图和俯视图的长要相等；（2）主视图和左视图的高要相等；（3）左视图和俯视图的宽要相等；（4）看不到的线画虚线.虽然立体几何题目的命题形式较多，其解法也各不相同，但是同学们在解题时只要结合立体图形及其特征明确各个点、线、面的位置及其关系；然后将问题与相关的定理、性质、公式相关联，添加合适的辅助线，灵活利用相关的定理、性质、公式进行推理、运算，就能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）图448。
高中数学立体几何教学中存在的问题及解决对策
高中数学立体几何教学中存在的问题及解决对策摘要：在高中数学当中，立体几何属于重要内容。
伴随新课改逐渐深入，立体几何这个部分在体系结构以及内容方面发生很大变化。
高中生若想对立体几何有关知识加以深入理解以及扎实掌握，需要具备较强空间想象、抽象思维以及逻辑思维这些能力。
本文在对立体几何方面教学现存问题加以分析的基础上，对提升立体几何方面教学效果的策略展开探究，希望能对实际教学有所帮助。
关键词：高中数学；立体几何教学；问题；解决对策前言：立体几何方面教学能够让高中生对数学问题加以直观认识，借助图形带来的视觉冲击有效调动高中生好奇心以及创造力。
然而，就当前数学教学实际情况而言，立体几何方面教学整体效果并不乐观。
教学期间，数学教师除了要对知识讲解加以重视之外，同时还需着重培养高中生综合素质。
为此，对提升立体几何方面教学效果的策略展开探究意义重大。
一、立体几何方面教学现存问题（一）高中生并未对几何知识进行深入理解，缺少空间想象能力因为高中生在对立体几何加以学习之前，已经对平面几何有关知识进行掌握，尽管平面几何和立体几何存在紧密关联，然而从平面到立体，从二维到三维，高中生存在一定的思维定势，缺少空间想象能力，致使其无法画出相应图形或者画出一些错误图形，进而导致其出现解题错误。
而且，还有一些高中生无法跟上教师思路，难以在立体空间当中计算几何问题，进而对教学效率产生较大影响[1]。
（二）学生思维局限致使其解题方法非常单一针对不少数学问题，高中生的解题方法非常单一，其实一道题可以通过不同方法进行解答。
但多数高中生的解题思路都是固定的，存在严重的思维定势，这样就导致高中生很难进行探究性的学习，进而影响其学习效率[2]。
二、提升立体几何方面教学效果的策略（一）激发高中生的学习兴趣教学期间，数学教师可创设一些生活情境，促使高中生主动参与其中，充分发挥出高中生具有的能动性，有效激发高中生学习兴趣。
例如，开展“三视图”教学期间，数学教师可准备几何模具以及机器零件，让高中生进行观察，也可从不同角度用平行光进行照射，让高中生对其影子实际形状进行观察，促使高中生对现实生活当中立体几何的存在加以感受，鼓励高中生在实际生活当中积极进行观察以及思考，有效激发其学习兴趣。
竞赛中关于立体几何的存在性问题
竞赛中关于立体几何的存在性问题崔金兴(安丘市北关中学,山东 262100)王金庆(安丘市第三子弟学校,山东 262100)中图分类号:G 633.6-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)23-0037-03收稿日期:2001-08-30作者简介:崔金兴(1955—),男,山东安丘人,山东安丘北关中学高级教师. 存在性问题是竞赛中的常见题型,本文介绍立体几何中存在性问题的解法,以供参考.1 肯定型 即证明符合条件的对象一定存在,其中常见的一类是只要求证明符合条件的几何对象存在即可,对存在对象的数量并不作要求.常见的证明方法有综合法、构造法、反证法等.例1 (第三届美国数学奥林匹克试题)半径为1的一球体的两边界点,可以用长度小于2的一条内弧(即含于球内的曲线)连结.证明这条弧一定属于这个球的某一半球.图1 例1图证 如图1,设A ,B 为弧的端点,考察与∠A OB 的平分线垂直的平面α.我们证明弧AB 属于由平面α所分的包含A 和B 的半球.设A ′为A 关于α的对称点,则A ′,O ,B 共线,从而A ′B =2.设X 是α内任一点,A X =A ′X ,则任意长度小于2的弧AB 不含属于α的任意点X ,否则,若AB 包含X ,则A X +XB ≥A X +XB =A ′X +XB ,由三角不等式A ′X +XB ≥A ′B.注 本题的结论可推广到任意中心对称几何体,即“若一个中心对称体的最小中心直径为2,这个体的两个边界点被一条长度小于2的弧所连结,则该弧必属于某一半体,且该半体是被一个经过体中心的平面所截得的”.例2 (第一届“希望杯”高一试题)设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色,某余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点不会超过三个.求证:存在一个四面体,它的四个顶点同色,并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点.证 20个点染成红、黄二色,必存在四点同色.由于任一平面上同色点不会超过3个,故这四个点必为四面体的四个顶点,故存在四顶点同色的四面体且只有有限个.因此,可选其中体积最小者,这个体积最小的同色四面体即为所求.否则,它的面上若都有另一颜色的点,将产生体积更小的同色顶点四面体,导致矛盾.例3 (第10届IMO 试题)证明:任一四面体AB CD ,总存在一个顶点,使过这顶点的三条棱可组成三角形.证 设AB 为最大棱,则A ,B 中必有一点符合要求.否则有AB ≥A C +A D ,AB ≥B C +BD ,从而有2AB ≥(A C +B C )+(CD +BD )>AB +AB =2AB ,矛盾.另一类较常见的情形是证明符合条件的几何对象至多(或至少)有有限个.一般用综合法或反证法.例4 (据第32届IMO 加拿大训练题改编)在单位球面上放置了若干个点,使得其中任意两点的距离至少为2,证明球面上732001年第23期 数学通讯至多有六个点.证 设A 为球面上的北极,则剩下的点全部在南半球(包括赤道)上.若南极只有点B ,则其余的点全部在赤道上,此时至多有2+4=6个点;若没有点在南极,可证此时点的个数不超过5.假设至少有五个点A 1,A 2,…,A 5在南半球(包括赤道)上,A ′为南极,弧A ′A i (i =1,2,…,5)交赤道于A ′i ,则∠A ′i A ′A ′j (1≤i ≠j ≤5)中至少有一个角不大于72°,不妨设为∠A ′1A ′A ′2≤72°,则在球面△A ′1A ′A ′2中任意两点的距离小于2,矛盾.综上所述,球面上至多有六个点.例5 一个凸多面体有10n 个面,求证:至少有n 个面边数相同.证 设该凸多面体有x 个顶点,且每个面上有a 1,a 2,…,a 10n 个顶点.从而每个面上有a 1,a 2,…,a 10n 条边,故凸多面体棱的数目为12610ni =1a i,由欧拉定理得10n +x =12610ni =1a i +2.又x ≤13610n i =1a i ,故12610ni =1a i +2-10n ≤13610ni =1a i ,610ni =1a i≤60n -12.若10n 个面中不存在n 个面边数相同,则610ni =1a i ≥(3+4+…+12)(n -1)+13×10=75n +55>60n -12.矛盾.2 否定型 即证明满足条件的几何对象不存在.通常用反证法.例6 (1956年北京市中学数学竞赛第二试试题)证明:在空间中不可能有这样的多面体存在:它们有奇数个面,而它们的每个面又都有奇数条边.证 设多面体有n (n 为奇数)个面,每个面的边数分别为S 1,S 2,…,S n (S i 为奇数,i =1,2,…,n ),多面体总边数为S.由每条边为两个面所共有知S 1+S 2+…+S n =2S.即奇数个奇数之和等于偶数,矛盾.例7 (安徽省数学奥林匹克学校第一期培训班招生考试题)证明:不存在这样的长方体,它的棱长是连续整数,且对角线长也是整数.证 假设满足条件的长方体存在,其棱长分别为n -1,n 和n +1(n ∈N ,n ≥2),m (m ∈N )为其对角线长,则有(n -1)2+n 2+(n +1)2=m 2.即3n 2+2=m 2(1)当m =3k (k ∈N )时3n 2+2=9k 2,矛盾;当m =3k ±1(k ∈N )时,3n 2+2=3(3k 2±2k +1),也矛盾.故(1)式不成立,命题正确.3 探索型 即探索符合条件的几何对象是否存在或探索使几何对象存在的条件.例8 (1983年加拿大数学竞赛题)三角形的面积由三条边唯一确定.问四面体的体积是否可由四个面的面积唯一确定图2 例8图解 如图2,设△OAB 为等腰三角形,底AB =a ,顶角∠A OB =2θ,则S △OAB =a tan θ.以AB 为轴转动.△OAB 至△O ′AB ,使OO ′=AB ,不难算得四面体O ′AB O 的体积为V =23S 32tan θ(1-tan 2θ).显然,V 随θ的变化而变化,不依S 而唯一确定.例9 (第17届莫斯科数学奥林匹克9年级试题)问在空间是否存在四个点A ,B ,C ,D ,使得AB =CD =8cm ,A C =BD =10cm ,A D =B C =13cm ?解 作△AB C ,使AB =8cm ,A C =10cm ,B C =13cm .又作△B CD ,使BD =10cm ,CD =8cm (可与△AB C 不共面).边B C 的中点记83数学通讯 2001年第23期为M.在△A M D 中,A D ≤A M +M D.当△AB C 与△B CD 共面时,AB CD 为平行四边形(因AB =CD ,BD =A C ),此时A ,M ,D 共线,A D =A M +M D.线段A M 与M D 的长度不依赖于点D 的位置,这是因为A M 与M D 是具有给定边的三角形的中线,这样,当D 在平面AB C 上时,线段A D 的长度取最大可能的值.此时,由AB 2+A C 2=82+102<132=B C 2,∠BA C 为钝角,∠ABD 为锐角,但此时A D 2<AB 2+BD 2=82+102<132,即A D <13cm ,与A D =13cm 矛盾,故满足条件的四点A ,B ,C ,D 不可能存在.例10 (1963年成都市中学数学竞赛高二试题)用一个平面截一个直三面角,如果要使截口三角形与给定的三角形全等,问是否一定可能?试说明其理由.图 3解 如图3,设O →X Y Z 是直三面角,△AB C 为截口三角形,若△AB C 与给定的三角形全等,则其三边B C ,CA ,AB 应分别为定长a ,b ,c.设OA =x ,OB =y ,OC =z ,由勾股定理得y 2+z 2=a2z 2+x 2=b 2x 2+y 2=c2(1)(2)(3)(1)+(2)+(3)除以2得x 2+y 2+z 2=a 2+b 2+c 22(4)分别由(1)和(4),(2)和(4),(3)和(4)得x =b 2+c 2-a22,y =c 2+a 2-b22,z =a 2+b 2-c22.据此可知,本题不一定有解,若有解,则须且只须a 2+b 2>c 2,b 2+c 2>a 2,c 2+a 2>b 2,即须且只须给定的三角形为锐角三角形.练习题1 (第11届全俄数学竞赛题)空间有三条同样长的线段,试证存在一个平面,使三条线段在该平面上的射影也相等.(提示:分三线段平行与不平行两种情形,用综合法讨论)2 (第10届IMO 试题)证明:任一四面体AB CD ,总存在一个顶点,使过这顶点的三条棱可组成三角形.(提示:设AB 为最长的棱,用反证法证A ,B 两点中必有一点符合条件)3 空间里有2n 个点,其中无三点共线,它们之间至少有n 2+1条线段相连,求证其中至少可构成一个三角形.(提示:应用数学归纳法结合图论知识证明)4 试证:过正方体一顶点的平面与正方体相交所得截面不可能是正五边形.(提示:设正方体AB CD A 1B 1C 1D 1棱长为a ,过D 1的平面截得正五边形D 1EFGH ,得EH =2a ,D 1F >2a ,与EH =D 1F 矛盾)5 (第14届全俄中学生数学奥林匹克第三阶段十年级试题)能不能在棱长为1的正方体内放置两个棱长为1的正四面体,使这两个四面体不相交?(提示:用综合法,结论:可以)6 (第24届全苏数学奥林匹克十一年级试题)已知棱长为100的立方体由一百万个单位立方体堆砌而成,这些小立方体的棱构成大立方体的框架.由单位立方体的顶点引出的彼此互相垂直的三条棱称为一个标架.问整个框架能否分成两两没有公共棱的一组标架?(提示:在空间建立直角坐标系,使大立方体的所有顶点的每一坐标都是0或100,标定框架中某些立方体的顶点,使得框架中的每条长度为100的大棱上恰有一个标定点.结论:可以)932001年第23期 数学通讯。
立体几何解答题存在的常见问题
缺乏对问题的多角度分析
01
在立体几何解答题中，学生往往只从一个角度思考问题，导致
解题思路受限。
缺乏对问题本质的深入理解
02
学生未能深入理解题目的本质，无法从多个角度挖掘问题的关
键信息。
缺乏对问题解法的探索
03
学生未能积极探索多种解法，限制了解题思路的拓展。
无法灵活运用多种方法解题
1 2
缺乏对多种解法的掌握
VS
详细描述
空间距离和角度的计算是立体几何中的基 本问题，需要学生掌握一定的数学技巧和 公式。然而，由于对公式的不熟悉或者计 算能力的欠缺，学生往往无法得出正确的 结果。
无法正确求解立体几何中的最值问题
总结词
求解立体几何中的最值问题需要学生具备较高的数学思维和计算能力，但很多学生在这 方面存在困难。
详细描述
最值问题在立体几何中是非常常见的问题类型，涉及到面积、体积、距离等方面的最优 化求解。由于需要综合考虑几何形状、约束条件和目标函数，所以对学生的数学思维和 计算能力要求较高。很多学生往往无法全面考虑问题，导致求解错误或者无法得出答案。
无法正确运用向量和坐标进行计算
总结词
详细描述
向量和坐标是解决立体几何问题的重要工具， 但学生在运用时常常出现错误。
详细描述
学生在推理过程中，常常因为对逻辑关系的把握不够准确，导致推理出现错误或混乱，从而影响了解 题的正确性。这种问题往往出现在较为复杂的题目中，对学生的逻辑思维能力和问题解决能力提出了 较高的要求。
03
计算能力的欠缺
无法正确计算空间距离和角度
总结词
在立体几何解答题中，学生常常因为缺 乏计算能力而无法正确计算空间距离和 角度。
缺乏对数学知识的综合运用能力
高中数学立体几何教学中存在的问题及对策
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２１高中数学立体几何教学中存在的问题及对策高中数学立体几何教学中存在的问题及对策Һ陈㊀琳㊀吴燕敏㊀(安顺学院数理学院ꎬ贵州㊀安顺㊀５６１０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学教学内容中ꎬ立体几何是极其重要的知识点之一ꎬ本文通过调查ꎬ分析了高中学生在立体几何学习中的主要问题ꎬ针对这些问题ꎬ给出了提高立体几何学习效果的几个具体措施.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ立体几何ꎻ教学一㊁调查结果与分析本文通过制订合理的调查问卷ꎬ针对高中学生在立体几何学习中存在的一些问题ꎬ遵循客观㊁自愿的原则对３００名高中学生进行匿名问卷调查ꎬ共发放调查问卷３００份ꎬ收回的有效问卷有２９８份ꎬ回收率为９９.３％.调查结果如下:８２.２１％的学生在学习立体几何之前对立体几何已经有所了解ꎬ６２.２８％的学生对立体几何的学习表示出无太大兴趣ꎬ９０.６％的学生认为在立体几何教学中ꎬ采用形象直观的㊁学生参与度高的教学方法更容易被接受ꎬ５２.０２％的学生认为在教师的讲解下ꎬ是能够听懂一些基本知识的ꎬ６５ ４４％的学生认为解立体几何题最大的困难是不会作辅助线ꎬ８２.８３％的学生认为学习立体几何最重要的是培养空间想象能力.基于以上调查结果ꎬ高中学生在立体几何学习中的主要问题有:(一)缺乏对立体几何的学习兴趣兴趣是最好的老师ꎬ只有学生真正有了兴趣ꎬ才能够全身心地投入到学习当中去ꎬ这样学习效果也更加显著.在学生调查问卷主观题中ꎬ 你对立体几何的学习感兴趣吗?并说明其中的原因. 调查结果显示ꎬ８０％的学生回答是无太大兴趣ꎬ最多的原因是立体几何太过抽象.(二)解题能力欠缺学生对基本知识点是能够听懂的ꎬ但就是解题能力太差ꎬ最大的困难是碰到具体题目时无从下手ꎬ完全找不到头ꎬ更不会作辅助线.事实上解题能力从根本上是一种思维能力ꎬ是对已有知识ꎬ经验的重新组合和建构.解题能力的欠缺从一定程度上也反映了学生对定义㊁定理㊁公式等基础知识掌握得不牢或理解得不全面.(三)教师教学方法落后传统的高中教学是注入式ꎬ灌输式的课堂教学模式ꎬ 复习引入 新知识讲授 例题讲解 布置习题 固定化的教学程序设计严重影响了学生学习的主动性.再加上繁重的教学任务ꎬ教师很少注意到学生在课堂上的反应和考虑学生对教学内容是否理解和接受ꎬ更谈不上师生间的互动.(四)空间想象能力不足高中立体几何要求学生能够通过 实物模型⇔三视图⇔直观图 这样一个相互转化的过程认识空间几何体ꎬ并且能画出一个几何体三视图和直观图.调查了解到很大一部分学生画出的立体图形没有立体感ꎬ三视图与立体图形不能互相呈现等ꎬ这些归根结底都是学生空间想象能力不足造成的.二㊁提高立体几何学习效果的具体措施(一)提高立体几何的学习兴趣在教学过程中ꎬ要充分创设生活化的教学场景ꎬ让学生融入其中ꎬ发挥学生的主观能动性ꎬ激发学生的学习兴趣.比如ꎬ在讲解 三视图 时ꎬ可以准备一些机器零件㊁几何模具等让学生直接观察ꎬ或者就用一组平行光从不同角度照射ꎬ让学生观察其影子的具体形状ꎬ使学生认识到生活中处处有立体几何知识的存在ꎬ鼓励学生在生活中观察思考ꎬ这样才能激发学生的学习热情和兴趣.教师在讲授过程中ꎬ要本着 以生为本 的教学理念ꎬ改变以往 填鸭式 的教学ꎬ采用探究式教学ꎬ鼓励学生动手实践㊁讨论交流㊁自主探索ꎬ充分调动学生学习的主动性ꎬ培养学习立体几何的兴趣.(二)注重多种不同解题方法的运用空间立体几何图形涉及二面角ꎬ线与线之间的关系ꎬ线与面之间的关系ꎬ面与面之间的关系ꎬ知识面广ꎬ内容多ꎬ学生在证明和求解过程中ꎬ或在转化问题的过程中ꎬ要求学生对各种位置关系与度量关系都有清楚的认识.立体几何的证明方法大致可以分为综合法和向量法.所谓综合法ꎬ就是综合运用直线㊁平面垂直㊁平行的性质定理和判定定理ꎬ证明出一些结论ꎬ然后做出所求的距离或角ꎬ在此基础之上应用勾股定理或解三角形进行计算的方法.向量法就是建立空间直角坐标系ꎬ给出向量的坐标ꎬ把空间几何问题转化为空间向量的运算问题ꎬ来求解点㊁线㊁面之间的位置关系以及距离㊁夹角ꎬ最后再把空间向量的运算结果转换成对应的空间几何意义的方法.综合法需要掌握各种性质定理和判定定理ꎬ有时还需要作辅助线ꎬ对学生综合运用理论基础知识要求较高ꎬ也更能培养学生的空间思维能力.运用向量法ꎬ能够将复杂的空间问题代数化ꎬ在很大程度上避开了传统法的高强度思维转换和作辅助线的难处ꎬ也充分体现了空间向量法的优越性.学生在做题时要学会从不同的角度思考问题ꎬ尝试不同的解题方法.(三)培养良好的解题习惯许多学生学习立体几何的情况是 一听就懂ꎬ一看就会ꎬ一做就错 ꎬ造成这种现象出现的原因除了基础知识掌握不牢固外ꎬ还有就是缺少一定的解题能力.提高解题能力的前提是基础知识点要学懂学透ꎬ真正做到理解.比如ꎬ平面内的一条直线只要与平面的一条斜线或斜线的射影垂直ꎬ就可推出与另外一条线垂直ꎬ这个证明过程要用到线面垂直的判定定理.其次ꎬ提高解题能力的关键环节就是审题ꎬ要从知识点的角度出发ꎬ读完题目自问一下它到底想考查什么知识点ꎬ围绕知识点去思考.最后ꎬ要学会解题后的归纳和反思ꎬ探讨一题多解和举一反三.做完一道题后反思如果改变一个条件或换成其他立体图形ꎬ结论是否仍成立ꎻ把同一种类型的题目的解题方法如转化立体体积表达式求高ꎬ空间向量点乘求二面角等归纳总结.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２１(四)培养学生空间想象能力平面几何中点㊁线㊁面关系比较直观ꎬ学生很容易画出图形ꎬ而立体几何则从二维平面上升到了三维空间ꎬ学生惯用的二维空间想象力从某种程度上变成了阻碍ꎬ所以学好立体几何必须具备较强的空间想象能力.可以从以下几个方面来培养和提高学生的空间想象能力.１.借助生活中的例子ꎬ直观感受.例如ꎬ在学习线线㊁线面㊁面面关系时ꎬ可以利用长方体(教室)这一模型进行演示让学生知道立体几何在生活中的应用非常广泛ꎬ例如ꎬ给你自己的房间设计合理的㊁美观的空间结构.２.自制空间几何模型ꎬ加深理解.组织学生亲自动手制作空间几何模型ꎬ如ꎬ长方体㊁正方体㊁圆柱体等ꎬ让学生通过亲自动手制作来直观了解立体几何中线与线㊁线与面以及面与面之间的位置关系ꎬ建立空间观念ꎬ从而提升空间想象.３.借助多媒体动画演示ꎬ直观呈现.例如ꎬ在讲到一些图形的旋转㊁分割㊁拼接时ꎬ就可以利用多媒体中的动画功能ꎬ把这些知识直观地呈现给学生ꎬ这样学生在遇到复杂组合体时ꎬ能够用正确的方法将其分割成简单几何体ꎬ达到理想的教学效果.三㊁小㊀结本文通过调查ꎬ分析了高中学生在立体几何学习中的主要问题ꎬ针对这些问题ꎬ给出了提高立体几何学习效果的具体措施.高中立体几何作为高考考查的重要知识点之一ꎬ必须在教学中培养高中学生的空间想象能力和解题能力.ʌ参考文献ɔ[１]张劲松.对高中课标数学Ａ版教材回访中若干问题的思考[Ｊ].中学数学教学参考:上半月高中ꎬ２００７(５):１－３.[２]蒋平.立体几何教学之我见[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０１２(９):６２.[３]张孝梅ꎬ张建凤.例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用[Ｊ].延边教育学院学报ꎬ２００６(３):８８－９１.[４]赵小平.把空间向量融入立体几何教学的一种教学设计[Ｊ].华东师范大学ꎬ２００５(５):７－１０.[５]王淋淋ꎬ叶雪梅.从初高中衔接的角度看«三视图»教学[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０１０(１１):２５－２６.[６]印家权ꎬ潘清芳.新教材立体几何内容的设置与研究[Ｊ].新疆石油教育学院学ꎬ２０１０(３):１１－１２.㊀(上接４３页)言进行表征.站在结果角度讲ꎬ可使得学生取得数学关键概率.由此可以看出ꎬ以上对发展学生数学关键素养非常重要[３].例如ꎬ学习函数时ꎬ根据 事实 到 定义 ꎬ使得学生在详细事例支持下理解与掌握函数内涵ꎬ进而推动学生认识函数ꎬ促进学生运用函数思想与方法研究ꎬ表现出当时世界中存在的变量与变化关系[４].(三)案例分析通常情况下ꎬ在投掷硬币时ꎬ都是根据自己的直觉猜测是正抑或反ꎬ因此ꎬ需对发生的 可能性一样 进行数学刻画.由此可以看出ꎬ运用日常生活对随机发生的可能性为根本ꎬ与古典概型描述的定义完全不相同.例如ꎬ某班级有２０位男生ꎬ２５位女生.运用抽签的模式ꎬ从中选取一名学生ꎬ存在的可能为抽到男生抑或抽到女生[５].以上情况都与班级男生和女生占据的比例有关系ꎬ整体总结他们的性质.例如ꎬ表１ꎬ函数性质与概率的对比表.表１㊀函数性质与概率的对比表函数ｙ＝ｆ(ｘ)的性质概率Ｐ(Ａ)的性质１.定义域:ｘ的取值范围Ｉ.１.事件Ａ的 取值范围 .Ａ是样本空间Ω的子集ꎬＡ中元素取自Ω.２.值域:ｆ(ｘ)的取值范围２.Ｐ(Ａ)的取值范围:０ɤＰ(Ａ)ɤ１.３.特殊点的取值.如对于ｙ＝ａｘ(ａ>０ꎬａʂ１)ꎬａ０＝１.３.特殊事件的概率:①Ｐ(⌀)＝０ꎻ②Ｐ(Ω)＝１ꎻ③设Ωｉ为基本事件ꎬ并且Ｐ(Ωｉ)＝ｐｉꎬｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎꎬ那么ðｎｉ＝１ｐｉ＝１.４.单调性:任意ｘ１ꎬｘ２ɪＤꎬ当ｘ１<ｘ２时ꎬｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)(或ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)).４.单调性:如果Ａ⊆Ｂꎬ那么Ｐ(Ａ)ɤＰ(Ｂ).㊀㊀三㊁开展数学专题研究活动在实施高中数学课堂时ꎬ学生需加强对数学的认识能力ꎬ根据高中数学内容ꎬ数学教师可以有针对性地开展数学专题研究活动ꎬ指引学生自己动手操作㊁观察探究㊁思考分析ꎬ进而落实学生数学的核心素养ꎬ为高中生整体能力培养奠定基础.例如ꎬ在学习线性规划时ꎬ教师可引导学生回忆之前学习的线性的概念ꎬ使得学生更好地明确线性理念.之后出示例题ꎬ通过举例的方式进行教学ꎬ可实现理论联系实际ꎬ能在一定程度上提高学生应用分析能力.四㊁结束语综上所述ꎬ通过概率课程中最为根本的问题为基础ꎬ探讨数学核心素养怎样落实教材口语教学问题.根据概率教材的编写ꎬ在研究对象的基础上ꎬ通过研究数学对象根本套路为指导ꎬ函数为类比对象ꎬ组建了概率研究框架ꎬ组建概率基本概念.通过教材指导ꎬ组织学生探究学习ꎬ加强数学概率与基本思路.ʌ参考文献ɔ[１]张艳慧.新媒体时代下对初中生数学核心素养的培养研究[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０１８(２６):６１＋７７.[２]朱娅梅ꎬ刘姣ꎬ陈林山.基于核心素养的大规模数学学业水平测试框架[Ｊ].教育测量与评价ꎬ２０１８(９):１８－２４.[３]周达ꎬ杜宵丰ꎬ刘浩ꎬ刘坚.基于核心素养的数学考试评价研究:ＰＩＳＡ典型题目分析[Ｊ].教育科学研究ꎬ２０１８(９):４４－４８.[４]张奠宙ꎬ马文杰.简评 数学核心素养 [Ｊ].教育科学研究ꎬ２０１８(９):６２－６６＋８５.[５]吴现荣ꎬ牛伟强.论数学素养与核心素养的关系[Ｊ].教育评论ꎬ２０１８(８):１３５－１３８.。
立体几何存在性问题
立体几何中的存在性问题1、如图,已知直三棱柱111ABC A B C -,90ACB ∠=o ,E 就是棱1CC 上动点,F 就是AB 中点 ,2==BC AC ,41=AA 、(Ⅰ)求证:CF ⊥平面1ABB ;(Ⅱ)当E 就是棱1CC 中点时,求证:CF ∥平面1AEB ;(Ⅲ)在棱1CC 上就是否存在点E ,使得二面角1A EB B --的大小就是45o ,若存在,求CE 的长,若不存在,请 说明理由、2、如图,在底面就是正方形的四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥面ABCD,BD 交AC 于点E,F 就是PC 中点,G 为AC 上一点。
(Ⅰ)求证:BD ⊥FG;(Ⅱ)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为23π时,求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。
3、在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 就是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=o ,1AB AD PD ===,2CD =、(Ⅰ)求证://BE 平面PAD ; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PBD ;(Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点,PQ PC λ=u u u r u u u r ,试确定λ的值,使得二面角Q BD P--为45o4、如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面ABC ,112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点、 (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ;GFE AABCD EP(Ⅱ)求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值;(Ⅲ)在1BC 上就是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点E 的位置、5、如图,棱锥P —ABCD 的底面ABCD 就是矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =2,BD =22、 (Ⅰ)求证:BD PAC ⊥平面; (Ⅱ)求二面角B PD C --的余弦值; (III)在线段PD 上就是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962,若存在,指出点Q 的位置,若不存在,说明理由、6、如图,四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面,22PA AD CD AB ====,M PC 为的中点、(1)求证:BM PAD 平面P ;(2)在侧面PAD 内找一点N,使MN PBD ⊥平面7、如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥面ABC,BC ⊥AC,BC=AC=2,AA 1=3,D 为AC 的中点、 (Ⅰ)求证:AB 1//面BDC 1;(Ⅱ)在侧棱AA 1上就是否存在点P,使得CP ⊥面BDC 1？并证明您的结论、8、 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,PA ⊥底面ABCD ,PA = AD = CD = 2AB = 2,M 为PC 的中点、 (1)求证:BM ∥平面PAD ;1A BCO A 1B 1C DPABCA C 1B C 1(2)平面PAD 内就是否存在一点N ,使MN ⊥平面PBD ？ 若存在,确定N 的位置,若不存在,说明理由;9、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示,D 、E 分别为棱CC 1与B 1C 1的中点。
谈谈立体几何问题分析及对策
谈谈立体几何问题分析及对策立体几何历年都是高考考查的重点内容之一，学生关注度高，试题难度适中，易得分，因此立体几何已成为我们高考复习中主抓且易见成效的内容之一。
一、问题呈现回顾2018年立体几何的教学复习，结合高考改卷及几次模考改卷反馈的信息，我们发现学生的立体几何学习还存在以下问题：（1）空间想象能力及推理论证能力还较弱。
部分学生对定理的理解不准确、有偏差，缺少证明平行与垂直的常用方法，思路不清晰。
（2）运算能力差。
学生多用向量坐标法解决立体几何问题，而由于这种方法对学生运算能力有一定要求，因此在较长的向量坐标运算的过程中算错数字，写错符号的错误时有发生。
（3）解题规范性差，论证不严谨，缺少必要的说理过程，跳步严重，或出现逻辑错误。
纵观近几年立体几何试题，命题相对稳定，并无较大难易起伏，而立体几何的学时较长，从高一的立体几何初步到高二的立体几何与空间向量，一直延续至高三复习，历时三年，为什么学生的得分情况与我们的期望值有差距，依然出现诸如上述的错误呢？二、教学反思《课程标准》对立体几何部分的教学强调“从空间几何体的整体观察入手，认识空间几何体”，“遵循从整体到局部，具体到抽象的原则”培养学生的空间想象能力。
立体几何考试内容涵盖数学《必修2》及《选修2-1》的立体几何的主要内容，而试题的解答方式则蕴含了《课程标准》所要求的学习立体几何的直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算的研究方法。
考试中学生出现的上述问题，究其原因，得回归到课堂教学中去，反思课堂教学，不难发现以下现象：（1）在学习立体几何初步，刚建立线面位置关系、空间角的概念时，由于课时紧，在教学中，教师通常只做初步概念的交待，（如二面角课本都没安排例题），因此位置关系的相关定理及空间角的几何求法学生掌握薄弱，被后续选修2-1的空间向量的代数坐标运算全部取而代之，造成在实际问题的求解过程中，既无力用几何法求解，又由于运算不过关，用代数坐标运算也无法正确求解的状况。
《立体几何中的存在性问题》教学设计同步培优
微课堂设计《立体几何中的存在性问题》立体几何中的存在性问题在近几年的全国卷高考中大题第二问一直都有体现，存在性问题也就是探究性问题。
存不存在，存在又如何，我们处理的总的思路是什么？立体几何中的存在问题都是先假设存在，在存在的背景下去完成这个问题。
立体几何中有许多存在性问题，主要是针对直线上是否存在一点（平面内一点）使得满足一定的位置关系（平行、垂直）或一定的角度要求（线面角、二面角）。
存在性问题解决：（1）采用先猜后证，猜中点或三等分点等等然后证明位置关系：平行多用中位线、垂直多用三线合一等；（2）采用先设后求，运用待定系数法和空间向量解决，特别运用三点共线设一般直线上一点。
一．教学目标：掌握处理立体几何中探究性问题的一般思路；二．教学重点：利用先猜后证和先设后求处理探究性问题；三．教学难点：如何猜点及设点；四．教学过程4.1例题讲解例1.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【答案】P为AM的中点【解析】当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【分析】先猜后证，为什么要猜中点？根据已知条件没有比例关系，关键是连接对角线会产生中点，平行多用中位线、垂直多用三线合一。
例2.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】（2）以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz - ．则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩ ， 可取2(3(4),3,)n a a a =--所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a -〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉= ．所以22223|4|3223(4)3a a a a -=-++ ． 解得4a =-(舍去)，43a = ．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ．又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉= ．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34． 【分析】本题关键在于设M 的坐标，由于M 在xoy 平面内，可以放在xoy 平面去设M 坐标，根据M 点在直线BC 上，可以得到BC 方程，从而设出M 坐标。
巧解立体几何中的存在性问题
巧解立体几何中的存在性问题发布时间：2021-04-20T15:13:42.997Z 来源：《教学与研究》2021年第2期作者：唐义志[导读] 在近些年的立体几何试题中，逐渐出现了一类带有探究和开放性的试题唐义志湖南省道县第一中学摘要：在近些年的立体几何试题中，逐渐出现了一类带有探究和开放性的试题，这类试题本身涉及的点带有显著的运动性和不确定性特征，使用传统的解题方式有着较大的难度。
笔者在几何本人工作经历的基础上，分析当下学生解答立体几何存在性问题的状况，并在文后通过立体讲述了一些立体几何存在性问题的解答技巧，以期为今后立体几何的存在性问题教学解答提供借鉴。
关键词：立体几何；存在性问题；解答技巧1、立体几何存在性问题解决现状当下高中阶段的试题中，立体几何占据的比例相对较大，这类试题在学生空间思维等方面的培养上发挥了关键作用，其中又以点的存在性和位置待定的问题设置为主，问题中通常带有是否存在等字眼，以便告知学生结论有待进一步确定，在解答问题的过程中，渗透了反证法和分析法等解题思路，也是高考中的热门题目[1]。
这类问题的设置能够帮助学生进一步体会空间内直线之间、直线与平面之间、平面之间平行的位置关系，并使用相关定理有效解决在线平行中的存在性问题，。
同时，学生需要将空间层面的转化为平面问题，并使用多种方式寻找结论证明所需的点、线、面。
但是，学生在具体的问题解答过程中，因其基本掌握了直线之间、直线与平面之间、平面之间平行的判定及其性质等知识，具备一定的解题思路，但解答存在性问题通常以特殊点猜想的方式为主，并未做到从深层次上意识到这个特殊点寻找的意义，再加之学生复习中忽视反证法的应用，导致在结论证明不存在的情况下，无法有效进行叙述。
2、巧妙解决立体几何存在性问题的技巧2.1肯定性问题解答即证明符合条件的对象一定存在,其中常见的一类是只要求证明符合条件的几何对象存在即可,对存在对象的数量并不作要求.常见的证明方法有综合法、构造法、反证法等[2]。
2-2-1立体几何解答题存在的常见问题_
4.1概念理解不透，思维过程混乱
理解与掌握数学概念是学好数学、提高数 学能力的关键.但由于部分教师的教学原 因或学生的学习习惯，学生对基本概念的 理解仅仅停留在机械的识记上,不注意概 念的内涵和外延以及易混概念间的区别和 联系,以为记住了概念就掌握了概念．对 于如正三棱锥与正四面体、长方体与平行 六面体、球面与球等这几个基本概念,学 生表示“很难理解”或“几乎不理解”.
3、作图障碍
由于空间想象能力不够 , 学生往往不易建立 空间概念 , 在头脑中难以形成较为准确、直观 的几何模型 , 从而反映在做题时不会画图或画 出图来也不易辨认,甚至作出错误的图形来,误 导了解题且不易查错,从而影响解题.根据对于 “你能很好的根据题目作出符合要求的立体几 何图吗？”调查中发现，对于这一问题的回答 时,大概有43%的同学选择了“很难”或“难”. 而另外 , 还有超过 80% 的同学认为 , 在求解立体 几何问题时 , 题设中有没有给出图形对解题影 响很大.
语言障碍的另一个表现在书面表达障 碍．在教学过程中 , 可以发现学生对解题 过程的表达非常混乱 . 也可经常听到学生 说:“这个题我会做,但是就是不知道怎么 写！”可能在很多数学题的解答过程中都 存在这个问题 , 但在立体几何中表现得更 为突出．因为立体几何解答表述的精准是 建立在学生对题目充分理解后 , “翻译” 出准确、有效的图形语言的基础上的 , 而 且还要求学生对概念、定理等理解透彻、 运用自如．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.2平面几何的负迁移导致思维转换障碍
许多几何概念和性质在二维空间内成 立，在三维空间内已经发生了变化．学生 在学习立体几何时，未能摆脱二维空间的 束缚，在前提条件相同或部分相似时，把 平面几何中的概念和性质错误地迁移到立 体几何中来，导致了又一思维障碍的形 成．
立体几何中的存在性问题
作业.(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC, △ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分 别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 , PA＝PC ＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE, 并求点M到OA,OB的距离.
z P
E
F
A
C
M
O
y
x
B
例3.(2011·福建·理·T20)
Hale Waihona Puke 几何方法:通过构造一C
个过点P且与AO垂直
的平面来确定点的Q
B
位置
AB 3 AQ
PO
M A
Q
例2.(2010·湖北·理·T18)如图,在四面体OABC中,OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , ∠ AOB＝120°,且OA＝OB＝ OC＝1,P为AC中点,证明:在AB上存在一点Q,使得 PQ⊥ OA,并计算AB/AQ的值.
A
FG∥EC
D
B
C
例1.如图,在底面是菱形的四棱锥P－ABCD
中,∠ABC=60 °,PA=AC=1,PB=PD= 2 ,点E在PD
上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使
BF∥平面AEC ?证明你的结论.
P
A B
G E
F
O
C
思考3:若要确定平面
BFG∥平面AEC ,还需要
另一组平行线，你能通
C1
E
点F为C1D1的中点
A
MD
B
C 几何方法
向量方法
练习.(2010·湖南·理·T18)
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中
点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE ?
立体几何中地存在性问题
高中数学 立体几何 存在性问题专题 1.（天津理17） 如图，在三棱柱中， 是形的中心，，平面，且（Ⅰ）求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面，且平面，求线段的长．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.依题意得（I ）解：易得， 于是所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为（II ）解：易知设平面AA1C1的法向量，则即不妨令可得，111ABC A B C -H 11AA B B 122AA =1C H ⊥11AA B B 1 5.C H =111A AC B --N 11B C M 11AA B B MN ⊥11A B C BM (22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C -111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C 11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-u u u r u u u u r 1111112cos ,,3||||322AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯u u u r u u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u u r 2.3111(0,22,0),(2,2,5).AA AC ==--u u u r u u u u r (,,)m x y z =11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r 2250,220.x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩5,x =(5,0,2)m =同样地，设平面A1B1C1的法向量，则即不妨令可得于是从而所以二面角A —A1C1—B 的正弦值为（III ）解：由N 为棱B1C1的中点，得设M （a ，b ，0），则由平面A1B1C1，得即解得故 因此，所以线段BM 的长为方法二：（I ）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC 与A1B1所成的角. 因为平面AA1B1B ，又H 为形AA1B1B 的中心，(,,)n x y z =11110,0.n A C n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur 0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩y =n =2cos ,,||||7m n mn m n ⋅===⋅sin ,m n=).222N(,22MN a b =--u u u u r MN ⊥11110,0.MN A B MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u u r u u uu r u u u u r u u u ur ()(0,2()(()(0.22a a b ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅+-⋅=⎪⎩24a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24M BM =u u u u r ||BM =u u u u r 111C A B ∠1C H ⊥11AA C H =可得 因此 所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为 （II ）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点A 作于点R ， 连接B1R ，于是，故为二面角A —A1C1—B1的平面角.在中， 连接AB1，在中， ，从而所以二面角A —A1C1—B1的正弦值为（III ）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B1C1中点，所以ND//C1H 且. 又平面AA1B1B ，所以平面AA1B1B ，故又所以平面MND ，连接MD 并延长交A1B1于点E ， 则 1111 3.AC B C ==22211111111111112cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅2.311AC A ∆11B C A ∆11AR A C ⊥111B R AC ⊥1ARB ∠11Rt A RB ∆2111112214sin 221().33B R A B RA B =⋅∠=⋅-=1ARB ∆2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R +-==∠=⋅27=-135sin .7ARB ∠=35.MN ⊥11.MN A B ⊥1152ND C H ==1C H ⊥ND ⊥11.ND A B ⊥,MN ND N =I 11A B ⊥111,//.ME A B ME AA ⊥故由 得，延长EM 交AB 于点F ，可得连接NE. 在中，所以可得连接BM ，在中，2.（理20） 如图，在三棱锥中，，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
立体几何存在性问题
立体几何存在性问题未命名一、解答题1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，,面面，。
（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点,,试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.2．如图,四棱锥中,底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形,,平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ)确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.3．如图，在长方体中，,点在棱上，，点为棱的中点，过的平面及棱交于，及棱交于，且四边形为菱形.（1）证明：平面平面；(2）确定点的具体位置（不需说明理由），并求四棱锥的体积.4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形。
（1）求证：平面平面;(2）若，试求点到平面的距离. 5．如图,三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面；（2）若四面体的体积为，求线段的长．6．如图，在四棱锥中，，，,。
（1）求证：；（2)若，，为的中点．（i)过点作一直线及平行,在图中画出直线并说明理由;（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．7．如图1所示，在梯形中,//，且,，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置,使,如图2所示．(1）求证:；(2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积. 8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,．（1）证明：平面平面；（2)若,为棱的中点，，，求四面体的体积．9．如图，在梯形中，，,，四边形是矩形，且平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2)当为何值时，平面？证明你的结论。
10．10．如图,已知菱形的对角线交于点，点为的中点。
将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示。
图1图2(Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在,请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由。
参考答案1．（1)见解析。
立体几何存在性问题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】立体几何存在性问题未命名一、解答题1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.2．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.3．如图，在长方体中，，点在棱上，，点为棱的中点，过的平面与棱交于，与棱交于，且四边形为菱形.(2)确定点的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥的体积.4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形.（1）求证：平面平面；（2）若，试求点到平面的距离.5．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面；（2）若四面体的体积为，求线段的长．6．如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：；（2）若，，为的中点．（i）过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．7．如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．（1）求证：；（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求四面体的体积．是矩形，且平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）当为何值时，平面？证明你的结论. 10．10．如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1 图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.参考答案1．（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.详解：（1）因为面面，面面，，所以面，.故四边形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.因为，平面，平面.∴平面,平面，∴平面平面.（2）在线段上存在点，使得平面在线段上取点，使得，连接.在中，因为，所以与相似，所以又平面，平面，所以平面.（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到，，根据平行关系和长度关系得到点是的中点，点是的中点；（2），因为，所以，进而求得体积.详解：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，即点是的中点．因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为点是的中点，所以点是的中点，综上：分别是的中点；（Ⅱ）因为，所以，又因为平面平面，所以平面；又因为，所以．点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.3．（1）见解析（2）为棱上靠近的三等分点，为棱中点，【解析】分析：(1)要证平面平面，即证平面，即证，；(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，利用等体积法即可求得结果.详解：(1)在矩形中,,.又平面，.,平面.又平面,平面平面.(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，，所以的面积.于是四棱锥的体积.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．4．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）取AD 的中点O，则平面，由，从而利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：．（2）解：取AD的中点O，则，，则．又易知，所以，解出．点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）推导出BE⊥CD，AB⊥CD，从而CD⊥平面ABE，由此能证明平面ABE⊥平面ACD；（2）取BD的中点G，连接EG，则EG∥BC．推导出BC⊥平面ABD，从而EG⊥平面ABD，由此能求出线段AE的长．详解：（1）证明：因为，是棱的中点，所以．又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，则．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：取的中点，连接，则．易证平面，从而平面，所以四面体的体积为，则，在中，，．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6．（1）见解析；（2）见解析，【解析】分析: (1) 取中点,连接,,先证明面,再证明.(2) (i)取中点,连接,,则，即为所作直线,证明四边形为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取中点,连接,,为中点，又,为中点，又，面又面，(2)(i)取中点,连接,,则，即为所作直线,理由如下:在中、分别为、中点,且又,且，四边形为平行四边形.(ii),,，面又在中,,,又,面，.：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.7．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解．详解：（1）因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又因为BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE．（2）由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB 的中点，在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，则梯形BCDE的面积S1＝×(6＋3)×4＝18，四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，在Rt△A1DF中，，即F是CD的中点，所以A1C＝A1D＝4，因为DE∥BC，DE⊥平面A1DC，所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为，所以四棱锥A1—BCDE的表面积为S＝S1＋＋＋＋＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力．8．（1）见解析；（2）【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到⊥平面，即，进而得到平面平面,(2)由等体积法求解，。
立体几何大题15种归类专题
立体几何大题15种归类专题立体几何作为数学的一个重要分支，主要研究三维空间中图形的性质、变换和度量。
在高考或中考等数学考试中，立体几何大题往往占据一定的分值，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力。
以下是对立体几何大题进行的15种归类专题简述，包括内容分析和特点：1. 平行与垂直关系内容分析：涉及直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定和性质。
特点：需要熟练掌握平行与垂直的判定定理和性质定理，能够灵活运用。
2. 空间角内容分析：包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角。
特点：空间角的计算通常需要构造辅助线或面，将空间问题转化为平面问题来解决。
3. 空间距离内容分析：涉及点到直线、点到平面、直线到平面的距离计算。
特点：空间距离的计算通常依赖于空间角和三角形的性质。
4. 三视图与直观图内容分析：根据物体的三视图或直观图，推断物体的形状或计算相关尺寸。
特点：要求考生具备良好的空间想象能力和图形识别能力。
5. 柱体、锥体、台体的表面积与体积内容分析：涉及基本几何体的表面积和体积的计算。
特点：需要熟练掌握各类几何体的表面积和体积公式，能够正确应用。
6. 球的表面积与体积内容分析：考查球的表面积和体积的计算，以及与其他几何体的结合问题。
特点：球的表面积和体积计算通常需要与其他几何体相结合，考查综合应用能力。
7. 空间向量的应用内容分析：利用空间向量解决立体几何问题，如求空间角、空间距离等。
特点：空间向量的引入为立体几何问题提供了新的解决工具，使问题更加简洁明了。
8. 组合体的分析与计算内容分析：涉及由多个基本几何体组成的组合体的分析和计算。
特点：需要综合运用所学的几何知识，对组合体进行分解和组合，考查分析问题和解决问题的能力。
9. 立体几何中的最值问题内容分析：涉及立体几何中的最值问题，如距离的最大值、体积的最小值等。
特点：最值问题通常需要运用不等式、函数等数学知识进行求解，考查综合运用能力。
立体几何存在性问题
立体几何中的存在性问题1、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点 ，2==BC AC ，41=AA .（Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45，若存在，求CE 的长，若不存在，请 说明理由.2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点。
（Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。
3、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为454、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.ABCD EP1A BCOA1B 15、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.6、如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.（1）求证：BMPAD 平面;（2）在侧面PAD 内找一点N，使MN PBD ⊥平面7、如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.DPABC（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.8、如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；9、直三棱柱A1B1C1—ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。
立体几何内容剖析与学生存在的问题及分析
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立体几何知识结构图
分类 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球
空间几 三视图及直观图 画及还原
何体 面积与体积 7个面积3个体积
线 线
立 体 几 何
点线 面位 置关 系
平面 线线
线面 面面
4公理3推论 平行与垂直 平行与垂直（2判定+2性质） 平行与垂直（2判定+2性质）
线 面 面
面
线线角
c os s1 s2
s1 s2
空间角 线面角
sin s n
sn
空间 向量
面面角
c os n1 n2
n1 n2
概念与运算
全国考试大纲和考试说明，要点如下. 立体几何初步（文理要求相同）： （1）空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 三视图与直观图； 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（公式要求记忆）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 空间向量与立体几何（理科要求）： 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理及夹角 的计算问题.
高中立体几何课程的核心内容（必备知识）： 认识空间图形 了解表面积与体积的计算方法 直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 学会运用空间向量解决有关直线、平面位置关系问题
学科核心价值（关键能力、学科素养）： 空间想象能力（直观想象） “想” 推理论证能力（逻辑推理、数学运算）“证、算”
（一）平行与垂直的证明
（二）空间角及点面距离的计算
• 复习定位：中等偏难；理科解答题求空间角一般使用建系法解题， 建系写坐标、耐心演算、有信心得高分；用几何定义来研究空间 角的题目如果是选填题的压轴题一般难度大．