大学概率论随机事件与概率
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、 切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、 大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、 中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为 」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分 大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。
随机事件与概率大学的教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的分类；（2）理解概率的定义，掌握概率的基本性质；（3）学会运用概率知识解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解随机事件与概率的关系；（2）通过小组讨论、合作学习，提高学生的探究能力和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对概率论的兴趣，激发学生的学习热情；（2）使学生认识到概率论在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）随机事件的概念及分类；（2）概率的定义及基本性质。
2. 教学难点：（1）概率的定义及基本性质的运用；（2）概率在实际问题中的应用。
三、教学过程（一）导入新课1. 展示生活中常见的随机事件，如掷骰子、抛硬币、抽奖等，引导学生思考这些事件的特点；2. 引入随机事件的概念，解释必然事件、不可能事件、随机事件的区别。
（二）新课讲授1. 随机事件的概念及分类：（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2. 概率的定义及基本性质：（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小；（2）概率的基本性质：① 非负性：任何事件的概率不小于0；② 稳定性：当试验次数足够多时，某个事件发生的频率将趋近于其概率；③ 稳定性：对于任意两个事件A和B，有0≤P(A)≤1，0≤P(B)≤1；④ 加法公式：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)；⑤ 对立事件概率之和为1：对于任意两个对立事件A和B，有P(A) + P(B) = 1。
（三）巩固练习1. 完成课本上的例题，巩固所学知识；2. 小组讨论，互相解答问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点；2. 引导学生思考概率论在现实生活中的应用。
（五）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 收集生活中与概率相关的事例，下节课分享。
随机事件与概率知识点
随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。
本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。
一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。
简单来说，就是不知道会发生什么的事件。
一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。
这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。
对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。
样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。
而样本空间中的子集，称为事件。
简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。
二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。
记作Ω，其对应的概率为1。
例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。
不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。
记作∅，其对应的概率为0。
例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。
2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。
对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。
三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。
例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
大学概率论公式总结
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
记住积分公式
,
x<0。
正态分布
设随机变量 的密度函数为
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。如果 ~ ，则
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
态分布的和仍为正态分布（ ）。
全概公式
。
贝叶斯公式
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
随机事件与概率
如果事件A1, A2, ..., An是n个互斥事件，且满足P(Ai) > 0, i=1,2,...,n，则对于任意事件B，有 P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)/P(B), i=1,2,...,n
条件概率的应用
医学诊断
在医学诊断中，医生通常会使用条件概率 来评估患者的疾病风险。例如，如果一个 患者具有某种特定的症状，医生可以使用 条件概率来计算该患者患有某种特定疾病 的概率。
03
条件概率
条件概率的定义与性质
• 定义：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A相对于事件B的条件概率。记作P(A|B)。
条件概率的定义与性质
性质 1. 非负性：0 ≤ P(A|B) ≤ 1 2. 对于任意两个事件A和B，有P(A|B)+P(B|A)=1
条件概率的定义与性质
3. 对于必然事件Ω，有P(Ω)=1 5. 对于任意事件A和B，有P(A|B)=1-P(¬A|B)
乘法规则
若A和B为独立事件，则P(A和B) = P(A) * P(B)。
条件概率
给定事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 P(B|A)。
古典概型与几何概型
古典概型
在有限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的次数n(A)除以总次数 N。
几何概型
在无限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的测度d(A)除以总测度 D。
交集
若A和B均为随机事件，则称A与B的交集为 A与B的积。
并集
若A和B均为随机事件，则称A与B的并集为 A与B的和。
差集
若A和B均为随机事件，则称A与B的差集为 A与B的差。
试验与结果
试验
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
随机事件与概率
如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现点数大于4”，则：
A {1,2,3} B {5,6} A {4,5,6} 显然：A 与 A 互为对立事件，同时也是互斥事
件；A 与B 互为互斥事件，但不是对立事件.
【例】随机将一枚硬币抛三次,用H表示正面, T表示反面,求：
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件B 的发生吗？ 会 2、事件 B 发生会导致事件 A的发生吗？ 不会
事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 B 包含事件 A，也称事件 A 包含 于事件 B. 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
AB
注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说 法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生；
例3：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令 A, B,C 分别表示其第一、二、三次所买彩票 中奖的事件. 试用A, B,C及运算写出下列事件.
A
B
C
⑴第三次未中奖； ⑵只有第三次中了奖；
C
A BC
⑶恰有一次中奖； AB C U ABC U A BC A B C ⑷至少有一次中奖；
⑸不止一次中奖； AB U BC U AC
如：包含两个样本点的样本空间
{H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型， 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型 …………
⑵样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
如：将一枚硬币连续抛掷两次，观察正面H、反面 T出现的情况. 则样本空间为：
A B A发生或B发生 A, B中至少有一个发生
维恩图表示：
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结越是临考试，大家一定要稳定自己的情绪，不能乱了脚步。
里头大学是大学概率论知识点总结，为大家提供参考。
第一章随机事件和概率1、随机惨案的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和敌对事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的开映射3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、特征值函数的分布(离散型、连续型)布季夫第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、概率分布函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量的期望)4、常见分布的期望期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章形式系统数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选统一标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显著性检验2、洛佐韦的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
在备考投资过程中提醒大家：要学着思考，学着"记忆"，最重要是要会举一反三，这样，我们才能脱离题海的浮沉，能够做到有效做题，高效提升!。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,
样本空间并不唯一. 若实验的目的是观察所有
可能出现的结果: 1 1,1,L 1,6,L 6,1,L 6,6;
若试验目的是观察出现的点数和:
2 2, 3, 4,L ,12 .
3. 随机事件：
样本空间Ω的某个子集.
" A, B, C, L "
例如:
在掷骰子试验中,
事件A:出现偶数点
基本事件： 由一个样本点构成的集合
解:
设A={取到的数能被2整除},
B={能被3整除},
则 P( A) 1/ 2, P(B) 3/10, P( AB) 1/10, 故 (1) P( A U B) P( A) P(B) P( AB) 7 /10
(2) P( A I B) P A U B 1 P(A U B) 3/10
(3) P(A B) P(A) P(AB) 2 / 5
例7.
从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率 条件概率与事件的独立性
前
确定性现象与不确定性现象
言
确定性现象:
• 每天早晨太阳从东方升起;
• 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
不确定性现象:(随机现象)
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？
• 一天内进入某超市的顾客数.
随机现象的统计规律性
中取出r 个元素的选排列,
记为
且有
5.全排列:
r = n 的选排列称为全排列,
记为
且有
6.组合:
从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0≤r≤n)
元素组成一组(不考虑次序),
称为从 n 个元素中取出r个
元素的一个组合,
记为
且有
一、基本概念
1.随机试验:(E)
对随机现象进行观察或试验.
①可在相同条件下重复进行
A与B不能同时发生,
则称A
与B互斥. 即 " AB "
注: ①基本事件之间是互斥的;
A
B
② 与任何事件互斥.
AB
三、事件的运算
1.和:(并)
A,B中至少有一个发生的事件.
AUB A B
或
2.积:(交)
A ,B 同时发生的事件.
A I B AB
且
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
⑴非负性：
对任意A， P( A) 0
⑵规范性： P() 1
⑶可加性：
若A和B互斥， 则 P( A B) P( A) P(B)
⑷ P() 0 ⑸ P( A) 1 P( A)
三、几何概率
1.几何型随机试验:
2.几何概率的定义： 在几何型随机试验中,
①无限性 ②等可能性
定义事件A发生的概率为
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
概率论是一门研究客观世界随机现象统计 规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
第一节
第一章
随机事件及其运算
一、基本概念 二、事件之间的关系 三、事件之间的运算 四、事件的运算律
1.加法原理: 径有 有
预备知识
如果完成某件事有m 种途径,
而每种途
种不同的方法,
那么完成该件事共
种不同的方法.
2.乘法原理: 成每个步骤分别有 有
如果完成某件事须经过 m 个步骤,
而完
种不同的方法,
注:
不能从字面上理解事件的对立.
第二节
第一章
随机事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率 三、几何概率 四、概率的性质
引言
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征, 通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.
一、概率的统计定义
1.频率:
定义1:
在相同的条件下重复进行了N次试验,
若A发生
了 次,
2.概率的统计定义:
FN ( A则)称
N
为A在N次试验中出现的频率.
高尔顿板
定义2:
独立重复地做N次试验,
当N很大时, 若事件A
发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,
则称p 为A发
生的概率.
注: 概率是确定的,
而频率与试验次数有关.
二、古典概率
1.古典型随机试验:
①有限性 ②等可能性
2.古典概率的定义：
②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个
③每一次试验的结果是不可预言的
2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.
其每个元素称为样本点.
""
""
例1. 写出下列试验的样本空间.
E1: 将一枚硬币连抛两次,
1
(正,正),
(正,反),
考虑正反面出现的情况;
(反,正),
(反,反)
E2: 掷一颗均匀骰子,
AB
AUB
AB
AI B
3.差:
A发生而B不发生的事件,
称为A与B的差.
AB
且 B
注: ① A B A AB ② 若A,B互斥, 则 A B A, B A B ③ A(B C) A B C
4.逆:(对立事件) 若A与B满足 称 A与B互逆.
A U, B 且 AB
注:
①事件互斥与互逆的区别
例5. （会面问题）
两人相约7点到8点在
某地会面，
先到者等候另一人20分钟后就
可离去，
试求这两人能会面的概率？
解: 以 x分,别y 表示两人到达时刻
(7点设为零时刻),
则会面的充要条件
y
60
为 x y 20 ,
这是一几何概率问题,
可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,
20
x
o 20
60
能会面的
解:
⑴设 A={恰有一双配对},
则
P(A) C61C22C52C12C12 / C142 16 / 33
(2)设B={至少有两只鞋子配成一双},
则
P(B) 1 P(B) 1 C64C21C21C21C21 / C142 17 / 33
或 P(B) (C61C22C52C21C21 C62C22C22 ) / C142 17 / 33
定义3:
设古典型试验的样本空间为
{1, 2,...,n},
若A事件 中含有k (k 个n样) 本点,
则k称 为A 发生的概率, n
记为
P( A) k n
A 中的样本点个数 中的样本点个数
例1. 从编号为 1 ~ 10源自的10个同样的球中任取一个,
求
A={抽到2号球}，
B={抽到奇数号球}的概率.
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.