大学概率论随机事件与概率

解:
由题意知,问题归结为古典概率的计算,
Ω包含的样本点个数: A包含的样本点个数:
C110 10 1
则 P( A) 1/10
B包含的样本点个数:
5
则 P(B) 5/10 1/ 2
例2.
掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.
解:
设A={出现点数和为8},
1,1,L 1,6,L 6,1,L 6,6
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
那么完成该件事共
种不同的方法.
3.重复排列:
从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素
(1≤r≤n),
按照一定顺序允许重复出现排成一列,
从n 个元素取出 r 个元素的重复排列,
排列总数为
称为
预备知识
4.选排列:
从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1≤r≤n)
元素按照一定顺序不重复地排成一列,
称为从 n 个元素
定义3:
设古典型试验的样本空间为
{1, 2,...,n},
若A事件 中含有k (k 个n样) 本点,
则k称 为A 发生的概率, n
记为
P( A) k n
A 中的样本点个数 中的样本点个数
例1. 从编号为 1 ~ 10
的10个同样的球中任取一个,
求
A={抽到2号球}，
B={抽到奇数号球}的概率.
解:
⑴设 A={恰有一双配对},
则
P(A) C61C22C52C12C12 / C142 16 / 33
(2)设B={至少有两只鞋子配成一双},
则
P(B) 1 P(B) 1 C64C21C21C21C21 / C142 17 / 33
或 P(B) (C61C22C52C21C21 C62C22C22 ) / C142 17 / 33
(3) P(A B) P(A) P(AB) 2 / 5
例7.
从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,
样本空间并不唯一. 若实验的目的是观察所有
可能出现的结果: 1 1,1,L 1,6,L 6,1,L 6,6;
若试验目的是观察出现的点数和:
2 2, 3, 4,L ,12 .
3. 随机事件：
样本空间Ω的某个子集.
" A, B, C, L "
例如:
在掷骰子试验中,
事件A:出现偶数点
基本事件： 由一个样本点构成的集合
AB
AUB
AB
AI B
3.差:
A发生而B不发生的事件,
称为A与B的差.
AB
且 B
注: ① A B A AB ② 若A,B互斥, 则 A B A, B A B ③ A(B C) A B C
4.逆:(对立事件) 若A与B满足 称 A与B互逆.
A U, B 且 AB
注:
①事件互斥与互逆的区别
例5. （会面问题）
两人相约7点到8点在
某地会面，
先到者等候另一人20分钟后就
可离去，
试求这两人能会面的概率？
解: 以 x分,别y 表示两人到达时刻
(7点设为零时刻),
则会面的充要条件
y
60
为 x y 20 ,
这是一几何概率问题,
可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,
20
x
o 20
60
能会面的
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
A 2, 4, 6
复合事件： 由多个样本点构成的集合
4. 事件的发生:
A 发生
A 所包含的某一个样本点出现
5. 必然事件与不可能事件:
"" ""
事件
集合
二、事件之间的关系
1.事件的包含:
A 发生必然导致B发生,
则称A包含于B.
A B
{若 A,有 B}
2.事件的相等:
AB
B A
A B
3.事件的互斥:(互不相容)
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
点为图中阴影部分,
所求概率
P
602 402 602
5 9
四、概率的性质
(1)有限可加性：
设 A1, A2,L , An
是 n 个两两互不相容的事件，
即
Ai Aj ,(i j),i, j 1,2,L ,n, 则有
P( A1 U A2 UL U An ) P( A1) P( A2 ) L P( An ) ;
(2)事件差：
A,B是两个事件, 则 P( A B) P( A) P( AB) ;
(3)单调性： 若事件 A B , 则 P( A) P(B);
(4)加法公式： 对任意两事件
A, B, 有
P(A U B) P(A) P(B) P(AB)
注:
该公式可推广到任意n个事件
A1, A2 ,L , An 的情形.
(5)互补性： P( A) 1 P( A) ;
(6)可分性：
对任意两事件 A, B, 有 P( A) P( AB) P( AB)
例6.
在110这10个自然数中任取一数,
求
(1)取到的数能被2或3整除的概率;
(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率;
(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率.
A与B不能同时发生,
则称A
与B互斥. 即 " AB "
注: ①基本事件之间是互斥的;
A
B
② 与任何事件互斥.
AB
三、事件的运算
1.和:(并)
A,B中至少有一个发生的事件.
AUB A B
或
2.积:(交)
A ,B 同时发生的事件.
A I B AB
且
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,
解:
设A={取到的数能被2整除},
B={能被3整除},
则 P( A) 1/ 2, P(B) 3/10, P( AB) 1/10, 故 (1) P( A U B) P( A) P(B) P( AB) 7 /10
(2) P( A I B) P A U B 1 P(A U B) 3/10
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
概率论是一门研究客观世界随机现象统计 规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率 条件概率与事件的独立性
前
确定性现象与不确定性现象
言
确定性现象:
• 每天早晨太阳从东方升起;
• 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
不确定性现象:(随机现象)
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？
• 一天内进入某超市的顾客数.
随机现象的统计规律性
第一节
第一章
随机事件及其运算
一、基本概念 二、事件之间的关系 三、事件之间的运算 四、事件的运算律
1.加法原理: 径有 有
预备知识
如果完成某件事有m 种途径,
而每种途
种不同的方法,
那么完成该件事共
种不同的方法.
2.乘法原理: 成每个步骤分别有 有
如果完成某件事须经过 m 个步骤,
而完
种不同的方法,
② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
பைடு நூலகம்
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
思考: B包含的样本点个数能否为 不能，因为取到两双部分重复了一次，
C61C22C120, 为什么?
比如：
某一次取法： C61C22 第3双， C120 第4双
重复！
另一次取法： C61C22 第4双， C120 第3双
B包含的样本点个数应为
C61C22C120 C62C22C22
2.古典概率的性质:
注:
不能从字面上理解事件的对立.
第二节
第一章
随机事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率 三、几何概率 四、概率的性质
引言
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征, 通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.
一、概率的统计定义
1.频率:
定义1:
在相同的条件下重复进行了N次试验,
若A发生
Ω包含的样本点个数:
62 36
A 2,6,3,5,4,4,5,3,6,2
A包含的样本点个数:
5 则 P(A) 5/ 36
思考: 能否取 2, 3, 4, L ,12, 为什么?
(不能，因为基本事件不是等可能的)
例3. 从6双不同的鞋子中任取4只， ⑴其中恰有一双配对的概率；
求：
⑵至少有一双配对的概率.
中取出r 个元素的选排列,
记为
且有
5.全排列:
r = n 的选排列称为全排列,
记为
且有
6.组合:
从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0≤r≤n)
元素组成一组(不考虑次序),
称为从 n 个元素中取出r个
元素的一个组合,
记为
且有
一、基本概念
1.随机试验:(E)
对随机现象进行观察或试验.
①可在相同条件下重复进行
⑴非负性：
对任意A， P( A) 0
⑵规范性： P() 1
⑶可加性：
若A和B互斥， 则 P( A B) P( A) P(B)
⑷ P() 0 ⑸ P( A) 1 P( A)
三、几何概率
1.几何型随机试验:
2.几何概率的定义： 在几何型随机试验中,
①无限性 ②等可能性
定义事件A发生的概率为
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
了 次,
2.概率的统计定义:
FN ( A则)称
N
为A在N次试验中出现的频率.
高尔顿板
定义2:
独立重复地做N次试验,
当N很大时, 若事件A
发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,
则称p 为A发
生的概率.
注: 概率是确定的,
而频率与试验次数有关.
二、古典概率
1.古典型随机试验:
①有限性 ②等可能性
2.古典概率的定义：
②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个
③每一次试验的结果是不可预言的
2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.
其每个元素称为样本点.
""
""
例1. 写出下列试验的样本空间.
E1: 将一枚硬币连抛两次,
1
(正,正),
(正,反),
考虑正反面出现的情况;
(反,正),
(反,反)
E2: 掷一颗均匀骰子,
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.
概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高 等学校各专业都开设了该课程，而且在上 世纪末，此课程特意被教育部定为本科生 考研的数学课程之一.
概率统计的思想：看待万事万物的一 种方法。通过比较概率的大小做决定—— 统计规律、统计决策。
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知 识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》.
法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:
“ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在 实质上只是概率的问题.”