全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
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中国教育学会中学数学教学专业委员会
全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.)
1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式22
||()||
a a
b
c a b c
++-+可以化简为().
(A)2c a-(B)22
a b
-(C)a-(D)a
1(乙).如果22
a=-+1
1
1
2
3a
+
+
+
的值为().
(A)2
-(B2(C)2 (D)2
2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =
x
b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为().
(A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(3,2)
2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为().
(A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b
<<,那么1121
a a
b a b
++++
,,,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().
(A )1 (B )214
a - (C )12
(D )14
3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对
角线,
△ABC 是等边三角形.30ADC ∠=︒,AD = 3,BD
= 5,
则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52
(D )4.5
4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小
玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则
n 的可能值的个数是( ).
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程
20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于
3,
那么这样的方程的个数是( ).
(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,
4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).
O
A
B C
E
D
(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p
5(乙).黑板上写有111
12
3
100
, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑
板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数
a b ab ++,则经过
99次操作后,黑板上剩下的数是( ).
(A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,
规定:程序运行从“输入一个值
x ”到“结果是否>487?”为一次操作.
如果
操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 .
6(乙).如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,
111109a b b c c a ++=+++,那么a b c
b c c a a b
++
+++的值为 .
7(甲).如图,正方形ABCD 的边长为215,
E ,
F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB
分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .
7(乙).如图所示,点A 在半径为20的圆O
上,
以OA 为一条对角线作矩形OBAC ,设直线
BC 交圆
O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 。
8(甲). 如果关于x 的方程x 2+kx +4
3k 2-3k +92
= 0的两个实数根分别
为1x ,2x ,那么
2012
2
20111x x 的值为 .
8(乙).设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,
则所有n 的个数为 .
9(甲). 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛
为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 . 9(乙).如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z (,,)
是三角形数.若a b c (,,)和111
a b c
(,,)
均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则a c
的取值范围是 .
10(甲)如图,四边形ABCD 内接于⊙
O , AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,
CD ,
交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长
线
交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .
10(乙).已知n 是偶数,且1≤n ≤100.若有唯一的正整数对a b (,)
使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 . 三、解答题(共4题,每题15分,共60分)
11(甲).已知二次函数232y x m x m =+
+++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m +
+++=()的两个实数根的倒数和小于9
10
-
.求m 的取值范围.