复合函数的导数(二) 教案示例
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
复合函数的导数教学设计教案
复合函数的导数教学设计教案一、概述复合函数是指将两个或多个函数合成一个函数。
对于复合函数，求其导数时，要用到链式法则，这是一种将复杂问题进行分解，从其各部分组成求解的技术。
它可以帮助学生更好地理解复合函数的性质，更快地解决复合函数的导数问题。
二、教学目标1. 理解复合函数的概念；2. 熟练掌握链式法则，学会使用链式法则计算复合函数的导数；3. 整体运用链式法则，求解复合函数的导数的更复杂的问题。
四、教学方法1. 讲解+练习：利用教师上课讲解链式法则和复合函数概念，引导学生理解复合函数的概念和链式法则的原理，再通过师生共同讨论的方式和学生自主解决的练习形式，帮助学生熟练掌握链式法则的运用。
2. 提问+指导：教师在讲课过程中，对学生提出相关的问题，以帮助他们理清思路，并指导他们自己解决，帮助学生理解、运用这种方法解决更加复杂的复合函数导数问题。
三、教学材料1. 教材：复合函数及其导数的课本2. 实物：黑板、笔等一些学习工具五、教学过程1. 教师首先介绍复合函数的概念，指导学生理解；2. 接着介绍链式法则，讲解两者之间的联系，分析链式法则的运用；3. 教师准备几个简单的复合函数，传授学生如何使用链式法则计算复合函数的导数；4. 教师准备更复杂的复合函数，提出问题，指导学生理解、解决问题；5. 教师总结本节课所讲的内容，结合实例检验学生对于链式法则理解程度到底有多少。
六、教学评价检查学生对本节课学习内容的掌握程度，做出书面测试，并根据实际情况进行调整；另外，以学生在课堂学习任务、讨论和实际练习中表现的动态考核，及时发现和改正学生的掌握不足之处。
大学复合函数求导教案
课时：2课时教学目标：1. 理解复合函数的概念和性质。
2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。
3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。
教学重点：1. 复合函数求导的基本方法。
2. 链式法则和换元法的应用。
教学难点：1. 链式法则和换元法的应用。
2. 复合函数求导的步骤。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元函数的概念和性质。
2. 引入复合函数的概念，举例说明。
二、新授课1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。
2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。
3. 复合函数求导的基本方法：a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。
b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。
三、例题讲解1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。
2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。
四、课堂练习1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。
2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的定义和性质。
2. 回顾复合函数求导的基本方法。
二、例题讲解1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。
2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。
三、课堂练习1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。
2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。
四、总结1. 总结复合函数求导的基本方法。
2. 强调链式法则和换元法的应用。
五、布置作业1. 完成课后练习题。
2. 复习本节课所学内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。
2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。
3. 需要进一步加强对学生解题思路的引导，提高学生的解题能力。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
复合函数的求导法则教案
复合函数的求导法则教案教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.（二）教学重、难点及分析重点：理解简单复合函数的复合过程，简单复合函数的求导法则的应用.难点：复合函数结构的分析，简单复合函数的求导法则的应用.教学三维目标（一）知识与技能（1）了解简单复合函数的求导法则；（2）会运用上述法则，求简单复合函数的导数.（二）过程与方法培养学生感悟由特殊到一般的直观归纳的研究方法，培养学生的归纳总结能力与主动观察和探究发现的能力.（三）情感态度与价值观1.通过提问使学生展现自己.2.让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.一、复习回顾基本初等函数的导数公式公式1.0)(,)(='=x f c x f 则若公式2.1)(,)(-⋅='=n n x n x f x x f 则若公式3.x x f x x f cos )(,sin )(='=则若公式4.x x f x x f sin )(,cos )(-='=则若公式5.)0(ln )(,)(>='=a a a x f a x f x x 则若公式6.x x e x f e x f ='=)(,)(则若公式7.)10(ln 1)(,log )(≠>='=a a a x x f x x f a 且则若 公式8.xx f x x f 1)(,ln )(='=则若 导数的运算法则法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即[])()()()(x g x f x g x f '±'='±法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='⋅法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方.即[]0)(,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 法则2推论：[])()()()(x f c x f c x f c x f c '='+'='⋅二、探究引入思考：如何求函数)23ln(+=x y 的导数呢？我们无法用现有的方法求函数)23ln(+=x y 的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设23+=x u ，则u y ln =.即)23ln(+=x y 可以看成是由u y ln =和23+=x u 经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数.如果把y 与u 的关系记作)(u f y =，u 和x 的关系记作)(x g u =，“复合”过程可以表示为 )23ln())(()(+===x x g f u f y .如函数2)32(+=x y ，是由2u y =和32+=x u “复合”而成的. 三、新课讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数.记作))((x g f y =.实战演练例：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成.x x y +=22)1()sin(log )2(2x e y =注意：法则可推广到两个以上的中间变量.解：x x u y u +==2,2)1(x v e v u u y ===,log ,sin )2(2复合函数求导法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为：x u x u y y '⋅'='即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.推广：)(u f y =，)(v g u =，)(x h v = x v u x v u y y '⋅'⋅'='无论是几层函数复合都可以按照复合函数求导法则，外导乘内导例 求)23ln(+=x y 的导数解：第一步：u y ln =，23+=x u 第二步：uy u1='，3='x u 第三步：23331+=⋅='x u y x（学生总结复合函数求导步骤）复合函数求导三部曲：第一步：分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量）.第二步：层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）.第三步：相乘还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原）.例 求下列函数的导数（以老师计算、演示为主，说明根据复合函数求导公式求导数的具体操作过程.）（1）2)32(+=x y解：方法一()91243222++=+=x x x y 128+='x y思维点拨：括号直接展开求导；本题还有另外的解法，学生思考分析.方法二函数2)32(+=x y 可以看作函数2u y =和32+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有 ()()'+⋅'='⋅'='322x u u y y x u x ()12832422+=+=⋅=x x u（2）105.0+-=x e y 解：函数105.0+-=x e y 可以看作函数ue y =和105.0+-=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+-⋅'='⋅'='105.0x e u y y u x u x ()05.0-⋅=ue 105.005.0+--=x e（3）()ϕπ+=x y sin （其中ϕπ,均为常数）解：函数()ϕπ+=x y sin 可以看作函数u y sin =和ϕπ+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+⋅'='⋅'='ϕπx u u y y x u x sinu cos π=()ϕππ+=x cos（4）32-=x y解：函数()2132-=x y 可以看作函数21u y =和32-=x u 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ()'-⋅'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅'='3221x u u y y x u x 2121221--=⋅=u u ()3213221-=-=-x x 通过例题，使学生掌握复合函数求导的方法和步骤.四、当堂检测1.若函数x y 2sin =，则y '等于（ ） A .x 2sin B .x sin 2 C .x x cos sin D .x 2cos2.函数()223-=x y 的导数为（ ） A .()232-x B .x 6 C .()236-x x D .()236-x3.求下列函数的导数.（1）xe y 3=（2）3cos x y =解：（1）x e y 33='（2）3sin 31x y -=' 总结：复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.能力提升1.求函数x e y x ππsin =的导数.解：x e x e y x x ππππππcos sin +='2.求函数()52sin 2+=x x y 的导数.解：()()52cos 452sin 2+++='x x x y3.求函数21x xy +=的导数.解：()()()2222111x x x x x y +'+-+'=' 222121211x xxx x +⋅+-+= 2222111x x x x ++-+= ()()2222111x x x x ++-+= ()22111x x ++=简单复合函数导数的应用1. 求曲线12)(+=x ex f 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处的切线方程. 解：122)(+='x e x f 22)21(0==-'=e f k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121x y 即022=+-y x ∴切线方程为022=+-y x五、课堂小结1. 复合函数求导的一般步骤为“分层→求导→相乘回代”.2.（1）分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键（2）对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外向内逐层求导.六、课后作业（拓展延伸）（1）()()x y sin sin sin = （2）()()x y ln ln ln =。
高中数学《复合函数的导数》教案【导数】
一、教学目标 【知识与技能】 掌握复合函数的概念，会求复合函数的导数。 【过程与方法】 通过对复合函数求导的探究，提升分析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】 感受数学内在的逻辑美，提升对数学的兴趣。 二、教学重难点 【重点】复合函数的概念及求导。 【难点】复合函数的求导。 三、教学过程 (一 )导 入 新 课 复习:求 y=Inx 和 y=3x+2 的导数。 出示: y=ln(3x+2)，组织学生思考如何求其导数，引出本节课学习。 (二 )探 索 新 知 带领学生分析 y=ln(3x+2)的结构特点，学生初步感受 y=ln(3x+2)是由 u=3x+2(x>-(2/3))和 y=Inu“复合”得到的，学生初步感受“复合”的含义。 组织学生类比上述分析的过程，再举出类似“复合”的例子，并分析其结构 特点。例如: y=(x+2)3、y=(2x+ 3)2. 教 师 先 讲 解 这 些 函 数 都 是 复 合 函 数 ，然 后 组 织 学 生 尝 试 给 出 复 合 函 数 的 一 般 概念。 师 生=f(u)和 u=g(x)，如 果 通 过 变 量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记 作 y= f(g(x))。 教 师 直 接 介 绍 复 合 函 数 的 求 导 方 法: y'X=yu'nx'， 并 讲 解 每-个 字 母 的 含 义 。
作业:求 y= x -1 的导数。
让 学 生 利 用 复 合 函 数 的 求 导 方 法 ，求 y=ln(3x+2)的 导 数 ，可 以 直 接 预 设 学 生 能够得到正确答案，
教师详细讲解并规范步骤。 (三 )应 用 新 知 例 :求 下 列 函 数 的 导 数 。 (1) y=(2x+3); (2) y=sin(πx+φ) (其中πφ均为常数) (四 )小 结 作 业 小 结 :学 生 总 结 本 节 课 收 获 。
高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修22
高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修221．2.3复合函数的导数【学习目标】明确复合函数的定义及构成，掌握复合函数的求导法则【重点难点】复合函数求导法则的运用（多层复合，求导彻底）一、自主学习要点1 对于函数y ＝f [φ(x )]，令u ＝φ(x )，若y ＝f (u )是中间变量u 的函数，u ＝φ(x )是自变量x 的函数，则函数y ＝f [φ(x )]是自变量x 的要点2 复合函数y ＝f (g (x ))是y ＝f (u )，u ＝g (x )的复合，那么y ′x ＝二、合作，探究，展示，点评题型一明确复合关系例1 指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(2－x 2)3； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝cos(π4－x ); (4)y ＝ln sin(3x －1)．思考题1 (1)指出下列函数的复合关系．①y ＝(sin x )2；②y ＝sin 3(1－1x)； (2)若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝________，φ[f (x )]＝________.题型二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x2； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝a cos x (a >0，a ≠1)； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．思考题2 求下列函数的导数：(1)y ＝cos(3x 2－π6)； (2)y ＝ln(ln x )； (3)y ＝11＋5x3. 题型三切线问题例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．(2)y ＝11－x2的水平切线方程是________．三、知识小结复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．《导数的四则运算》课时作业1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为 ( )A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是 ( ) A.1x 3＋2x ＋12 B.3x 2＋2x 3＋2x ＋12 C.－3x 2－2x 3＋2x ＋12 D.－3x 2x 3＋2x ＋123．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b4．函数y ＝x ·ln x 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x 5．函数y ＝cos x x的导数是 ( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 26．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103 8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.23π，πB.? ????π2，56πC.0，π2∪? ????56π，πD.0，π2∪23π，π 9．函数y ＝xcos x的导数是 ( ) A.1＋x cos x B.cos x －x sin x cos 2x C.cos x ＋x cos 2x D.cos x ＋x sin x cos 2x10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于 ( )A ．0B ．－4C ．－2D ．211．已知f (1x )＝x 1＋x，则f ′(x )＝ ( ) A.11＋x B ．－11＋x C.11＋x 2 D ．－11＋x2 12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－1213．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．14．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________. 15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (3)f (x )＝ln x ＋2x x 2. 16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．319．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．。
高中数学：2.5 简单复合函数的求导法则(二) 教案 (北师大选修2-2)
2.5 简单复合函数的求导法则教学过程：（一)复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C ）＝0 （C 为常数)． （x n )＝nx n －1 (n Q)． ( sin x )＝cos x ． ( cos x )＝－sin x ．2．和(或差）的导数 (u ±v ）＝u ±v ．3．积的导数 （uv ）＝u v ＋uv ． （Cu )＝Cu ．4．商的导数).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数：如 y ＝（3x －2）2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝（3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习:指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数一般地，设函数u ＝（x ）在点x 处有导数u'x ＝'（x ），函数y ＝f (u ） 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '（u ） ，则复合函数y ＝f ((x ）） 在点x 处也有导数,且 y'x ＝y’u ·u'x ．或写作 f ’x （(x )）＝f ’（u ) '(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例1 求y ＝(3x －2)2的导数．解：y’＝[（3x －2)2]’ ＝(9x 2－12x ＋4）'＝18x －12． 法1函数y ＝（3x －2）2又可以看成由y ＝u 2 ,u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．由于y'u ＝2u ,u'x ＝3，因而 y’x ＝y'u ·u’x ＝2u ·3＝2u ·3＝2（3x －2）·3＝18x －12．法2例2 求y ＝（2x ＋1）5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y’x ＝y'u ·u’x ＝(u 5）'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1）4·2＝10（2x ＋1)4．练习1。
高三数学 3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修
高三数学 3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修 课 题3.4.2 复合函数的导数（二）教学目标一,教学知识点复合函数的求导法则.二,能力训练要求能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.三,德育渗透目标1.培养学生灵活运用知识的能力.2.培养学生综合运用知识的能力.教学重点利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则. 教学方法讲练结合，以练为主.教学过程Ⅰ.课题导入 ［师］复合函数的求导法则是什么？［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. ［师］用公式如何表示？要注意什么？［生］y ′x =y ′u ·u x ′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数. ［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复合函数的导数.Ⅱ.讲授新课 （一）课本例题［例2］求y =4)31(1x -的导数. ［师生共析］这道题如何设中间变量呢？可以设u =（1-3x ）4,这时u 仍是复合函数，再设v =1-3x .或者可以把y 看成y =（1-3x ）-4，这时只要设u =1-3x 就可以了. 解法一：令y =u1,u =（1-3x ）4. 再令u =v 4，v =1-3x .∴y ′x =y ′u ·u ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =（u 1）′u ·（v 4）′v ·（1-3x ）′x =21u -·4v 3·（-3） =-8)31(1x -·4·（1-3x ）3（-3）=5)31(12x -. 解法二：令y =u -4,u =1-3x .y ′x =y ′u ·u ′x =（u -4）′u （1-3x ）′x=-4u -5·（-3）=12（1-3x ）-5.［师］ 上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握了复合函数的求导法则，那么中间步骤可以省略不写.［板书］解:y ′x =［（1-3x ）-4］′=-4（1-3x ）-5（-3）=12（1-3x ）-5.［例3］求y =51x x -的导数. 解：y =（x x-1）51,y ′=51（x x-1）54-·（x x-1）′=51（x x -1）54-·2)1()1(1x x x ----=515454)1(---x x·2)1(x x-=51x 54-（1-x ）56-.（二）精选例题［例1］求y =（ax -b sin 2ωx ）3对x 的导数. ［学生板演］解：y ′=3（ax -b sin 2ωx ）2·（ax -b sin 2ωx ）′=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -（b sin 2ωx ）′］=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -2b sin ωx ·（sin ωx ）′］=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -2b sin ωx ·cos ωx ·ω］=3（ax -b sin 2ωx ）2（a -bω·sin2ωx ）.［例2］求y =sin n x cos nx 的导数.［学生板演］解：y ′=（sin n x ）′cos nx +sin n x （cos nx ）′=n sin n-1x ·cos nx +sin n x ·（-sin nx ）=n sin n-1x cos nx -sin n x sin nx .［学生点评］做得不正确.在第二步时还要对sin x 求导，以及对nx 也求导.［学生改正］解：y ′=（sin n x ）′cos nx +sin n x （cos nx ）′=n sin n-1x ·（sin x ）′cos nx +sin n x ·（-sin nx ）（nx ）′=n sin n-1x cos x cos nx -n sin n x sin nx=n sin n-1x （cos x cos nx -sin x sin nx ）=n sin n-1x cos （n +1）x .［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.［例3］求函数y =-x 2（3x -2）（3-2x ）的导数.［学生分析］这是求三个函数乘积的导数，只要根据公式（uvω）′=u ′vω+uv ′ω+uvω′就可以求了.［学生板演］解：y ′=（-x 2）′（3x -2）（3-2x ）+（-x 2）（3x -2）′（3-2x ）+（-x 2）·（3x -2）（3-2x ）′=-2x （3x -2）（3-2x ）-x 2·3（3-2x ）-x 2（3x -2）（-2）=24x 3-39x 2+12x .［例4］某质点的运动方程是s=t 3-（2t -1）2,求在t =1 s 时的瞬时速度.解:∵s′=3t 2-2（2t -1）=3t 2-4t +2,∴t =1时,s′=3-2=1,即在t =1 s 时的瞬间速度为1.［例5］已知函数f （x ）=（n 1+x ）n （n ∈N *）. （1）求f ′（x ）；（2）判断f （n ）-f （n -n 1）与n n f )('的大小，并且证明.分析：（1）利用定义或复合函数的求导的方法求解.（2）利用二项式定理展开，分别求展开式中各项的极限.（1）解法一：∵f （x ）=（n 1+x ）n ，∴令u =n 1+x ,f =u n .∴f ′（x ）=f ′u ·u ′x =（u n ）′·（n 1+x ）′=nu n-1·1=nu n-1=n （n 1+x ）n-1.解法二：也可以先用二项式定理展开，再求导数.∵f （x ）=（n 1+x ）n ，∴f （x ）=C 0n ·（n 1）n +C 1n ·（n 1）n-1x +C 2n ·（n 1）n-2·x 2+…+C n n ·x n .∴f ′（x ）=0+C 1n ·（n 1）n-1+2C 2n ·（n 1）n-2·x +…+n C n n ·x n-1.又k C k n =n ·C 11--k n ,k =0,1,2,…,n ,∴f ′（x ）=n C 01-n （n 1）n-1+n C 11-n （n 1）n-2x +…+n C 11--n n x n-1=n ［C 01-n （n 1）n-1+C 11-n （n 1）n-2x +…+C 11--n n x n-1］=n （n 1+x ）n-1.（2）证f （n ）-f （n -n 1）≤n n f )(',∵f （n ）-f （n -n 1）=（n 1+n ）n -n n ,n n f )('=（n 1+n ）n-1, 故只需证（n 1+n ）n -n n ≤（n1+n ）n-1, 即证C 0n （n 1）n +C 1n （n 1）n-1·n +…+C 1-n n （n 1）·n n-1≤C 01-n ·（n 1）n-1+C 11-n （n1）n-2·n +…+C 11--n n ·n n-1.（*）∵0≤k ≤n -1,∴k n -1≤1.∵k n nC nC nC C n n C n n C kn k n kn k n kk n k n kkn k n -===⋅⋅⋅--------1)1()1(111111，∴C k n （n 1）n -k ·n k ≤C k n 1-（n 1）n -k -1·n k.∴（*）式成立，即f （n ）-f （n -n 1）≤n n f )(',当且仅当n =1时取“=”.Ⅲ.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y =32)12(1-x ;（2）y =4131+x ;（3）y =sin （3x -6π）;（4）y =cos （1+x 2）.（1）解：y =32)12(1-x =（2x 2-1）-3,y ′=［（2x 2-1）-3］′=-3（2x 2-1）-4（2x 2-1）′=-3（2x 2-1）-4（4x ）=-12x （2x 2-1）-4.（2）解：y =4131+x =（131+x ）41=（3x +1）41-,y ′=［（3x +1）41-］′=-41（3x +1）45-（3x +1）′ =-41（3x +1）45-·3=-43（3x +1）45-. ［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.（3）解：y ′=［sin （3x -6π）］′ =cos （3x -6π）（3x -6π）′ =cos （3x -6π）·3=3cos （3x -6π）. （4）解：y ′=［cos （1+x 2）］′=-sin （1+x 2）（1+x 2）′=-sin （1+x 2）·2x =-2x sin （1+x 2）.2.下列函数中，导数不等于21sin2x 的是（D ） A.2-41cos2x B.2+21sin 2x C.21sin 2x D.x -21cos 2x 解析：A ：（2-41cos2x ）′=0-41（-sin2x ）（2x ）′ =41sin2x ·2=21sin2x . B:（2+21sin 2x ）′=0+21·2sin x ·（sin x ）′=21·2·sin x ·cos x =21sin2x . C:（21sin 2x ）′=21·2sin x （sin x ）′ =21·2sin x cos x =21sin2x . D:（x -21cos 2x ）′=1-21·2cos x （cos x ）′=1-21·2cos x （-sin x ）=1+21sin2x . 3.设函数f （x ）=（x -a ）3,曲线y =f （x ）在点P （x 1,f （x 1））与点Q （x 2,f （x 2））处的切线互相平行,且两切线斜率的取值范围是［3,6］,则弦PQ 在x 轴上的射影长的取值范围为（D ）A.［1,2］B.［2,3］C.［1,2］D.［2,22］ 解析：∵f ′（x ）=3（x -a ）2,f （x ）在P （x 1,f （x 1））,Q （x 2,f （x 2））处的切线平行,∴f ′（x 1）=f ′（x 2）.∴3（x 1-a ）2=3（x 2-a ）2.∴x 12-2ax 1+a 2=x 22-2ax 2+a 2.∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）-2a （x 1-x 2）=0.∴（x 1-x 2）（x 1+x 2-2a ）=0.又∵x 1≠x 2,∴x 1+x 2=2a .设P ,Q 在x 轴上的射影为P 1,Q 1,∴P 1,Q 1关于点（a ,0）对称.∴|P 1Q 1|=|x 1-x 2|=|x 1-a +a -x 2|=|x 1-a |+|a -x 2|=|x 1-a |+|x 2-a |.又∵f ′（x 1）=f ′（x 2）∈［3,6］,∴1≤（x 1-a ）2≤2,1≤（x 2-a ）2≤2.∴1≤|x 1-a |≤2,1≤|x 2-a |≤2.∴|P 1Q 1|=|x 1-a |+|x 2-a |∈［2,22］.故选D.4.求y =21x x -的导数. 解：y ′=（21x x -）′ =2222)1()1(1x x x x x -'---'=2221221)1()1(211x x x x x -'--⋅---=2221)2(1211x x x x x ---⋅--=2222111x x x x --+-=2322222)1(1)1(11x x x x x -=-⋅-+- =（1-x 2）23-.Ⅳ.课时小结这节课主要复习巩固了如何运用复合函数的求导法则进行求导.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便.利用幂函数的求导公式.Ⅴ.课后作业一,课本P 123习题3.4 1（3）（4）,2（3）（4）,3（1）.二,1.预习内容：课本P 123～124对数函数的导数.2.预习提纲：（1）（ln x ）′=x 1考虑证明过程，可用结论0lim →x （1+x ）x1=e.（2）（log a x ）′=x 1log a e.板书设计3.4.2 复合函数的导数（二）课本例题例2.求y =4)31(1x -的导数.（两种方法）例3.求y =51x x -的导数.精选例题例1.求y =（ax -b sin 2ωx ）3对x 的导数.例2.求y =sin n x cos nx 的导数.例3.求y =-x 2（3x -2）（3-2x ）的导数.例4.例5.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y =32)12(1-x ；（2）y =4131+x ；（3）y =sin （3x -6π）；（4）y =cos （1+x 2）.2.下列函数中，导数不等于21sin2x 的是（ ）A.2-41cos2xB.2+21sin 2xC.21sin 2xD.x -21cos 2x3.4.求y =21x x 的导数.课时小结课后作业。
复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案
李玲
一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
三、典型例题
1．求复合函数的导数 求函数的 导数
思考一;若x=1求f （1）需要几步骤
1：计算一次函数3x+1=3*1+2=5
2：再计算ln （3*1+2）=ln5
探究1、探究函数的结构特点
因此y=ln （3x+2）是由内函数为一次函数外函数为对数函数复合而成的复合函数 探究:2：求复合函数的导
（由内而外给每一层命名） ;x u x u y y '⋅'=' （由外而内逐层求导再相乘）
小结：分析由内而外。
求导由外向内并保持导外层内层不变原则）
类比于一个洋葱种子由内而外生长，由外向内剥皮，但剥外层不影响内层。
练习提升:
()
2x 3ln x f y +==）（2x 3x u +=）（解：令()u
ln u y =u y u 1='3x ='u 23332313u 1x +=•+=•='x x y 的导数。
求函数）（4x 3sin e y +=4x 3x V +=）（()sinv v u =()u
e u y =
课堂小结：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
）（4x 3sin x e y +='()43x cos +•3
•。
02教学课件_5.2.3简单复合函数的导数(第二版)
2．函数 y＝x2cos2x－π3的导数为 A．y′＝2xcos2x－π3－x2sin2x－π3 B．y′＝2xcos2x－π3－2x2sin2x－π3 C．y′＝x2cos2x－π3－2xsin2x－π3 D．y′＝2xcos2x－π3＋2x2sin2x－π3
()
解析：y′＝(x2)′cos2x－π3＋x2cos2x－π3′ ＝2xcos2x－π3＋x2－sin2x－π32x－π3′ ＝2xcos2x－π3－2x2sin2x－π3. 答案：B
求下列函数的导数：
(1)y＝sin2x3；(2)y＝sin3x＋sin x3.
1－cos 解：(1)∵y＝ 2
2 3x，
2 ∴y′＝12－co2s3x′＝13sin23x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
x＋1 2 x＋1 则 f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a， 此即为曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a＝32，故 a＝0.
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题 时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出 参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是 解决问题的关键．
复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
[例 3] 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为 常数)[，解曲] 线由y曲＝线f(xy)＝与f直(x线)过y(＝0,032)x点在，(0,0)点相切，求 a，b 的值．
可得 ln 1＋1＋b＝0，故 b＝－1. 由 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b，得 f′(x)＝ 1 ＋ 1 ＋a，
复合函数的导数(二)教案示例
复合函数的导数 ( 二) ·教课设计示例目的要求1．掌握复合函数的求导法例．2．会用复合函数的求导法例解决一些简单的问题．内容剖析1．本节要点是复合函数求导法例的应用．2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．例 2 在教科书原题基础上，增添几道小题作为学生训练题，而后提出娴熟此后可简化过程，并予以示范．例 3 是根式形式的复合函数求导，第一应将根式表示为分数指数，x以方便使用幂函数求导公式，而后设中间变量u＝对x求导，介绍1 x两种求法．方法一是作为商对x求导，方法二是当作u＝－ 1＋1，即1 x当作 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，仍用复合函数求导法例求导．用到的求导法例或公式，解题的过程应向学生清楚地展现．自然，可指引学生思虑并达成．3．应用之二是解决实质应用问题．教师除了教课生会学数学，更重要的是指引学生会用数学．培育学生应用数学解决实质问题的意识和能力是数学教课的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增添一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于指引学生应用复合函数的求导法例及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就表现了复合函数求导法例的应用宽泛性，也表现了思想的多样性和变通性，培育了发散思想能力，更重要的是能够激发学生学好用好数学的意识和踊跃性．4．经过这节的学习，应使学生对复合函数的观点、求导法例和步骤及其应用，有一个整体的掌握．教课过程1．复习求导法例让学生回回复合函数定义、求导法例、求导步骤．本节将在应用中娴熟掌握复合函数的求导．2．应用求导法例(1)应用之一对复合函数式求导例 2求以下函数的导数：(1)y ＝ 1 4； (2)y ＝ sinx 2； (3)y ＝ cos(3x x) ； (4)y ＝ 1 x 2．(1 3x) 6 请学生登台达成．答案：(1) 12 5； (2)2xcosx 2； (3) 3sin(3x x)； (4) x ．(1 3x) 6 1+ x 2注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．师生一同评论．可夸奖四位同学达成得较好．接着提请注意，娴熟后可省写步骤，并作示范．如，解 (1) 可表达为y′x＝[(1 －3x) -4 ] ′＝－ 4(1 －3x) -5·( －3) ＝ 12(1 － 3x) -5．这里最后结果可写负指数或分数指数．出示教科书例 3 并解说．x此中对 u＝求u′ x，可让学生在底稿上达成．此处，教师可1 x作以下指导：方法一按商的求导法例求导．方法二先化为 u＝－ 1＋1，即 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，按复合1 x函数求导．(2)应用之二解简单的应用问题增例当n∈N *时，求证： C1n＋2C 2n＋C3n＋＋ nC n n＝n· 2n 1．指引学生剖析，联想到二项睁开式(1＋x) n＝C0n＋ C1n x＋C2n x 2＋＋ C n n x n．(*)对照睁开式通项 C k n x k与待证和式通项 kC k n，可决定对 (* )式求导并赋值 x＝ 1 证得．视学生水平由教师解说或学生达成证明．证明：由 (1＋x) n＝C0n＋C1n x＋ C2n x 2＋＋ C n n x n，两边对 x 求导，得n(1＋ x) n 1·1＝ 0＋C1n＋ 2C2n x＋＋ nC n n x n 1．令 x＝1，得n· 2n 1＝C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n．注：应向学生讲清 (1 ＋x) n是作为复合函数对x 求导的．对本题再思虑．在《摆列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不如重温一下．方法一倒序相加法令 S n＝C1n＋ 2C2n＋＋ (n－ 1)C n n1＋nC n n(1)(1)式右侧倒序，写为S n＝nC n n＋ (n－1)C n n1＋ (n－2)C n n2＋＋ C1n(2)注意到组合数性质 C r n＝ C n n r(r＝ 0，1，， n)(2)式可改写为S n＝nC0n＋ (n－1)C1n＋ (n－ 2)C2n＋＋ C n n 1(3) 将 (1) 、(3) 两式相加 ( 注意错位 ) 得2S n＝n(C0n＋C1n＋C2n＋＋ C n n1＋C n n )即 2S n＝n·2n∴S n＝n·2n-1即C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n＝n·2 n 1方法二通项变换法k ＝·n! ＝·(n 1)! ＝k 1kC n kk ! · ( n k )! n1)![( n 1) (k 1)]!nC n 1 (k即kC n k＝nC n k 11在这一等式中按序取k＝1，2，， n，并相加得C 1n＋ 2C 2n＋＋ nC n n＝ nC0n 1＋ nC1n 1＋＋ nC n n11＝n(C 0n 1＋ C 1n 1＋＋ C n n11 )＝n· 2n 13．反应练习学生达成教科书练习第1、 2 题4．讲堂小结由y＝ f(u) ，u＝ (x) 可得复合函数 y＝f[ (x)] ．对于复合函数的导数，要理解法例，掌握步骤，擅长应用．(1)法例 y ′x＝ y′u·u′x(2)步骤分解——求导——回代(娴熟后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导；能解相关的应用问题部署作业教科书习题 3．4 第 2(3)(4) 、 3 题．研究题已知曲线 y＝ 400 x 2 3(100 x)(0 ≤ x≤100) 在点 M 处5有水平切线，求点M的坐标．略解：易得y′＝xx 2－3．400 5令y′＝0，解得x＝15．点M的坐标是(15 ，76) ．。
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复合函数的导数(二)·教案示例
目的要求
1．掌握复合函数的求导法则．
2．会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题．
内容分析
1．本节重点是复合函数求导法则的应用．
2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．
例2在教科书原题基础上，增加几道小题作为学生训练题，然后提出熟练以后可简化过程，并予以示范．
例3是根式形式的复合函数求导，首先应将根式表示为分数指数，
以方便使用幂函数求导公式，然后设中间变量＝
对求导，介绍两种求法．方法一是作为商对求导，方法二是看成＝－＋，即看成＝－＋，＝－，仍用复合函数求导法则求导．用到的求导u x x u 1u 1v v 1x 1x x
x
111--- 法则或公式，解题的过程应向学生清晰地展示．当然，可引导学生思考并完成．
3．应用之二是解决实际应用问题．教师除了教学生会学数学，更重要的是引导学生会用数学．培养学生应用数学解决实际问题的意识和能力是数学教学的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增加一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于引导学生应用复合函数的求导法则及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就体现了复合函数求导法则的应用广泛性，也体现了思维的多样性和变通性，培养了发散思维能力，更重要的是可以激发学生学好用好数学的意识和积极性．
4．通过这节的学习，应使学生对复合函数的概念、求导法则和步骤及其应用，有一个整体的把握．
教学过程
1．复习求导法则
让学生回答复合函数定义、求导法则、求导步骤．
本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导．
2．应用求导法则
(1)应用之一 对复合函数式求导
例2 求下列函数的导数：
(1)y (2)y sinx (3)y cos(3x x 6)(4)y 2＝；＝；＝；＝．113142()
--+x x 请学生上台完成．
答案：
(1)12(1(2)2xcosx (3)3sin(3x )(4)x 1+x
22---365x x )；；；． 注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．
师生一起评议．可表扬四位同学完成得较好．接着提请注意，熟练后可省写步骤，并作示范．如，解(1)可表达为
y ′x ＝[(1－3x)-4]′＝－4(1－3x)-5·(－3)＝12(1－3x)-5．
这里最后结果可写负指数或分数指数．
出示教科书例3并讲解．
其中对＝求′，可让学生在草稿上完成．此处，教师可u u x x x
1- 作如下指导：
方法一 按商的求导法则求导．
方法二先化为＝－＋，即＝－＋，＝－，按复合 u 1u 1v v 1x 111--x
函数求导．
(2)应用之二 解简单的应用问题
增例当∈时，求证：＋＋＋…＋＝·． n N C 2C C nC n 2
*n n 2n 3n n n 11- 引导学生分析，联想到二项展开式
(1x)C C x C x C x (*)n n 0
n 1n 22n n n ＋＝＋＋＋…＋．
对比展开式通项与待证和式通项，可决定对式求导并C x kC (*)n k
k n k
赋值x ＝1证得．
视学生水平由教师讲解或学生完成证明．
证明：由＋＝＋＋＋…＋，(1x)C C x C x C x n n 0
n 1n 22n n n
两边对x 求导，得
n(1x)10C 2C x nC x
n 1n 1n 2n n n 1＋·＝＋＋＋…＋．-- 令x ＝1，得
n 2C 2C nC n 1n 1
n 2n n ·＝＋＋…＋．-
注：应向学生讲清(1＋x)n 是作为复合函数对x 求导的．
对此题再思考．在《排列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不妨重温一下．
方法一 倒序相加法
令＝＋＋…＋－＋S C 2C (n 1)C nC n n 1
n 2n n 1n n -
(1)
(1)式右边倒序，写为
S nC (n 1)C (n 2)C C n n n
n n n n 2n 1＝＋－＋－＋…＋--1
(2)
注意到组合数性质＝＝，，…，C C (r 01n)n r
n
n r - (2)式可改写为
S nC (n 1)C (n 2)C C n n 0
n 1n n 1＝＋－＋－＋…＋n 2-
(3)
将(1)、(3)两式相加(注意错位)得
2S n(C C C C C )n n 0
n n ＝＋＋＋…＋＋n n n n 121-
即2S n ＝n ·2n
∴S n ＝n ·2n-1
即＋＋…＋＝·C 2C nC n 2
n 1n 2n n n 1- 方法二 通项变换法
kC k n nC kC nC n k
n 1k
1n k
n 1
k ＝··＝·＝即＝n k n k n k n k !!()!()!()![()()]!----------11111
在这一等式中顺次取k ＝1，2，…，n ，并相加得
C 2C nC nC nC nC n(C C C )n 2n 1
n 2n n n 1
＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝·n n n n n n n n ---------10111
110
1111
3．反馈练习
学生完成教科书练习第1、2题
4．课堂小结
由＝，＝可得复合函数＝．y f(u)u (x)y f[(x)]ϕϕ
关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用．
(1)法则 y ′x ＝y ′u ·u ′x
(2)步骤 分解——求导——回代(熟练后可省写步骤)
(3)应用 能对复合函数求导；能解有关的应用问题 布置作业
教科书习题3．4第2(3)(4)、3题．
研究题已知曲线＝≤≤在点处 y (100x)(0x 100)M 40035
2++-x 有水平切线，求点M 的坐标．
略解：易得
y ′＝－．x
x 400352+ 令y ′＝0，解得x ＝15．
点M 的坐标是(15，76)．。