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一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数积分学及其应用.ppt
分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式， x称为积分变量．
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
一元函数积分学概论
一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。
一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。
定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。
计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。
不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。
换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。
分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。
三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。
反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。
总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。
一元函数微分公式
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。
这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。
除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。
由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。
为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。
借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。
这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。
然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。
这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。
牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。
一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：(1)Ф’(t)在[α,β]上连续；(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。
(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。
(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。
一元函数积分学
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数，若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx，则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。
例
(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )（可导）
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ －1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
11
(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数，若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx，则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。
例
(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )（可导）
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ －1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
11
(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;
一元函数积分学及其应用(课件)
注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不 会自动补充常数项 C 。
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
一元函数积分学
2
xdx dx cot x x C .
1 5 x 3 e x 例11 dx ( ( ) ( )( ) )dx x 1 2 2 2 2 2 1 5 x 3 e x ( ) dx ( ) ( ) dx 2 2 2 2 1 5 x 3 e x ( ) ( ) C. 2(ln 5 ln 2) 2 2(1 ln 2) 2
2 2 x a C a
dx 2 1 1 x
2
k f ( x ) dx . （k 是常数，k 0)
例5 (
1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C.
2
2
) dx 3
1
2
dx
例6
1 x x
2
2
x (1 x )
dx
x (1 x ) dx 2 x (1 x )
例3
dx
(2)
x C.
二、 基本积分表
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。 将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理） 可以得出基本积分公式（基本积分表）。
(1 )
kdx
kx C
x
1
( k 是常数);
C ( 1);
2
2
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x 1 .
2
注
f ( x )的 一 个 原 函 数 的 图 形 称 为 f ( x )的 一 条
积分曲线.
求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C.
y=F(x)+C
一元函数积分学(不定积分的概念与性质)
一、原函数的概念 1. 问题
(1)已知速度v( t ), 求路程s( t ).
即 s( t ) v( t )(已知), 求s( t ).
(2)已知曲线上每一点处的 切线斜率k ( x ), 求曲线y f ( x ).
即 y k ( x )(已知), 求y f ( x ).
2. 原函数的定义
例11. 计算 cot 2 xdx. 解:
2 2 cot x dx (csc x 1)dx
cot x x C .
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等 变形，才能使用基本积分表.
cos 2 x dx. 例12. 计算 2 2 cos x sin x
解:
x
90 x 2 2 3 cos x x C ln 90 3
3
(2x x x 3 x ) x 例4. 计算 dx. 2 x
(2 x x x 3 x ) x 解: dx 2 x
(2 x
1 2
3 )dx x
2 x 2 x 3 ln x C
x x e dx e C; x a x C; (13) a dx ln a (14) sinh xdx cosh x C ;
(12)
(15) cosh xdx sinh x C ;
(16) 0dx C .
四、不定积分的性质
不定积分的基本性质：
d (1) f ( x )dx f ( x ), 或 d[ f ( x )dx] f ( x )dx, dx
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
问题
3.1.1 原函数的概念
一元函数的积分
一元函数的积分在微积分学中，积分是一个重要的概念，也是微积分的一个基本操作。
根据函数的定义域和性质的不同，积分可以分为定积分和不定积分，本文将着重讨论一元函数的积分。
一、定积分定积分是指确定函数在一定区间上的积分值，其符号表示为∫f(x)dx，其中 f(x) 是被积函数，dx 表示自变量的增量。
定积分的计算需要确定积分区间，并采用不同的方法进行求解。
1. Riemann积分Riemann积分是最基本的定积分方法之一。
它将区间划分成若干小区间，然后在每个小区间内选择代表值，利用这些代表值来逼近积分。
通过将小区间的长度无限逼近于零，在取极限的过程中求得定积分的值。
Riemann积分的计算方法可以采用上确界和下确界的方式，也可以使用定积分的定义进行求解。
在实际应用中，常常结合积分表和基本的积分技巧来求解定积分。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性、积分下界和上界的比较、定积分的换元法和分部积分法等。
这些性质为定积分的计算提供了便利，也为求解各种实际问题提供了数学工具。
二、不定积分不定积分是指函数的原函数的一般形式。
其符号表示为∫f(x)dx =F(x) + C，其中 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分可以理解为出现在求导运算的逆运算，即求解函数的原函数。
由定义可知，不定积分的结果还是一个函数，它与原函数相差一个任意常数。
因此，不定积分的结果通常给出一个含有 " + C " 的表达式。
对于一元函数的不定积分，可以使用一些基本的积分公式和性质来求解。
常见的不定积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等，通过将复杂的函数化简为基本的积分形式，再利用基本积分法求解，可以得到结果。
三、应用举例1. 面积计算定积分可以应用于求解曲线所围的面积。
以抛物线 y = ax^2 + bx + c 为例，要求其在区间 [x1, x2] 上所围面积，可以通过求解∫(x1, x2) (ax^2 + bx + c)dx 来得到。
《高等数学》PPT课件-第二章一元函数微分
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
log a
e.
即
(log a
x)
1 x
log a
e.
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
(3)
n
[
fi ( x)]
f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x);
i1k 1 ki
七、例题分析
高数第一章 一元函数 PPT课件
月份 t 零售量 s 1 81 2 84 3 45 4 45 5 9 6 5 7 6 8 15 9 94 10 11 12 123 161 144
此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定 义域为 D{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}
常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法 图像法——用函数的图像表示自变量和因变量间的关系 例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到 测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度 y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D=[0 b]
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
二、如何学习高等数学 ?
x0 x
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线 和 x 轴，以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
2 22 r 2 r xx y y y x2 x2 yy y log log x x 1) 1) a(3 a(3
有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F ( x, y ) 0 表示的 称为隐函数
此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定 义域为 D{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}
常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法 图像法——用函数的图像表示自变量和因变量间的关系 例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到 测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度 y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D=[0 b]
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
二、如何学习高等数学 ?
x0 x
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线 和 x 轴，以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
2 22 r 2 r xx y y y x2 x2 yy y log log x x 1) 1) a(3 a(3
有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F ( x, y ) 0 表示的 称为隐函数
D第二章 一元函数微分学精选文档PPT课件
5
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度 ★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
8
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度 ★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
8
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
高等数学课件第4章 一元函数微分学
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
4
3. 原函数结构定理：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数C ， F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x)的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
5
三、不定积分
1. 不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
即： f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
2
二、原函数
1.定义: 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的
导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C, f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1,
所求曲线方程为 y x2 1.
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
9
3. 不定积分的性质
性质1 求不定积分和求导数、微分互为逆运算
= 注： f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
四、基本积分表(1):
一元函数积分
一元微积分是数学中的重要分支，主要研究函数的微分与积分。本文首先介绍不定积分，它是原函数的全体，通过不定积分可以找到函数的原函数，进而求解函数的积分。不定积分的计算方法包括直接积分法、换元法和分部积分法。接着介绍定积分，它表示函数在特定区间上的积分值，具有确定的上下限。定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼兹公式转化为不定积分进行计算。此外，还介绍了广义积分的概念与计算方法，它可以处理在无穷区间或具有奇点的函数积分。最后，通过定积分的几何应用和元素法，可以解决实际生活中的一些问题，如面积、体积、弧长等的计算。掌握一元级的数学知识具有重要意义。
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(3-15)
例3. (93. 5分) 计算
xe x dx.
ex 1
解法1: 被积函数是两类函数相乘, 应使用分部积分法.
原式=2xd( ex 1) 2xex12 ex1dx
又
ex 1dx
ex 1 t
2t2 1+ t2
dt
2
1 1ln|1cosx|c. 4(cosx1) 8 1cosx
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解法2: 由半角公式得
dx sin2x 2sinx
dx 2sinx(1cosx)
4sin
x
dx cos x
2cos2
x
4sin
d(x) 2
x cos x cos2
1 t, 则 ex 1 t2,
(1t2)ln(1t2) 2t
t
1t2
x dt
ln(1t2), d x
2tdt 1 t2
2 ln(1t2)dt
.
2 [tln (1 t2)td ln (1 t2)]2[tln(1t2)
2t2 1+t2 dt]
2[tln(1t2)2(1+ 1+ t2t)21dt]
cosx =
u
1
du
2 (1u2)(u1)
1 (1u)(1u)du
4 (1u2)(u1)
14(udu1)2 141duu2 4(u11)14(1ud)u(1u) 4(u11)8 1((1 1u)1 1u)du4(u11)81ln|11 uu|c
积分就可求得 f ( t ) .
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(3-29)
例2.(99. 3分) 设 f (x) 是连续函数, F(x)是f (x)的原函数, 则( A ).
(A) 当f (x)是奇函数时, F (x) 必是偶函数. (B) 当f (x)是偶函数时, F (x) 必是奇函数. (C) 当f (x)是周期函数时, F (x) 必是周期函数. (D) 当f (x)是单调增函数时, F (x) 必是单调增函数.
x
1 4
d (tan x ) 2
tan x cos2 x
2
2
2
22 2
22
1 4
(tan2
x +1)d(tan 2
tan x
x) 2
1tan2x1ln|tanx|c 8 24 2
2
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解法3: 用万能代换, 令 t a n x t ,
2 [tln (1 t2 ) 2 t 2 a rc ta n t]+ c
t e x 1 2 xe x 1 4e x 1 + 4 a r c ta ne x 1 + c .
注释:本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.
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(3-33）
t
f (t) =
lnt t
dt
= lntd(lnt)
=
1 2
ln 2t
c .由
f
(1)
=
0
, 得c
=
0
.
故 f (x) = 1 ln2x. 应填 1 l n 2 x .
22ຫໍສະໝຸດ 注释: 本题考查对于导函数 f ' ( e x ) 的理解和不定积分.
解决此类问题的方法是先作变量代换求出 f ' ( t ) , 然后
(t2 1) 1 1+t2 dt
2(tarctant)c2( ex1arctanex1)c.
原式= 2 xe x 1 4 (e x 1 a rc ta ne x 1 ) c .
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解法2: 令
xex dx ex 1
ex
解:通过举例即知选项(C)与(D)均不正确.对于选项(A) ,
由于f (x)的原函数F (x)
则
F(x)
x
f(t)dt+c
0
可表示为:
F(x)
x
f(t)dt+c.
令 t
u
0 x
f (u)du+c
0
x
0 f (u)du+c = F ( x). 故 (A)正确选项.
注释: 本题考查原函数的概念及变上限函数的表示法.
1 2[e2xarctanex(d ee x)x2+1+ d (e exx)2]
1[e 2xarctan exexarctan ex]+c. 2
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解法2: 令 e x t , 则 x lnt,dx dt .
t
arctane x e2x dx
arctant t3 dt
1 2
arctantd(1) t2
1 2[t1 2arctantt1 2d(arctant)]1 2[t12arctantt2(11t2)dt]
1[1arctant
2t2
(1t2+(1t2)t2)t2dt]1 2[t1 2arctant1 tarctant]+c.
第三节
第二章
一元函数积分学(二)(62)
五、历年试题解析
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五、历年试题解析
题型(一) 不定积分计算
(3-38)
例1.(04.4分)已知
f
'(ex)
xex,且
f
(1)
=
0
,则
f
(x)
=
_12 _l n _2 x .
解: 令 e x t , 则 x lnt, 代入 f'(ex)=xex得f ' (t ) = lnt .
t = e x 1[e 2xarctanexexarctanex]+c. 2
注释: 本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.
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(3-18)
例5. (94,5分)
求
dx . sin2x 2sinx
解法1:
原式=
dx 2sinx(cosx 1)
12(1coss2inxx)(dcxosx1)
例4. (01.6分)求
arctan e x e2x dx.
解法1:
arctane x e2x dx
1 2
arctanexd(e2x)
1[e 2xarctanexe 2xd(arctan ex)] 2
1[e2xarctanex
2
dex e2x(1e2x)]
1 2[e2xarctanex(1 e 2xe (1 2x )e 2e x)2xdex]