空间任意力系
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因为力在坐标轴上的投影分别为：
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为：
x l, y l b, z 0
则 M x F yFz zFy l b F cos 0 Fl bcos M y F zFx xFz 0 l F cos Fl cos
10
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0 由式（6–1）
Fx 0 Fy 0
(6-2)
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
11
有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 垂直于两墙的铵接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已 知＝30，＝60，点O处吊一重力G＝1.2kN的重 物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四 点都在同一水平面上，杆和绳的重力均略去不计。
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
例题1
21
例题
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
Mo (F, F) (rA rB ) F M
29
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
M (F1, F1) rBA F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
32
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
有 M Mi
M x Mix , M y Miy , M z Miz
M 为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和.
33
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
27
力偶矩矢 M rBA F （6–10）
28
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。 力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
cos M ix
M
cos M iy
M
cos M iz
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即 M 0
有 Mix 0 Miy 0 Miz 0
简写为 Mx 0 M y 0 Mz 0 （6–11）
称为空间力偶系的平衡方程.
34
§6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
然后再把Fxy投影到轴x、y，得
Fx Fn Fxy sin Fn cos sin 1410cos20sin 25N 560N
Fy Ft Fxy cos Fn cos cos 1410cos20cos25N 1201N
返回首页
Fr 482 N Fxy 1325 N
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25
例题
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
26
§6–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
Mo M x (F)i M y (F) j M z (F)k
式中 M x (F ), M y (F ), M z (F ) 分别表示各力
对 x，y ，z ,轴的矩。
36
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, MO 0 最后结果为一个合力
合力作用点过简化中心.
果 CD=b ， 杆 BC 平 行 于 x 轴 ,
杆CE平行于y轴，AB和BC的 长度都等于l。试求力F 对x， y和z三轴的矩。
20
例题
解： 方法1 应用合力矩定理求解。
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
已知圆柱斜齿轮所受的齿合力Fn=1410N，齿轮压力角=20，螺旋角 =25 。试计算斜齿轮所受的圆周力Ft、轴向力Fa和径向力Fr。
返回首页
解 取坐标系如图，使x、y、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。 先把齿合力Fn向Z轴和Oxy坐标平面投影，得
Fz Fr Fn sin 1410 sin 20N 482 N
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。
24
例题
例题2
力F 对坐标轴之矩为：
M x aF sin cF cos sin 105 N m
解 1）选取研究对象，画受力图。
2）列力系的平衡方程式，求未知量 ∑Fx =0 FB－Fcossin=0 ∑Fy=0 FA－Fcoscos=0 ∑Fz=0 Fsin－G=0
z C
F D
A
B y
FB
x
O
FA
G
解上述方程得 F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小为
Fxy Fn cos 1410 cos 20N 1325 N
返回首页
Fr 482 N
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
i jk x y z
Fx Fx Fx
( yFx zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k （6–4） 力对点O的矩 MO (F) 在 三个坐标轴上的投影为
Mo (F)x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz
Mo (F)z xFy yFz （6–5） 15
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz )
=0 Fy z Fy x = Fz y Fy z （6-7）
17
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz )
= Fx z +0 - Fz x = Fx z Fz x （6-8）
2.力对轴的矩
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （6–6） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平 面内），力对该轴的矩为零.
16
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
如图：力 F ,力 F 在三根轴上的分力 Fx ，Fy ，Fz ，
力 F 作用点的坐标 x, y, z 则：力 F 对 x, y, z轴的矩
1．空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 Mi Mo(Fi ) 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
35
空间汇交力系的合力
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
Mo Mi Mo (Fi )
称为主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) = - Fx y Fy x +0
= Fy x Fx y （6-9）
18
比较（6-5）、（6-7）、（6-8）、（6-9）式可得
Mo (F)x yFz zFy M x (F )
Mo (F) y zFx xF M y (F) Mo (F)z xFy yFz M z (F )
M y cF cos cos bF sin
66 N m
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
力F 对原点O之矩大小：
MO
M
2 x
M y2
M z2
124.3 N m
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩
的矢量和. MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
19
例题
例题1
手柄ABCE在平面Axy内, 在D处作用一个力F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内， 偏离铅直线的角度为α。如
退出
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1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面.
MO(F) r F （6–3）
14
又 r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
则 MO (F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
M z F xFy yFx 0 l bF sin Fl bsin
22
例题
例题2
在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐 标原点O的矩。已知OA =a = 6 m，AB=b=4 m，BC=c=3 m， α=30º,β=60º。
23
例题
例题2
解：由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 （6–1）
方向余弦
cos(FR , i )
Fx
FR
cLeabharlann Baidus(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点.
第6章 空间任意力系
§6–1 空间汇交力系 §6–2 力对点的矩和力对轴的矩 §6–3 空间力偶 §6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 §6–5 空间任意力系的平衡方程 §6–6 重 心 例 题
1
桅杆起重机
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脚拉杆
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手摇钻
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1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
间接（二次）投影法
Fxy F sin Fx F sin cos
Fy F sin sin Fz F cos
9
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
30
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
=
F2 F3 F3
=
31
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
A x
解 1）选取研究对象，画受力图。
取铰链O为研究对象，设坐标系为Dxyz。
2）列力系的平衡方程式，求未知量，即 ∑Fx =0 FB－Fcossin=0 ∑Fy=0 FA－Fcoscos=0 ∑Fz=0 Fsin－G=0
z C
F D
B y
FB
O FA
G
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返回
已知＝30，＝60，G＝1.2kN。 试求两杆和钢绳所受的力。
当
FR 0, MO
0, FR MO
时，d
MO FR
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO
FR
37
（2）合力偶 当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
（3）力螺旋
当FR 0, MO 0, FR ∥MO 时
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为：
x l, y l b, z 0
则 M x F yFz zFy l b F cos 0 Fl bcos M y F zFx xFz 0 l F cos Fl cos
10
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0 由式（6–1）
Fx 0 Fy 0
(6-2)
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
11
有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 垂直于两墙的铵接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已 知＝30，＝60，点O处吊一重力G＝1.2kN的重 物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四 点都在同一水平面上，杆和绳的重力均略去不计。
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
例题1
21
例题
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
Mo (F, F) (rA rB ) F M
29
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
M (F1, F1) rBA F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
32
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
有 M Mi
M x Mix , M y Miy , M z Miz
M 为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和.
33
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
27
力偶矩矢 M rBA F （6–10）
28
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。 力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
cos M ix
M
cos M iy
M
cos M iz
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即 M 0
有 Mix 0 Miy 0 Miz 0
简写为 Mx 0 M y 0 Mz 0 （6–11）
称为空间力偶系的平衡方程.
34
§6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
然后再把Fxy投影到轴x、y，得
Fx Fn Fxy sin Fn cos sin 1410cos20sin 25N 560N
Fy Ft Fxy cos Fn cos cos 1410cos20cos25N 1201N
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Fr 482 N Fxy 1325 N
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25
例题
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
26
§6–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
Mo M x (F)i M y (F) j M z (F)k
式中 M x (F ), M y (F ), M z (F ) 分别表示各力
对 x，y ，z ,轴的矩。
36
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, MO 0 最后结果为一个合力
合力作用点过简化中心.
果 CD=b ， 杆 BC 平 行 于 x 轴 ,
杆CE平行于y轴，AB和BC的 长度都等于l。试求力F 对x， y和z三轴的矩。
20
例题
解： 方法1 应用合力矩定理求解。
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
已知圆柱斜齿轮所受的齿合力Fn=1410N，齿轮压力角=20，螺旋角 =25 。试计算斜齿轮所受的圆周力Ft、轴向力Fa和径向力Fr。
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解 取坐标系如图，使x、y、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。 先把齿合力Fn向Z轴和Oxy坐标平面投影，得
Fz Fr Fn sin 1410 sin 20N 482 N
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。
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例题
例题2
力F 对坐标轴之矩为：
M x aF sin cF cos sin 105 N m
解 1）选取研究对象，画受力图。
2）列力系的平衡方程式，求未知量 ∑Fx =0 FB－Fcossin=0 ∑Fy=0 FA－Fcoscos=0 ∑Fz=0 Fsin－G=0
z C
F D
A
B y
FB
x
O
FA
G
解上述方程得 F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小为
Fxy Fn cos 1410 cos 20N 1325 N
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Fr 482 N
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
i jk x y z
Fx Fx Fx
( yFx zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k （6–4） 力对点O的矩 MO (F) 在 三个坐标轴上的投影为
Mo (F)x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz
Mo (F)z xFy yFz （6–5） 15
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz )
=0 Fy z Fy x = Fz y Fy z （6-7）
17
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz )
= Fx z +0 - Fz x = Fx z Fz x （6-8）
2.力对轴的矩
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （6–6） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平 面内），力对该轴的矩为零.
16
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
如图：力 F ,力 F 在三根轴上的分力 Fx ，Fy ，Fz ，
力 F 作用点的坐标 x, y, z 则：力 F 对 x, y, z轴的矩
1．空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 Mi Mo(Fi ) 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
35
空间汇交力系的合力
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
Mo Mi Mo (Fi )
称为主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) = - Fx y Fy x +0
= Fy x Fx y （6-9）
18
比较（6-5）、（6-7）、（6-8）、（6-9）式可得
Mo (F)x yFz zFy M x (F )
Mo (F) y zFx xF M y (F) Mo (F)z xFy yFz M z (F )
M y cF cos cos bF sin
66 N m
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
力F 对原点O之矩大小：
MO
M
2 x
M y2
M z2
124.3 N m
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩
的矢量和. MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
19
例题
例题1
手柄ABCE在平面Axy内, 在D处作用一个力F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内， 偏离铅直线的角度为α。如
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1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面.
MO(F) r F （6–3）
14
又 r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
则 MO (F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
M z F xFy yFx 0 l bF sin Fl bsin
22
例题
例题2
在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐 标原点O的矩。已知OA =a = 6 m，AB=b=4 m，BC=c=3 m， α=30º,β=60º。
23
例题
例题2
解：由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 （6–1）
方向余弦
cos(FR , i )
Fx
FR
cLeabharlann Baidus(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点.
第6章 空间任意力系
§6–1 空间汇交力系 §6–2 力对点的矩和力对轴的矩 §6–3 空间力偶 §6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 §6–5 空间任意力系的平衡方程 §6–6 重 心 例 题
1
桅杆起重机
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脚拉杆
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手摇钻
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1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
间接（二次）投影法
Fxy F sin Fx F sin cos
Fy F sin sin Fz F cos
9
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
30
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
=
F2 F3 F3
=
31
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
A x
解 1）选取研究对象，画受力图。
取铰链O为研究对象，设坐标系为Dxyz。
2）列力系的平衡方程式，求未知量，即 ∑Fx =0 FB－Fcossin=0 ∑Fy=0 FA－Fcoscos=0 ∑Fz=0 Fsin－G=0
z C
F D
B y
FB
O FA
G
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已知＝30，＝60，G＝1.2kN。 试求两杆和钢绳所受的力。
当
FR 0, MO
0, FR MO
时，d
MO FR
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO
FR
37
（2）合力偶 当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
（3）力螺旋
当FR 0, MO 0, FR ∥MO 时