2019_2020学年新教材高中数学全册综合检测新人教B版必修第二册
2020学年高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教B版必修2(2021-2022学年)
学期综合测评(二)对应学生用书P8９本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分１50分，考试时间1２０分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知圆x2+y2-2x+ｍy-４=0上两点Ｍ，N关于直线２x＋y=０对称,则圆的半径为（ )A.9 Ｂ.３Ｃ.２错误!Ｄ.2答案 B解析由题意知圆的圆心坐标为错误!,又点M，Ｎ关于直线2x+y＝0对称，所以该直线过圆心，即2-错误!未定义书签。
＝０,解得m＝4．此时该圆方程为(ｘ－１)２+(ｙ+2）2=9,所以该圆的半径为３．２．用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥,其截面图形不可能是（ )A．钝角三角形 B.等腰梯形C.平行四边形 D．正五边形答案C解析①若截面过棱PB,PE，则截面△PBE与△ABＥ是全等三角形，且∠BＡE=108°,所以截面△PBE是钝角三角形,如图1.②在平面PAB内作MN∥ＡB，交PA,PB于点M,N,连接CE，则ＣE∥AB,所以MN∥CE，且MN≠CE.又由题意及作图知ＭE=NC,所以四边形CＥMＮ是等腰梯形,如图２.③用平行于底面的平面截该棱锥,其截面图形是正五边形，如图 3.综上所述，不可能的截面图形是平行四边形.ﻬ3.△OAB的斜二测直观图如图所示,则原△OＡB的面积为（）A．错误! B.１C.2 D．４答案 C解析原三角形OAB为直角三角形,OB＝2,OA＝2，∴S＝错误!未定义书签。
OA·OB＝2.4.过不重合的A(m２+2，m2－3),B（3-ｍ－m2,2m）两点的直线ｌ的倾斜角为４5°,则ｍ的值为（)A.-1B.-2C.-１或2 Ｄ．1或-２答案 B解析过A(m2＋2,ｍ２－3),B(3－m－m2，２ｍ)两点的直线ｌ的斜率k＝m２-3-２ｍｍ２+２－3+m＋ｍ２=＼f(ｍ2-2m－３，２m2＋m－１).且错误!即m≠－1．∵直线l的倾斜角为4５°，∴ｋ=错误!未定义书签。
2019高中数学 模块综合检测 新人教B版必修2
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面解析：a与c可以相交、平行或异面,分别如图中的①,②,③.答案：A2已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或C.3或D.1或2解析：当k=3时,l1:-2y+1=0,l2:-2y+3=0,显然平行;当k=2时,l1:-x+1=0,l2:-2x-2y+3=0,显然不平行;当k≠3,且k≠2时,要使l1∥l2,应有⇒k=.综上所述k=3或k=,故选C.答案：C3由三视图可知,该几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析：由三视图知该几何体为四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为直角梯形.答案：B4在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)解析：过P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0.因为点P(2,1)在此垂线上,所以4×2+3×1+m=0.所以m=-11.由联立求解,得所求的点的坐标为(5,-3).答案：A5若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11解析：圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.答案：C6某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3解析：此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为6×4×3+×3×4×3=90 (cm3).答案：B7若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析：圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为d=.所以当a=2时,d有最小值=3,此时切线长最小,为=4,故选C.答案：C8一块石材表示的几何体的三视图如图,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析：由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),则可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知主视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得R==2.答案：B9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=4相切于第三象限的直线方程是()A.x+y+2=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2=0解析：由题意设所求直线方程为y=-x+k(k<0),又圆心(0,0)到直线y=-x+k的距离为2,即=2,∴k=±2,又k<0,∴k=-2.故直线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.答案：A10如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN的体积是 ()A.12B.10C.6D.不确定解析：设四棱锥R-PQMN的高为d,则d=,S四边形PQMN=×(1+3)×3=6,V R-PQMN=S四边形PQMN·d=×6=6,故选C.答案：C11已知点A,B,C,D为同一球面上的四点,且AB=AC=AD=2,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.12πD.8π解析：这四点可看作一个正方体的四个顶点,且该正方体的八个顶点都在球面上,即球为正方体的外接球,所以2=2R,R=,S=4πR2=12π,故选C.答案：C12已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是()A.3-B.4C.3+D.6解析：依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2=3+,故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A(1,3,1),B(5,7,5),则正方体的棱长为.解析：由题意可知,|AB|为正方体的对角线长.设正方体的棱长为x,则|AB|=x.∵|AB|==4,∴4x,即x=4.答案：414经过点P(2,-3)作圆x2+y2=20的弦AB,且使|AB|=8,则弦AB所在的直线方程为.解析：如图,因为|AB|=8,所以|OC|==2.当直线AB的斜率存在时,设AB所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,圆心O到AB的距离为=2,解得k=-.此时,AB所在的直线方程为5x+12y+26=0.当直线AB的斜率不存在时,可知AB所在的直线方程为x=2时,符合题意.故所求弦AB所在直线的方程是5x+12y+26=0或x=2.答案：5x+12y+26=0或x=215设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是.解析：因为,所以.又圆柱的侧面积S侧=2πrh,所以S侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2,则,故.答案：16在三棱锥P-ABC中,底面是边长为2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点P时,三棱锥的最大体积为.解析：点P到平面ABC距离最大时体积最大,此时平面PAB⊥平面ABC,如图,易求得PD=2 cm.所以V=×4×2(cm3).答案： cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1:4x+3y+1=0与l2:4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=,求直线l的方程.解由题意可知l与l1,l2不垂直,则设直线l的方程为y-2=k(x-1).由解得A;由解得B.∵|AB|=,∴,整理,得7k2-48k-7=0,解得k1=7或k2=-.因此,所求直线l的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.18(本小题满分12分)如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求的最大值.(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC.又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1,又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC.又BC⊂平面BA1C,∴平面A1AC⊥平面BA1C.(2)解在Rt△ACB中,设AC=x,∴BC=(0<x<2),∴S△ABC·AA1=AC·BC·AA1=(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x2<4.∴当x2=2,即x=时,的值最大,且的最大值为.19(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.证明(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.20(本小题满分12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2.k AB=a=-,所以a=.把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由于∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.21(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.(1)求证:PC∥平面EBD;(2)求三棱锥C-PAD的体积V C-PAD;(3)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.(1)证明设AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD.(2)解∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵PA⊥底面ABCD,∴PA为三棱锥P-ACD的高,∴V C-PAD=V P-ACD=S△ACD·PA=×22×2=.(3)解在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为.22(本小题满分12分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.(1)证明∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。
2019-2020人教B版数学必修2 模块综合测评2
模块综合测评(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线的方程为x －3y ＋2 019＝0，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°A [设直线的倾斜角为α，则tan α＝33，又α∈[0°，180°)，∴α＝30°.选A.]2．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732B.73 C ．5 D.52A [由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732.]3．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．]4．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定C [将直线ax －y ＋2a ＝0化为点斜式得y ＝a (x ＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所以直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9必相交．故选C.]5．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直C ．PC 1与平面AB 1D 1相交D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [连BC 1和DC 1(图略)，∵BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ，∴PC 1∥平面AB 1D 1.选D.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [依题意得，2a ×1＋1×[－(a ＋1)]＝0，∴a ＝1，代入方程可得⎩⎨⎧ 2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65. 选C.]7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥ACC [由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1，故选C.]8．设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2B [由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.]9．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( ) A.285 B.125 C.85 D.25B [直线l 1的斜率k ＝－a 3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a 3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5， ∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.]10．球O 的一个截面圆的圆心为M ，圆M 的半径为3，OM 的长度为球O 的半径的一半，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．323πC ．12πD ．16πD [设截面圆的直径为AB ，∵截面圆的半径为3，∴BM ＝3，∵OM 的长度为球O 的半径的一半，∴OB ＝2OM ，设球的半径为R ，在直角三角形OMB 中，R 2＝(3)2＋14R 2.解得R 2＝4，∴该球的表面积为16π，故选D.]11．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215B [将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点．设两直线的交点为Q ，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1，1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.]12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8B [由主视图与左视图想象出其直观图，然后进行运算求解．如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．△ABC 中，已知A (2, 1)，B (－2,3)，C (0,1)，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为________．x ＋3y －5＝0 [线段BC 的中点D (－1,2)．可得BC 边上的中线所在的直线的方程：y －1＝2－1－1－2(x －2)， 一般式方程为x ＋3y －5＝0.故答案为：x ＋3y －5＝0.]14．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.83π [先通过三视图还原几何体，再利用体积公式求解．由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]15．如图，在棱长均相等的四棱锥P -ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论：①PC ∥平面OMN ；②平面PCD ∥平面OMN ；③OM ⊥P A ；④直线PD 与MN 所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)①②③ [如图，连接AC ，易得PC ∥OM ，所以PC ∥平面OMN ，结论①正确．同理PD ∥ON ，所以平面PCD ∥平面OMN ，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB 2＋BC 2＝P A 2＋PC 2＝AC 2，所以PC ⊥P A ，又PC ∥OM ，所以OM ⊥P A ，结论③正确．由于M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ∥CD ，又三角形PDC 为等边三角形，所以∠PDC ＝60°，所以直线PD 与MN 所成的角即∠PDC ，故④错误．故正确的结论为①②③.]16．若曲线C 1：y ＝1＋－x 2＋2x 与曲线C 2：(y －1)·(y －kx －2k )＝0有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 [由y ＝1＋－x 2＋2x 得(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)， 曲线C 1表示以(1,1)为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y ＝1与曲线C 1有两个交点，交点为半圆的两个端点．∴直线y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点，当直线y ＝k (x ＋2)经过点(0,1)时，k ＝12，当直线y ＝k (x ＋2)与半圆相切时，|3k －1|k 2＋1＝1，解得k ＝34或k ＝0(舍)，∴当12＜k＜34时，直线y＝k(x＋2)与半圆有2个除端点外的交点．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(－1，5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M是BC边上的中点．(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长．[解](1)由两点式得方程为y－5－1－5＝x＋1－2＋1，即6x－y＋11＝0.或直线AB的斜率为k＝－1－5－2－(－1)＝－6－1＝6，直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0.(2)设M的坐标为(x0，y0), 则由中点坐标公式得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[证明](1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1.又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，点B (4,4)，角A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋2＝0.(1)求点C 的坐标；(2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意知BC 的斜率为－2，又点B (4,4)，∴直线BC 的方程为y －4＝－2(x －4)，即2x ＋y －12＝0.解方程组⎩⎨⎧ y ＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝0，∴点A 的坐标为(－2,0)． 又∠A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，∴点B (4,4)关于直线y ＝0的对称点B ′(4，－4)在直线AC 上，∴直线AC 的方程为y ＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋4＝0.解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －12＝0，2x ＋3y ＋4＝0，得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝－8， ∴点C 的坐标为(10，－8)．(2)∵|BC |＝(10－4)2＋(－8－4)2＝65，又直线BC 的方程是2x ＋y －12＝0，∴点A 到直线BC 的距离是d ＝|2×(－2)＋0－12|22＋12＝165，∴△ABC 的面积是S ＝12×|BC |×d ＝12×65×165＝48.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)∵B1C1CB为正方形，∴E为B1C的中点，又D为AB1中点，∴DE 为△B1AC的中位线，∴DE∥AC，又DE⊄平面A1C1CA，AC⊂平面A1C1CA，∴DE∥平面AA1C1C.(2)在直三棱柱中，平面ACB⊥平面B1C1CB，又平面ACB∩平面B1C1CB＝BC，AC⊂平面ABC，且AC⊥BC，∴AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1，又B1C1CB 为正方形，∴B1C⊥BC1，AC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面ACB1，又AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1.21．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧︵CD所在平面垂直，M是︵CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC ⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为︵CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0＜b ＜1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，两切线的交点坐标．(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b )．设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b 1－b2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b 2b . 所以l 1的方程是y －b ＝1－b 2b (x ＋1－b 2)．化简得l 1的方程－1－b 2x ＋by ＝1.同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程1－b 2x ＋by ＝1.联立l l 与l 2的方程得交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b . 因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b . (2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ，则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数，即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－t x 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0.化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b .故在y 轴上存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
2019-2020人教B版数学必修2 模块综合测评1
模块综合测评(一)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6B．1C．2 D．4A[由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.]2．直线y－2＝mx＋m经过一定点，则该点的坐标为()A．(－1,2) B．(2，－1)C．(1,2) D．(2,1)A[将直线方程化为y－2＝m(x＋1)，则当x＝－1时，y＝2，即直线过定点(－1,2)．]3．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于()A．14 B．13C．2 3 D．11B[点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影为B(0,2,3)，∴|OB|＝02＋22＋32＝13.]4．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B．22 3C．423D．433D[设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.]5．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B [设P (x ，y )，则由题意可得：2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.]6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24πC [根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.]7．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥mA [利用空间平行与垂直的判定定理及性质定理进行分析． ∵l ⊥β，l ⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．]8．如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A ．66πB ．π3C ．π6D ．33πC [平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66，所以S ＝πr 2＝π×16＝16π.]9．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C [因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k ＞0，所以k ＜2.由题意知点P (1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k ＞0，解得k ＞－2，所以－2＜k ＜2.]10．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43B [在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B.]11．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若P A 长度的最小值为2，则k 的值是( )A ．3B ．212C ．2 2D ．2D [圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0,1)，半径是r ＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5， ∵k ＞0，∴k ＝2，故选D.]12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A ．212a 3 B ．a 312 C ．24a 3D ．a 36 A [取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ， 又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.±1 [由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.]14．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为(2－1)2＋(－1－0)2＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.]15．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.2 [由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r 2，∴|5|32＋42＝r 2， ∴r ＝2.]16．如图所示、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．90° [∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. [解] (1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1.又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7.故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎨⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n8＝－1，即n ＝8. 故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．[解](1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.[证明](1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3，0)，求圆M的方程．[解] (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，①由圆M 与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°. 所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．[解] (1)法一：线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)， 半径r ＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二：设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形PCMD 的面积为 S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |. 又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |， 而|PC |＝|PM |2－|CM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PCMD 面积的最小值为 S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。
模块综合测评-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册练习
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)C [∵f (x )有意义，∴⎩⎨⎧log 2x －1＞0，x ＞0.∴x ＞2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．]2．如图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [a －b ＝CA →－CB →＝BA →＝e 1－3e 2.] 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.] 4．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.故选A.]5．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP→＝3OA →－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上B [∵2OP→＝3OA →－OB →， ∴2(OP→－OA →)＝OA →－OB →， ∴2AP →＝BA →，∴AP →＝－12AB →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．]6．甲、乙两棉农，统计了连续五年的单位面积产量(kg/亩)如下表：A ．棉农甲，棉农甲B ．棉农甲，棉农乙C ．棉农乙，棉农甲D ．棉农乙，棉农乙B [x －甲＝15×(68＋72＋70＋69＋71)＝70，x －乙＝15×(69＋71＋68＋68＋69)＝69，s 2甲＝15×[(68－70)2＋(72－70)2＋(70－70)2＋(69－70)2＋(71－70)2]＝2，s2乙＝15×[(69－69)2＋(71－69)2＋(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2]＝1.2，则棉农甲的平均产量高，棉农乙的产量较稳定．]7.如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且AP→＝14AB→＋12AC→，则△BPC与△ABC的面积之比等于()A.25 B.35C.34 D.14D[延长AP交BC于点D(图略)，因为A，P，D三点共线，所以CP→＝mCA→＋nCD→(m＋n＝1)，设CD→＝kCB→，代入可得CP→＝mCA→＋nkCB→，即AP→－AC→＝－mAC→＋nk(AB→－AC→)⇒AP→＝(1－m－nk)AC→＋nkAB→，又因为AP→＝14AB→＋12AC→，即nk＝14，1－m－nk＝12，且m＋n＝1，解得m＝14，n＝34，所以CP→＝14CA→＋34CD→，可得AD→＝4PD→.因为△BPC与△ABC有相同的底边，所以面积之比就等于|DP→|与|AD→|之比，所以△BPC与△ABC的面积之比为14，故选D.]8．已知函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，定义：使f(1)×f(2)×f(3)×…×f(k)为整数的数k(k∈N*)叫作企盼数，则在区间[1,1 000]内这样的企盼数的个数为() A．7 B．8C．9 D．10B[ 因为函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，所以f(1)＝log23，f(2)＝log34，…，f(k)＝log k＋1(k＋2)．所以f(1)×f(2)×…×f(k)＝log23·log34·…·log k＋1(k＋2)＝log2(k＋2)．若f(1)×f(2)×…×f(k)为整数，则k＋2＝2n(n∈Z)，又因为k∈[1,1 000]，故k∈{2,6,14,30,62,126,254,510}．所以在区间[1，1 000]内这样的企盼数共有8个．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为()A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0B．若a与a0平行，则a＝|a|a0C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|ABC[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，当|a|＝1时，a＝－a0，故B，C也是假命题；D为真命题．]10．下列命题为真命题的是()A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件BD[对A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( )A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD.]12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图像与y ＝x ＋m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[3，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．(0，2]AB [当x ∈[0,1]时，y ＝x ＋m 的值域为[m ，m ＋1]，且在[0,1]上单调递增．y＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2. 由m ＞0，①当1m ≥1，即0＜m ≤1时，函数y ＝(mx －1)2在[0,1]上单调递减，值域为[(m －1)2,1]．两函数图像有且只有一个交点，如图(1)．图(1) 图(2)②当1m ＜1，即m ＞1时，函数y ＝(mx －1)2在0，1m 上单调递减，在1m ，1上单调递增，值域为[0，max{1，(m －1)2}]，如图(2)．若两函数图像在[0,1]上有且只有一个交点，则⎩⎨⎧(m －1)2≥m ＋1，m ＞1.解得m ≥3. 综上，m 的取值范围是(0,1]∪[3，＋∞)．故选AB.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.－7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x ＋y ＝________. －2或6 [由已知得AC →＝(1－x ，－4)2BC →＝2(3,1－y )，由|AC →|＝2|BC →|可得AC →＝±2BC→， 则当AC →＝2BC →时，有⎩⎨⎧ 1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎨⎧ 1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎨⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6. 综上可知x ＋y ＝－2或6.]16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元．(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)130 (2)15 [(1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元．(2)设促销前总价为a 元，当a ≥120时，李明得到金额(a －x )×80%≥0.7a,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立．又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)．(1)求2a ＋3b ，a －2b ；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值．[解] (1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，2a ＋3b ＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a －2b ＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a ＋b ＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？[解](1)第4组频率＝0.008×(149.5－124.5)＝0.2.(2)设参加这次测试的人数为x，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的图像如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图像如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在①中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．[解](1)由图像知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝3(负值舍去)，因此a＝3，b＝－3.(2)f(x)单调递减，所以0<a<1，又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.(3)由(1)得f(x)＝(3)x－3，在同一坐标系中画出函数y＝|f(x)|和y＝m的图像，如图．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20.(本小题满分12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a和b 表示向量OM →.[解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又因为A ，M ，D 三点共线，所以AM →与AD →共线．所以存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .所以(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又因为CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又因为C ，M ，B 三点共线，所以CM →与CB →共线．所以存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)， ∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88， ∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分，∴在B 组学生中随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解， 等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或a ＝－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：学期综合测评(一)Word版含解析.docx
必修 2学期综合测评(一)对应学生用书 P85 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ 卷(选择题，共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．已知两直线 y＝ax－ 2 和 y＝(a＋ 2)x＋ 1 互相垂直，则 a 等于 ()A ． 2 B． 1 C．0D．－ 1答案D解析由题知 (a＋ 2)a＝－ 1? a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝ 0，∴ a＝－ 1，也可以代入检验．．圆x 2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心坐标和半径分别是 ()2A ． (1，－ 2)， 5 B．(1，－ 2)，5C． (－1，2)， 5 D．(－ 1， 2)，5答案D解析圆的方程化为标准方程为(x＋ 1)2＋(y－ 2)2＝5，其圆心是 (－ 1，2)，半径为5．3．已知直线 l 的方程为 2x－ 5y＋10＝0，且在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 |a＋b|＝ ()A ． 3 B． 7 C．10D． 5答案A解析因为直线 l 的方程为 2x－5y＋10＝0，所以令 y＝0，得 x＝－ 5，即 a ＝－ 5，令 x＝0，得 y＝ 2，即 b＝2，所以 |a＋ b|＝|－ 5＋ 2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A ．1B．2C．5D．6 2222答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面 AED ⊥平面 BCDE ，四棱锥A －BCDE的高为．四边形BCDE是边长为△AED＝1×1×1＝1，1 1 的正方形，则 S22△ ABC ＝S△ ABE＝1×1×2＝2，S△ACD＝1×1×5＝5，故选 C．S22225．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8m，若按 1∶500 的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A ． 4 cm， 1 cm，2 cm，1．6 cmB． 4 cm，0．5 cm，2 cm，0．8 cmC． 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cmD． 2 cm， 0． 5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm， 1． 6 cm，再结合斜二测画法，则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cm．y－2 16．直线 l ：y＝kx－ 1 与曲线x－1＝2不相交，则 k 的取值是 ()111A ．2或 3B．2C．3 D．2，3答案 A解析曲线y －2＝1表示直线 x －2y ＋ 3＝ 0(去掉点 (1，2))，则直线 l ：y ＝ kx －x －121 与曲线 y － 2＝ 1不相交，即直线 l 与 x －2y ＋ 3＝ 0 平行或直线 l 过点 (1，2)，所以x － 1 21k 的取值为 2或 3．7．如图，三棱台 ABC －A ′ B ′C ′中， AB ∶ A ′B ′＝ 1∶2，则三棱锥 A ′－ABC ，B －A ′ B ′ C ，C －A ′B ′C ′的体积之比为 ()A ． 1∶ 1∶ 1B ． 1∶ 1∶2C ． 1∶ 2∶4D ． 1∶ 4∶ 4答案 C解析设棱台的高为 h ，S ABC ＝S ，则 S A B C ＝4S ．△△ ′ ′ ′所以 V A ′ －ABC ＝1△ABC ·＝ 1，3Sh3ShV3S3ShC － A ′ B ′ C ′＝1△ A ′ B′C ′h ＝4，17又 V 台 ＝3h(S ＋4S ＋ 2S)＝3Sh ，2而 V B －A ′B ′ C ＝ V 台 －V C － A ′B ′ C ′ －V A ′－ ABC ＝3Sh ，所以 V A ′ －ABC ∶V B － A ′ B ′ C ∶V C － A ′B ′ C ′ ＝1∶2∶4．8．已知直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝ 12，则球 O 的表面积为 ()A ． 153πB ． 160πC ．169πD ．360π答案C解析 由于直三棱柱的底面是直角三角形 ，所以可以把此三棱柱补成长方体 ，其体对角线就是外接球的直径 ，所以球 O 的半径 R ＝ 1 32＋ 42＋122＝13，所以球2 2132 O 的表面积 S ＝ 4π× 2 ＝169π，故选 C ．9．如图，三棱锥 V － ABC 中， VO ⊥平面 ABC ，O ∈ CD ， VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是 ()A ． AC ＝ BCB ． VC ⊥ VDC ． AB ⊥ VCD ． S △ VCD ·AB ＝S △ ABC ·VO答案B解析因为 VA ＝VB ，AD ＝ BD ，所以 VD ⊥AB ．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，AB ? 平面 ABC ，所以 VO ⊥ AB ．又 VO ∩VD ＝V ，所以 AB ⊥ 平面 VCD ．又 CD? 平面 VCD ，VC? 平面 VCD ，所以 AB ⊥VC ， AB ⊥ CD ．又 AD ＝BD ，所以 AC ＝BC( 线段垂直平分线的性质 )．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，1所以 V V － ABC ＝ 3S △ ABC ·VO ．因为 AB ⊥平面 VCD ，所以 V V － ABC ＝ V B － VCD ＋V A －VCD1 1＝ 3S △ VCD ·BD ＋3S△VCD·AD 1＝ 3S △ VCD ·(BD ＋ AD)1＝ 3S △ VCD ·AB ，所以1 △ 1 △3S ABC·VO ＝3S VCD·AB ，即 S△VCD·AB ＝S△ABC·VO ．综上知，A ，C，D 正确．10．如右图，定圆半径为a，圆心为 (b，c)，则直线 ax＋by＋c＝0 与直线 x－y＋ 1＝ 0 的交点在 ()A ．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案Bb＋ cax＋ by＋c＝0，x ＝－a＋b，解析解方程组得x－y＋1＝0，a－cy＝a＋b.观察题设中圆的位置，可知 a>0， b<0，c>0，且a＋b<0，b＋c<0， a－c>0，b＋ c a－ c所以 x＝－a＋b<0，y＝a＋b<0．．在正三棱柱11 1 中，若AB＝2，AA 1＝1，则点A到平面A 111ABC－ A B C BC 的距离为 ()3333A ．4B．2C．4D． 3答案B解析因为 ABC －A 1 1 1 是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面B C积为3，所以 VA1 －ABC ＝1×3×1＝3．如图，在△ A 1中， 1 ＝ 1 ＝33BC A B A C 12＋22＝5，所以 BC 的中点 M 到 A 1的距离为 5 2－1＝ 2，所以 S△A1BC＝1×2×2＝2．设点 A 到平面 A的距离为，所以1·△· ＝－，21BC h 3SA1BC h VA1ABC解得 h＝23．12．若圆 C：x2＋ y2＋2x－4y＋ 3＝ 0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点 (a，b)所作的圆的切线长的最小值是()A ． 2 B． 3 C．4 D．6答案C解析将圆 C： x2＋y2＋2x－4y＋ 3＝0 化为标准方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心 C(－ 1，2)，半径 r＝ 2．∵圆 C 关于直线 2ax＋ by＋6＝0 对称，∴直线 2ax＋by＋ 6＝ 0 过圆心，将 x＝－ 1， y＝2 代入直线方程得－ 2a＋2b＋6＝0，即 a＝ b＋3．∵点 (a，b)与圆心的距离 d＝ a＋ 1 2＋ b－2 2，∴ 由点 (a，b)向圆 C 所作切线长 l＝ d2－r2＝ a＋ 1 2＋ b－2 2－ 2＝b＋4 2＋ b－2 2－2＝ 2 b＋1 2＋16≥ 4，当且仅当 b＝－ 1 时切线长最小，最小值为 4．第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A∈l，B∈l ，AC? α，BD? β，AC ⊥l ， BD ⊥l，且 AB ＝4，AC ＝3，BD ＝ 12，则 CD＝________．答案13解析连接 BC(图略 )，因为 AC ⊥l， AC＝ 3， AB ＝ 4，所以 BC＝5．因为 BD⊥l ，l ＝α∩β，α⊥β， BD? β，所以 BD ⊥α．又BC? α，所以 BD ⊥BC．在Rt△ DBC 中，CD＝ BD 2＋BC2＝13．14．四边形 ABCD 中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，若四边形 ABCD绕 y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V 圆锥＝1 21＝12×2＝8π，V圆台＝1πh22＋ R2＋Rr)＝1π× ×2＋ 12＋2×1)＝73πr h3π× 233 (r3 1 (23π，∴ V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π．15．在△ ABC 中，高 AD 与 BE 所在直线的方程分别是x ＋5y－3＝0 和 x＋ y － 1＝ 0， AB 边所在直线的方程是 x ＋ 3y－ 1＝ 0，则△ ABC的顶点坐标分别是A________；B________； C________．答案(－2，1) (1，0) (2， 5)高 AD 与边 AB 所在直线的交点即为顶点 A ，联立x＋5y－3＝0，解析得x＋3y－1＝0，A( －2，1)．高 BE 与边 AB 所在直线的交点即为顶点B，联立x＋y－1＝0，得x＋3y－1＝0，B(1，0)．因为直线 AC 过点 A ，且与直线 BE 垂直，所以直线 AC 的方程为 y－ 1 ＝x ＋2，即y＝x＋3，同理，直线 BC 的方程为 y＝ 5(x－ 1)，联立两直线方程得 C(2，5)．16．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△ A ′ED是△ AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点 A ′在平面 ABC 上的射影在线段AF 上；②恒有平面 A ′ GF⊥平面 BCED ；③三棱锥 A ′－ FED 的体积有最大值；④直线 A ′E 与 BD 不可能垂直．其中正确命题的序号是 ________．答案 ①②③解析 对于命题 ①， 由题意，知 A ′ G ⊥DE ，FG ⊥ DE ，A ′G ∩ FG ＝ G ，故 DE ⊥ 平面 A ′FG ．又 DE? 平面 ABC ，所以平面 A ′FG ⊥平面 ABC ，故该命题正确；对于命题 ②， 由①可知正确；对于命题 ③， 当 A ′ G ⊥平面 ABC 时，三棱锥 A ′ －FED 的体积有最大值 ，故命题 ③正确；对于命题 ④，当 A ′E 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 A ′E 与 BD 垂直，故该命题不正确 ．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分)已知直线 l ：kx － y ＋ 1－ 2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，O 为坐标原点，且 |OA|＝ |OB|，求 k 的值．解 (1)证法一：直线 l 的方程可化为 y － 1＝k(x － 2)， 故无论 k 取何值，直线 l 总过定点 (2，1)．证法二：设直线过定点 (x 0， y 0)，则 kx 0－y 0＋1－2k ＝0 对任意 k ∈R 恒成立，x 0 －2＝0，即(x 0－2)k － y 0＋1＝0 恒成立，所以 － y 0＋1＝0，解得 x 0＝ 2， y 0 ＝1，故直线 l 总过定点 (2， 1)． (2)因直线 l 的方程为 y ＝kx －2k ＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为 1－2k ，在 x 轴上的截距为 2－k ，依题意 1－ 2k ＝2－1，解得k ＝－ 1或 k ＝ 1经检验，不符合题意 ，所以所k >02()求 k ＝－ 1．18．(本小题满分 12 分 )如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及主视图和左视图 (单位： cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1) 该几何体的俯视图如图所示 ．1 1 284 3)． (2) 该几何体的体积 V ＝ V 长方体 －V 三棱锥 ＝ 4× 4× 6－ 3×2× 2× 2× 2＝ 3 (cm 19．(本小题满分 12 分)已知动点 M 到点 A(2 ，0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．解(1)设动点 M(x ， y)为轨迹上任意一点 ，则点 M 的轨迹就是集合 P ＝1M|MA| ＝2|MB| ．由两点间距离公式 ，点 M 适合的条件可表示为x － 22＋ y 2＝1x －8 2＋ y 2 ．2平方后再整理 ，得 x 2＋ y 2＝16．可以验证 ，这就是动点 M 的轨迹方程 ．(2)设动点 N 的坐标为 (x ，y)，M 的坐标是 (x 1，y 1)．由于 A(2 ， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，2＋x 1 0＋ y 1所以 x ＝ 2 ， y ＝ 2 ．所以有 x 1＝2x － 2， y 1 ＝2y ．①由 (1)知，M 是圆 x 2＋ y 2＝16 上的点，22所以 M 的坐标 (x 1， y 1)满足 x 1＋y 1＝16．②22将 ①代入 ②整理 ，得(x － 1) ＋y ＝ 4．所以 N 的轨迹是以 (1， 0)为圆心，2 为半径的圆 ．20．(本小题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，AC ⊥CD ， E ， F 分别是 PC ，AC 的中点．证明： (1)BF∥平面 PCD；(2)AE ⊥平面 PCD．证明(1)因为∠ ABC ＝ 60°，AB ＝BC，所以△ABC 为等边三角形．又F 是 AC 的中点，所以 BF⊥AC ．又CD⊥AC ，且 BF，CD，AC 都在平面 ABCD 内，所以 BF∥CD．因为 CD? 平面 PCD，BF?平面 PCD，所以 BF∥平面 PCD．(2)由(1)知，△ ABC 为等边三角形，且PA＝AB ，所以 PA＝AC ．又 E 为 PC 的中点，所以 AE ⊥PC．因为 PA⊥底面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，所以 PA⊥CD．又CD⊥AC ，PA∩AC ＝A ，所以 CD⊥平面 PAC．又AE? 平面 PAC，所以 CD⊥AE ．又PC∩CD＝C，所以 AE ⊥平面 PCD．21．(本小题满分 12 分 )如图，在三棱台 ABC － DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC ，∠ACB ＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC ＝3．(1)求证： BF ⊥平面 ACFD ．(2)求三棱台 ABC － DEF 的体积．解 (1)证明：延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，如图所示 ，因为平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，且 AC ⊥BC ，所以 AC ⊥平面 BCK ，所以 BF ⊥AC ，又因为 EF ∥ BC ， BE ＝ EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以 △BCK 为等边三角形 ，且 F 为 CK 的中点，则 BF ⊥ CK ，所以 BF ⊥ 平面 ACFD ．DF EF(2)由题意知 ，△ DEF 和△ABC 都是直角三角形且相似 ，所以 AC ＝ BC ，所以 EF 1 3DF ＝ BC ·AC ＝2×3＝2，S △DEF ＝ 1× EF × DF ＝ 1×1×3＝3，2 2 2 4 S △ ABC ＝1×AC ×BC ＝1×3×2＝3，22过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为 H ，则由平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，可得 EH ⊥ 平面ABC ，在等腰梯形 BCFE 中，EH ＝2 2－ 12＝ 31 －22 ，所以该三棱台的体积为 1 32 323 59 3 3×4 ＋4×3＋3 × 2 ＝ 32 ．22．(本小题满分 12 分)已知圆 O ：x 2＋y 2＝4，点 P 是直线 l ：x ＝4 上的动点．(1)若从点 P 到圆 O 的切线长为 2 3，求点 P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；(2)若点 A(－ 2，0)，B(2，0)，直线 PA ，PB 与圆 O 的另一交点分别为 M ，N ，求证：直线 MN 经过定点 Q(1，0)．解 (1)依题意，设 P(4， t)．设两切点分别为 C ，D ，则 OC ⊥PC ，OD ⊥PD ．由题意可知 |PO|2＝|OC|2 ＋|PC|2，即 42＋t 2＝ 22＋(2 3)2，解得 t ＝0， 所以点 P 的坐标为 (4，0)．在 Rt △ POC 中，可求得 ∠POC ＝60°，所以 ∠DOC ＝120°，120° 4π 所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×＝．360° 3(2)证明：设 M(x 1， y 1 )，N(x 2，y 2)．PA 的方程为 y ＝ t依题意，可得直线 6(x ＋ 2)，t由 y ＝6 x ＋2， 得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝ 0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PA 经过点 A( － 2， 0)，M(x 1，y 1 ，) 所以－ 2，x 1 是上述方程的两个根 ，2－144－2 则－ 2x 1＝4t 2＋36 ，即 x 1＝7222t ， tt ＋ 36t代入直线方程 y ＝ 6(x ＋ 2)，t 72－ 2t 224t得 y 1＝ 6 t 2＋ 36 ＋2＝t 2＋ 36．t同理，可得直线 PB 的方程为 y ＝ 2(x －2)．t由y ＝2x －2 ，得(t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－ 16＝0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PB 经过点 B(2，0)，N(x 2， y 2 )，所以 2，x 2 是上述方程的两个根 ，4t 2－162t 2－8则 2x 2＝ t 2＋4 ，即 x 2＝ t 2＋4 ，t代入直线方程 y ＝ 2(x － 2)，2t 2－8 －8t得 y 2＝ t 2－2＝ 2．2 t ＋ 4t ＋42t 2－8＝1，若 x 1＝1，则 t 2＝12，此时 x 2＝ 2t ＋ 4显然 M ，N 在直线 x ＝1 上，所以直线 MN 经过定点 Q(1，0)．若 x 1≠1，则 t 2≠12， x 2≠1，24t1t 2＋36－ 8t由 k MQ ＝y－ 0＝ 2＝2，x 1－ 1 72－2tt －12t 2 ＋36 －1－ 8tk NQ ＝y2－0＝t 2＋4－ 8t，可知 k MQ ＝ k NQ ，2＝ 2x 2－12t － 8t －12t 2＋4 － 1所以 M ，Q ，N 三点共线 ，即直线 MN 经过定点 Q(1， 0)．综上所述 ，直线 MN 经过定点 Q(1，0)．。
2019_2020学年新教材高中数学第5章统计与概率单元质量测评(含解析)新人教B版必修第二册
第五章统计与概率单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是( )A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况答案 B解析A选项做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；B选项班级人数有限，比较容易调查因而适合普查；C选项数量大并且耗时长，不适合普查；D选项普查时数量太大，要费太大的人力、物力，得不偿失，不适合普查．故选B.2．近几年来移动支付越来越普遍，为了了解某地10000名居民常用的支付方式，从中抽取了500名居民，对其常用支付方式进行统计分析．在这个问题中，10000名居民的常用支付方式的全体是( )A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析10000名居民的常用支付方式的全体是总体，样本容量是500，每个居民的常用支付方式是个体，500名居民的常用支付方式是从总体中抽取的一个样本．故选A.3．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析易知①是正确的；一次试验中不同的事件可能同时发生，故②错误；任意事件A 发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1，故③错误；当事件A的概率P(A)＝0时，事件A是不可能事件，故④错误．所以选B.4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A．08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从左到右符合题意的5个个体的编号分别为08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20答案 D解析易知(3500＋4500＋2000)×2%＝200，即样本容量为200.抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．若甲运动员得分的中位数为a，乙运动员得分的众数为b，则a－b的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 A解析 ∵甲运动员得分的中位数为a ，∴a ＝19＋172＝18，∵乙运动员得分的众数为b ，∴b ＝11.∴a －b ＝18－11＝7.故选A.7．五张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这五张卡片中随机抽取一张，事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则P (M ＋N )＝( )A.15B.35C.45 D ．1 答案 C解析 从五张卡片中随机抽取一张，所含的样本点总数为5.事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，则事件M 所包含的样本点有3个，分别为2,3,5，所以P (M )＝35.事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则事件N 所包含的样本点有1个，所以P (N )＝15，因为事件M 与事件N 为互斥事件，所以P (M ＋N )＝P (M )＋P (N )＝45.故选C.8．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为( )A ．125,125B ．125.1,125C ．124.5,124D ．125,124答案 D解析 由题图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则这100名学生成绩的平均数为105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124.故选D.9．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下： 甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A.x －甲>x －乙，s 甲>s 乙 B.x －甲>x －乙，s 甲<s 乙 C.x －甲<x －乙，s 甲>s 乙 D.x －甲<x －乙，s 甲<s 乙答案 A解析 x －甲＝110×(88＋100＋…＋92＋83)＝88.8；x －乙＝110×(93＋89＋…＋89＋86)＝85.1，s 甲＝110×[(88－88.8)2＋…＋(83－88.8)2] ＝110×501.6≈7.08， s 乙＝110×[(93－85.1)2＋…＋(86－85.1)2] ＝110×410.9≈6.41，∴x －甲>x －乙，s 甲>s 乙． 10．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a ，b ，使得lg (3a )≥lg (4b )成立的概率是( )A.13B.512C.12D.712 答案 C解析 因为lg (3a )≥lg (4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字，这个试验所包含的样本点有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，且这12个样本点出现的可能性相等，符合条件3a ≥4b的样本点有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率为612＝12.故选C.11．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有1件一等品C ．至多有1件一等品D ．都不是一等品答案 C解析 将3件一等品编号为1,2,3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，这10个样本点出现的可能性相等．其中恰有1件一等品所包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，故恰有1件一等品的概率为P 1＝610＝35.恰有2件一等品所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110 B.715 C.815 D.1315答案 C解析 根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，这15种结果出现的可能性相等．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取的这2人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为________，20%分位数为________．答案 3 1解析这10人成绩的平均数为110×(5×3＋4×1＋3×2＋2×1＋1×3)＝110×(15＋4＋6＋2＋3)＝110×30＝3.因为10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为1＋12＝1.14．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)内的为一等品，在区间[15,20)或[25,30)内的为二等品，在区间[10,15)或[30,35]内的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为________．答案 0.45解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.15．某工厂生产A ，B 两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A ，B 两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy ＝________.答案 72解析 因为x －A ＝15×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，x －B ＝15×(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，由x －A ＝x －B ，得x ＋y ＝17.①因为s 2A ＝15×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s 2B ＝15×[4＋(8－x )2＋0.25＋0.25＋(8－y )2]，由s 2A ＝s 2B ，得x 2＋y 2＝145.②由①②可得(x ＋y )2＝145＋2xy ＝289， 解得xy ＝72.16．将一个质地匀匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是________．答案 14解析 由题意，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ba≥2.当a 取1时，b 可取2,3,4,5,6；当a 取2时，b 可取4,5,6；当a 取3时，b 可取6，共9种．因为(a ，b )的取值共36种情况， 所以所求概率为936＝14.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？ (2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ 解 (1)x －＝110×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.(2)中位数为41＋442＝42.5.(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述公司每天的用水量更合适．18．(本小题满分12分)对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值(单位：分)如下：问：(1)甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课较平衡？(2)该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分和总方差分别是多少？ 解 (1)x －甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x －乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，s 2甲＝15×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，s 2乙＝15×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，因为x －甲>x －乙，s 2甲>s 2乙，所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡． (2)因为甲同学的权重w 甲＝510，乙同学的权重w 乙＝510，所以该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分x －＝510×74＋510×73＝73.5，总方差s 2＝w 甲[s 2甲＋(x －甲－x －)2]＋w 乙[s 2乙＋(x －乙－x －)2]＝510×[104＋(74－73.5)2]＋510×[56＋(73－73.5)2]＝80.25.19．(本小题满分12分)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解 (1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.故用水量在[0.5,2.5]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＝0.7＜0.8，在[0.5,3]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＋0.15＝0.85＞0.8，因为w 为整数，所以为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为3立方米． (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．20．(本小题满分12分)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解 (1)设事件A ＝“某人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56.(2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的样本空间Ω＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)}，共15个样本点，这15个样本点出现的可能性相等．设事件B ＝“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，则B ＝{(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)}，共包含4个样本点，则P (B )＝415. 21．(本小题满分12分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．解 (1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70；乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.x －甲＝32＋34＋45＋56＋63＋706＝50， x －乙＝33＋46＋47＋51＋64＋716＝52.因为x －甲<x －乙，所以甲城市的空气质量较好．(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a ，b ，c ，d ，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m ，n ，则从这6天中抽取2天，这个试验的样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )}，共有15个样本点，且这15个样本点出现的可能性相等．记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A ，则事件A 包含的样本点有(a ，m )，(b ，m )，(c ，m )，(d ，m )，(a ，n )，(b ，n )，(c ，n )，(d ，n )，共8个．所以P (A )＝815，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为815. 22．(本小题满分12分)某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在一组的概率．解 (1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]的频率分别为0.04,0.08,0.5a,0.20,0.25,0.5a,0.07,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ，∴a ＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时，因为前5组频率和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，前4组频率和为0.47<0.5，所以2＜m <2.5，由0.50(m －2)＝0.5－0.47，得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06.(3)由题意得，周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的人分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，抽取的2人在同一组包含的样本点有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9个，故所求概率P＝921＝37.。
2019_2020学年高中数学综合质量检测2北师大版必修2
7．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2 关于直线 y＝0 对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2
D．(x－3)2＋(y－4)2＝2
[解析] ∵(3，－4)关于 y＝0 对称的点为(3,4)，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[解析] ∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体，∴B1D1⊥A1C1，
且 DD1⊥A1C1. 又 B1D1∩DD1＝D1，∴A1C1⊥面 B1D1D. ∴A1C1⊥B1D.
[答案] D
6．设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题
即 3x＋y＋4＝0.
[答案] B
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．正三棱锥
B．直三棱柱
C．正三棱台
D．正三棱柱
[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选 D.
[答案] D
3．若以点 C(－1,2)为圆心的圆与直线 x－2y＋3＝0 没有公共点，则圆的半径 r 的取值
()
A．AC⊥SB B．AB∥面 SCD C．AB 与 SC 所成角等于 BC 与 SA 所成的角 D．平面 SAB⊥平面 SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，
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∴AC⊥BD， 又 SD⊥平面 ABCD， ∴SD⊥AC，BD∩SD＝D， ∴AC⊥平面 SBD，
∴AC⊥SB，故 A 正确；又 AB∥CD，AB 平面 SCD，CD平面SCD，∴AB∥平面 SCD，故
高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册综合测试题(新高考模式)
综合测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．102．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD → 3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13B ．14C ．15D ．164．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋15．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．23B ．－23C ．25D ．136．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．157．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB → B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)211．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g(x)＝x＋1x，x∈(0，＋∞)为“同族函数”的是()A．f(x)＝2x－1x，x∈(1，＋∞)B．f(x)＝11＋x2，x∈RC．f(x)＝log2(2|x|＋1)，x∈RD．f(x)＝4x＋2x＋1＋1，x∈R三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．15．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，且2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，则实数m的取值范围为________．16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求2a ＋3b ，a －2b ；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值．18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围． 20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线． 21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值； (3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB →B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．]3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13 B ．14 C ．15D ．16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A ．]4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1D [当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1． 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1． 故选D ．]5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．23B ．－23C ．25D ．13 A [由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．] 7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)， 所以⎩⎨⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎨⎧x ＝10，y ＝－5.]8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D ．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB → B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →AC [平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图： 对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．] 10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2ACD [f (x )＝2－x ，f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错； ∵f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，故C 对；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)2＝2－x 1＋2－x 22，由基本不等式，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，故D 对．故选ACD ．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．]12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g(x)＝x＋1x，x∈(0，＋∞)为“同族函数”的是()A．f(x)＝2x－1x，x∈(1，＋∞)B．f(x)＝11＋x2，x∈RC．f(x)＝log2(2|x|＋1)，x∈R D．f(x)＝4x＋2x＋1＋1，x∈RAD[函数g(x)＝x＋1x＝1＋1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A，f(x)＝2x－1x，当x∈(1，＋∞)时，f(x)是单调增函数，且f(x)＞2－1＝1，∴f(x)的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B，f(x)＝11＋x2，当x∈R时，f(x)的值域是(0,1]，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C，f(x)＝log2(2|x|＋1)，当x∈R时，2|x|≥1，∴log2(2|x|＋1)≥1，∴f(x)的值域是[1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D，f(x)＝4x＋2x＋1＋1＝(2x＋1)2，当x∈R 时，f(x)的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100[成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，且2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，则实数m的取值范围为________．(－∞，e－2][由f(x)＋g(x)＝e x，①可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x，②由①②，解得f(x)＝e x＋e－x2.2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，即m≤2f(x)－e x＝e－x在x∈[1,2]上恒成立．又函数y＝e－x在[1,2]上单调递减，所以y min＝e－2，所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．]16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 3＋13－1[因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．(1)求2a＋3b，a－2b；(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．[解](1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，∴2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a＋b与a＋2b平行，∴8(2k＋1)－4×4＝0，解得k＝1 2.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？[解](1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2.(2)设参加这次测试的人数为x，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的图像如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图像如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在①中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．[解](1)由图像知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝3(负值舍去)，因此a＝3，b＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．[解] (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14AC →.因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →.(2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →，所以BM →＝AM →－AB →＝－13AB →＋29AC →.因为BE →＝23AC →－AB →＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋29AC →， 所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线．又因为BE →与BM →有公共点B ，所以B ，M ，E 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)， ∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88， ∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分，∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解， 等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或a ＝－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测新人教B版必修2
模块综合检测[学生用书P137(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点P在y轴上，且到点(2，5，－6)的距离为7，则点P的坐标为( )A．(0，8，0) B．(0，2，0)C．(0，8，0)或(0，2，0) D．(0，－2，0)解析：选C．设P(0，y，0)，由22＋(y－5)2＋62＝7，得(y－5)2＝9，解得y＝8或y ＝2．故选C．2．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A．2x－y＋5＝0B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0C．2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析：选B．因为该切线与直线2x－y＋1＝0平行，所以可设切线方程为2x－y＋C＝0，则圆心到切线的距离d＝|C|22＋12＝5，解得C＝±5，所以切线方程为2x－y±5＝0，故选B．3．已知球的表面积为64π，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是( )A．1 B．2 3C．2 D． 3解析：选B．由球的表面积为64π，得球的半径为4．用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是42－22＝23．故选B．4．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，则圆C在点P(1，3)处的切线方程为( )A．x－3y＋2＝0 B．x－3y＋4＝0C．x＋3y－4＝0 D．x＋3y－2＝0解析：选A．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，点P(1，3)在圆上，k PC＝3－01－2＝－3，所以切线的斜率为－1k PC＝13，故在点P(1，3)处的切线方程为y－3＝13(x－1)，即x－3y＋2＝0，故选A．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：选C ．A 中，由m ⊥n ，n ∥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误； B 中，由m ∥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误； C 中，由m ⊥β，n ⊥β可得m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，正确； D 中，由m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误． 6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：选B ．由题意知k OM ＝2－01－0＝2， 所以k PQ ＝－12，所以直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0．故选B ．7．某棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )A ．8＋413B ．20C ．122＋413D ．8＋12 2解析：选C ．由三视图可知，该几何体为四棱锥，且四棱锥的顶点在底面的投影为底面矩形的中心．四棱锥的高为2，底面矩形的相邻两个边长分别为4、6，两相邻侧面的斜高分别为22＋32＝13、22＋22＝8＝22．所以侧面积为2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×13＋12×6×22 ＝413＋122．8．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0x －y ＝0，得交点(2，2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3．所以l 的方程为3x －y －4＝0．故选C ．9．如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a 的正方形，则这个几何体的体积等于( )A ．16a 3B ．12a 3C ．23a 3D ．56a 3 解析：选D ．由三视图，知几何体为棱长为a 的正方体截去一个三棱锥得到的，如图所示，它的体积为a 3－13×12a 2×a ＝56a 3．故选D ．10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2．圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．11．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0 B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0 C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0解析：选C ．由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2，2)，所以过点C (－2，2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0．故选C ．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，M 为AB 的中点，将△ACM 沿CM 折起，使A ，B 间的距离为2，则M 到平面ABC 的距离为( )A ．12B ．32C ．1D ．32解析：选A ．由已知得AB ＝2，AM ＝MB ＝MC ＝1，BC ＝3，△AMC 为等边三角形． 在△ABC 中，取CM 的中点D ，连接AD ， 则AD ⊥CM ，AD 交BC 于点E ， 则AD ＝32，DE ＝36，CE ＝33． 折起后，由BC 2＝AC 2＋AB 2，知∠BAC ＝90°，又AC CE ＝BCAC＝3，∠ACE ＝∠BCA ， 所以△ACE ∽△BCA ， 所以∠AEC ＝∠BAC ＝90°， 所以AE ＝63，AE ⊥CE ， 因为AD 2＝AE 2＋ED 2， 所以AE ⊥ED ， 所以AE ⊥平面BCM ， 即AE 是三棱锥A BCM 的高． 设M 到平面ABC 的距离为h ，由等体积法得13×12×1×2×h ＝13×12×3×12×63，得h ＝12，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8， 所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2．答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________． 解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π． 答案：12π15．过直线l ：y ＝x 上的点P (2，2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．解析：若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，其与直线l 、x 轴围成的三角形面积为2，符合题意．若直线m 的斜率k ＝0时，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0．综上，知直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2．答案：x －2y ＋2＝0或x ＝216．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是__________．①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1；④A1C1∥平面AB1E．解析：①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．答案：③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y －2＝0，点C(2，0)．(1)求直线CD的方程；(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD．所以k CD＝k AB＝2．所以直线CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0．(2)因为CE⊥AB，所以k CE＝－1k AB ＝－12．所以直线CE的方程为y＝－12(x－2)，即x＋2y－2＝0．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．证明：(1)因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点， 所以EF ∥BC ．又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， 因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1D ． 又A 1D ⊥B 1C 1，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ． 又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4(2a ＋1)＋9|＝5r ，[4a －3(2a ＋1)＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2． 解得a ＝0或a ＝5021．因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212．20．(本小题满分12分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D，DE⊥CD．又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC．而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F．又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE．所以A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，PD，QE，DQ，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEQP．由上述可知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A 1C ⊥DP ． 又DP ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面DEQP ． 即A 1C ⊥平面DEQ ．故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ ．21．(本小题满分12分)已知圆C 过点A (1，2)和B (1，10)，且与直线x －2y －1＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)设P 为圆C 上的任意一点，定点Q (－3，－6)，当点P 在圆C 上运动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a ，6)，半径为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2， 由点B 在圆上得 (1－a )2＋(10－6)2＝r 2，又圆C 与直线x －2y －1＝0相切， 则r ＝|a －13|5．于是(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3，r ＝25，或a ＝－7，r ＝45．所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80． (2)设M 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x 0，y 0)，由M 为PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－32，y ＝y 0－62，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋3，y 0＝2y ＋6， 又点P (x 0，y 0)在圆C 上，若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20， 有(x 0－3)2＋(y 0－6)2＝20， 则(2x ＋3－3)2＋(2y ＋6－6)2＝20， 整理得x 2＋y 2＝5，此时点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5．若圆C 的方程为(x ＋7)2＋(y －6)2＝80， 有(x 0＋7)2＋(y 0－6)2＝80， 则(2x ＋3＋7)2＋(2y ＋6－6)2＝80， 整理得(x ＋5)2＋y 2＝20，此时点M 的轨迹方程为(x ＋5)2＋y 2＝20． 综上所述，点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝20．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P -ABCD 的体积．解：(1)证明：如图所示，连接AC ．由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5．又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ．(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF ．由上述CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ．于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AF ，BG ⊥PF ．由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB， 所以PA ＝BF ．由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD＝BC ＝3．于是AG ＝2．在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855． 于是PA ＝BF ＝855． 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P ABCD 的体积为 V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019-2020学年高中数学必修二综合测试卷及答案
2019-2020学年高中数学必修二综合测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过A(1,0),B(4,√3)两点,则直线AB的倾斜角为()B.45°C.60°D.120°AB的斜率为k AB=√33,所以直线AB的倾斜角为30°.,已知A(2,-3,1)关于xOy平面的对称点为B,则点B到点C(1,1,-2)的距离为()√3B.√14C.3√2D.√34B的坐标为(2,-3,-1),所以|BC|=√(2-1)2+(-3-1)2+(-1+2)2=3√2.ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直D.异面垂直PC⊥平面α,∴PC⊥BD.又在菱形ABCD中,AC⊥BD,PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.又PA⊂平,∴BD⊥PA.显然PA与BD异面,故PA与BD异面垂直.x2+y2-4x+4y=0的圆心,且和直线2x-y+1=0垂直的直线方程为()A.2x-y-6=0B.x+2y+2=02=0 D.x-2y-6=0x+2y+c=0,因为圆的方程为x2+y2-4x+4y=0,所以圆心坐标为(2,-2).代入直线0,得c=2.故所求直线方程为x+2y+2=0.y轴上,半径长为5,且过点(-5,8)的圆的方程为()A.x2+(y-8)2=25B.x2+(y+8)2=25C.(x+5)2+(y-8)2=252+y2=25(0,b),则由题意得圆的方程为x2+(y-b)2=25.又点(-5,8)在圆上,所以(-5)2+(8-b)2=25,8.故圆的方程为x2+(y-8)2=25.,则该几何体的体积为()A.13+2π B.13π6C.7π3D.5π2,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V1=3π×12×1×12=π6;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π×12×2=2π.故该几何体的体积为V=V1+V2=π6+2π=13π6.O1:x2+y2=4与圆O2:(x+3)2+(y-4)2=r2外切时,直线x+y+1=0截圆O2所得的弦长为()B.2√7C.2√5D.√7O1的圆心为O1(0,0),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(-3,4),因为两圆外切,所以|O1O2|=2+r,即5=2+r,r=3.圆心(-3,4)到直线x+y+1=0的距离为d=√2=√2.2√r2-d2=2√9-2=2√7.,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1.若球O的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是()A.16 B.13C.12D.1,将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体ABDC-A1B1D1C1.设球O的半径为R,由球O的表面积为3π,得4πR2=3π,∴R=√32,∴长方体的体对角线BC1=√3,∴CC1=√(√3)2-(√2)2=1.故直三棱柱的体积V=12×1×1×1=12.答案:C9.已知直线l1:x−√3y+2=0与l2:x−√3y−6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为()B.4πC.3πD.2πl1与l2的距离h=√1+(-√3)=4,∴圆心C到直线l1的距离为d=ℎ2=2.C截得的弦长为2,∴圆C的半径r=√d2+12=√5,∴圆C的面积S=πr2=5π.10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=√2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图①中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图②中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又因为AC∩AE=A,所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若AB⊥CD,又因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,即AB⊥AC.由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确.对于选项C,若AD ⊥BC ,又因为DC ⊥BC ,AD ∩DC=D , 所以BC ⊥平面ADC ,所以BC ⊥AC. 已知BC =√2,AB =1,BC >AB,所以不存在这样的直角三角形.故C 错误. D 错误,故选B .(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知直线m :y=k 1x+2与直线n :y=k 2x +√3+1的倾斜角分别为45°和60°,m 与n 的交点坐标为___________________.m :y=k 1x+2与直线n :y=k 2x +√3+1的倾斜角分别为45°和60°,所以k 1=1,k 2=√3,即直线m :y=x+2,直线n :y =√3x +√3+1.由{y =x +2,y =√3x +√3+1,解得{x =-1,y =1,故直线m 与n 的交点(-1,1).-1,1)y=x 上的任意点P 与圆x 2+y 2-10x-2y+24=0上的任意点Q 间距离的最小值为 .(x-5)2+(y-1)2=2, (5,1),半径为r =√2. 圆心到直线y=x 的距离d =√2=2√2,的最小值为d-r=2√2−√2=√2. √2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,E 为C 1C 的中点,则异面直线D 1A 与EO 所成角的余弦值为 .解析:如图,取BC 的中点G ,连接BC 1,EG ,OG.设正方体的棱长为2a ,则AD 1BC 12EG=2√2a,OG =a,∠OEG 为直线D 1A 与EO 所成的角.OG ⊥平面BCC 1B 1,则OG ⊥EG. 因为OE =√3a, 所以cos ∠OEG =EG OE =√2a√3a=√63.(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.解析:由三视图,可知该几何体由两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).3215.已知直线l:x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=_______________.l的倾斜角为30°,坐标原点O到直线l|6|√1+(-√3)=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知E(-6,0),不妨令B(0,2√3),则|BE|=√62+(2√3)2=4√3.因为|AB|=2√12-32=2√3,所以A为EB的中点.由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cos30°=|AB|cos30°=√3√32=4.(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,边AB所在直线的方程为2x-y-2=0,点C(2,0).(1)求直线CD的方程;AB边上的高CE所在直线的方程.因为四边形ABCD为平行四边形,AB∥CD,所以k CD=k AB=2.故CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.(2)因为CE⊥AB,所以k CE=−1k AB =−12.所以直线CE的方程为y=−12(x−2),即x+2y-2=0.17.(8分)求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的.23,已知圆的圆心坐标为(0,72),故两圆圆心所在直线的方程为y −72=−32x, 即3x+2y-7=0.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由{(-2)2+32-2D +3E +F =0,12+42+D +4E +F =0,3(-D2)+2(-E2)-7=0,解得{D =2,E =-10,F =21.故所求圆的方程为x 2+y 2+2x-10y+21=0.18.(9分)将长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙.(1)画出该几何体的侧视图; .解:(1)该几何体的侧视图如图所示.(2)对于所截去的三棱锥B 1-CC 1D 1,其体积为V 三棱锥B 1-CC 1D 1=13B1C1·S △CC 1D 1=13×5×12×3×4=10, V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1=5×4×3=60.故所求几何体的体积为V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1−V 三棱锥B 1-CC 1D 1=60−10=50. 19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB=BC =12AD,E,F 分别为线段AD,PC 的中点.求证:(1)AP ∥平面BEF ;平面PAC.证明:(1)如图,设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.由于点E 为AD 的中点,AB=BC=12AD ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC , 所以O 为AC 的中点.又在△PAC 中,F 为PC 的中点, 所以AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF , 所以AP ∥平面BEF.(2)由题意知,ED ∥BC ,ED=BC ,所以四边形BCDE 为平行四边形,所以BE ∥CD. 又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE.因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC. 又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面PAC , 所以BE ⊥平面PAC.20.(10分)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,.由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4, C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF⏜(如图所示,不包括两个端点), 且E (53,2√53),F (53,-2√53).又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34.又k DE=-k DF=-0-(-2√53)4-53=-2√57.结合上图可知当k∈{-34,34}∪[-2√57,2√57]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.。
2019_2020学年新教材高中数学单元质量测评(含解析)新人教B版必修第二册
第四章 指数、对数函数与幂函数单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1 答案 D解析 若使函数有意义，则必有log 12 (3x －2)≥0,3x －2>0，即0<3x －2≤1⇒23<x ≤1.故选D.2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的奇函数是( ) A ．y ＝x －12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －3D ．y ＝x 13答案 D解析 函数过点(0,0)，排除A ，C ；函数为奇函数，排除B ，故选D. 3．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( ) A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝alog ax与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析 选项A 中函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝(log x a )－1的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故不选；选项B 中函数y ＝alog ax的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝x 的定义域为R ，故不选；选项C 中，函数y ＝2x 的定义域为R ，函数y ＝log a a 2x可化为y ＝2x ，且定义域也为R ，选C ；选项D 中函数y ＝log a x 2的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝2log a x 的定义域为(0，＋∞)，故不选，所以本题应选C.4．函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为7，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为Δf Δx ＝(m 3－1)－(13－1)m －1＝m 2＋m ＋1，则有m 2＋m ＋1＝7，即m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，又由m >1，则m ＝2.故选A.5．已知f (x n)＝ln x ，则f (2)的值是( ) A ．ln 2 B.1nln 2C.12ln 2 D ．2ln 2答案 B解析 令x n＝2，则x ＝21n ，∴f (2)＝ln 21n ＝1nln 2.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx 的图像可能是下图中的( )答案 C解析 由选项知0<a b <1，则－b 2a <－12.故选C. 7．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图像，由图像可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．8．设9a ＝4b＝6，则1a ＋1b＝( )A ．2B ．log 65C ．log 56 D.56答案 A解析 由9a ＝4b＝6，得a ＝log 96，b ＝log 46，所以1a ＋1b ＝1log 96＋1log 46＝log 69＋log 64＝log 636＝2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 C解析 设a ＜b ＜c ，由f (a )＝f (b )＝f (c )，得|lg a |＝|lg b |.∵a ，b ，c 互不相等，∴lg a ＝－lg b . ∴ab ＝1.作出函数f (x )的图像如图所示， 由图像可知10＜c ＜12，∴10＜abc ＜12.10．下列函数中，随着x 的增长，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1000xC ．y ＝0.4·2x －1D ．y ＝11000e x答案 D解析 指数函数y ＝a x在a >1时呈爆炸式增长，而且底数a 越大，增长速度越快．故选D.11．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当0＜x ＜1时，y ＝ln (1＋x )是增函数，y ＝ln (1－x )是减函数，故f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )在(0,1)上是增函数．故选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 因为y ＝2x与y ＝3x －1在(－∞，1)上没有公共点，故由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析 由a ＝log 43得4a＝3⇒2a＝3，则2a＋2－a＝3＋13＝433. 14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a 2≥4，a ＞1，解得1＜a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．15．有以下结论：①函数y ＝log 2(1－x )的增区间是(－∞，1)；②若幂函数y ＝f (x )的图像经过点(2，2)，则该函数为偶函数；③函数y ＝3|x |的值域是[1，＋∞)．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)． 答案 ③解析 ①中令u ＝1－x ，则y ＝log 2u ，根据复合函数的单调性可判断①错误；②∵2＝2α，∴α＝12，∴y ＝x 12，x ∈[0，＋∞)，不具有奇偶性，故②错误； ③中|x |≥0， ∴3|x |≥1，∴y ＝3|x |的值域为[1，＋∞)，故③正确．16．已知y ＝log 4(－ax ＋3)在[0,1]上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－a ＋3>0⇒0<a <3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设0<x <1，a >0且a ≠1.试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )|，∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2,0<1－x 2<1， ∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x ＝log (1＋x )1＋x1－x 2>log (1＋x )(1＋x )＝1.∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x，且f (a )＝2，g (x )＝3ax－4x. (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域． 解 (1)由f (a )＝2，得3a＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x－4x＝(3log 32)x－4x＝2x－4x＝－(2x )2＋2x.∴g (x )＝－(2x )2＋2x.(2)设2x＝t ，∵x ∈[－2,1]，∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图像可得， 当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．(本小题满分12分)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )的和，如果f (x )＝lg (10x ＋1)，x ∈R ，求g (x )和h (x )．解 由已知f (x )＝g (x )＋h (x )，且f (－x )＝g (－x )＋h (－x )， 又g (x )是奇函数，h (x )是偶函数， ∴g (x )＝－g (－x )，h (－x )＝h (x )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )，f (－x )＝－g (x )＋h (x ).∴g (x )＝12[f (x )－f (－x )]＝12lg 10x＋110－x ＋1＝x2，h (x )＝12[f (x )＋f (－x )]＝12[lg (10x ＋1)＋lg (10－x＋1)] ＝12lg (10x＋1)210x＝lg (1＋10x )－x 2. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0.解得－1<x <3.∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]， 若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， ∴log a 4＝－2，a －2＝4，又0<a <1，∴a ＝12.若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值． 综上可知，a ＝12.21．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n，P 2：y 2＝bx ＋c ，如图所示．(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？解 (1)由图知P 1：y 1＝ax n过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n ，52＝a ·4n，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x 12，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)．(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，总利润为y 万元． 则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54x ＋52＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52，即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516，此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．22．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)， 则f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1.由f (x )是奇函数，知－f (x )＝2x4x ＋1.即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.。
2020学年新教材高中数学章末综合检测(三)平面向量初步新人教B版必修第二册(最新整理)
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章末综合检测（三）平面向量初步A卷——学业水平考试达标练(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是（）A．若向量|a|＝｜b｜，则a＝b或a＝－bB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D．若｜a|〉|b|，则a〉b解析:选C 向量是既有大小又有方向的量,大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故B不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的,故D也不正确;由平行向量的定义知选C。
2．已知错误!＝(3，4),A(－2，－1）,则B点的坐标为( ）A．(5，5）B．(－5,－5)C．(1,3) D．（－5,5)解析：选C 错误!＝(3,4）＝（x B＋2，y B＋1），所以x B＋2＝3，y B＋1＝4，故x B＝1，y B＝3，即B（1，3）．故选C。
3．下列向量与a＝（1，2）共线的是( )A．（2，1）B．（－1，2）C．（－1，－2) D．(2，－1）解析：选C ∵1×(－2）－（－1）×2＝0，∴向量(－1，－2)与a＝(1,2)共线．4.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则错误!＝（)A.错误!错误!＋错误!错误!B.错误!错误!＋错误!错误!C.错误!错误!＋错误!D。
2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：2.1～2.2 阶段检测(三) Word版含解析
阶段检测(三)对应学生用书P61(范围：2．1～2．2)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( ) A ．0°＜α＜45° B ．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D ．135°＜α＜180° 答案 B解析 因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B ．2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( ) A ．y ＝3x －2 3 B ．y ＝3x ＋2 3 C ．y ＝－3x －2 3 D ．y ＝－3x ＋2 3 答案 A解析 由题可知直线的斜率k ＝ΔyΔx ＝tan60°＝3，所以直线方程为y ＝3(x －2)，即y ＝3x －23．3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ． 5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值范围为－52＜－a ＜43，解得a ∈－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x ′，y ′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ′，－y ′)．因为点(x ′，－y ′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ′＋4y ′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m ＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－(－3)＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322 D ． 5 答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________． 答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为(3t )2＋(4t )2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a －4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎨⎧x －a －1，x ≥a ，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知Rt △ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt △ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)， ∴k AB ＝0＋22－3－(－1)＝－2，∴k BC ＝－1k AB＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)．解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－(－1)·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)．(2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值范围．解y 1＋1x 1＋1＝y 1－(－1)x 1－(－1)的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53．19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 解 (1)联立两直线方程⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 2＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)，令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S ＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q ′(x ′，y ′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ ′＝1， ∴QQ ′所在直线的方程为y －1＝1·(x －1)， 即x －y ＝0． 由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ′2＝－12，1＋y ′2＝－12.解得⎩⎨⎧x ′＝－2，y ′＝－2，∴Q ′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q ′三点共线， 又∵P(2，3)，Q ′(－2，－2)， ∴入射光线所在直线的方程为 y －(－2)3－(－2)＝x －(－2)2－(－2)，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝[2－(－2)]2＋[3－(－2)]2＝41， 即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为 C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎨⎧ x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎨⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C(1，0) ⎩⎨⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23．则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13．又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0． 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
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(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题所给的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B 由题意知log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]
D ．[1,2]
解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x －1≥0，
2－x ＞0，
解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域
为[1,2)．
3．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→
＝( )
A ．2OA ―→－O
B ―→
B ．－OA ―→＋2OB ―→
C.23OA ―→－13
OB ―→ D ．－13OA ―→＋23
OB ―→
解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→
＝2OA ―→－OB ―→
，故选A.
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A ．至少有一个黑球与都是红球
B ．至少有一个黑球与都是黑球
C ．至少有一个黑球与至少有一个红球
D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
5．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )
A ．193
B ．192
C ．191
D ．190
解析：选B 1 000×n
200＋1 200＋1 000
＝80，求得n ＝192.
6．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
解析：选B 统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B. 7．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2
＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.
8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )
A ．1
B ．1.8
C ．2.4
D ．3
解析：选B
5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×4
50
＝1.8.
9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A.16
B.14
C.13
D.12
解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为1
3
.
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10
D. 6
解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c|＝9＋9＝32，故选B.
11．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x
B ．y ＝e －x
C ．y ＝－x 2
＋1 D ．y ＝lg|x |
解析：选ABC 易知y ＝1x
；y ＝e －x ，y ＝－x 2
＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，
＋∞)上是增函数．故选ABC.
12．在△ABC 中，下列四个选项正确的是( ) A ．AB ―→－AC ―→＝BC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0
C ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→
)＝0，则△ABC 为等腰三角形 D ．若AC ―→·AB ―→
>0，则△ABC 为锐角三角形
解析：选BC ∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→＝－BC ―→≠BC ―→，∴A 错误．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→
＝AC ―→－AC ―→＝0，∴B 正确．由(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB 2―→－AC 2
―→＝0，得|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 为等腰三角形，C 正确．AC ―→·AB ―→>0⇒cos 〈AC ―→，AB ―→
〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴D 错误，故选BC.
13．图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解正确的是( )。