几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计

几类特殊线性变换及其二阶矩阵

【教学目标】

1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。

2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。

3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。

难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是：

在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+⎧⎨'=+⎩

③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。

③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。

(,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。

像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ⎛⎫

⎪⎝⎭称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素

元素全为0的二阶矩阵0000⎛⎫

⎪⎝⎭称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭

称为二阶单位矩阵，记为E

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。

解析：教师板书。

（3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是：

在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-⎧⎨'=+⎩，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。

解析：教师板书。

（4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是：

一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。

它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。

学生板书，教师纠正解答。

（5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是：

在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。

它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。

（1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。

（2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A '

教师请同学上讲台解答，并纠正总结。

（6）接着，我们再来看下投影变换内容，它的具体内容是：

设l是平面内一条给定的直线。对平面内的任意一点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则称点P'是点P在直线l上的投影。将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P'。这个变换称为关于直线l的投影变换。

它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例：如图，在直角坐标系xOy内，过任意一点P做x轴的垂线，垂足为点P'，我们称点P'为点P在x轴上的（正）投影。如果一个变换把直角坐标系内的每一点变成它在x轴上的（正）投影，那么称这个变换为关于x轴的（正）投影变换。

解析：教师板书。

3．接着，我们再来看下切变变换内容，它的具体内容是：

如图，在直角坐标系xOy内，将每一点P(,)

x y沿着与x轴平行的方向平移ky单位变成点P'，其中k是非零常数，称这类变换为平行于x轴的切变变换。

教师：请问投影变换与切变变换之间有什么异同点？

学生小组讨论，教师板书总结。

三、课堂总结

（1）这节课我们主要讲了哪些内容？

在平面直角坐标系xoy内，很多几何变换都具有下列形式：

x ax by

y cx dy

'=+

⎧

⎨'

=+

⎩

③；

其中系数a，b，c，d均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。

在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为

n

R）

的坐标变换公式：

cos sin

sin cos

x x y

y x y

αα

αα

'=-

⎧

⎨'

=+

⎩

，对应的二阶矩阵为：

cos sin

sin cos

αα

αα

-

⎛⎫

⎪

⎝⎭

。

一般地，我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P'的线性变换叫做关于l