第3章 一元线性回归分析

给定解释变量 X i ，模型中的误差项 u i 服从正态 分布，即 ui | X i ~ N (0, i2 ) 其中 i2 Var (ui | X i )
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论10：
如果假设1~假设4满足，则
ˆ ~ N ( , 2 ); ˆ ~ N ( , 2 ) （1） 0 0 1 0 （2） SSR/ 2 ~ 2 (n 2) ˆ , ˆ 独立，由此得出 （3）SSR与 0 1
ˆ 0 ˆ 1
ˆ t 0 0 0 ~ t (n 2), sˆ
0
ˆ t 1 1 1 ~ t (n 2) sˆ
1
sˆ 由课本公式（3.15） sˆ 、 其中， 2ˆ0 、 2ˆ1 、 1 0 给出。
3.4 回归系数检验（t-检验）
估计出参数后需对模型的有效性进行检 验，即检验回归系数是否显著不为零。 例如考虑结论10中统计量（假设1到4全 ˆ 1 部成立） t1 ： t ~ t ( n 2)
2 2 ˆ ˆ ˆ SSR ui (Yi 0 1 X i ) i 1 i 1 n n
3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.3
ˆ 和 ˆ 0 1
的分布
ˆ 和 ˆ 渐近服从正态分布， 由矩估计性质知 0 1 但具体方差依对误差项的假设而定。 结论5： 如果假设1满足，则当样本量 n 较大时，OLS估 ˆ 和 ˆ 近似服从正态分布： 计 0 1
1
s ˆ
1
t-检验的涵义：估计参数的绝对值足够大或者 标准误很小（标准误小则随机性小，估计越精 确） 样本量较大时 （n>35），t分布接近正态分布， 5%置信水平下临界值接近2，因此常用统计量 是否大于2作为判断系数显著与否的标准。
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
检验 X 和 Y 之间是否 具有线性关系：看 Y 的变化能被 X 的变化解释多少。 总平方和（total sum squared）：
3.7 假设条件的放松
3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关
• 同异方差一样，序列相关不影响OLS估计的 无偏性、一致性和渐近正态性。 • 影响参数估计的方差和标准误。 • Newey-West方法（HAC：HeteroskedasticityAutocorrelation Consistent） • 用Eviews 进行Newey-West回归
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
结论： 设模型的截距项 0 0 ，模型误差项满足假 设1，则：（结论11） TSS=ESS+SSR 如果假设1~假设4全都满足，则上面定义的F统计量满足：（结论12）
F ~ F (1, n 2)
2
t-检验和F-检验等价
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态 分布误差项
• 放松了假设4后，与之相关的结论10和12 不再成立，t-检验、F-检验不再成立。 • 大样本情况下，t-统计量近似服从标准正态 分布，因此可以用标准正态分布临界值进 行判断。 • 去掉假设4不影响OLS估计的一致性、无偏 性和渐近正态性。
假设3（随机抽样: random sample）
样本 (Yi , X i ), i 1,2,, n 是随机抽样产生的，样 本之间相互独立，模型误差项 ui , i 1,2,, n 之 间相互独立。
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论6：
如果假设1~假设3满足，则当样本量 n 较大时， ˆ 和 ˆ 近似服从正态分布，方差计算公 OLS估计 0 1 式为：
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论8：
如果假设1~假设3满足，则当样本量 n 较大时， 如下统计量近似服从正态分布（结论8）
ˆ t 0 0 0 ~ ( a ) N (0,1), sˆ
0
ˆ t 1 1 1 ~ ( a ) N (0,1) sˆ
1
3.3 更多假设下OLS估计量性质
2 ˆ
0
n
1
i1 ( X i X )
n
2 X i1 i n
2 , 2
2 ˆ
1
2
2 ( X X ) i1 i n
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论7：
如果假设1~假设3满足，统计量 n 2 ˆ u SSR 2 i 1 i ˆ n2 n2 是误差项方差 2 的无偏估计和一致估计，即 2 2 2 2 ˆ ˆ E( ) , p limn ˆ 称为回归标准误（standard error of regression）， ˆ。 记为 s
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
• 残差将保存在resid中，另外，在回归结果输出界 面点击菜单Forecast ，在弹出的对话框中Forecast name：后面的条形窗口输入变量名，将可以保存 模型的拟合值。
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态 分布误差项 3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差 3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机 抽样和序列相关 3.7.4 假设条件的放松（四）—内生性 3.7.5 总结
解释平方和（explained sum squared）：
ˆ Y ˆ )2 ESS i1 (Y i
n
2
TSS i 1 (Yi Y ) 2
n
残差平方和（Sum of Squared Residual）：
SSR
2 ˆ u i i 1 n
ESS SSR R 1 TSS TSS
1 n
2 ( X X ) i
ˆ Y ˆX 0
2 ˆ （ 1 1 ( X i X ) i1
n
(X
i 1
i
X )ui ）
不带计量性质） OLS估计的一致性（结论1） ˆ 如果回归模型误差项满足假设1，上式给出 0 ˆ 分别为 0 和 的一致估计： 和 1 1 ˆ , ˆ p limn p lim 0 0 n 1 1 OLS估计的无偏性（结论2） ˆ 如果回归模型误差项满足假设1，上式给出 0 ˆ 分别为 0 和 的无偏估计： 和 1 1
3.1 一元线性回归模型
计量经济学用回归模型来描述经济变量 之间的随机关系。
Y 0 1 X u
因变量（被解释变量） 自变量（解释变量） 回归模型参数（回归系数） 误差项（扰动项）
3.1 一元线性回归模型
模型首先要保证 X 的变化不会引起 u 的变化，这称为 X 的外生性，否则 X 对 Y 的影响不能正确确定。
3.7 假设条件的放松
3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差
• 异方差不影响OLS估计的无偏性、一致性和 渐近正态性。 • 课本（3.15）式参数估计的方差、标准误不 再正确。 • White异方差稳健标准（Heteroskadesticity Robust Standard Errors） • 用Eviews 检验异方差的存在并进行White稳 健标准误回归
一元线性回归分析
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归 3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态分布误差 项 3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差 3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机抽样和序 列相关 3.7.4 假设条件的放松（四）—内生性 3.7.5 总结
重要概念
ˆ ~ ( a ) N ( , 2 ˆ ); 0 0
0
ˆ ~ ( a ) N ( , 2 ˆ ) 1 0
1
3.3 更多假设下OLS估计量性质
假设2（同方差：homoskedasticity）
给定解释变量，误差项条件方差为常数，即 Var (ui | X i ) 2
假设1（零条件均值:zero conditional mean） 给定解释变量，误差项条件数学期望 为0，即 E(u | X ) 0
E(u ) 0
3.1 一元线性回归模型
模型设定要以有关的经济学理论为基础。
样本模型：
Yi 0 1 X i ui , i 1,2,, n
样本矩条件：
ˆ ˆ X )0 n 1 (Yi 0 1 i
i 1 n n
n
1
ˆ ˆ X )X 0 ( Y i 0 1 i i
i 1
3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.1 回归系数估计
OLS估计：
ˆ 1
(X
i 1 n i 1
n
i
X )(Yi Y ) ,
步骤：
• 在估计方法设定窗口选择需要用到的估计方法
• 前面的步骤也可以通过主界面的Quick→Estimate Equation到达 • 点击OK，将输出结果：
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
在结果页面点击顶端按钮Resids，将输出残差图
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
结论9：
ˆ 和 ˆ 为最有效 如果假设1~假设3满足，OLS估计 0 1 ˆ , ˆ 的方 估计：在 0 , 1 的所有线性无偏估计中， 0 1 差最小。这称为OLS估计的马尔科夫性。
3.3 更多假设下OLS估计量性质
假设4（正态分布: normal distribution）
步骤：
• 先建立Excel数据文件，再将数据导入EViews，建 立工作文件，在数据表格界面点击菜单： Proc→Make Equation，进入模型估计（Equation Estimation）对话框 • 在specification中依 次填入因变量、自变 量和常数项（如果没 有则不写）