人教A版选择性必修第一册专题03 立体几何大题解题模板(原卷版)

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册知识点归纳含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高中数学选择性必修第一册必备知识手册2024一轮复习【空间向量与立体几何】1、O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a r ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数l ，使得OP a l =uuu r r 。

我们把与向量a r 平行的非零向量称为直线l 的方向向量。

这样直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。

2、如果表示向量a r 的有向线段OA uuu r 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a r 平行于直线l 。

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件第一章第3课时空间中直线、平面的垂直

C级学科素养创新练
12.（多选题）如图,以等腰直角三角形斜边上的高为折痕,把△ 和△ 折
成互相垂直的两个平面后,得出如下四个结论,其中正确的是() ABC
A. ⋅ ≠ 0
B. ⊥
C. ⊥
D.平面的法向量和平面的法向量互
相垂直
[解析]因为平面 ⊥平面,平面 ∩平面 = ,
= (−, , ),
对于选项A， ⋅ = × + × + (−) × (−) = ,故A正确；
对于选项B， ⋅ = × + × + (−) × = ,则 ⊥ ，即 ⊥ ,故B正确；
∵ ⊥平面,， ⊂平面,所以 ⊥ , ⊥ ,
→
→

,

=
则ቐ → →
解得൞
因此,

=− ,
⋅ = + − = ,

⋅ = + + = ,
=

( ,− ,−).故选D.

9.如图，已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为4，是1 的中
证明如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系.
设 = ℎ,
则(0,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0, ℎ).
易知 = (−4,2,0), = (2,4,0), = (0,0, ℎ).
∵ ⋅ = −8 + 8 + 0 = 0, ⋅ = 0,
∴ ⊥ , ⊥ .
∵ ∩ = ,∴ ⊥平面.
7.如图, ⊥平面,四边形是正方形, = = 2,，分别是，的

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线的方程椭圆的简单几何性质分层作业

解
2 =(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=02 -c2+02 .
因为
20
P(x0,y0)在椭圆上,所以 2

2

所以02 =b2 1- 02

所以1 ·2 =
解得02 =
+
20
2 =1.

,
2

02 -c2+b2 1- 02

=c2,
(32 -2 )2
.
2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为( AD )
2
A. 8
2
C.
12
+
2
=1
9
2
B. 6
2
=1
12
+
+
2
=1
6
2
D.
9
2
+ =1
8
π = 6 2π,
解析由题意可知,
又 a2=b2+c2,
1
2 = 3 × 2,
解得 a=3,b=2
2
2,c=1,所以椭圆的标准方程为
+
2
2
=1 有相同的离心率且长轴长与 8
3
圆的标准方程为
解析
2
椭圆 4

=
2
8
2
2
+ =1 或
6
8
2
+ 3 =1 的离心率为
2
+ =1
6
1
2
e=2,椭圆 8
+

高中数学选择性必修第一册《第1章空间向量与立体几何》单元测试卷(3)(含解析)

高中数学选择性必修第一册《第1章空间向量与立体几何》单元测试卷(3)一、解答题（本大题共8小题，共96.0分）1.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．(1)求证：CE//平面ADP；(2)求证：平面PAD⊥平面PAB；(3)棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出AN的值；若不存在，请说NP明理由．2.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直且长度DC．分别为1，2，2，AB//CD，AB=12(1)若PC中点为M，证明：BM//平面PAD；(2)求点A到平面PCD的距离．3.在如图所示的四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小；(2)设E为PB上的动点，直线CE与平面PAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．4.(本题满分10分)如图，已知四棱锥底面为菱形，平面，，分别是、的中点．(1)证明：(2)设，若为线段上的动点，与平面所成的最大角的正切值为，求此时异面直线AE和CH所成的角．5.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．(1)当EG//平面PAB时，求λ的值；(2)当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为√42时，求λ的值．76.在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成角为45°，AB=2．(Ⅰ)求四棱锥P−ABCD的体积V；(Ⅱ)若E为PC的中点，求证：平面ADE⊥平面PCD．7.如图所示，矩形ABED所在的平面垂直于△ABC所在的平面，AC⊥BC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF//平面ABC；(2)求证：直线AC⊥平面BEC．8.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，CD⊥BC，PC=AB=2BC=2，PA=PB=√3BC．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若二面角D−PB−C的正切值为√6，求PD与平面ABCD所成角的余弦值．【答案与解析】1.答案：(1)证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF//AB，且EF=12AB∵CD//AB，且CD=12AB，∴EF//CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE//DF，∵DF⊂平面ADP，CE⊄平面ADP，∴CE//平面ADP;(2)证明：由(1)可得CE//DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PBC，又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE，又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，∴CE⊥平面PAB，∵CE//DF，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；(3)解：存在，ANNP =47．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由已知计算可得AQQO =47，∴ANNP =AQQO，∴NQ//OP，∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴NQ ⊥平面ABCD ， ∵NQ ⊂平面DMN ，∴平面DMN ⊥平面ABC ．解析：(1)取棱AP 中点F ，连接DF ，EF ，证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE//DF ，即可证明CE//平面ADP ；(2)证明CE ⊥平面PAB ，利用CE//DF ，可得DF ⊥平面PAB ，即可证明平面PAD ⊥平面PAB ； (3)存在，ANNP =47ANNP =47，取BC 中点O ，连结AO 交MD 于Q ，连结NQ ，证明NQ ⊥平面ABCD ，即可得出结论．本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 2.答案：(1)证明：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB ，AD ，AP 的长度分别为1，2，2，且AB =12DC ，则A(0,0，1)，B(1,0，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，C(2,2，0)，又M 是PC 的中点，所以M(1,1，1)，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，由已知可得平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0×1+1×0+1×0=0，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又BM ⊄平面PAD ，所以BM//平面PAD ；(2)解：设平面PDC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，则有{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2x =02y −2z =0，令y =1，则x =0，z =1，故m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，又AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，所以点A 到平面PCD 的距离d =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||=|√2|=√2．解析：(1)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线BM 的方向向量BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PAD 的法向量n ⃗ ，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即可；(2)利用待定系数法求出平面PDC 的法向量，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查了空间向量在立体几何中的应用，对于空间中的线线、线面、面面以及空间距离和空间角问题，建立空间直角坐标系，转化为空间向量问题是常用的方法，属于中档题．3.答案：解：取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接OP ，OF ，因为底面ABCD 是正方形，∴OF ⊥AD ，∵△PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，∴OP ⊥AD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，OP ⊂平面PAD ， ∴OP ⊥平面ABCD ，以{OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O −xyz. …………………(2分) (1)P(0,0,√3)，A(0,−1,0)，B(2,−1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面PAB 的一个法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +√3z =0，则x =0，令z =1，得y =−√3，m ⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)，…………(4分)P(0,0,√3)，C(2,1，0)，D(0,1，0)，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，设n⃗ =(a,b,c)为平面PCD 的一个法向量，则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b +√3c =0，则a =0，令c =1，得b =√3，n ⃗ =(0,√3,1)，……………(6分) ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−22×2=−12，又<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∈[0,π]，∴<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2π3，∴面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的大小为π3. …………………(8分) (2)设BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−2,1,√3)=(−2λ,λ,√3λ)，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)+(−2λ,λ,√3λ)=(−2λ,λ−2,√3λ)，因为直线CE 与平面PAB 所成的角为θ， ∴sinθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3(λ−2)+√3λ|√(−2λ)2+(λ−2)2+(√3λ)2×2………………(10分)=√3√8λ2−4λ+4=√32√2(λ−14)2+78≤√3√72=√427，当且仅当λ=14时取等号，故求sinθ的最大值为√427. …………………(12分)解析：取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接OP ，OF ，以{OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ．(1)求出平面PAB 的一个法向量，平面PCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的大小．(2)设BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，求出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用空间向量的数量积求解直线CE 与平面PAB 所成的角的正弦函数值的表达式，然后求解sinθ的最大值．本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．4.答案：.(1)证明：见解析；(2)异面直线所成角300解析：试题分析：(I)根据题意可得：△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，又因为BC//AD ，所以AE ⊥AD.又PA ⊥AE ，且PA ∩AD =A ，所以AE ⊥平面PAD ，进而可得答案； (Ⅱ)先根据条件由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角.在Rt △EAH 中，AE =，所以当AH 最短时，∠EHA 最大进而得到异面直线的所成的角。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验含解析

第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验3.1.1椭圆及其标准方程................................................................................................. - 1 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质............................................................................. - 6 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用........................................................... - 12 -3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................... - 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质....................................................................................... - 27 -3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................... - 34 -3.3.2抛物线的简单几何性质....................................................................................... - 40 -第三章章末测验............................................................................................................ - 47 -3.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M 到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M 的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)C[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．]3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1B [∵2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15B [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (4,0)，点C 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.54 [由题意知|AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10，所以sin A ＋sin B sin C ＝|BC |＋|AC ||AB |＝108＝54.] 8．已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°，即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．11．(多选题)下列说法中错误的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABD [A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410＞|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选ABD.]12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2A [易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α＞1sin α＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2.]13．(一题两空)已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．120° 2 [由题得a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22×|PF 1|×|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，又0＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝120°.又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(27)2＝28，配方得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝28，∴36－2|PF 1||PF 2|＝28，即|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝2.]14.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3，解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1，所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． [解] (1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )A ．14B ．12C．2 D．4D[将椭圆方程化为标准形式为x2＋y2 1m＝1，所以长轴长为2，短轴长为21m，由题意得2＝2×21m，解得m＝4.]2．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]3．已知椭圆x2＋y2b2＋1＝1(b＞0)的离心率为1010，则b等于() A．3 B．13C．910D．31010B[易知b2＋1＞1，由题意得(b2＋1)－1b2＋1＝b2b2＋1＝110，解得b＝13或b＝－13(舍去)，故选B.]4.如图所示，把椭圆x225＋y216＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35 B．30C．25 D．20A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)C [当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3. 当k ＞4时，e ＝ca ＝k －4k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c2a ＝48＝12.]7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆的标准方程为x 245＋y 236＝1.]8．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 4,3 [过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.]三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[解] 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac .又因为b 2＝a 2－c 2，所以3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33(负值舍去)．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，可知m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1.于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为R km ，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )A ．长轴长为m ＋n ＋2RB ．焦距为n －mC ．短轴长为(m ＋R )(n ＋R )D ．离心率e ＝n －m m ＋n ＋2RABD [由题意，得n ＋R ＝a ＋c ，m ＋R ＝a －c ，可解得2c ＝n －m ，a ＝m ＋n ＋2R 2，2a ＝m ＋n ＋2R .∴2b ＝2a 2－c 2＝2(m ＋R )(n ＋R )，e ＝n －m m ＋n ＋2R ，故ABD 正确，C 不正确．]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．32C ．3－12D ．5－12D [在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程是________．若点P 为椭圆上任意一点，则AP →·FP →的取值范围是________．x 24＋y 23＝1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2,0)，点F 的坐标为(－1,0)．设P (x ，y )，则AP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2. 由椭圆的方程，得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4. 因为x ∈[－2,2]，所以AP →·FP →∈[0,12]．]14．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(－3,0) D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎨⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，解得⎩⎨⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A ．67 B ．167 C ．716D ．76B [易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋(3)2·⎝⎛⎭⎪⎫－12272－4×87＝167.]3．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.] 4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12 B ．23 C ．34D ．45C [如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c .又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2，c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D.]二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53 [由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C 于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.327 [由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x ＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 [由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14.]三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外B ．必在圆x 2＋y 2＝74上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．必在圆x 2＋y 2＝94上ABC [e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.] 12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14A [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0 [由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.]14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e＜22.]15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．[解] (1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)，则直线BM 的方程为：y ＝－1k x －1，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0) ∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |，即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2，整理得3k 2－23|k |＋1＝0，解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0.3.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴M 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．] 2．若ax 2＋by 2＝b (ab ＜0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上B [因为ab ＜0，方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∴ba ＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1 C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1C [由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2， ⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.]4．双曲线x 225－y 29＝1上的点P 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2 A [根据双曲线的方程得2a ＝2×5＝10，由定义知||PF |－12|＝10，可解得|PF |＝22或2，故选A.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.] 二、填空题6．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(－3,2)∪(3，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧ 2－m ＞0，|m |－3＜0或⎩⎨⎧2－m ＜0，|m |－3＞0，解得－3＜m ＜2或m ＞3.所以实数m 的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．26 [根据双曲线定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋|AF 1|＋|BF 1|＝16＋|AB |＝16＋5＝21.所以△ABF 2的周长是|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2－y 23＝1 [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]三、解答题9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．10．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．[解] 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(不妨设r 1＞r 2)，θ＝∠F 1MF 2，因为S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，θ已知，所以只要求r 1r 2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r 1r 2.(1)当θ＝90°时，S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝12r 1r 2.由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，由双曲线定义，得|r 1－r 2|＝2a ＝4，两边平方，得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16，又r 21＋r 22＝|F 1F 2|2，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝52，所以r 1r 2＝12，求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理，可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由以上结果可见，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小．证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得 ⎩⎨⎧(r 1－r 2)2＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2. ② ②－①，得r 1r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2cot θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，cot θ2是减函数．因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2cot θ2减小．11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的说法正确的是( )A ．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆 B ．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C ．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 D ．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线BC [当0＜θ＜π2时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝π4时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A 错误；当θ＝π2时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当π2＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4还是3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以C 正确，D 错误，故选BC.]12．(多选题)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下判断，正确的是( )A ．当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52 D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4BCD [A 错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；B 正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；C 正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，∴1＜t ＜52；D 正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0，t －1＞0，∴t＞4.]13．(一题两空)已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，则|AB |＝________.又三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．则点C 的轨迹方程为________．4 x 2－y 23＝1(x ＞1) [将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.又∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得 |CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．]14．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．2512，31312 [因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.]15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP －|FP ||的最大值．[解] (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r .由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1， ∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2.3.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]2．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.]3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A．x220－y25＝1 B．x25－y220＝1C．x280－y220＝1 D．x220－y280＝1A[双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以4a2－1b2＝0，即a2＝4b2①.又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为x220－y25＝1，故选A.] 4．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ．1＋ 2C ．2＋ 2D ．3－ 2B [因为|PF 2|＝|F 2F 1|, P 点满足c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝ba c 2－a 2，∴2c ＝b a c 2－a 2，即2ac ＝b 2＝c 2－a 2，∴2＝e －1e ，又e ＞0，故e ＝1＋ 2.] 5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F (2,0)，从而得到∠FON ＝30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y ＝3(x －2)，分别与两条渐近线y ＝33x 和y ＝－33x 联立，求得M (3，3) ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＝3.] 二、填空题6．(一题两空)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________．2 y ＝±2x [a 2＝1，b 2＝m ，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋m ＝3，m ＝2.渐近线方程是y ＝±mx ＝±2x .]7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．x 24－y 24＝1 [以y ＝±x 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1.]8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3＜2， ∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.] 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，因为c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12. 故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则b a ＝12①. 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1 ②.联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴422－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.11．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2－9y 2＝－36与双曲线C 2：4x 2－9y 2＝36的说法正确的是( )A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线BD [两方程均化为标准方程为y 24－x 29＝1和x 29－y 24＝1，这里均有c 2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为y ＝±23x ，故D 正确．C 1的离心率e ＝132，C 2的离心率e ＝133，故C 错误．]12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝ab c＝34c ，即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4.整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43，又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a 2>2，故e ＝2.]13．(一题两空)已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos ∠F 1PF 2的值为________．6＋3 13 [因为F 1，F 2分别为左、右焦点，点P 在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2.]15．已知椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且OQ 1→·OQ 2→＝－5，求|M 1M 2|的取值范围．[解] (1)由椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点为(－3，0)，(3，0)，可得a 2＝3，又椭圆C 1的上顶点(0,1)到双曲线C 2的渐近线bx －ay ＝0的距离为32，由点到直线的距离公式有a a 2＋b2＝32可得b ＝1，所以双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 23－y 2＝1，消去y 并整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，要与C 2相交于两点，则应有⎩⎨⎧1－3k 2≠036k 2m 2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＞0 ⇒⎩⎨⎧1－3k 2≠01＋m 2＞3k 2①，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有：x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 1·x 2＝－3＋3m 21－3k 2.又OQ 1→·OQ 2→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，又OQ 1→·OQ 2→＝－5，所以有11－3k2[(1＋k 2)(－3m 2－3)＋6k 2m 2＋m 2(1－3k 2)]＝－5 整理得m 2＝1－9k 2②，将y ＝kx ＋m ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 并整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，要有两交点，则Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＞0⇒3k 2＋1＞m 2 ③。

人教A版选择性必修1第一章空间向量与立体几何基础达标与能力提升必刷检测卷(全解全析)

第一章：空间向量与立体几何基础达标与能力提升必刷检测卷数学·全解全析1．D 【详解】对于A ，假设a b λ=，则121122λλλ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪=-⎩，此方程组无解，所以a 与b 不平行，所以l 与m 不平行，故A 不正确；对于B ，因为011(1)1(1)0a n ⋅=⨯+⨯--⨯-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，故B 不正确；对于C ，因为1201103260n n ⋅=⨯+⨯+⨯=≠，所以1n 与2n 不垂直，所以α与β不垂直，故C 不正确；对于D ，因为(1,1,1)AB =-，(2,2,1)AC =-，且向量()1,,n u t =是平面α的法向量，所以00AB n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以1111021210u t u t -⨯+⨯+⨯=⎧⎨-⨯+⨯+⨯=⎩，解得10u t =⎧⎨=⎩，所以1u t +=，故D 正确.故选：D 2．D因为0a b ⋅=，0a c ⋅=，所以9404x y -+-=，30x y +=，解得952x =-，2752y =，所以9271,,52524a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭r .故选：D 3．B因为a c ⊥，所以3630x -+=，解得1x =，所以()1,1,1a =，因为//b c ，所以11363y ==-，解得2y =-，所以()1,2,1b =-，所以(2,1,2)a b +=-，所以3a b +==.故选：B4．A 【详解】因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+，所以211322MN a b c =-++.故选：A 5．B因为90BAC ∠=︒，所以BA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，,BA AC ⊂平面ABC ，所以,PA AC PA AB ⊥⊥，以A 为空间直角坐标系的原点，以AB AC AP ，，所在的直线为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()11110,0,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12222A P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0,0,2)PA =，1(0,,0)2DE =，11,,122DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面DEF 的法向量为(,,)m x y z =，所以有()1022,0,1110022y m DE m DE m m DF m DF x y z ⎧=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⊥⋅=⎩⎩⎪-++=⎪⎩，设直线PA 与平面DEF 所成角为θ，所以5sin cos ,5PA m PA m PA mθ⋅=〈〉==⋅，故选：B6．C据题意，得AC AB BC CC ''=++，32AC a AB bBC cCC =+'+'，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ''++=++，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC '-+-+-=.又因为,,AB BC CC '为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.7．C如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则1(0,1,0),(0,0,2),((,2)2A MB N --，所以1(0,1,2),,2)2AM BN ==-，设异面直线,AM BN 所成的角为α，向量AM 与BN 所成的角为θ，所以772cos cos 10AM BNAM BNαθ⋅===⋅,即异面直线,AM BN 所成的角的余弦值为710.故选：C.8．D设直线l 与平面α的夹角为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则sin |cos ,||15s n θ⨯+⨯-+⨯=<>=直线l 与平面α故选：D9．D 【详解】设1,,AB a BC b AA c===则11,2,0,1212a b c a b a c b c ======⨯⨯=则()()11111111111111111122222AO AA AO AA AC AA A B B C AA AB BC a b c =+=+=++=++=++12AO ∴=故选：D 10．C设正四棱锥的棱长为1，且,,AB a AC b AD c ===，因为E 为棱CD 的中点，可得1()2AE b c =+，则2AE ===设,[0,1]BF BC λλ=∈，可得()(1)AF AB BC a b a a b λλλλ=+=+-=-+，则AF ===又由2111()[(1)][(1)(1)](2)224AE AF b c a b a b b a c b c λλλλλπλ⋅=+⋅-+=-⋅++-⋅+⋅=+，所以1(2)4cos ,AE AF AE AF AE AFλ+⋅=⋅令2t λ=+，则[2,3]t ∈，可得111[,]32t ∈==，设217511()1,[,32g t t t t =-+∈当1514t =时，函数()g t 取得最小值，最小值为53()1428g =，≤=即cos ,AE AF.故选：C.11．BCD由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确；()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.12．AB由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选：A 、B 13．ABC由题易知EC =2PE =，PC =所以222PE EC PC +=，所以PE EC ⊥，又PE ED ⊥，ED EC E ⋂=，所以PE ⊥平面DEBC ，所以PE DC ⊥，又DC DE ⊥，PE DE E =，所以DC ⊥平面PED ，又DC ⊂平面PCD ，所以平面PED ⊥平面PCD ，故A 正确；PC 在平面EBCD 内的射影为EC ，又EBCD 为正方形，所以BD EC ⊥，PC BD ⊥，故B 正确；易知PDE ∠即为二面角P DC B --的平面角，又PE ED ⊥，PE ED =，所以4PDE π∠=，故C 正确；易知CPD ∠为PC 与平面PED 所成的角，又PD =，2CD =，CD PD ⊥，所以tan2CD CPD PD ∠=，故D 错误.14．BCD以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D，()10,2,2D ，()10,0,2A ，()2,0,1F ，所以()2,1,0AE =，()10,2,2AD =，()2,1,0DE =-，()2,2,1DF =-.设平面1AED 的法向量为(),,m x y z =，则由100m AE m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220,x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2y =-，2z =，故()1,2,2m =-.∵()2,2,1DF =-，不存在λ使m DF λ=，即DF 与m 不共线，∴DF 与面1AED 不垂直故A 不正确；又∵()10,0,2DD =，∴143DD m d m⋅==，故B 正确；又()2,1,0DE =-.∴sin cos ,DE m θ=∴C 正确；又()10,0,2AA =为平面AED 的一个法向量，∴1142cos 233AA m AA mα⋅===⨯，故D 正确，故选：BCD.15．18P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =.故答案为:1816．1依题意，122CD e e =+，故()()()()1212121254276AD AB BC CD e ke e e e e e k e =++=+++++=++，A ，B ，D 三点共线，可设AD AB λ=uuu r uu u r，则()()121276e k e e ke λ++=+，所以76k k λλ=⎧⎨+=⎩，解得k ＝1．故答案为：1.17．23【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.18．【详解】如图建立空间直角坐标系：设1 A ,,04,04,(,,4),04,04E a D F b a b P x y x y == ，则(0,,4),(4,,0),(,,0)F b E a PF x b y =--，点P 到F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，2(4)x =-，整理得P 点轨迹方程：2()28b y x -=-，所以P 到平面11ABB A 的距离PP d '=，2()428b y d x -=-=+,所以min 2d =，此时P 与F 共线垂直11D C ,又||2PE =∴当E,F 分别是AB ,11C D 上的中点，P 为正方形1111D C B A 中心时，PE 取最小值，此时(2,2,4),(4,2,0)P E ，(0,2,4)F .故答案为：19．（I ）()2,1,2BC =-，由于//c BC ，故可设()2,,2c n n n =-，故33c n ===，解得1n =±，故c 为()2,1,2-或()2,1,2--.（II ）()()1,1,0,1,0,2a AB b AC ==--==-，()1,,2ka b k k +=---，由于ka b +与b 垂直，则()()1,,21,0,2140,5k k k k ---⋅-=-+==.（III ）依题意()1,1,0AB =--=()1,0,2AC =-=()2,1,23BC =-=，故由余弦定理得cos A ==sin 10A ==.故三角形面积为113sin 222AB AC A ⋅⋅⋅==.20．（1）1111111111BC BB B C BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos 602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以1BC ====．（2）因为1AB a b =+，所以1AB ==，因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅<>==所以异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值为6．21．（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =，∵//DE BC 且12DE BC =，∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∵PE BE ==PB =PBE S ∆=d =22．解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BCCM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==，sin ,5n DA =，所以面MAB 与面MCD.23．解：依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z ，，=⎧⎨+=⎩不妨令z =–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN =（1，32-，1），可得00MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得BC =（–1，0，0），()122BE =-，，，CF =（0，–1，2）．设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00n BC n BE ，，⎧⋅=⎨⋅=⎩即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令z =1，可得n =（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00m BC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos <m ，n>=⋅=m n m n ，于是sin <m ，n．所以，二面角E –BC –F的正弦值为10．（Ⅲ）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得()12BP h =--，，．易知，DC =（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故BP DCcos BP DC BP DC ⋅⋅==sin60°=2，解得h=3∈［0，2］．所以线段DP.。

高中数学新人教A版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(学生版+解析版)

新人教A 版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在平面直角坐标系Oxy 中,动点P 关于x 轴对称的点为Q ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2+y 2=2 B.x 2-y 2=2 C.x+y 2=2D.x-y 2=22. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y23=1的渐近线的距离是( ) A.12B.√32C.1D.√33. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),点P 为椭圆C 上一点,且|PF 1|+|PF 2|=10,那么椭圆C 的短轴长是( ) A.6 B.7C.8D.94. 过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ) A.√24B.√22C.14D.125. 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.83B.52C.3D.26. 已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0B.√2x ±y=0C.x ±2y=0D.2x ±y=07. 设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 221−4y 225=1B.4x 221+4y 225=1C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=18. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3 B.√2C.2√33D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9. 已知方程mx 2+ny 2=1(m ,n ∈R ),则( ) A.当mn>0时,方程表示椭圆 B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线10. 以下关于圆锥曲线的说法不正确的是( )A.设A ,B 为两个定点,k 为非零常数,||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆O 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.若曲线C :x 24-k +y 2k -1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有2条11. 已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1B.√22C.√2D.√2+112. (2020山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 . 14. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 .15. 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .16. 已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a2−y 2b2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10分)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l 的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.18. (12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?19. (12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.20. (12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1)若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的取值范围.21.(12分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.22.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.新人教A 版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.23. 在平面直角坐标系Oxy 中,动点P 关于x 轴对称的点为Q ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2+y 2=2 B.x 2-y 2=2 C.x+y 2=2 D.x-y 2=2P (x ,y ),Q (x ,-y ),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y )·(x ,-y )=x 2-y 2=2.故选B .24. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( ) A.12B.√32C.1D.√3y 2=4x 的焦点为(1,0),到双曲线x 2-y 23=1的一条渐近线√3x-y=0的距离为√3×1√(√3)+(-1)=√32.25. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),点P 为椭圆C 上一点,且|PF 1|+|PF 2|=10,那么椭圆C 的短轴长是( ) A.6B.7C.8D.9C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0). 依题意得,2a=10,∴a=5.又c=3, ∴b 2=a 2-c 2=16,即b=4. 因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C .26. 过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ) A.√24B.√22C.14D.12A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b2=0.根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且y 1-y 2x 1-x 2=-12,所以2a 2+2b2×(-12)=0,所以a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2,所以c a =√22,所以e=√22.27. 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.83B.52C.3D.2FP⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在P ,F 之间,过点Q 作QM ⊥l.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N ,则|FN|=4.又易知△PQM ∽△PFN ,则|QM ||FN |=|PQ ||PF |,即|QM |4=23, ∴|QM|=83,即|QF|=83.故选A .28. 已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0B.√2x ±y=0C.x ±2y=0D.2x ±y=0c 1,c 2,则e 1·e 2=c 1a ·c 2a=√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√a 4-b 4a 2=√32,所以b a =√22,所以双曲线C 2的渐近线方程为y=±ba x=±√22x ,即x ±√2y=0.29. 设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 221−4y 225=1B.4x 221+4y 225=1C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=1,圆心C (-1,0),半径等于5,设点M 的坐标为(x ,y ).∵AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ,∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5, ∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以A ,C 为焦点,且2a=5,c=1,∴b=√212,故椭圆方程为x 2254+y 2214=1,即4x 225+4y 221=1.故选D .30. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3B.√2C.2√33D.2a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=c e 1.双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,e=ca ,a=c e,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y (x>y>0), 则4c 2=x 2+y 2-2xy cos 60°=x 2+y 2-xy ,当P 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x+y )2-3xy=4a 12-3xy ,当P 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x-y )2+xy=4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 12+3a 2,即4c 2=(c e 1)2+3(c e )2, 所以(1e 1)2+3(1e )2=4,又1e 1=e , 所以e 2+3e 2=4,整理得e 4-4e 2+3=0, 解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e=√3,即双曲线的离心率为√3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 31. 已知方程mx 2+ny 2=1(m ,n ∈R ),则( ) A.当mn>0时,方程表示椭圆 B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线mn>0时, 原方程整理得x 21m+y 21n=1,若m ,n 同负,或1m =1n,则方程不表示椭圆,故A 错误:当mn<0时,1m 与1n异号,方程表示双曲线,故B 正确;当m=0时,方程是ny 2=1,当n ≤0时,方程无解,故C 错误;无论m ,n 为何值,方程都不可能表示抛物线,故D 正确.故选BD .32. 以下关于圆锥曲线的说法不正确的是( )A.设A ,B 为两个定点,k 为非零常数,||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆O 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.若曲线C :x 24-k +y 2k -1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有2条,必须有k<|AB|,动点P 的轨迹才为双曲线,故A 不正确; ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴P 为弦AB 的中点,故∠APO=90°,则动点P 的轨迹为以线段AO 为直径的圆,故B 不正确;显然C 正确;过点(0,1) 作直线,使它与抛物线y 2 =4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线:x=0,y=1,y=x+1,故D 不正确.故选ABD .33. 已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1B.√22C.√2D.√2+1△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22, 当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1;(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.34. (2020山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a', 则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e 2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.35. 顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 .2a=6,∴a=3.当焦点在x 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴b 3=32,∴b=92,∴方程为x 29−y 2814=1; 当焦点在y 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴3b=32,∴b=2,∴方程为y 29−x 24=1.故双曲线的标准方程为y 29−x 24=1或x 29−y 2814=1.x 24=1或x 29−y 2814=136. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 .x 轴上,则椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),如图所示.若点M 满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得点M 在以F 1F 2为直径的圆上运动. ∵满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部,∴以F 1F 2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长. 由此可得b>c ,即√a 2-c 2>c ,解得a>√2c. 因此椭圆的离心率e=c a <√22, ∴椭圆离心率的取值范围是0,√22. 答案0,√2237. 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向(图略).设抛物线方程为x 2=-2py ,将点(-2,-2)代入x 2=-2py ,解得p=1,∴x 2=-2y ,焦点(0,-12),即直线方程为y=2x-12, 联立方程{x 2=-2y ,y =2x -12,得4y 2+36y+1=0,有y 1+y 2=-9,∵焦点在y 轴负半轴,∴由焦点弦公式得|AB|=-(y 1+y 2)+p=10. 38. 已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a 2−y 2b2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x 2+y 2=c 2的直径.设P (x ,y )(x>0),则有{ y 2=4cx , ①x 2+y 2=c 2,②y x+c =ba , ③将①代入②得x 2+4cx-c 2=0,则x=-4c±2√5c2=-2c ±√5c ,即x=(√5-2)c 或x=(-√5-2)c (舍去),将x=(√5-2)c 代入③,得√5c -2c+c=ba,即y=bc (√5-1)a,再将x ,y 的表达式代入①,得b 2c 2(√5-1)2a 2=4c 2(√5-2),即b 2(√5-1)2a 2=4(√5-2), ∴b2a 2=√5-(√5-1)2=c 2-a 2a 2=e 2-1, 解得e 2=√5+12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.39. (10分)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l 的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.依题意得l 的方程为x a +y -b=1,即bx-ay-ab=0.由原点O 到直线l 的距离为√32,得√a 2+b =ab c =√32,又e=ca =2√33,∴b=1,a=√3.故所求双曲线方程为x 23-y 2=1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设直线m 的方程为y=kx-1,则点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是方程组{y =kx -1,x 23-y 2=1的解,消去y ,得(1-3k 2)x 2+6kx-6=0. ①依题意知1-3k 2≠0,当Δ=36k 2-4(1-3k 2)·(-6)=24-36k 2>0,即k 2<23时,由根与系数的关系,得x 1+x 2=6k3k 2-1,x 1x 2=63k 2-1,∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-1)(kx 2-1)=(1+k 2)x 1x 2-k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2-1−6k23k 2-1+1=63k 2-1+1=-23,解得k=±12.当k=±12时,方程①均有两个不相等的实数根, ∴直线m 的方程为y=12x-1或y=-12x-1.40. (12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离,知点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为x 2=4y. (2)由题意易知直线l 2的斜率存在,又抛物线方程为x 2=4y ,当直线l 2的斜率为0时, |PQ|=4√2.当直线l 2的斜率k 不为0时,设中点坐标为(t ,2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2,两式作差得x 12−x 22=4(y 1-y 2),即得k=x 1+x 24=t 2,则直线l 2的方程为y-2=t2(x-t ),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0.由根与系数的关系得x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t 2-8, |PQ|= √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+t 24)[4t 2-4(2t 2-8)]=√(8-t 2)(4+t 2)≤6,当且仅当8-t 2=4+t 2,即t=±√2时,等号成立. 即|PQ|的最大值为6.41. (12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.由题意知c=1,a=2,则b=√3,故椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),设直线l :y=kx+m.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0, 故Δ=48(4k 2+3-m 2)>0且{x 1+x 2=-8km3+4k2,x 1x 2=4m 2-123+4k2.由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得{x 0=x 1+x 2,y 0=y 1+y 2,又点P 在椭圆C 上,所以(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,其中x 1+x 2=-8km3+4k2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m=6m3+4k2,代入(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,化简可得4m 2=3+4k 2.|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2(4√3×√3+4k 2-m 2)3+4k2,坐标原点到直线l 的距离d=|m |√1+k.所以四边形OAPB 的面积 S=|AB|·d=4√3×√3+4k 2-m 2·|m |3+4k2=12m 24m 2=3.42. (12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1)若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的取值范围.由题意得{ca=12,2a =4,解得a=2,c=1, ∴b 2=a 2-c 2=3. ∴椭圆M 的方程是x 24+y 23=1,且A (-2,0),B (2,0),设P (x 0,y 0),则k PA =y 0x 0+2,∵l 1⊥PA ,∴直线AC 的方程为y=-x 0+2y 0(x+2), 同理,直线BC 的方程为y=-x 0-2y 0(x-2).联立方程{y =-x 0+2y 0(x +2),y =-x 0-2y 0(x -2),解得{x =-x 0,y =x 02-4y 0, 又∵x 02-4y=4-43y 02-4y 0=-43y 0, ∴点C 的坐标为(-x 0,-43y 0),∵点C 的横坐标为-1,∴x 0=1.又P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴y 0=32, ∴P 点的坐标为(1,32).(2)设Q (x Q ,y Q ),∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{-x 0+2=λ(x Q +2),-43y 0=λy Q , 解得{x Q =-x 0λ+2λ-2,y Q =-43λy 0,∵点Q 在椭圆M 上,∴14(-xλ+2λ-2)2+13(-43λy 0)2=1,又y 02=3(1-x 024), 整理得7x 02-36(λ-1)x 0+72λ-100=0,解得x 0=2或x 0=36λ-507,∵P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴0<36λ-507<2,解得2518<λ<169,故λ的取值范围为(2518,169).43. (12分)如图,M 是抛物线y 2=x 上的一点,动弦ME ,MF 分别交x 轴于A ,B 两点,且MA=MB. (1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.M (y 02,y 0),点E (x E ,y E ),F (x F ,y F ),直线ME 的斜率为k (k>0),由|MA|=|MB|可知直线MF 的斜率为-k ,即直线ME 的方程为y-y 0=k (x-y 02).由{y -y 0=k (x -y 02),y 2=x ,消去x ,得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0, 解得y E =1-ky 0k ,则x E =(1-ky 0)2k2.同理可得y F =1+ky 0-k ,x F =(1+ky 0)2k2.故直线EF 的斜率k EF =y E -y Fx E -x F=1-ky 0k -1+ky 0-k (1-ky 0)2k 2-(1+ky 0)2k2=2k -4ky 0k2=-12y 0(定值). 因此,直线EF 的斜率为定值.M (y 02,y 0).∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.∴直线ME 的方程为y-y 0=x-y 02. 由{y -y 0=x -y 02,y 2=x得E ((1-y 0)2,1-y 0). 同理可得F ((1+y 0)2,-(1+y 0)). 设重心G (x ,y ),则有{ x =x M +x E +x F 3=y 02+(1-y 0)2+(1+y 0)23=2+3y 023,y =y M +y E +y F 3=y 0+(1-y 0)-(1+y 0)3=-y 03,消去参数y 0,得y 2=19x-227(x >23).44.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,∴圆心M(1,0),半径|MB|=4.又过点N作AM的平行线交BM于点C,∴AM∥NC.又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,∴|CN|=|CB|.∴|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,∴点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x 24+y23=1(y≠0).(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0),易知k≠0,设P(x1,y1),由{y=kx,x24+y23=1消去y,得(3+4k2)x2=12,解得{x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,则|OP|=√x12+y12=√123+4k2+12k23+4k2=√12(1+k2)3+4k2.∵△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,∴RO⊥PQ,∴k RO·k PQ=-1,则k RO=-1k.同理,|OR|=√12[1+(-1k)2]3+4(-1k)2=√12(1+k2)3k2+4.∴S△RPQ=12×|PQ|×|OR|=12×2×√12(1+k2)3+4k2×√12(1+k2)3k2+4=2√(3+4k)(4+3k).(方法1)S△RPQ=2√(3+4k)(4+3k)≥12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时,等号成立.∴S△RPQ min=247.(方法2)S△RPQ=2√(3+4k)(4+3k)=12√k4+2k2+112k4+25k2+12=12√k4+2k2+112(k4+2k2+1)+k2=12√112+k2k4+2k2+1=√12+1k2+2+1k2≥√12+14=247,当且仅当k2=1k2,即k=±1时,等号成立.∴S△RPQ min=247.。

第一章空间向量与立体几何专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一

第一章空间向量与立体几何专题测试注意事项1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．（2020·宜昌高二期末）已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（）A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．（2020·全国高二课时练习）若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l α C ．l α⊥ D ．l 与α相交 5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16 B ．14 C ．16- D ．14- 6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23BCD ．137．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A B ．2 C D 8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．（2020·福建厦门。

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册第一章综合测试03含答案解析

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（） A .A B =B .A B ⊆C .B A ⊆D .AB =∅∩ 2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩＞，，≤，则()2f 的值等于（）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（）x1 2 3 ()f x 2 3 1 ()g x 1 3 2 ()()f g xA .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()0f x =定义域为M ，则M =R （）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --成立，则实数a 的取值范围是（）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（） A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪，D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（） A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ ；（2）若()U A B B =∩ ，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C . 2.【答案】B【解析】集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1 .故选C .8.【答案】C【解析】对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-= ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+= ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤. 11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =-- ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B .12.【答案】D【解析】()4y f x =+ 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56 ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D .二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =- ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意. 14.【答案】()()2131x x -+≥1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥.15.【答案】[]19，【解析】函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++恒成立.当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪，【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f = ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称.又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭ ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x = ≤≤，{}|13U A x x x ∴=＜或＞， (){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ .（2）若()U A B B =∩ ，则U B A ⊆ . ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -= ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤， 1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜（2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--或222k --，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜，得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=- ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==，所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-. （2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =，高中数学必修第一册 6 / 6 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 综上所述，()()2min 521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.。

立体向量与空间几何章末综合课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

A→B
，
2
2
1 c＝
A→D
，A→E
＝xa＋yb＋zc，则(
)
3
A.x＝1，y＝2，z＝3
1 B．x＝，y＝1，z＝1
2
C．x＝1，y＝2，z＝2
1
3
D．x＝，y＝1，z＝
2
2
题型1:空间向量的坐标运算
解：设正方体 ABCDA′B′C′D′的棱长为 1，以 DA，DC，DD′分别为 x，y，z 轴建立空
题型2：空间角的计算
解：(1)证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB∥DC，AB=DC，D1C1∥DC，D1C1=DC， ∴AB∥D1C1，AB=D1C1， ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形，BC1∥AD1，又 AD1⊂平面 AD1E，BC1⊄ 平面 AD1E， ∴BC1∥平面 AD1E.
设 n=(x,y,z)是平面 D1AE 的法向量,
则
即
取 z=2,得 y=1,x=2,∴n=(2,1,2).
22
设直线 EF 与平面 D1AE 所成角为θ,则 sinθ=|cos<n,EF>|= 3 ( 1)2 1 .
由向量的夹角公式,得到含变量λ的函数.
∵λ∈[0,1],∴当λ=1
时,(sinθ)max=
所以平面 PMN 的一个法向量为 n=(2λ+1,2-2λ,3).
易知平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,1,0).
若存在满足题意的点 P,则|cos<m,n>|=
=
3 2
,整理可得
4λ2+10λ+13=0,
根据平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 30°,构建关于λ的方程,通过方程解的情况确定是

(新教材)人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何

人教A 版选择性必修第一册：空间向量与立体几何一．选择题（共9小题）1．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=2．若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( )A ．,,b c b b c -+B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+3．已知空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则实数k 的值是( ) A ．2B ．4C ．4-D ．2-4．空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，若||1AO =，则||AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，则a b c ++的值( ) A ．等于10B ．等于0C ．等于11-D ．不确定6．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN 的取值范围为( ) A ．[0，4] B ．[0，2]C ．[1，4]D ．[1，2]7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．28．已知直线l 的一个方向向量(2m =，1-，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)和(1B -，2，)z 两点，则(y z -= ) A ．0B ．1C ．32D ．39．已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD 的值为( ) A ．14 B ．14-C ．3 D ．3-二．多选题（共3小题）10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是( )A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90︒ B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形C ．二面角11D BC B --的大小为30︒D ．正方体1111ABCD A B C D -31-11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)12．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗ 三．填空题（共2小题）13．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，SD AB =，则异面直线SB 与AC 所成角的大小为，二面角S AB D --的大小为．14．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与面11ABB A 所成的角为．四．解答题（共7小题）15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为1AA ，11A C ，AB 的中点．（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值；（2）求二面角1B EG F --的余弦值．16．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 为棱形，60BAD ∠=︒，点E 为AD 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若PE AB ⊥，二面角D PA B --的余弦值为5，且4BC =，求PE 的长．17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，E 为棱1BB 上一点，且1AE AC ⊥．（1）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分． ①证明：AE ⊥平面1ACD ． ②证明：1//BC 平面1ACD ．（2）若2AB =，13AA =，求二面角11A BC C --的余弦值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）求点C 到平面11A BC 的距离．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AD AA ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面CDE ；（2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为24时，求二面角1N A P M --的余弦值．20．四棱锥P ABCD-中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，2AB=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45︒？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由．21．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．人教A 版选择性必修第一册：空间向量与立体几何参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=【解答】解：在C 中，由0MA MB MC ++=，得MA MB MC =--，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于A ，由OM OA OB OC =--，得11111--=-≠，不能得出M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，由111532OM OA OB OC =++，得1111532++≠，所以M 、A 、B 、C 四点不共面；对于D ，由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，其系数和不为1，所以M 、A 、B 、C 四点不共面．故选：C ．【点评】本题考查了空间向量基本定理，也考查了分析问题、解决问题的能力，是基础题． 2．若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+【解答】解：向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量A ，b c -与b c +共面，进而得出三个向量共面．.()B a b c a b c ++=++，因此三个向量共面． C ．三个向量不共面；D ．不含有c ，三个向量一定共面．故选：C ．【点评】本题考查了向量共面定理、向量的基，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则实数k 的值是( ) A ．2B ．4C ．4-D ．2-【解答】解：(1AB =，2，3)，(2AC =，4，2)k -，空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则存在实数m ，使得AC mAB =， ∴24223m m k m =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得2m =，4k =-．故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，基础中档题．4．空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，若||1AO =，则||AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，||1AO =，A ∴是以O 为球心，1为半径的球上的点，B，||3OB ∴=．||AB ∴的最小值为：|||||312OB OA -=-=．故选：B ．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，则a b c ++的值( ) A ．等于10B ．等于0C ．等于11-D ．不确定【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，∴244322115a a b c ⎧-=-⎪+=-⎨⎪+=-⎩，解得2a =，5b =-，8c =-，25811a b c ∴++=--=-．故选：C ．【点评】本题考查代数式的值的求法，考查空间直角坐标系中点的对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN 的取值范围为( ) A ．[0，4]B ．[0，2]C ．[1，4]D ．[1，2]【解答】解：以1D 为坐标原点，以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；设正方体内切球球心为S ，MN 是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1，所以2()()()()1[0PM PN PS SM PS SN PS SM PS SM PS =++=+-=-∈，2]．所以PM PN 的取值范围是[0，2]．故选：B ．【点评】本题以正方体为载体，考查了线面、面面位置关系，以及空间向量的数量积应用问题，是中档题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=．故选：B ．【点评】本题考查代数式求值，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知直线l 的一个方向向量(2m =，1-，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)和(1B -，2，)z 两点，则(y z -= ) A ．0B ．1C ．32D ．3【解答】解：(1AB =-，2y -，3)z -． ∴AB km =．12k ∴-=，2y k -=-，33z k -=．解得12k =-，32y z ==．0y z ∴-=．故选：A ．【点评】本题考查了直线的方向向量、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD 的值为( ) A ．14 B ．14-C ．3 D ．3-【解答】解：如图所示，正四面体ABCD 的棱长是a ，E 是AB 的中点；∴111()11cos6011cos60224EC AD EA AC AD AB AD AC AD =+=-+=-⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=；故选：A ．【点评】本题考查了向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．二．多选题（共3小题）10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是( )A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90︒ B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形C ．二面角11D BC B --的大小为30︒D ．正方体1111ABCD A B C D -31-【解答】解：如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， 11D C ⊥平面11BB C C ，则111D C B C ⊥，又11B C BC ⊥， 1111D C BC C =，1B C ∴⊥平面11BC D ，则11B C BD ⊥，即异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90︒，故A 正确；1DD ⊥底面ABCD ，1DD DB ∴⊥，1DD DC ⊥，再由BC ⊥平面11DD C C ，可得BC DC ⊥，1BC D C ⊥，得四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形，故B 正确；由BC ⊥平面11DD C C ，可得1BC D C ⊥，1BC CC ⊥，即11D CC ∠为二面角11D BC B --的平面角，大小为45︒，故C 错误；正方体1111ABCD A B C D -的内切球的半径为12，外接球的半径为3，则正方体1111ABCD A B C D -的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为31-，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(8，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)．因此ACD 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >，故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >，故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，212121()||||x x y y b a b +>=-，即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗22222121211222211()x x y y x y x y x y +=++-+22222222211221212122112121221()()()2||x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y =++-+=+-=-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．三．填空题（共2小题）13．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，SD AB =，则异面直线SB 与AC 所成角的大小为 90︒ ，二面角S AB D --的大小为．【解答】解：连接BD ，交AC 于点O ，取SD 的中点M ，连接OM 、AM 、CM ，则//OM SB ， AOM ∴∠即为异面直线SB 与AC 所成角．SD ⊥面ABCD ，90ADS CDS ∴∠=∠=︒，正方形ABCD ，AD CD ∴=，又DM DM =，ADM CDM ∴∆≅∆，AM CM ∴=， O 为AC 的中点，OM AC ∴⊥，90AOM ∠=︒，故异面直线SB 与AC 所成角的大小为90︒．SD ⊥面ABCD ，SAD ∴∠即为二面角S AB D --的平面角． SD AB AD ==，Rt ADS ∴∆为等腰直角三角形，45SAD ∴∠=︒．故二面角S AB D --的大小为45︒．故答案为：90︒；45︒．【点评】本题考查空间中角的求法，通过平移的思想找出异面直线的平面角，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题．14．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与面11ABB A 所成的角为6π．【解答】解：取11A B 中点D ，连结1C D ，AD ，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22 111C D A B ∴⊥，11C D AA ⊥，1111A B AA A =，1C D ∴⊥平面11ABB A ，1AC ∴与面11ABB A 所成的角为1DAC ∠， 221213C D =-=，22(22)13AD =+=，113tan C D DAC AD ∴∠==，16DAC π∴∠=． 1AC ∴与面11ABB A 所成的角为6π．故答案为：6π．【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四．解答题（共7小题）15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为1AA ，11A C ，AB 的中点．（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值；（2）求二面角1B EG F --的余弦值．【解答】解：（1）连接1AC ，E ，F 分别为1AA ，11A C 的中点，1//EF AC ∴，1AC B ∴∠即为异面直线1BC 与EF 所成角．由正三棱柱的性质可知，221114422AC BC CC BC ==+=+=，在1ABC ∆中，由余弦定理知，222111113cos 2422222AC BC AB AC B AC BC +-∠===⨯⨯．故异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值为34．（2）以C 为原点，CA 、1CC 分别为x 和z 轴，作Cy ⊥面11ACC A ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，0，2)，3(2G 3，0)，∴1(2EG =-3，1)-，(1EF =-，0，1)，设平面EFG 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m EG m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13020x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩，令1x =，则1z =，3y =，∴(1m =31)．由正三棱柱的性质可知，1AA ⊥面ABC ， CG ⊂面ABC ，1AA CG ∴⊥，ABC ∆为正三角形，且G 为AB 的中点，CG AB ∴⊥， 1AA AB A =，1AA 、AB ⊂面1B EG ，CG ∴⊥面1B EG ，即平面1B EG 的法向量n 与CG 平行，∴(3n =，1，0)．cos m ∴<，3315||||1312m n n m n +>===++⨯，由图可知，二面角1B EG F --为锐二面角，故二面角1B EG F --的余弦值为15．【点评】本题考查空间中异面直线夹角和二面角的求法，通过平移的思想找到异面直线的平面角，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 为棱形，60BAD ∠=︒，点E 为AD 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若PE AB ⊥，二面角D PA B --的余弦值为5，且4BC =，求PE 的长．【解答】（1）证明：连接BD ，四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形， E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，又PA PD =，PE AD ∴⊥，BE 、PE ⊂面PBE ，BE PE E =，AD ∴⊥面PBE ，//AD BC ，BC ∴⊥面PBE ，BC ⊂面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBE ．（2）解：由（1）知，PE AD ⊥，BE AD ⊥，PE AB ⊥，AB 、AD ⊂面ABCD ，ABAD A =，PE ∴⊥面ABCD ，PE BE ∴⊥，故PE 、AD 、BE 两两相垂．以E 为原点，EB 、ED 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PE x x =>，则(0P ，0，)x ，(0A ，2-，0)，(0D ，2，0)，(23B ，0，0)， ∴(0AP =，2，)x ，(0AD =，4，0)，(23AB =，2，0)，设平面PAD 的法向量为(m a =，b ，)c ，则0m AP m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2040b cx b +=⎧⎨=⎩，令1a =，则(1m =，0，0)．同理可得，平面PAB 的法向量(n x =，3x -，23)，|cos m ∴<，225|||||||||1312m n n m n x x >===⨯++23x =±，23PE ∴=【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，E 为棱1BB 上一点，且1AE AC ⊥．（1）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分． ①证明：AE ⊥平面1ACD ．②证明：1//BC 平面1ACD ．（2）若2AB =，13AA =，求二面角11A BC C --的余弦值．【解答】（1）选择① 证明：D 为AB 的中点，AC BC =，CD AB ∴⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，则1AA CD ⊥， 1ABAA A =，AB 、1AA ⊂平面11ABB A ，CD ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂平面11ABB A ，CD AE ∴⊥，又1AE AC ⊥，1CD A C C =，CD 、1A C ⊂平面1ACD ，AE ∴⊥平面1ACD ．选择②证明：连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ，侧面11ACC A 为平行四边形，O ∴为线段1AC 的中点，D 为AB 的中点，1//OD BC ∴，OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD ．（2）解：以D 为原点，DB 、DC 分别为x 和y 轴，作Dz ⊥面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1B ，0，0)，(0C ，3，0)，1(0C，3，3)，1(1A -，0，3)， ∴11(1A C =，3，0)，1(1BC =-，3，3)，(1BC =-，3，0)，设平面11A BC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则11100m AC m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即30330x y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，令3x =，则3y =-，2z =，∴(3m =，3-，2)．同理可得，平面1BC C 的法向量(3n =，1，0)． cos m ∴<，3333||||9342m n n m n ->===++⨯．由图可知，二面角11A BC C --为钝角，故二面角11A BC C --的余弦值为3-．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练运用空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）求点C 到平面11A BC 的距离．【解答】证明：（1）因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（3分）解：（2）由（1）知，1AA AC ⊥，1AA AB ⊥．由题意知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0B ，3，0)，1(0A ，0，4)，1(0B ，3，4)，1(4C ，0，4)．设平面11A BC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则11100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即34040y z x -=⎧⎨=⎩．令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =．同理可得，平面11BC B 的法向量为(3,4,0)m =．所以16cos ,||||25m n m n m n <>==．由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为以(0,4,3)n =，1(0,0,4)CC = 所以点C 到平面11A BC 距离112||5C C n d n ==．【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AD AA ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面CDE ；（2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为2时，求二面角1N A P M --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结1B C ，M ，E 分别为1BB ，BC 的中点，1//ME BC ∴，且112ME B C =， N 为1A D 的中点，112ND A D ∴=，由题设知11//A B DC ，且11A B DC =，可得11//B C A D ，且11B C A D =， //ME ND ∴，且ME ND =，又MN ⊂/平面1EDC ，//MN ∴平面1C DE ．（2）解：在Rt △1C CE 中，221125C E C C CE =+ 在Rt △11C D D 中，22111125C D D C D D =+=，在Rt ECD ∆中，2222DE DC CE =+= 可得等腰三角形1C DE 中，底边上的高为32∴11223262C DES=⨯⨯=，设点C 到平面1C DE 的距离为h ， 1C C ⊥平面DEC ，∴由11C DEC C C ED V V --=，得122462h ⨯⨯⨯=，解得43h =．∴点C 到平面1C DE 的距离43h =．（3）解：AP ⊥平面11A ADD ，ANP ∴∠为直线PN 与平面11A ADD 所成角，∴222AP NA ==，解得1AP =，取1AA 中点Q ，连结NQ ，过点Q 作1QH A P ⊥，交1A P 于点H ，连结NH ，由题意得NQ ⊥平面11A ABB ，NHQ ∴∠是二面角1N A P A --的平面角，由题意得△1A AD ∽△1A NQ ，∴11AQ A P QH AD=，∴217QH =，在Rt NQH ∆中，6217NH =，解得2cos NHQ ∠=，二面角1N A P A --与二面角1N A P M --互补， ∴二面角1N A P M --的余弦值为26-．【点评】本题考查线面平行的证明，点到平面的距离、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为正三角形，底面ABCD 是正方形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PB ，BC 中点，2AB =．（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）棱AD 上是否存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒？若存在，求AM 的长度；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：PAB ∆为等边三角形，E 为PB 的中点，AE PB ∴⊥．底面ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， BC ∴⊥平面PAB ，则BC AE ⊥，又AE PB ⊥，PB BC B =，AE ∴⊥平面PBC ，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取PA 中点G ，连接BG ，同（Ⅰ）可证BG ⊥平面PAD ．假设棱AD 上存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒，连接BM ，GM ，则BGM ∠为BM 与平面PAD 所成角为45︒，则GM BG =，在等边三角形PAB 中，由2AB =，得3BG GM ==，在Rt GAM ∆中，由3GM =，1GA =，得2AM =．故棱AD 上存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒，AM 的长度为2．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了存在性问题的求解方法，是中档题．21．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示；则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0E ，03)，(1F -，23)， (1BE =-，2-3)，(0AB =，2，0)，设平面ABE 的法向量为(n x =，y ，)z ， ∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，不妨设(3n =，0，1)，又(1DF =-，23)， ∴3030DF n =-+=， ∴DF n ⊥；又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（Ⅱ）(1BE =-，2-3)，(2BF =-，03)，设平面BEF 的法向量为(m x =，y ，)z ， ∴230230x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，则(23m =，3，4)，531|cos ||||||231m n m n θ∴===⨯⨯， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是531；（Ⅲ）设(1DP DF λλ==-，2，3)(λ=-，2λ，3)λ，[0λ∈，1]； (P λ∴-，2λ，3)λ，(1BP λ=--，22λ-，3)λ，又平面ABE 的法向量为(3n =，0，1)， sin |cos BP θ∴=<，|n > ||||||BP n BP n =⨯ 222|3(1)3|(1)(22)(3)2λλλλλ--+=--+-+⨯ 3=，化简得28610λλ-+=，解得12λ=或14λ=；当12λ=时，3(2BP =-，1-，3)，||2BP ∴=；当14λ=时，5(4BP =-，32-，3)，||2BP ∴=；综上，||2BP =．。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

《第一章空间向量与立体几何》试卷及答案_高中数学选择性必修第一册_人教A版

《第一章空间向量与立体几何》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则向量AB与x轴正方向的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2、在空间直角坐标系中，已知点A（2，-1，3），点B（-1，2，-1），则向量AB 的坐标表示为：A.（-3，3，-4）B.（-3，-3，-4）C.（3，-3，4）D.（3，3，4）3、在空间直角坐标系中，点A(3, -2, 4)关于平面x=2的对称点B的坐标为：A. (1, -2, 4)B. (5, -2, 4)C. (1, -2, -4)D. (5, -2, -4)4、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（4，5，6），那么向量AB与向量AC垂直的条件是：A. AC的坐标为（2，3，4）B. AC的坐标为（-3，-2，-1）C. AC的坐标为（2，1，0）D. AC的坐标为（-2，-1，2）5、在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，若向量AB与向量a=(1,-2,3)垂直，则向量a与向量BC的夹角θ的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. -1/2D. -1/36、已知空间中两点A（1，-1，2），B（3，1，-1），那么向量AB的模长是：A. √14B. √26C. √10D. √307、在平面α内，已知点A(2,3,4)，向量n=(1,-1,1)，若点B(1,2,3)在平面α内，则向量AB与向量n的夹角θ的余弦值是：A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 1/√38、在空间直角坐标系中，若点A（1，2，3），点B（4，5，6），则向量AB的坐标表示为（）A.（3，3，3）B.（3，3，0）C.（3，3，-3）D.（3，3，2）二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下关于空间向量和立体几何的说法正确的是：A. 空间向量可以表示点与点之间的距离和方向B. 两个向量的数量积等于它们的模长乘积与夹角余弦值的乘积C. 空间直线的方程可以用两个向量的叉积来表示D. 空间平面可以由一个点和一个向量来唯一确定2、在空间直角坐标系中，已知点A(2, -1, 3)，点B(4, 2, -1)，点C在xOy平面上，且向量AB和向量AC垂直。

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--专题强化练3 立体几何中的存在性与探究性问题

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--专题强化练3立体几何中的存在性与探究性问题解答题1.(2020湖南长沙麓山国际实验学校高二阶段检测,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值;的值. (3)证明:在线段BC1上存在点D(不与B、C1重合),使得AD⊥A1B,并求BDBC12.(2020湖南株洲二中、浏阳一中等湘东七校高三联考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,平面ADP⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥平面PCE?并说明理由;(2)当二面角D-FC-B的余弦值为1时,求直线PB与平面ABCD所成的角.43.(2020北京丰台高三一模,)如图,在四棱锥M-ABCD中,AB∥CD,∠ADC=∠AB=√2,平面BCM⊥平面ABCD.BMC=90°,MB=MC,AD=DC=12(1)求证:CD∥平面ABM;(2)求证:AC⊥平面BCM;?若存在,求出(3)在棱AM上是否存在一点E,使得平面EBC与平面BCM的夹角为π4AE的值;若不存在,请说明理由.AM4.(2020重庆育才中学高二月考,)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:平面BAE⊥平面A1BD;(2)求平面DBA1和平面BAA1夹角的余弦值;(3)在线段B1B(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A1BD的距离为2√5?请说明理5由.5.(2020山东滕州一中高三下模拟,)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图2.(1)求证:A1E⊥平面BCDE;(2)在线段BD(不包括端点)上是否存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD?若存在,求出BP的值;若不存在,说明理由.BD6.(2021河北沧州高二上检测,)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,异面直线PA和CD所成角等于60°,(1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;(2)在棱PA上是否存在一点E,使得平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为√66?若存在,指出点E在棱PA上的位置;若不存在,说明理由.7.(2020浙江绍兴诸暨中学高一(实验班)下期中,)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB于点F,连接DE、DF、BE、BD.(1)证明:PB⊥平面DEF,试判断四面体BDEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD夹角的大小为π3,求DCBC的值.答案全解全析解答题1.解析 (1)证明:∵四边形AA 1C 1C 是正方形,∴AA 1⊥AC.又∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ,∴AA 1⊥平面ABC. (2)由AC =4,BC =5,AB =3,得AC 2+AB 2=BC 2,∴AB ⊥AC.建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(0,0,4),B (0,3,0),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-3,4),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,4),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4).设平面A 1C 1B 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面B 1C 1B 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2). 则{n 1·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x 1-3y 1+4z 1=0,n 1·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3y 1+4z 1=0,令y 1=4,则x 1=0,z 1=3,∴n 1=(0,4,3).{n 2·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x 2-3y 2+4z 2=0,n 2·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4z 2=0,令x 2=3,则y 2=4,∴n 2=(3,4,0). 设平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 所成夹角为θ, ∴cos θ=|cos<n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=165×5=1625.∴平面A1C1B 与平面B1C1B 夹角的余弦值为1625.(3)证明:设点D 的竖坐标为t (0<t <4),在平面BCC 1B 1中作DE ⊥BC 于点E ,易得D (t ,34(4-t ),t),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t ,34(4-t ),t),由(2)知A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,-4),∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即0+94(4−t)−4t =0,解得t =3625.∴BD BC 1=DE CC 1=925.2.解析 (1)在棱AB 上存在点E ,使得AF ∥平面PCE ,且E 为棱AB 的中点. 理由如下:如图,取PC 的中点Q ,连接EQ 、FQ , 由题意得,FQ ∥DC 且FQ =12CD ,因为AE ∥CD 且AE =12CD ,所以AE ∥FQ 且AE =FQ.所以四边形AEQF 为平行四边形. 所以AF ∥EQ.又EQ ⊂平面PCE ,AF ⊄平面PCE , 所以AF ∥平面PCE.(2)连接BD 、DE.由题意知△ABD 为正三角形,所以ED ⊥AB ,即ED ⊥CD , 又∠ADP =90°,所以PD ⊥AD ,且平面ADP ⊥平面ABCD ,平面ADP ∩平面ABCD =AD , 所以PD ⊥平面ABCD ,故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设FD =a ,则由题意知F (0,0,a ),C (0,2,0),B (√3,1,0), 则FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-a ),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0), 设平面FBC 的法向量为m =(x ,y ,z ). 则{m ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y -az =0,m ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x -y =0,令x =1,则y =√3,z =2√3a, 所以m =(1,√3,2√3a),易知平面DFC 的一个法向量n =(1,0,0), 因为二面角D -FC -B 的余弦值为14,所以|cos<m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=14,即√4+12a2=14,解得a =1(负值舍去).因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 在平面ABCD 内的射影为DB , 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角, 由题意知在Rt △PBD 中,tan ∠PBD =PD BD=2FD BD=1,所以∠PBD =45°,所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.3.解析 (1)证明:因为AB ∥CD ,AB ⊂平面ABM ,CD ⊄平面ABM , 所以CD ∥平面ABM.(2)证明:取AB 的中点N ,连接CN.在直角梯形ABCD 中,易知AN =BN =CD =AD =√2,且CN ⊥AB. 在Rt △CNB 中,由勾股定理得BC =2.在△ACB 中,由勾股定理的逆定理可知AC ⊥BC. 因为平面BCM ⊥平面ABCD , 且平面BCM ∩平面ABCD =BC , 所以AC ⊥平面BCM.(3)存在.取BC 的中点O ,连接OM ,ON.易得ON ∥AC , 因为AC⊥平面BCM ,所以ON ⊥平面BCM.因为MB =MC ,所以OM ⊥BC. 如图建立空间直角坐标系Oxyz ,则M (0,0,1),B (0,1,0),C (0,-1,0),A (2,-1,0), 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,0). 易知平面BCM 的一个法向量为m =(1,0,0).假设在棱AM 上存在一点E ,使得平面EBC 与平面BCM 的夹角为π4.不妨令AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2λ,λ,λ), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-2λ,λ-2,λ), 设n =(x ,y ,z )为平面BCE 的法向量,则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2y =0,(2-2λ)x +(λ-2)y +λz =0,令x =λ,则z =2λ-2,所以n =(λ,0,2λ-2). 从而|cos<m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√22. 解得λ=23或λ=2.因为0≤λ≤1,所以λ=23.所以在棱AM 上存在一点E ,使得平面EBC 与平面BCM 的夹角为π4,此时AE AM=23.4.解析取A 1C 1的中点O ,连接B 1O ,OD.易得OA 1,OD ,OB 1两两垂直.如图,以O 为原点,OA 1,OD ,OB 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,2,0),B (0,2,√3),D (0,2,0),A 1(1,0,0),E (-1,1,0). (1)证明:A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√3),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,−√3).设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别为平面A 1BD 和平面BAE 的法向量. 由A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,得{-x 1+2y 1=0,-x 1+2y 1+√3z 1=0,令y 1=1,则x 1=2,z 1=0.∴n 1=(2,1,0)是平面A 1BD 的一个法向量. 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,得{x 2-√3z 2=0,-x 2-y 2-√3z 2=0,令z 2=1,则x 2=√3,y2=−2√3.∴n 2=(√3,−2√3,1)是平面BAE 的一个法向量. ∵n 2·n 1=0,∴平面BAE ⊥平面A 1BD.(2)A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设平面A 1AB 的法向量为m =(x ,y ,z ).由A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,得{2y =0,-x +2y +√3z =0,令z =1,则x =√3,∴m =(√3,0,1)是平面A 1AB 的一个法向量. 设平面DBA 1和平面BAA 1的夹角为θ, 则cos θ=|n 1·m ||n 1||m |=√3√5×2=√155, 即平面DBA 1和平面BAA 1夹角的余弦值为√155.(3)假设在线段B 1B (含端点)上存在点M ,使点M 到平面A 1BD 的距离为2√55, 设M (0,a ,√3)(0≤a ≤2),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a -2,0).由2√55=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1||n 1|=|a -2|√5,解得a =4或a =0.故在线段B 1B (含端点)上存在点M ,使点M 到平面A 1BD 的距离为2√55. 5.解析 (1)证明:∵A 1D ⊥BE ,DE ⊥BE ,A 1D ∩DE =D , ∴BE ⊥平面A 1DE.∵A 1E ⊂平面A 1DE ,∴A 1E ⊥BE. 又∵A 1E ⊥DE ,BE ∩DE =E , ∴A 1E ⊥平面BCDE.(2)假设在线段BD (不包括端点)上存在点P ,使平面A 1EP ⊥平面A 1BD ,以E 为原点,EB ,ED ,EA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E (0,0,0),B (1,0,0),D (0,√3,0),A 1(0,0,1),∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,-1),∴EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),设P (x ,y ,z ),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ<1),则(x -1,y ,z )=λ(-1,√3,0),∴P(1−λ,√3λ,0),∴EP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3λ,0), 设平面A 1EP 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m ·EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{z 1=0,(1-λ)x 1+√3λy 1=0,令x 1=√3λ,则y1=λ−1,z1=0,∴m =(√3λ,λ-1,0),设平面A 1BD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则{n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 2-z 2=0,√3y 2-z 2=0,令y 2=1,则z 2=x 2=√3,∴n =(√3,1,√3),∵平面A 1EP ⊥平面A 1BD ,∴m ·n =0,即3λ+λ-1=0,解得λ=14,∴在线段BD 上存在点P ,使得平面A 1EP ⊥平面A 1BD ,且BPBD=14.6.解析 (1)∵PB ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,∴PB ⊥BC ,同理PB ⊥BA. 又∵BC ⊥AB ,∴可建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (0,0,0),D (2,2,0).设P (0,0,p ),C (0,c ,0),其中p >0,c >0, 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-p ),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2-c ,0),PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-p ). ∵CD ⊥PD ,∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即4+4-2c =0,∴c =4,∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,0),C (0,4,0). ∵异面直线PA 和CD 所成角等于60°, ∴12=√4+p 2×√4+4,解得p =2 或p =-2(舍),∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),P (0,0,2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2). 设平面PAD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 由{m ·PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x -2z =0,2x +2y -2z =0,取x =1,则y =0,z =1,∴m =(1,0,1). 设直线PC 与平面PAD 所成角为θ, 又PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,-2),∴sin θ=|cos<PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=|0+0-2|2√5×√2=√1010.(2)设PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,0,-2λ),∴E (2λ,0,2-2λ), 设平面BDE 的法向量为n =(x ,y ,z ). 又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,0,2-2λ), ∴{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2λx +(2-2λ)z =0,2x +2y =0,取x =1-λ,则y =λ-1,z =-λ, ∴n =(1-λ,λ-1,-λ).取平面PAB 的一个法向量为k =(0,1,0),∵平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为√66, ∴|cos<n ,k >|=|λ-1|1×√(1-λ)2+(λ-1)2+λ2=√66,解得λ=23或λ=2 (舍),∴棱PA 上存在一点E (43,0,23),使得平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为√66. 此时PE =23PA.7.解析 (1)如图,以D 为原点,射线DA 、DC 、DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD =DC =1,BC =λ,则D (0,0,0),P (0,0,1),B (λ,1,0),C (0,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,1,−1),点E 是PC 的中点,∴E (0,12,12), ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即PB ⊥DE.又已知EF ⊥PB ,而DE ∩EF =E ,∴PB ⊥平面DEF. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴DE ⊥PC , 又PB ∩PC =P ,∴DE ⊥平面PBC.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB、∠DEF、∠EFB、∠DFB.(2)∵PD⊥平面ABCD,∴DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.由(1)知,PB⊥平面DEF,∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,-1,1) 是平面DEF的一个法向量若平面DEF与平面ABCD的夹角为π3,则cos π3=|BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√λ2+2=12,解得λ=√2,∴DCBC =1λ=√22,∴当平面DEF与平面ABCD夹角为π3时,DCBC=√22.。

人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题第1章空间向量与立体几何1.1.1 空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算课后训练巩固提升A 组1.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+cD.-a+b-c解析:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 答案:C2.若a 与b 不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( ) A.m,n,p 共线 B.m 与p 共线 C.n 与p 共线 D.m,n,p 共面解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=12m+12n.又m 与n 不共线,所以m,n,p 共面. 答案:D3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,G,H,P,Q 分别是A 1A,AB,BC,CC 1,C 1D 1,D 1A 1的中点,则( )A.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由题图观察,EF ⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 平移后可以首尾相接,故有EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:A4.(多选题)若向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线,O 为空间任意一点,则下列四个式子能得出M,A,B,C 四点共面的是( )A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:对于A,C 选项,由结论OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (,A,B,C 四点共面知,A 符合,C 不符合;对于B,D 选项,易知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又有公共点M,所以M,A,B,C 四点共面,所以B,D 符合.答案:ABD5.已知点A,B,C 不共线,对空间任意一点O,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P,A,B,C 四点 .解析:∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y+z=1)⇔P,A,B,C 四点共面, 又34+18+18=1,∴P,A,B,C 四点共面.答案:共面6.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则实数x= ,y= .解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以x=1,y=14.答案:1 147.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且与A,B,P 三点不共线,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数β= . 解析:∵A,B,P 三点共线,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{1-λ=13,λ=β,解得β=23.答案:238.已知A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,O 是空间任意一点,且点O 不在平面ABCD 内,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= . 解析:∵A,B,C,D 四点共面, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m+n+p=1. 由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-3y)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-4z)OD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-19.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是CD 的中点.求下列各式中x,y 的值.(1)OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PC ⃗⃗⃗⃗ +y PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:根据题意,画出大致图形,如图所示.(1)∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PC ⃗⃗⃗⃗ ,∴x=y=-12.(2)∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ . 又PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PC ⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴x=2,y=-2.10.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点,证明:向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.证明:EF ⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 假设存在实数x,y,使得EF ⃗⃗⃗⃗ =x A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-x B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y)B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面, ∴{-x =1,x +y =-12,y =12,解得{x =-1,y =12.∴EF ⃗⃗⃗⃗ =-A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由向量共面的充要条件知,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.B 组1.若P,A,B,C 为空间四点(点P,A,B,C 不共线),且有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =αPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βPC ⃗⃗⃗⃗ ,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =β(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =βBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,显然A,B,C 三点共线;若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λPC ⃗⃗⃗⃗ ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1. 故选C. 答案:C2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC 中,M,N 分别是OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且MG=2GN,则OG⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:因为点N 为BC 的中点, 所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D3.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 必( ) A.在平面BAD 1内B.在平面BA 1D 内C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内解析:因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 所以M,A 1,B,D 1四点共面,故选C.答案:CA.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共线B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 C.若e 1,e 2为不共线的非零向量,a=4e 1-25e 2,b=-e 1+110e 2,则a ∥bD.若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0 答案:A5.如图,在三棱锥O-ABC 中,点M,N 分别为AB,OC 的中点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,用向量a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 .解析:由题意知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC⃗⃗⃗⃗⃗ −12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a-b+c). 答案:12(-a-b+c)6.设e 1,e 2是两个不共线的空间向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+ke 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,且A,B,D 三点共线,则k= .解析:BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-e 1-3e 2)+(2e 1-e 2)=e 1-4e 2. ∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2).∴{2=λ,k =-4λ,解得k=-8.答案:-87.如图,M,N 分别是四面体ABCD 的AB,CD 的中点.请判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共面.解:由题图可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,① MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,② 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以①+②得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.。

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