第二章 力系的简化
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Mn
FRx =Fix
FR z
FRy =Fiy FRz =Fiz
MO = Mx i+ My j+ Mz k
F´n
M2 Fn
O
x
y
Mx =Mix My =Miy
Mz =Miz
z FR
x
MO y
3、平面力系的简化
z MO
y
O
F1
x F2
FR
Fn
F´R
FR =FRx i+ FRy j FRx =Fix FRy =Fiy
O
F1
F4
F2
F3
FR
FR F1 F2 Fn
几何法
§2-1 汇交力系的简化
O
F1
解析法：
Fi =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F4
F2
FR =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F3 FR
FR F1 F2 Fn
FRx =Fix FRy =Fiy
FRz =Fiz 矢量投影定理
若能简化为一合力，试确定合力作用线位置。
解：FRx =Fix =－333kN
F1 1m F2 F3
FRy =Fiy=－8020kN
FR FR2x FR2y 8027kN
yF
= 87.62º
W
10.7m 21m
MO = MiO= 6121kNm
x=0.763m (x轴的负方向)
F´R
O
MO x
称为分布力在该处的集度，
用q表示。
q
lim q
例1：已知F1= F2 = F3= F4=100N,试求该力系的合力。
解：
FRx
F1cos60
F2cos45
F3
4 5
F4
FR F2
y
F1
40.71N
3 FRy F1sin60 F2sin45 5 F4
97.31N
45° 60° x
F3
O3
4
F4
FR FR2x FR2y 105.5N
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
2F
F
CF
F
CF M
2、空间力系的简化
FR =FRx i+ FRy j+ FRz k
F2 M1
F´2
O
F1
F´1 MO
MO FR
O
将MO分解为MO 和MO
MO
MO
FR
O
FR MO
力螺旋
MO FR
d
O
A
MO FR
d
O
A
力螺旋
例3：已知F1＝300kN、F2＝400kN、F3＝
500kN，试将该力系向柱底中心O简化，并 求出简化的最终结果。（AB＝0.3m，BC =0.7m）
解：FR x
Biblioteka Baidu
4 5
F3
400kN
FR y F1 300 kN
例：如图一电厂的机器基础平面图， y 10
试计算重心的位置。
解： • 分割法：
yC 20cm
40 Ⅱ
xC
Ai xi 12.5cm A
C
10
Ⅲ
30
x
（cm）
10
2. 复杂形体的重心
a.组合法（分割法、负面积法）
例5：如图一电厂的机器基础平面图，
试计算重心的位置。
y 10
解：•负面积法：
yC 20cm
FR z
F2
3 5
F3
100kN
FR 400 i 300 j 100 k FR 509 .9kN
简化最终结果：
Mx
F1
1
F2
0.2
3 5
F3
0.2
160kN m
My
F2
0.2
4 5
F3
1
3 5
F3
0.2
260kN m
Mz
F1
0.2
4 5
F3
0.2
20kN m
力螺旋
FR FR
FR
§2-5 重心
Wi
z
O
C
W y
x W = Wi
一、重心的基本公式
由合力矩定理有：
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
C
y
Wi W
z
zc O
zi
x
x
Wi
C
z W
zi zc y
O
xi
yi
xc
yc
二、质心的公式、形心的公式
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
MO = Mz = Miz = MiO
➢ 空间平行力系的简化
z FR
F2 O
F1 y
x
MO
Fn
FR =FRz k
FRz =Fiz MO =Mx i+ My j
Mx = Mix My = Miy
§2-4 任意力系简化结果讨论
主矢 FR Fi
主矩 MO MOFi
可作进一步的简化，讨论如下：
zC
Wi zi W
mi xgixi
ViVxiixi
xdV
V
mg
VV
V
mi yi
Vi yi
ydV V
m
V
V
mi zi
Vi zi
zdV V
m
V
V
x
Wi
C
z W
zi zc y
O
xi
yi
xc
yc
三、确定物体重心的方法 1. 简单形体的重心
2. 复杂形体的重心
a.组合法（分割法、负面积法）
§2-2 力偶系的简化（合力偶）
M M1 M2 Mn
Mi = Mix i+ Miy j+ Miz k M =Mix i+ Miy j+ Miz k
Mx =Mix My =Miy Mz =Miz
M2M2z
M M1
M1
O
x
Mn y
Mn
§2-3 任意力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
1. 简化为一个力偶：当 FR 0，MO 0 时
2. 简化为一个合力： 当 FR 0，MO 0 时, 合力 FR 经过O点 当 FR 0，MO 0 , FR MO 0 时, 可进一步简化：
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
FR
d
O
A
3. 简化为一个力螺旋： 当 FR 0，MO 0 , FR MO 0 时
力系的分类
一、汇交力系 若力系中各力作用线汇交
于一点，则该力系称为汇交 力系
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
A F2
F1
F3 F4
三、任意力系 若力系中各力作用线既不汇交于一点，也不全
部互相平行，则该力系称为任意力系
空间任意力系
平面任意力系 （平面力系）
平面平行力系 空间平行力系
§2-1 汇交力系的简化（合力）
MR
MO
FR FR
31.4kN m
M O 160 i 260 j 20k MO 305 .9kN m
例4：某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力F1＝1940kN、
F2＝800kN，水平力F3＝193kN，桥墩重量W＝5280kN，风 力的合力F＝140kN。求将该力系向基底中心O简化的结果；
-20×20
40
xC
Ai xi A大 x大 A小x小
A
A
12.5c m
C
10
30
x
（cm）
10
2. 复杂形体的重心
b.实验法
• 悬挂法 • 称重法 A
l
C
B
hW
FNB
h FNBl W
§2-6 平行分布力的简化
一、线分布力的简化
荷载图
集度单位长度、单位面积 F
或单位体积上所受到的力，
FRx =Fix
FR z
FRy =Fiy FRz =Fiz
MO = Mx i+ My j+ Mz k
F´n
M2 Fn
O
x
y
Mx =Mix My =Miy
Mz =Miz
z FR
x
MO y
3、平面力系的简化
z MO
y
O
F1
x F2
FR
Fn
F´R
FR =FRx i+ FRy j FRx =Fix FRy =Fiy
O
F1
F4
F2
F3
FR
FR F1 F2 Fn
几何法
§2-1 汇交力系的简化
O
F1
解析法：
Fi =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F4
F2
FR =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F3 FR
FR F1 F2 Fn
FRx =Fix FRy =Fiy
FRz =Fiz 矢量投影定理
若能简化为一合力，试确定合力作用线位置。
解：FRx =Fix =－333kN
F1 1m F2 F3
FRy =Fiy=－8020kN
FR FR2x FR2y 8027kN
yF
= 87.62º
W
10.7m 21m
MO = MiO= 6121kNm
x=0.763m (x轴的负方向)
F´R
O
MO x
称为分布力在该处的集度，
用q表示。
q
lim q
例1：已知F1= F2 = F3= F4=100N,试求该力系的合力。
解：
FRx
F1cos60
F2cos45
F3
4 5
F4
FR F2
y
F1
40.71N
3 FRy F1sin60 F2sin45 5 F4
97.31N
45° 60° x
F3
O3
4
F4
FR FR2x FR2y 105.5N
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
2F
F
CF
F
CF M
2、空间力系的简化
FR =FRx i+ FRy j+ FRz k
F2 M1
F´2
O
F1
F´1 MO
MO FR
O
将MO分解为MO 和MO
MO
MO
FR
O
FR MO
力螺旋
MO FR
d
O
A
MO FR
d
O
A
力螺旋
例3：已知F1＝300kN、F2＝400kN、F3＝
500kN，试将该力系向柱底中心O简化，并 求出简化的最终结果。（AB＝0.3m，BC =0.7m）
解：FR x
Biblioteka Baidu
4 5
F3
400kN
FR y F1 300 kN
例：如图一电厂的机器基础平面图， y 10
试计算重心的位置。
解： • 分割法：
yC 20cm
40 Ⅱ
xC
Ai xi 12.5cm A
C
10
Ⅲ
30
x
（cm）
10
2. 复杂形体的重心
a.组合法（分割法、负面积法）
例5：如图一电厂的机器基础平面图，
试计算重心的位置。
y 10
解：•负面积法：
yC 20cm
FR z
F2
3 5
F3
100kN
FR 400 i 300 j 100 k FR 509 .9kN
简化最终结果：
Mx
F1
1
F2
0.2
3 5
F3
0.2
160kN m
My
F2
0.2
4 5
F3
1
3 5
F3
0.2
260kN m
Mz
F1
0.2
4 5
F3
0.2
20kN m
力螺旋
FR FR
FR
§2-5 重心
Wi
z
O
C
W y
x W = Wi
一、重心的基本公式
由合力矩定理有：
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
C
y
Wi W
z
zc O
zi
x
x
Wi
C
z W
zi zc y
O
xi
yi
xc
yc
二、质心的公式、形心的公式
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
MO = Mz = Miz = MiO
➢ 空间平行力系的简化
z FR
F2 O
F1 y
x
MO
Fn
FR =FRz k
FRz =Fiz MO =Mx i+ My j
Mx = Mix My = Miy
§2-4 任意力系简化结果讨论
主矢 FR Fi
主矩 MO MOFi
可作进一步的简化，讨论如下：
zC
Wi zi W
mi xgixi
ViVxiixi
xdV
V
mg
VV
V
mi yi
Vi yi
ydV V
m
V
V
mi zi
Vi zi
zdV V
m
V
V
x
Wi
C
z W
zi zc y
O
xi
yi
xc
yc
三、确定物体重心的方法 1. 简单形体的重心
2. 复杂形体的重心
a.组合法（分割法、负面积法）
§2-2 力偶系的简化（合力偶）
M M1 M2 Mn
Mi = Mix i+ Miy j+ Miz k M =Mix i+ Miy j+ Miz k
Mx =Mix My =Miy Mz =Miz
M2M2z
M M1
M1
O
x
Mn y
Mn
§2-3 任意力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
1. 简化为一个力偶：当 FR 0，MO 0 时
2. 简化为一个合力： 当 FR 0，MO 0 时, 合力 FR 经过O点 当 FR 0，MO 0 , FR MO 0 时, 可进一步简化：
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
FR
d
O
A
3. 简化为一个力螺旋： 当 FR 0，MO 0 , FR MO 0 时
力系的分类
一、汇交力系 若力系中各力作用线汇交
于一点，则该力系称为汇交 力系
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
A F2
F1
F3 F4
三、任意力系 若力系中各力作用线既不汇交于一点，也不全
部互相平行，则该力系称为任意力系
空间任意力系
平面任意力系 （平面力系）
平面平行力系 空间平行力系
§2-1 汇交力系的简化（合力）
MR
MO
FR FR
31.4kN m
M O 160 i 260 j 20k MO 305 .9kN m
例4：某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力F1＝1940kN、
F2＝800kN，水平力F3＝193kN，桥墩重量W＝5280kN，风 力的合力F＝140kN。求将该力系向基底中心O简化的结果；
-20×20
40
xC
Ai xi A大 x大 A小x小
A
A
12.5c m
C
10
30
x
（cm）
10
2. 复杂形体的重心
b.实验法
• 悬挂法 • 称重法 A
l
C
B
hW
FNB
h FNBl W
§2-6 平行分布力的简化
一、线分布力的简化
荷载图
集度单位长度、单位面积 F
或单位体积上所受到的力，