新定义集合问题的破题利器

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探索高中数学中的集合问题的解题技巧

探索高中数学中的集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个比较难的问题，需要掌握一定的解题技巧。

本文将从基本概念、集合的运算以及应用题等方面进行探讨，帮助读者提升解决集合问题的能力。

一、基本概念集合是指具有一定特定性质的事物的总体。

一个集合可由一个或多个元素组成。

元素是指集合中的个体，用小写字母表示。

集合用大写字母表示，集合中的元素用花括号{}括起来，元素之间用逗号分隔。

例如A={a,b,c}，表示集合A中包含元素a、b、c。

二、集合的运算1. 并集并集是指两个或两个以上集合中所有元素的集合。

用符号∪表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集交集是指多个集合中公共元素的集合。

用符号∩表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集差集是指只属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。

用符号-表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集补集是指全集中不属于该集合的元素的集合。

用符号'表示。

例如，设全集为U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则A'={4,5}。

三、应用题1.韦恩图韦恩图是用两个或多个圆相交来表示集合之间的关系的图形工具。

在韦恩图中，每个集合用一个圆表示，如果两个集合有交集，则圆之间有重叠部分，否则圆之间无重叠部分。

例如，设U为全集，A和B为U的子集，用韦恩图表示交集、并集和差集，则图形如下：(插入一张韦恩图的图片)2. 实际问题集合问题常常涉及到实际问题。

例如，某班有60名学生，其中32名学生喜欢足球，24名学生喜欢篮球，12名学生同时喜欢足球和篮球，则喜欢足球或篮球的学生人数为多少？解题方法：首先，用韦恩图表示该问题：(插入韦恩图的图片)可以看出，喜欢足球或篮球的学生数为32+24-12=44。

四、总结高中数学中的集合问题需要掌握基本概念、集合的运算和应用题解法。

高中数学“新定义”题型的解题策略

高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。

可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。

而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。

２.“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。

（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。

（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。

如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。

３.“新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。

（２）加强审题能力的培养。

现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。

（３）拓宽学生的视野。

可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。

集合新定义问题的解决方法

集合新定义问题的解决方法
解决集合新定义问题的方法可以分为以下几个步骤：
1. 理解问题：阅读并理解问题陈述，并确定需要重新定义的集合是什么。

了解所涉及的背景和上下文。

2. 分析问题：通过分析问题的要素和关系，找出需要重新定义的集合的特征和属性。

考虑集合之间的交集、差集、并集等关系。

3. 设计定义：根据问题需求和分析所得的特征，设计出新的集合定义。

可以使用文字描述、符号表示或者图示等方式进行定义。

4. 检验定义：对新定义的集合进行检验，确保其符合预期并满足问题需求。

可以通过实际例子、数学推导等方式进行验证。

5. 解决问题：基于新定义的集合，解决原始问题。

可以使用集合运算、逻辑推理等方法进行求解。

6. 检查解决方案：对解决方案进行检查，确保其正确性和有效性。

验证解决方案是否符合原始问题的需求。

7. 学习总结：总结所学的方法和经验，以便将来应对类似的问题。

记录并整理解决问题的思路和方法，以便复用和分享。

集合中的创新问题聚焦

ʏ邓建兵以集合为背景的创新问题,常常以问题为核心,以探究为途径,以发现为目的,以集合为依托,考查同学们理解问题㊁解决创新问题的能力㊂常见的命题形式有新概念㊁新法则㊁新运算等,这类试题中集合只是基本的依托㊂聚焦1:集合中的新定义问题例1设集合A={-1,0,2},集合B= {-x|xɪA且2-x∉A},则B=()㊂A.{1}B.{-2}C.{-1,-2}D.{-1,0}解:抓住新定义集合B={-x|xɪA且2-x∉A}的代表元素的属性求解㊂若x= -1,则2-x=3∉A,此时-x=1满足其属性;若x=0,则2-x=2ɪA,此时不符合要求;若x=2,则2-x=0ɪA,此时不符合要求㊂故集合B={1}㊂应选A㊂反思:集合中的新定义问题,要抓住代表元素的属性进行验证,注意集合中元素的确定性与互异性的应用㊂例2设A是整数集的一个非空子集,对于kɪA,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个孤立元㊂给定集合S={1,2, 3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含孤立元的集合共有个㊂解:依据A的一个孤立元的定义求解㊂对于kɪA,k-1∉A,且k+1∉A,由给定集合S的3个元素构成的所有集合中不含孤立元 ,这三个元素一定是连续的三个自然数㊂故这样的集合为{1,2,3},{2,3,4}, {3,4,5},{4,5,6}{5,6,7},{6,7,8},即不含孤立元的集合共有6个㊂反思:理解新定义的最好办法就是特殊化处理和列举法尝试㊂如题中S={6,7,8}不含孤立元,S={2,3,5}含孤立元5,三个元素构成的集合不含孤立元 ,这三个元素一定是连续的三个自然数㊂聚焦2:集合中的新运算问题例3对于集合A,定义一种运算 ⊕ ,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素eɪA,使得对任意aɪA,都有e⊕a= a⊕e=a,则称元素e是集合A对运算 ⊕ 的单位元素㊂如A=R,运算 ⊕ 为普通乘法,存在1ɪR,使得对任意aɪR,都有1ˑa=aˑ1=a,所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素㊂下面给出两个集合及相应的运算 ⊕ :(1)A=R,运算 ⊕ 为普通减法㊂(2)A={x|x⊆M}(其中M是任意非空集合),运算 ⊕ 为求两个集合的交集㊂其中对运算 ⊕ 有单位元素的集合为㊂解:依据给定的运算,验证单位元素的运算满足交换律或举反例说明不成立㊂(1)若A=R,运算 ⊕ 为普通减法,而普通减法不满足交换律,故没有单位元素㊂(2)A=x|x⊆M(其中M是任意非空集合),运算 ⊕ 为两个集合的交集,故单位元素为集合M㊂反思:集合中的新运算问题,按照运算法则逐一进行验证,不成立举出反例,成立说明原因㊂本题实质就是验证单位元素是否存在且满足交换律的问题㊂例4对于集合M,定义函数f M(x)= -1,xɪM,1,x∉M,对于两个集合A,B,定义集合运算AΔB={x|f A(x)㊃f B(x)=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合AΔB的结果为㊂解:结合题设中集合元素的运算和分段函数f M(x)=-1,xɪM,1,x∉M的意义求解㊂要使f A(x)㊃f B(x)=-1,必有xɪ{x|xɪA 且x∉B}ɣ{x|xɪB且x∉A}={6,10}ɣ6 3创新题追根溯源高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.{1,12}={1,6,10,12},所以AΔB={1,6, 10,12}㊂反思:本题实质为特殊函数自变量的集合,由定义函数f M(x)= -1,xɪM,1,x∉M,f A(x)㊃f B(x)=-1,可转化为两个特殊集合的并集运算求解㊂聚焦3:创新集合问题例5设S是实数集R的非空子集,如果∀a,bɪS,都有a+bɪS,a-bɪS,则称S是一个和谐集㊂下面命题中的假命题是()㊂A.存在有限集S,S是一个和谐集B.对任意无理数a,集合{x|x=k a,kɪZ}都是和谐集C.若S1ʂS2,且S1,S2均是和谐集 ,则S1ɘS2ʂ⌀D.对任意两个和谐集 S1,S2,若S1ʂR,S2ʂR,则S1ɣS2=R解:依据和谐集的性质对选项逐一验证㊂对于A,如S={0},显然该集合满足0+ 0=0ɪS,0-0=0ɪS,A正确㊂对于B,设任意x1ɪ{x|x=k a,kɪZ},x2ɪ{x|x= k a,kɪZ},则存在k1ɪZ,k2ɪZ,使得x1= k1a,x2=k2a,x1+x2=(k1+k2)aɪ{x|x= k a,kɪZ},x1-x2=(k1-k2)aɪ{x|x= k a,kɪZ},因此对任意无理数a,集合{x| x=k a,kɪZ}都是和谐集 ,B正确㊂对于C,当S1,S2均是和谐集时,若aɪS1,则a-aɪS1,即0ɪS1,同理0ɪS2,此时S1ɘS2ʂ⌀,C正确㊂对于D,如取S1={0}ʂR, S2={x|x=k,kɪZ}ʂR,易知集合S1,S2均是和谐集 ,此时S1ɣS2ʂR,D不正确㊂应选D㊂反思:创新集合中的新性质问题,关键是应用创新性质和其他相应的数学知识来推理验证,正确结论需推理,不成立只需举反例即可㊂例6设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,bɪR,都有a+b㊁a-b㊁a b㊁a bɪP(除数bʂ0),则称P是一个数域㊂如有理数集Q是数域,数集F={a+b2|a, bɪQ}也是数域㊂现有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;④数域必为无限集㊂其中正确命题的序号是㊂解:根据数域的四个性质逐一进行判断㊂①若a=bʂ0,则a-b=0ɪP,a b=1ɪP,所以数域必含有元素0,1,①正确㊂②1,2ɪZ,但12∉Z,②错误㊂③令M=Qɣ{π},则1,πɪM,1+π∉M,③错误㊂④如果a,b在P中,那么a+b,a+2b, ,a+k b(k为整数), 都在P中,且整数有无穷多个,故数域必为无限集,④正确㊂正确命题的序号为①④㊂反思:本题主要考查同学们准确理解和快速掌握新知识的能力㊂聚焦4:集合的创新应用问题例7若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1,②bʂ1,③c=2,④dʂ4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是㊂解:抓住①②③④有且只有一个是正确的,进行合理推理㊂若①正确,则②③④都不正确,可得bʂ1不正确,即b=1,与a=1矛盾,①不正确㊂若②正确,则①③④都不正确,由④不正确得d=4,由aʂ1,bʂ1,cʂ2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1, d=4或a=2,b=3,c=1,d=4㊂若③正确,则①②④都不正确,由④不正确,得d=4,由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4㊂若④正确,则①②③都不正确,由②不正确,得b=1,由aʂ1,cʂ2,dʂ4,得满足条件的有序数组为a= 2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d= 2或a=4,b=1,c=3,d=2㊂综上所述,符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是6㊂反思:解题时,根据题意,在合理的假设下用类似反证法的方法进行逻辑推理与判断㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟镇东沟中学(责任编辑郭正华)73创新题追根溯源高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

“新定义”问题的解题策略

“新定义”问题的解题策略作者：魏绮芸来源：《课程教育研究》2019年第32期【摘要】新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，对于高中生来说，是必需掌握，但又不易掌握的一类题型。

【关键词】新定义集合函数向量数列【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）32-0136-01一、集合中的新定义问题例1 设U={1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N={1，3}，则称（M，N）为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数（规定（M，N）与（N，M）不同）为____。

解析：符合条件的理想配集有①M={1，3}，N={1，3}；②M={1，3}，N={1，2，3}；③M={1，2，3}，N={1，3}.共3个。

点评：解决集合中新定义问题的两个关键点（1）紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中。

（2）用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。

二、新定义下的函数问题例2（2017·山东卷）若函数exf（x）（e=2.718 28…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质。

下列函数中所有具有M性质的函数的序号为____。

①f（x）=2-x ②f（x）=3-x ③f（x）=x3 ④f（x）=x2+2解析：对于①，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·2-x=（）x，∵函数y=（）x在（-∞，+∞）上单调递增，∴①符合题意。

对于②，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·3-x=（）x，∵函数y=（）x在（-∞，+∞）上单调递减，∴②不符合题意。

高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略

高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略新信息题是指题目通过给出一个新概念和约定一个新运算法则，要求学生在阅读理解的基础上，根据具体情境结合题目给出的定义或者算法来解决实际问题。

新信息题主要考察学生的学习能力和信息迁移能力，在考试中具有很好的区分效果，也受到了命题人的青睐。

近几年的高考题中在选择填空题和大题压轴题中都出现了这类题目，下面将这类题的解题模式和方法总结如下。

遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题。

第一，准确转化。

解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义。

紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化。

第二，方法的选取。

对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的。

角度进行转化。

理解题目定义的本质苹并进行推广、运算。

第三，应该仔细审读题目。

严格按新信息的要求运用算。

解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰。

经典例题[2019江苏卷20]定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．【解析】所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【总结】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．经典例题：[2018江苏卷]【分析】（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.【解析】此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【总结】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

集合的新定义问题

所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。

“抽象集合”只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。

由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中，例如年福建：数域的判断，年四川：融洽集判断。

下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性。

【题型1】新运算问题【例1】定义集合与的运算：或，已知集合,则( )【例2】设是两个非空集合，定义与的差集为，则等于（）【题型2】元素或集合的个数问题【例3】设，定义※，则※中元素的个数为( )【例4】设是两个非空集合，定义与的差集为。

已知，则集合的子集个数为( )【题型3】元素的和问题【例5】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为( )【例6】对集合及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。

例如，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为的“交替和”为，等等，试求的所有子集的“交替和”的总和。

【题型4】集合的分拆问题【例7】若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是（）【题型5】集合长度问题【例8】设数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集的长度的最小值是。

【题型6】理想配集问题【例9】设与是的子集，若，则称为一个“理想配集”。

那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定与是两个不同的“理想配集”）( )。

轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧

轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个重要而基础的概念。

学生在学习集合问题时，可能会遇到一些难以理解或解答的挑战。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助学生轻松理解和解决高中数学集合问题。

一、概念解释在深入讲解解题技巧之前，我们先来简要介绍一下集合问题的基本概念。

在数学中，集合是由一些特定对象组成的总体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他特定元素。

对于集合问题，我们需要了解以下几个关键概念：1. 元素：集合中的个体，可以是数字、字母等。

2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

3. 子集：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，那么集合A是集合B的子集。

4. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起形成的集合，用符号∪表示。

5. 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示。

6. 补集：相对于某个全集，不属于某个特定集合的元素所组成的集合，用符号补(A)表示。

二、解题技巧理解了这些基本概念后，我们来探讨一些解题技巧，以帮助学生更好地解决集合问题。

1. 制定清晰的解题策略在解答集合问题之前，制定一个清晰的解题策略非常重要。

首先，仔细阅读问题，理解问题所给的条件和要求。

然后，明确题目中所涉及的集合及其关系。

最后，选择合适的集合运算和方法来解答问题。

2. 利用绘图和图表工具对于一些复杂的集合问题，绘制图表可以帮助学生更好地进行推理和分析。

例如，使用Venn图可以清晰地表示集合之间的关系，帮助学生更好地理解并解答相关问题。

3. 善于利用已知条件解答集合问题时，善于利用已知条件是非常重要的。

通过确定已知条件中的共同元素和关系，可以更准确地判断并推导出其他有用的信息。

4. 注意全集的选择在解题过程中，需要注意选择合适的全集。

全集是指所有可能元素的集合，对于不同的问题，全集的选择可能会有所不同。

确保选择合适的全集非常重要，以避免出现解答错误或不完整的情况。

5. 灵活运用集合运算掌握和灵活运用集合的并、交、补等运算是解答集合问题的关键。

高中数学教案拓展视野1 集合的新定义问题

集合的新定义问题解决集合新定义问题的关键：(1)准确理解合理转化，解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，合理利用集合的运算与性质，并重视分类讨论思想的应用．典例(多选)(2024·德宏州质量监测)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的为()A．2023∈[1]B．－2∈[2]C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”解析：BCD对于A，由2023＝4×505＋3得2023∈[3]，故A错误．对于B，由－2＝4×(－1)＋2得－2∈[2]，故B正确．对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成[0]，[1]，[2]，[3]，共4“类”，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故C正确．对于D，若整数a，b属于同一“类”，则a＝4n1＋k，n1∈Z，b＝4n2＋k，n2∈Z，故a－b＝4(n1－n2)＋0，所以a－b∈[0]；若a－b∈[0]，不妨设a＝4n1＋k1，n1∈Z，b＝4n2＋k2，n2∈Z，则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)，则k1－k2＝0，即k1＝k2，所以整数a，b属于同一“类”．故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，故D正确．尝试训练(多选)(2024·洛阳部分学校联考改编)对任意集合A，B⊆R，定义A⊕B＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列说法中正确的有()A．若集合A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若集合A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若集合A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．若集合A，B⊆R，则(∁R A)⊕B＝∁R(A⊕B)解析：ABD对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，故A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}⊆A，则B⊆A，故C错误；对于D，由题意可知，(∁R A)⊕B＝(A∩B)∪[∁R(A∪B)]，∁R(A⊕B)＝(A∩B)∪[∁R(A∪B)]，故(∁R A)⊕B＝∁R(A⊕B)，故D正确．故选ABD．。

高考集合中新定义创新题型求解策略

例５已知集合Ａ一｛０，２，３），Ｂ一｛１，２，４｝，定义
集合Ａ・Ｂ一｛．ｚＩ．ｚ —ｍａｘ（ａ，６），ａ ∈Ａ，ｂＥＢ），则集合
Ａ・Ｂ的最大元素是分析．本题主要考查同学们对ｍａｘ（ａ，６）理解．
案为Ｃ．
２确定运算
翻 —
。
例２设Ｐ是一个数集，且至少含有２个数，若
５集合的最大元素
∞
对任意ｎ、ｂＥＲ，都有＆＋６、ａ一６、ａｂ、 ∈Ｐ（除数ｂＪ－
０），则称Ｐ是一个数域．例如有理数集Ｑ是数域；数
４理想配集型
一－
们的思维品质和学习潜力，因而是近年各地考试热点题型．下面举例分析有关集合的新定义型题的求解策
略，供同学们参考．１确定元素的个数
，．
…
例４设全集Ｕ一｛１，２，３，４｝，集合Ａ，Ｂ都是ｕ
集Ｆ一｛ａ＋６ √ ２ａ，ｂ ∈Ｑ）也是数域．有下列命题：
① 整数集是数域；② 若有理数集ＱＭ，则数集Ｍ必为数域； ③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域．其中正确的命题序号是分析考查对数域概念的理解．
种，选Ｃ．
组成的集合，其中第一个数ａ从集合Ｐ一｛３，４，５｝中

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合中的新定义问题(含答案解析)

集合是整个高中数学最基础的入门知识，每年高考中除了考查解简单的集合的关系和运
算外，还有很多集合的创新型问题，比如新定义的题型.
新定义的题型就是以集合内容为背景，设计一个陌生的问题情景，即给出一个新的概念
或者新的运算、新的法则，要求学生在理解新的概念、新的运算、新的法则的基础上去解决
相应的问题，这就是集合相关的新定义题型.
要解答此类题，关键是先要理解清楚新定义、新运算、新法则的实质，根据这种新的定
义、运算或者法则来求解接下来的问题.
一、新定义：
例1：已知集合M={1，2，3，4}，A?M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．
（1）若n=3，则这样的集合A共有______个；
（2）若n为偶数，则这样的集合A共有______个．
解：
二、新运算
例2：已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，。

关于集合的新定义题

关于集合的新定义题1. 集合的数学定义，在数学中，集合可以用描述性的方式定义。

一个集合是由一些确定的元素组成的整体。

集合的元素可以是任何事物，比如数字、字母、对象等。

集合中的元素是无序的，而且每个元素在集合中只能出现一次。

集合可以用大括号{}来表示，元素之间用逗号分隔。

2. 集合的特性，集合具有一些特殊的性质。

首先，集合中的元素是唯一的，即同一个元素在集合中只能出现一次。

其次，集合中的元素是无序的，即元素的排列顺序不影响集合的性质。

最后，集合中的元素是互不相同的，即不存在重复的元素。

3. 集合的运算，在集合理论中，有一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。

并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。

交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素所构成的集合。

差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。

4. 集合的应用，集合在数学和其他领域中有广泛的应用。

在数学中，集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质和集合之间的关系。

在计算机科学中，集合被广泛应用于数据结构和算法的设计中。

在实际生活中，集合也常用于描述和分类事物，比如一个班级的学生可以看作一个集合，一个购物清单可以看作一个集合。

综上所述，集合是由一些确定的元素组成的整体，具有唯一性、无序性和互异性的特点。

集合可以进行并集、交集、补集和差集等运算，广泛应用于数学、计算机科学和实际生活中。

专题01 含参数与新定义的集合问题 (解析版)

专题01 含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若A B，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数题型二：根据集合中元素的个数求参数题型三：根据集合的包含关系求参数题型四：根据两个集合相等求参数题型五：根据集合的交、并、补求参数题型六：集合的创新定义【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （） A ．1- B ．3-或1 C ．3 D ．3-【答案】D【解析】∵3A -∈，∴234a a -=+或32a -=-．若234aa -=+，解得1a =-或3a =-．当1a =-时，2423a a a +=-=-，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足题意，故3a =-成立．若32a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，3a =-．故选：D ．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A ，∴m ＝2 或 m 2﹣3m +2＝2．当m ＝2时，m 2﹣3m +2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m 2﹣3m +2＝2时，m ＝0或m ＝3，但m ＝0不合题意，舍去．综上可知，m ＝3．故选：B ．例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集{}1,2,3,4,5A =，{}240B x x x m =-+=，若1AB ∉，则B 等于（） A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】因为1AB ∉，所以1B ∈，所以140m -+=，解得3m =，所以{}{}24301,3B xx x =-+==∣，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误；选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确；选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确；选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故答案为：BCD.题型二：根据集合中元素的个数求参数例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是__________．【答案】0或4【解析】当0m =时，1{}4A =-，满足题意当0m ≠时，由题意得1640m ∆=-=，4m = 综上，0m =或4m = 故答案为：0或4例6．（2022·江苏·高一）已知{1}A x x m =∈-<Z∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（） A ．45m < B ．45m <C ．34m <D ．34m <【答案】D【解析】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得34m <. 故选：D例7．（2022·全国·高一课时练习）已知R a ∈，集合{}2R 320A x ax x =∈-+=.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围； (2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）若A 是空集，则关于x 的方程2320ax x -+=无解，此时0a ≠，且980a ∆=-<，所以98a >，即实数a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，关于x 的方程2320axx -+=应有两个相等的实数根，则980a ∆=-=，得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意. 综上，当0a =时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. （3）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，要使关于x 的方程2320axx -+=有实数根，则980a ∆=-≥，得98a ≤. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a的取值范围为9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2310C x ax x =-+=，(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合C ； (3)若C 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【解析】(1)若C 是空集，则0940a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得94a >；(2)若C 中至多有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合当0a ≠时，若940a ∆=-<，解得94a >，此时C =∅若940a ∆=-=，得94a =，此时23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综合得：当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当94a >，C =∅；当94a =，23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. (3)若C 中至少有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合当0a ≠时，若940a ∆=-≥，解得94a ≤且0a ≠综合得94a ≤. 题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A ={x |x2=1}，B ={x |ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0或±1【答案】D【解析】A ={x |x2=1}={1，-1}.当a =0时，B =∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B =1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为B ⊆A ，所以1a =1或1a =-1，即a =±1.综上所述，a =0或a =±1.故选：D例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}1,4,M x =，{}21,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（） A ．{}0 B ．{}2,2- C ．2,0,2D ．2,0,1,2【答案】C【解析】因为N M ⊆，所以2x x =，解得0x =，1x =或24x=，解得2x =±，当0x =时，{}1,4,0M =，{}1,0N =，N M ⊆，满足题意. 当1x =时，{}1,4,1M =，不满足集合的互异性. 当2x =时，{}1,4,2M =，1,4N ，若N M ⊆，满足题意. 当2x =-时，{}1,4,2M =-，1,4N ，若N M ⊆，满足题意.故选：C.例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x xx =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a =或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合{}{}24,3,56,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =___________. 【答案】2-或3 【解析】B A ⊆，∴24m =或256m m -=，解得2m =或2m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知2m =不符合集合的互异性，故2m =-或3. 故答案为：2-或3.例13．（2022·全国·高一专题练习）集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为____ 【答案】{}2,1,0-.【解析】集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，且B A ⊆，B ∴=∅或{}1B =-或{}2B =，0,1,2a ∴=-．则实数a 组成的集合为{}2,1,0-.故答案为：{}2,1,0-.例14．（2022·上海·高一专题练习）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±【解析】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，， ∴24m=，解得2m =±．故答案为：±2．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}2230A x x x =--=，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =-或23a =或0【解析】已知集合{}{}22301,3A x xx =--==-，{}20B x ax =-=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =-或23a =，解得2a =-或23a =；故答案为：2a =-或23a =或0.例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例17．（2022·全国·高一课时练习）已知m 为实数，(){}210A x x m x m =-++=，{}10B x mx =-=．(1)当A B ⊆时，求m 的取值集合； (2)当B A 时，求m 的取值集合.【解析】（1）因为()()()211x m x m x x m -++=--，所以当1m =时，{}1A =，当1m ≠时，{}1,A m =．又A B ⊆，所以1m =，此时{}1B =，满足A B ⊆．所以当A B ⊆时，m 的取值集合为{}1．（2）当1m =时，{}1A B ==，B A 不成立；当0m =时，{}1,0A =，B =∅，B A 成立；当1m ≠且0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1,A m =，由B A ，得1=m m，所以1m =-．综上，m 的取值集合为{}0,1-．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M ＝{x |2≤x ≤5}，N ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}．(1)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； (2)若M ⊇N ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵M ⊆N ，∴12215a a +≤⎧⎨-≥⎩，∴a ∈∅； (2)①若N ＝∅，即a +1＞2a ﹣1，解得a ＜2时，满足M ⊇N ． ②若N ≠∅，即a ≥2时，要使M ⊇N 成立，则12215a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得1≤a ≤3，此时2≤a ≤3．综上a ≤3．例19．（2022·全国·高一）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-． (1)当3m =时，求AB ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围【解析】(1)当3m =时，{|28}B x x =-≤≤，{|32}{|28}{|22}A B x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤；(2)由A B ⊆，则有：13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩，即4m ≥，∴实数m 的取值范围为{|4}m m ≥．例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合{|}R A x xx ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， .(1)若0a =，试求AB ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由240xx +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40.当0a =时，得xx -+2210＝，解得12x =--x =12-{}1212B =--，；∴{}041212AB =---，，，.（2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a=222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝，当{}0B =时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为4-，则()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解，当B =∅时，此时方程()x a x a=222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或.例21．（2022·江苏·高一）已知集合{}{}0,,,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈． (1)若M N ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若M N ⊇，求实数a 的取值范围； (3)若RRMN ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)M N ⊆，0a ∴；(2)M N⊇，0a ∴；(3){|0RM x x =，}x R ∈，{|RN x x a=，}x R ∈，且RRMN ，0a ∴>．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|60}M x xx =+-=，{|20,R}N y ay a =+=∈，若满足MN N =的所有实数a 构成集合A ，则A =____，A的子集有____个．【答案】 20,1{,}3- 8 【解析】由MN N =得N M⊆，而{}3,2M =-，当0a =时，N =∅符合题意；当0a ≠时，23y a =-=-或22y a =-=， ∴23a =或1a =-， ∴2{0,1,}3A =-， ∴A 的子集个数为328=.故答案为：20,1{,}3-；8.题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（） A ．0 B ．1C ．14D ．32【答案】C【解析】因为A B =，所以22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又集合中的元素需满足互异性，所以1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=．故选：C. 例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222023a b +=______．【答案】1【解析】易知0a ≠．∵{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，∴0ba =，即0b =，∴21a=，1a =±．又由集合中元素的互异性，知1a ≠， ∴1a =-，故()2022202220232023101ab +=-+=．故答案为：1例25．（2022·全国·高一课时练习）已知{}21,,3A a =，{}22,1,1B a a=+-.若A B =，则=a ______. 【答案】2 【解析】因为A B =所以22213a a a ⎧=+⎨-=⎩解之得：2a =故答案为：2例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x xax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【答案】3【解析】因为{3}A B ==，所以方程20xax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b += 故答案为：3题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设a ∈R ，b ∈R ，全集U =R ，{}A x a x b =<<， {2UA x x =≤-或}3x ≥，则a b +=______.【答案】1【解析】因为U =R ，{}A x a x b =<<，所以{UA x x a =≤或}x b ≥.又{2UA x x =≤-或}3x ≥，所以2a =-，3b =，所以1a b +=.故答案为：1.例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M ={1，2，3}，{}240,N x x x a a M=-+=∈，若M N ≠∅，则a 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．1或2【答案】C【解析】当1a =时，由2410x x -+=，得23=x {23,23}N =+，不满足题意；当2a =时，由2420x x -+=，得22x =即{22,22}N =，不满足题意；当3a =时，由2430x x -+=，得1x =或3x =，即{1,3}N =，满足题意.故选：C例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}260M x x x =--=，{}N x x a =<，若MN ≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{}2a a >-B ．{}2a a ≥-C ．{}3a a >D ．{}3a a ≥【答案】A 【解析】因为{}{}2602,3M x xx =--==-，又{}N x x a =<，所以当2a ≤-时，M N ⋂=∅，要使MN ≠∅，则2a >-，即{}2a a >-．故选：A ．例30．（2022·全国·高一）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}UA a =，则实数a 的值为（） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．0或2【答案】A【解析】由集合{}4,2A a =+知，24a +≠，即2a ≠，而{}UA a =，全集{}22,4,U a =，因此，222a aa ⎧=⎨+=⎩，解得0a =，经验证0a =满足条件，所以实数a 的值为0. 故选：A例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}|23A a a x a =≤≤+,{1B x x =<-或}5x >，若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【解析】由()RA B B ⋂=，得()R B A ⊆，从而A B =∅．①若A =∅，则23a a >+，解得3a >；②若A ≠∅，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤．综上，实数a 的取值范围是1232a a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭∣或．例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．(1)若AB B =，求实数m 的取值范围；(2)若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为AB B =，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<； ②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． (1)若B A ⊆，求实数m 的取值范围；(2)当集合A 中的x ∈Z 时，求集合A 的非空真子集的个数；(3)若B ≠∅，且不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆．当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，即23m ≤≤．综上，实数m 的取值范围是{}3m m ≤．（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，共8个元素，所以集合A 的非空真子集的个数为822254-=．（3）由B ≠∅，得121m m +≤-，即2m ≥．又不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，所以15m +>或212m -<-，即4m >或12m <-．所以实数m 的取值范围是{}4m m >．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}52A x x =-<≤． (1)若{}B x x m =≥，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若{|2B x x m =<-或}x m >，AB =R ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由A B B ⋃=，知A B ⊆，所以5m ≤-，即实数m 的取值范围为{}5m m ≤-．（2）由题意，得252m m ->-⎧⎨≤⎩，解得32m -<≤，即实数m 的取值范围为{}32m m -<≤．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2|8120A x x x =-+=.(1)若集合{}21,23B a a =+-，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}2|60C x axx =-+=，且A ∩C ＝C ，求a 的取值范围.【解析】（1）由x 2﹣8x +12＝0得x ＝2或x ＝6，∴A ＝{2，6}，因为A ＝B ，所以221223223616a a a a +=⎧-=⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得15529a a a a =⎧=±⎧⎪⎨⎨==±⎪⎩⎩，故a ＝5.（2）因为A ∩C ＝C ，所以C ⊆A.当C ＝∅时，△＝1﹣24a ＜0，解得a 124＞；当C ＝{2}时，1﹣24a ＝0且22a ﹣2+6＝0，此时无解；当C ＝{6}时，1﹣24a ＝0.且62a ﹣6+6＝0，此时无解或a ＝0.综上，a 的取值范围为1024a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或. 例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥．(1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若BC B =，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为[]2,3．（2）∵BC B =，∴B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆．当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ，若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥， ∴无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是m 1≥或0m <．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}14A x x =<≤，{}12B x a x a =+≤≤. (1)当2a =时，求A B ；(2)若RBA =∅，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，{}34B x x =≤≤，A B ={}|14x x <≤.（2）A =R{|1x x ≤或4x >}，当B =∅时，B A ⋂=∅R，此时12a a >+，解得1a <；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ，则241121a a a a ≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩，＋，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合{}2R 30A x xmx =∈-+=，{}2R 0B x x x n =∈-+=，且{}0,1,3AB =，则m =______，n =______．【答案】 4 0【解析】若0A ∈，则30=，显然不成立，所以0A ∉；所以0B ∈，即2000n -+=，得0n =，此时{}{}200,1B x R xx =∈-==，所以3A ∈，即23330m -+=，得4m =．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【答案】D【解析】由题意，得{}0A B x x ⋃=≥，{}02A B x x ⋂=<<，故{&0A B x x ==或}2x ≥．故选：D例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则集合B 中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为x A ∈，yA ，x y A -∈，所以4x =时，2y =；5x =时，2y =或3y =，6x =时，2y =或3或4.()()()()()(){}4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4B =，所以集合B 中元素的个数为6.故答案为：6.例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A B ⋃=Q ，A B =∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素．请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割______．【答案】{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥（答案不唯一）【解析】以无理数分界写出一组即可，如{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）；故答案为：{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． (1)若3a =-，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数()3a A a ∈≠-，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11121312A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-，所以A 中其他所有元素为12-，13，2．（2）假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a +-不存在，假设不成立，所以0不是A 中的元素．取3a =，则13213A +=-∈-，()()121123A +-=-∈--，11131213A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1123112A +=∈-，所以当3A ∈时，A 中的元素是3，2-，13-，12．（3）猜想：A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1A ∉，若1A -∈，则()()11011A +-=∈--，与0A ∉矛盾，则有1A -∉，即1-，0，1都不在集合A 中．若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 13143121111111111a a a a A a a a a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭====-∈-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1415114*********a a a a a A a a a -+++===∈---+．结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有4个元素1a ，2a ，3a ，4a 且131a a =-，241a a =-．显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，即211a =-，无实数解．同理，14a a ≠，即A 中有4个元素．所以A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合A 为非空数集，定义：{}|,,S x x a b a b A ==+∈，{}|,,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}13A =，，求证：2S ∈，并直接写出集合T ； (2)若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+.【解析】（1）根据题意，由集合}3{1A =，，计算集合{246}S =，，，{02}T =，，所以2S ∈；（2）由于1234{}A x x x x =，，，，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含4个元素，即213141{0}T xx x x x x =---，，，，剩下的元素满足2143x x x x -=-，即1423x x x x +=+例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，a b A -∈，则称集合A 为闭集合.(1)判断集合{}14,2,0,2,4A =--，{}3,Z B x x k k ==∈是否为闭集合，并给出证明；(2)若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合C ，D 为闭集合，且C R ，D R ，证明：()C D ⋃ R .【解析】（1）因为14A ∈，12A ∈，1426A +=∉，所以1A 不是闭集合；任取x ，yB ∈，设3x m =，3y n =，m ，Z n ∈，则()333x y m n m n +=+=+且Z m n +∈，所以x y B +∈，同理，x y B -∈，故B 为闭集合；（2）结论：不一定；不妨令{}2,C x x k k ==∈Z ，{}3,D x x k k ==∈Z ，则由（1）可知， D 为闭集合，同理可证C 为闭集合，因为2，3C D ∈⋃，235C D +=∉⋃，因此，C D ⋃不一定是闭集合，所以若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃不一定为闭集合；（3）不妨假设R C D ⋃=，则由C R ，可得存在R a ∈且a C ，故a D ∈.同理，存在R b ∈且b D ∉，故b C ∈，因为R a b C D +∈=⋃，所以a b C +∈或a b D +∈.若a b C +∈，则由C 为闭集合且b C ∈，得()a a b b C =+-∈，与a C 矛盾.若a b D +∈，则由D 为闭集合且a D ∈，得()b a b a D =+-∈，与b D ∉矛盾，综上，R C D ⋃=不成立，故()C D ⋃ R .。

第一章微专题1 集合的新定义问题

微专题1 集合的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．一、新定义集合的概念例1 若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．答案 ②④解析 ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，因为{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③不是集合X 上的一个拓扑；④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.二、新定义集合的性质例2 (1)若集合A 具有以下性质：①0∈A,1∈A ；②若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A . 则称集合A 是“好集”．给出下列说法：①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．②有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”． ③因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .(2)若数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”．则( ) A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1答案 B解析对于A ，由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；对于B ，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有62属于{1,2,3,6}，取3,6时，有63属于{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”定义知1≤a 1<a 2<…<a n 且a j a i需要有意义，故不能有0，故C 不正确；如集合{2,4}，符合“权集”定义，但不含1，故D 不正确．三、新定义集合的运算例3 (1)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝(x ＋y )×(x －y )，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{2，3}，B ＝{1，2}，则集合A ⊗B 的真子集个数为( )A ．8B ．7C ．16D ．15答案 B解析由A ＝{2，3}，B ＝{1，2}，得A ⊗B 有(2＋1)×(2－1)＝1，(2＋2)×(2－2)＝0，(3＋1)×(3－1)＝2，(3＋2)×(3－2)＝1四种运算情况，则由集合中元素的互异性可知，集合A⊗B中有3个元素1,0,2，故集合A⊗B的真子集为∅，{1}，{0}，{2}，{1,0}，{1,2}，{0,2}，共7个．(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x ＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为()A．15 B．16 C．20 D．21答案 D解析易知集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.。

高一集合题型和解题技巧

高一集合题型和解题技巧高一集合是数学中的一种重要概念，是整个数学体系的基础之一。

在学习集合的过程中，我们需要掌握各种题型的解题技巧，从而更好地应对考试和实际问题。

一、集合的基本概念首先，我们需要了解集合的基本概念和术语。

集合是由一组特定对象组成的，通常用大括号{}来表示。

其中，元素是组成集合的单位，例如数字、字母、图形等。

集合中的元素具有确定性、互异性、无序性等特征。

二、集合题型的分类根据集合的特点和解题方法，我们可以将集合题型大致分为以下几类：1. 元素是否符合条件？这类题型通常给出某个集合中的元素，让我们判断它是否符合条件。

解题时，我们需要仔细阅读题目，找出关键信息，并运用集合的基本概念和性质进行判断。

2. 集合之间的关系。

这类题型通常比较两个集合的大小、包含关系等。

解题时，我们需要运用集合的交、并、补运算来求解。

3. 集合的数序。

这类题型通常要求我们数一数某个集合中元素的个数或求出一个集合中元素的范围。

解题时，我们需要运用集合的性质和计数方法进行求解。

4. 集合与图形结合。

这类题型将集合与图形结合起来，要求我们根据图形判断集合中元素的特征或求出图形的集合。

解题时，我们需要结合图形和集合的基本概念进行思考和分析。

三、解题技巧针对不同的题型，我们需要运用不同的解题技巧。

例如：1. 对于判断元素是否符合条件的题型，我们可以直接根据题目中的条件进行判断，或者运用集合的性质进行推理。

2. 对于集合关系的题型，我们可以运用集合的运算来比较大小或判断关系。

在进行运算时，要注意运算法则和限制条件。

3. 对于集合数序和与图形结合的题型，我们需要结合题目中的信息和所学知识进行分析和推理，从而得到正确的答案。

在解题时，我们还应该注意以下几点：1. 仔细阅读题目，找出关键信息。

2. 运用所学知识进行分析和推理。

3. 不要忽略题目中的限制条件和要求。

4. 解题后要进行复查，确保答案正确。

总之，高一集合是数学中一个重要的基础概念，需要我们认真学习和掌握。

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合中的易错问题

集合是高中数学的入门知识，是现代数学的基本语言，在以后的其他知识中经常出现，例如函数中的定义域、值域等，集合知识在每年的高考中必考，且以选择题较多，重点考察基础应用，属于高考试题中“送分”的题目.集合题目虽然简单，但集合涉及的概念多，并且有很强的逻辑性，有容易失分的情况.例如在初学时可能会对一些细节性的知识理解不到位，或者解题时对一些细节问题的忽视而造成错误.为了避免这些失误，我们对集合问题中常犯的错误进行剖析，帮助大家突破这些易错点，做到在集合的习题中不失分.一、元素与集合、集合与集合之间的关系：在学习了“集合与集合的关系”后，可能会与之前所学的“元素与集合的关系”混淆，错误常出现在符合的运用上.通常我们使用的符号有：集合与集合的关系，“包含类符号”：,,,,,元素与集合的关系，“属于类符号”：，例：以符号“∈”与“⊆”的应用举例：1.元素与集合的关系：，11,2,32.集合与集合的关系：0， 11,2,33.错解举例：判断{}πR ，两者的关系.二、描述法表示集合时，对元素的形式、属性的理解：用描述法表示的集合x x p 中，x 表示元素的形式，x p 表示元素所具有的性质. 例1：集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = ．常见错解：解方程组0,,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得1,,1x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴.分析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合AB ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数. 因此AB ，是点集，而不是数集．{}(11)A B =-，∴.例2：已知集合{}{}22|2,R ,|616,R A y y x x x B y y x x x ==-∈==++∈，求A B .常见错解：令222616x x x x -=++，得2x =-，所以8y =，则{}8AB =.分析：本题中(){}|,R A y y f x x ==∈，表示函数()f x 的值域，因此求A B 实际上是求两个函数值域的交集. 正解：由{}(){}{}22|2,R |11,R |1A y y x x x y y x x y y ==-∈==--∈=≥-， {}(){}{}22|616,R |37,R |7B y y x x x y y x x y y ==++∈==++∈=≥， {}7.A B y y ∴=≥例3：设集合A ＝{y ∣y ＝x 2＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．常见错解：显然Ａ＝{y ∣y ≥1}，{x ∣y ≥2}．所以A ∩B =B ．分析：错因在于对集合中的代表元素不理解.集合A 中的代表元素是y ，是表示函数的值域；但集合B 中的元素为x ，是表示函数的定义域.正解：A ＝{y ∣y ≥1}，B ＝{ x ∣x ≥0}，所以故A ∩B =A .三、忽略集合中元素的互异性，未检验：例：已知集合{}{}222,3,42,0,7,422A a a B a a a =++=+-- ，，且{}37A B =，，求a 的值．常见错解：∵{}37A B =，，∴2427a a ++=，2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴，5a =-∴或1a =.（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=，满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．∴a 的值为1．四、忽略空集的特殊情况：例. 设集合{}{}2230,10,A x x x B x ax =--==-=且,A B B =求实数a 的值.常见错解：由{}13,1,,A B a ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭又,A B B =故,B A ⊆所以131-=或a 分析：忽视了B =∅的情形．五、其他问题：以上给出的是重点的基础习题中常出现的几个易错点，包括常见的错误解答及错因.当然还会有其他易错之处，例如：1.子集的个数问题：例如：忽略子集和真子集的区别，忽略空集是任意非空集合的真子集、集合本身是子集.2.解不等式，不知道怎么解答.3.不会求函数的值域、定义域等等.下面给出几道练习题来巩固一下.练习题：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8 2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0，ｂ∈R}求Ａ中所有元素之和．练习题解析：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8解析：2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.解：因为当B =∅时，A B ⊆亦成立.（1）当B =∅时，则121->+m m ，解得：2<m .（2）当B ≠∅时，要使A B ⊆，应有121,11,,214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：252≤≤m . 综上，所以m 的取值范围为：25≤m . 3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．解：∵{}5S C A =， 5S ∈∴且5A ∉，2235a a +-=∴，2280a a +-=∴，2a =∴或4a =-.当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去.2a =∴．4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， b ∈R}求A 中所有元素之和．解：集合A 中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(b b b =+-+=∆，当b =0时，方程有二重根－1，由集合中元素的互异性，集合A ={－1}，所以元素之和为－1；当b ≠0时，x 1 ＋x 2 ＝－b －2．。

专题1.1 集合中的新定义问题(解析版).

专题1.1集合中的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．1．若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合，集合{1M =-，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．82D ．52【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1-，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为1234444415C C C C +++=故选：A ．2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1A =，2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D ．3．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是()A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【解答】解：a ※12b =，a 、*b N ∈，若a 和b 一奇一偶，则12ab =，满足此条件的有11234⨯=⨯，故点(,)a b 有4个；若a 和b 同奇偶，则12a b +=，满足此条件的有11121039485766+=+=+=+=+=+共6组，故点(,)a b 有26111⨯-=个，所以满足条件的个数为41115+=个．故选：B ．4．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※8}b =中的元素个数是()A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※8b a b =+=，故(,)a b 是(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※8b ab ==，故(,)a b 是(1,8)，(8,1)；故共9个元素，故选：B ．5．集合{0S =，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有()个．A ．16B ．17C ．18D ．20【解答】解：当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含孤立元素，S 中无“孤立元素”的2个元素的子集A 为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个S 中无“孤立元素”的3个元素的子集A 为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个S 中无“孤立元素”的5个元素的子集A 为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的6个元素的子集A 为{0，1，2，3，4，5}，共1个故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个故选：D ．6．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧⎪=⎨-<⎪⎩当当，若{1A =，2}，2{||1|1}B x x ax =++=，且*1A B =，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：22|1|111x ax x ax ++=⇔++=或211x ax ++=-，即20x ax +=①或220x ax ++=②，{1A =，2}，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1︒集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，0a ∴=；2︒集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =±综上所述0a =或a =±()3C S ∴=．故选：B ．7．在整数集Z 中，被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4；给出四个结论：（1）2015[0]∈；（2）3[3]-∈；（3）[0][1][2][3][4]Z =；（4）“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：201554030÷=⋯，2015[0]∴∈，故（1）正确；35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故（2）错误；整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故（3）正确；整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．故选：C ．8．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【解答】解：取集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}中任意两个元素m ni +和(p qi m+、n 、p 、)q Z ∈，则()()()()m ni p qi m p n q i S +++=+++∈；()()()()m ni p qi m p n q i S +-+=-+-∈；()()()()m ni p qi mp nq mq np i S +⋅+=-++∈；满足集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；①正确．当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x y =，得0S ∈，②正确对于集合{0}S =，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误取{0}S =，{0T =，1}，满足S T C ⊆⊆，但由于011-=-不属于T ，故T 不是封闭集，④错误．9．若集合{1n U =，2，3，，}n ，2n ，*n N ∈，A ，n B U ⊆，且满足集合A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对(,)A B 为“兄弟集合对”．当3n =时，这样的“兄弟集合对”有对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有n 的表达式作答）．【解答】解：当3n =时，{1n U =，2，3}，A 中的最大元素为2，则B 是{1}的非空子集，有1211-=个，此时A 有2个；A 中的最大元素为3，则B 是{1，2}的非空子集，有2213-=个，此时A 有4个；共有这样的“兄弟集合对”432114⨯+⨯=个，当3n 时，{1n U =，2，3，，}n ，当A 的最大元素为n ，此时A 有12n -个，B 是{1=，2，3，，1}n -的非空子集，有121n --个；当A 的最大元素为1n -，A 有22n -个，B 是{1=，2，3，，2}n -的非空子集，有221n --个；⋅⋅⋅当A 的最大元素为3，A 有22个，B 是{1=，2}的非空子集，有221-个；当A 的最大元素为2，A 有12个，B 是{1}=的非空子集，有121-个；故11223322112(21)2(21)2(21)2(21)2(21)n n n n n n -------+-+-+⋅⋅⋅+-+-22124222212122222222n n n n ----⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+-123211231_)44444(2222n n n n ----=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+114(14)2(12)1412n n ----=---124233n n =⨯-+．故答案为：14；124233n n ⨯-+．10．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则x b =，而b X +，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，令,x m n Q =∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222a m a b =-，222bn a b=--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x ==--，则120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则1(x a =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．11．设集合1{A r =，2r ，，}{1n r ⊆，2，3，，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为【解答】解：设{5B =，10，15，20，25，30，35}，则card （B ）7=；可将A 集合分为4组：1{1A =，6，11，16，21，26，31，36}，则1()8card A =；2{2A =，7，12，17，22，27，32，37}，则2()8card A =；3{3A =，8，13，18，23，28，33}，则3()7card A =；4{4A =，9，14，19，24，29，34}，则4()7card A =．因为A 中的任何两个数之和不能被5整除，所以1A 和4A ，2A 和3A 中不能同时取数，且B 中最多取1个，所以最多的取法是取12A A 和B 中的一个元素，故card （A ）88117max =++=，故n 的最大值为17，故答案为：17．12．若使集合2(){|(6)(4)0A k x kx k x =--- ，}x Z ∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是(3,2)--，设B Z ⊆，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =．【解答】解：集合2{|(6)(4)0A x kx k x =--- ，}x Z ∈，方程2(6)(4)0kx k x ---=，0k ≠解得：16x k k=+，24x =，2(6)(4)0kx k x ∴--- ，x Z∈当0k =时，(A =-∞，4]；当0k >时，64k k <+，(A =-∞，64][k k+，)+∞；当0k <时，64k k +<，6[A k k=+，4]；∴当0k 时，集合A 的元素的个数无限；当0k <时，64k k +<，6[A k k =+，4]，集合A 的元素的个数有限，令函数6()g k k k=+，(0)k <则有：()g k - ，对于集合A ，[0，4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需6[k k+，0]包含的整数最小，题意要求x Z ∈，故只需65k k +>-，且64k k+- ，解得：32k -<<-，根据对()A k 的讨论，所以B Z =，故答案为：32k -<<-，B Z =．13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，b G ∈，都有a b G +∈；（2）存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a ，b 知道：a b +仍为非负整数，所以a b G ∈⊕；取0e =，及任意非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a ，b 知道：a b +仍为偶数，故有a b G +∈；但是不存在e G ∈，使对一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，故②的G 不是“融洽集”．③对于{G =二次三项式}，若a 、b G ∈时，a ，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G 不是和谐集，故③不正确；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，设1x a =+，2x c =+，则设12()(x x a c b d +=+++G ，取1e =，11a a a ⨯=⨯=，因此G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G 是“融洽集”．故答案为①④．14．设集合A R ∈，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：①{|0}x Z x ∈≠；②{|0}x R x ∈≠；③1{|x x n =，*}n N ∈；④{|1nx x n =+，*}n N ∈其中以0为聚点的集合的序号是．【解答】解：（1）对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{|0}x x Z x ∈∈≠，都有0||0x x -=或者0||1x x - ，也就是说不可能00||0.5x x <-<，从而0不是{|0}x Z x ∈≠的聚点；（2）集合{|0}x R x ∈≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得0||2ax a <=<，0∴是集合{|0}x R x ∈≠的聚点；（3）集合1{|x x n =，*}n N ∈中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a>，使10||x a n<=<，0∴是集合1{|x x n=，*}n N ∈的聚点；（4）中，集合{|1nx x n =+，*}n N ∈中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0||x a <<的x ，0∴不是集合{|1nx x n =+，*}n N ∈的聚点；故答案为：②③．15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2017[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确的结论序号有．【解答】解：①201754032÷=⋯，2017[2]∴∈，故①正确；②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，[0][1][2][3][4]Z ∴=，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．故答案为：①③④．17．设n 是正整数，集合{1M =，2，⋯，2}n ．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于41n +．【解答】解：考虑M 的2n +元子集{1P n =-，n ，1n +，⋯，2}n ，P 中任何4个不同元素之和不小于11242n n n n n -+++++=+，所以3k n + ，将M 的元配对为n 对，(,21)i B i n i =+-，1i n ，对M 的任一3n +元子集A ，必有三对1i B ，2i B ，3i B ，同属于(1A i ，2i ，3i 两两不同）又将M 的元配为1n -对，(,2)i C i n i =-，11i n - ，对M 的任一3n +元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与1i B ，2i B ，3i B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为21241n n n ++=+，故最小的正整数3k n =+．故答案为：41n +．18．定义集合运算：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，则集合A B ⊗的所有元素之和为．【解答】解：有题意：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，那么：当1x =时：2y =或4，可得:2z 、4，当2x =时：2y =或4，可得:4z 、8，故得z 的所有元素：2、4、8，即集合A B ⊗的所有元素为：2、4、8，元素之和为：24814++=．故答案为：14．19．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：,)x a a b Q =+∈，则下列元素中属于集合M 的元素的是（填序号）．①0x =，②x =③3x =-，④x⑤x =+．【解答】解：①000x ==+，其中0a =，0b Q =∈，∴①满足条件．②01x ==+，其中0a =，1b Q =∈，∴②满足条件．③3x =-，其中3a Q =∈，但2b Q π=-∉，∴③不满足条件．④3x ===+，其中3a =，2b Q =∈，∴④满足条件⑤22440x =-+=+．其中4a =，0b Q =∈，∴⑤满足条件．故答案为：①②④⑤．20．如果非空数集A 满足：①0A ∉；②若x A ∀∈，有1A x∈，那么称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|610}x x x -+ ；③2{|y y x=，[1x ∈，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【解答】解：对于①2{|10}x R x ax ∈++=，当3a =时，2{|10}x R x ax ∈++==∅，故不是互倒集；对于②2{|610}x x x -+ ；△364320=-=>，2{|610}x x x ∴-+ 是非空数集，且20{|610}x x x ∉-+ ，若21{|610}x x x x ∈-+ ，即211610x x -+ ，则221121116111(610x x x x x -+-+= ，故211{|610}x x x x ∈-+ ，故是互倒集；对于③2{|y y x =，[1x ∈，14]}[2=，2]，若11[2x ∈，2]，易知111[2x ∈，2]，故是互倒集；故答案为：②③．。

集合解题方法与技巧

集合解题方法与技巧集合是数学中的一个基本概念，也是解决数学问题时常用的一种工具。

在解决集合问题时，可以采用多种方法和技术，下面将介绍一些常用的集合解题方法与技巧。

1. 定义法根据集合的定义来解题，是解决集合问题的最基本方法。

例如，要证明一个集合中的元素全部属于另一个集合，可以通过对集合中的每一个元素进行验证，然后根据定义得出结论。

2. 特征性质法利用集合的特征性质来解题，是解决集合问题的另一种常用方法。

例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过观察每个元素的特征，然后根据正整数的定义得出结论。

3. 数轴法在解决涉及不等式或绝对值等数学问题时，可以利用数轴的形象化特点来解题。

例如，要证明一个数集中的所有元素都大于0，可以在数轴上画出这个数集的位置，然后根据数轴上的位置关系得出结论。

4. 图表法利用图表来解题，可以将抽象的数学问题变得形象化、具体化。

例如，在解决关于两个集合的交集、并集和补集的问题时，可以通过画出维恩图来形象地表示两个集合之间的关系。

5. 计算法通过计算来解决问题，是数学中常用的方法之一。

在解决集合问题时，也可以利用计算法来得出结论。

例如，要计算两个集合的交集的元素个数，可以通过分别列出两个集合的元素，然后计算它们的交集的元素个数。

6. 归纳法当需要证明一个命题时，归纳法是一种常用的方法。

在解决集合问题时，也可以利用归纳法来得出结论。

例如，要证明一个数列的每一项都是正整数，可以通过观察数列的前几项，然后利用归纳法得出结论。

7. 反证法当直接证明一个命题很困难时，可以采用反证法来证明。

在解决集合问题时，也可以利用反证法来得出结论。

例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过假设这个集合中存在非正整数元素，然后推导出矛盾的结论，从而得出原命题成立。

8. 排除法排除法是一种间接的解题方法，通过排除不可能的情况来得出结论。

在解决集合问题时，也可以利用排除法来得出结论。

例如，要证明一个数集中存在两个不同的元素相等，可以通过观察数集中的所有元素，然后排除所有不相等的元素，从而得出结论。