2019～2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中高二上学期期末联考数学试题及答案

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荆州中学、宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

,
因此，
故答案为：
【点睛】本题是一道有关向量的题目，解题的关键是掌握向量的数量积公式,属于基础题。
14.各项均为正数的数列满足，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，且 ,求得，从而可得，然后利用基本不等式即可求解。
【详解】 ,且，
，，
,
所以，
数列的各项均为正数，，
【答案】（1）；(2）
【解析】
【分析】
(1）根据椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求出，从而求得椭圆的方程；
（2)将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，再由题意可得 ,将两根之和、两根之积代入即可求解。
【详解】（1）点到直线的距离为 ,得 ,
由得 ,椭圆的方程为 .
, 。
(2）由得，即 ,
原式=
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算以及向量共线的坐标表示，考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.
19。已知椭圆 : 的左右焦点分别是 ,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点．
【详解】因为 ,根据正弦定理可得 ,
所以 ,
所以，即，
在中，，故，
,则，
所以，
当且仅当时取等号，综上的周长的最小值为。
故选：D
【点睛】本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题.
12。已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限,且，则双曲线的离心率为（）

19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=1−i2+i(i为虚数单位)的虚部为()A. 15B. 35C. −35D. 35i2.已知两个向量a⃗=(2,−1,3),b⃗ =(4,m,n)，且a⃗//b⃗ ，则m+n的值为()A. 8B. 4C. 2D. 13.椭圆x2m +y29=1的焦距是2，那么实数m的值为()A. 5B. 5或13C. 8或10D. 104.曲线y=13x3−2在点(−1,−73)处的切线的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 135°D. −45°5.已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是()A. 若m//α，α∩β=n，则m//nB. 若m⊥α，m⊥β，则α//βC. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD. 若m//n，m⊥α，则n⊥α6.已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a,b∈R)，且S25=100，则a12+a14=()A. 16B. 8C. 4D. 不确定7.平面内到定点M(2,2)与到定直线x+y−4=0的距离相等的点的轨迹是()A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线8.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为()A. (x−4)2+(y−2)2=20B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x+4)2+(y+2)2=20D. (x+2)2+(y+1)2=59.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M(2,y0)在抛物线C上，⊙M与直线l相切于点E，且∠EMF=π3，则⊙M的半径为()A. 23B. 43C. 83D. 16310.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将▵ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角的大小为θ，则sinθ的值等()A. 34B. √74C. 3√77D. 4511.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足cosB=ca，则A为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°12.已知P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是()A. 2B. √2C. √5D. √52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知PA⊥平面ABCD，则当PC⊥________时，AC⊥BD．14.已知数列{a n}满足a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，则a4=______ ．15.已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y−10=0上的动点，则|PQ|的最小值为______ ．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,A、B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知定点A(−2,0)，点B是圆x2+y2−8x+12=0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．18.己知向量a⃗=(sinθ,cosθ−2sinθ)，b⃗ =(1,2)．(1)若a⃗//b⃗ ，求sinθ⋅cosθ1+3cosθ的值；(2)若|a⃗|=|b⃗ |，0<θ<π，求θ的值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√6=0相切，过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分别为AD，PA的中点．(Ⅰ)证明：平面BMN//平面PCD；(Ⅱ)若AD=6，CD=√3，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值．21.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n，(n∈N∗)a n+3(1)求数列{a n}的通项公式a n，a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式(−1)nλ<T n对一切(2)若数列{b n}满足b n=(3n−1)n2nn∈N∗恒成立，求λ的取值范围．22.已知抛物线y2=−2px(p>0)的焦点为F，x轴上方的点M(−2,m)在抛物线上，且|MF|=5，直2线l与抛物线交于A，B两点(点A，B与M不重合)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当k1+k2=−2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：化简可得z=1−i2+i =(1−i)(2−i) (2+i)(2−i)=2−i−2i+i222−i2=1−3i5=15−35i，∴复数的虚部为：−35故选：C．化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a⃗//b⃗ ，则存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，即可得出．解：∵a⃗//b⃗ ，∴存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，∴{2=4k−1=km3=kn，解得k=12，m=−2，n=6．则m+n=4．故选B．3.答案：C解析：本题给出含有字母参数m的方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．分椭圆的焦点在x轴或y轴两种情况，根据椭圆基本量的关系建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解：①当椭圆焦点在x轴上时，a2=m，b2=9，得c=√m−9，∴焦距2c=2√m−9=2，解之得m=10．②椭圆焦点在y轴上时，a2=9，b2=m，得c=√9−m，焦距2c=2√9−m=2，解之得m=8．综上所述，得m=10或8．故选C．4.答案：B解析：x3−2的导数为y′=x2，解：y=13)处的切线的斜率为1，在点(−1,−73由tanθ=1，可得倾斜角为45°，故选B．求出导数，求得切线的斜率，由斜率和倾斜角的关系，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α//β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；在D中，由线面垂直的判定定理得n⊥α．解：由α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：在A中，∵m//α，α∩β=n，∴m与n平行或异面，故A错误；在B中，∵m⊥α，m⊥β，∴由面面垂直的判定定理得α//β，故B正确；在C中，∵m⊥α，m⊂β，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，∵m//n，m⊥α，∴由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．6.答案：B解析：由S n可知数列是等差数列，这样可以用等差数列前n项和表示S25，根据等差数列性质，很容易就得到结果．解：由数列{a n}的前n项和S n=a n2+b n(a、b∈R)，可得数列{a n}是等差数列，=100，S25=(a1+a25)⋅252解得a1+a25=8，∴a1+a25=a12+a14=8．故选B．7.答案：D解析：解：因为点A(2,2)位于直线x+y−4=0上，所以动点的轨迹为过A点与直线x+y−4=0垂直的直线．故选D．判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选A．8.答案：B解析：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为(2,1)，OP=2√5，∴四边形AOBP的外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，∴△AOB外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．9.答案：C解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义，设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，|AF|=|MF|2，则2−p2=12(2+p2)，得出p的值，即可得出圆M的半径．解：设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，则|AF|=2−p2∵∠EMF=π3，∴∠AMF=π6，则|AF|=|MF|2，即2−p2=12(2+p2)，得p=43，∴r=2+p2=2+23=83，故选C．解析：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C−AB−D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C−AB−D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD=3，AD=4，故sin∠CAD=CDAD =34故选A．11.答案：C解析：解：∵cosB=ca，∴由余弦定理可得：ca =a2+c2−b22ac，整理可得：a2=c2+b2，∴可得A=90°．故选：C．由已知利用余弦定理可得a2=c2+b2，根据勾股定理即可得解．本题主要考查了余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，属于基础题．12.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线线方程求出渐近线方程，将点P坐标代入，结合双曲线的性质即可求解．解：∵P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，∴ba=√3，∴c2−a2a2=e2−1=3，解得e=2．故选A．13.答案：BD解析：本题考查线面垂直的判定定理和性质，属于基础题．根据PA⊥面ABCD，得到PA⊥BD，当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，从而可得答案．解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，若当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，∴AC⊥BD．故答案为BD．14.答案：−25解析：解：由a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，得a2=2+2a11−a1=2+−41−(−2)=23，a3=2+2a21−a2=2+2×231−23=6，a4=2+2a31−a3=2+2×61−6=−25．故答案为：−25．在已知递推式中分别取n=1，2，3即可求得a4的值．本题考查了数列递推式，考查了学生的计算能力，是基础题．15.答案：1解析：求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．解：圆心(0,0)到直线3x+4y−10=0的距离d=|−10|5=2．再由d−r=2−1=1，知最小距离为1．故答案为1．16.答案：1±√22解析：本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．由椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，求得a=2b，椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，整理得：y2 x−a =−14，则tanα=yx+a，tanβ=yx−a，tanα⋅tanβ=yx+a⋅yx−a=y2x−a=−14，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2−x−14=0的两个根，x=1±√22，则tanα=1±√22，即可求得直线PA的斜率．解：由题意可知：A(−a,0)，B(a,0)，P(x,y)，椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，∴y2=a2−x24，则y2x2−a2=−14，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA =tanα=y x+a，k PB =tanβ=yx−a ， ∴tanα⋅tanβ=yx+a ⋅yx−a =y 2x 2−a 2=−14，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1， ∴tanα，tanβ是方程x 2−x −14=0的两个根，解得：x =1±√22， ∴直线PA 的斜率k PA =tanα=1±√22，故答案为：1±√22． 17.答案：解：设点M(x,y)，点B(x 0,y 0).因为M 为AB 的中点，所以x =x 0−22，y =y 0+02.所以x 0=2x +2，y 0=2y.将点B(x 0,y 0)代入圆x 2+y 2−8x +12=0得(2x −2)2+4y 2=4，化简得(x −1)2+y 2=1.即点M 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1．解析：本题考查中点坐标公式、圆的方程、轨迹方程的求解，考查运算求解能力、化归与转化思想．设出点M 的坐标，以及点B 的坐标，利用M 为线段AB 的中点建立关系式，求得涉及点B 的坐标参数的关系式，再代入圆的方程即可确定对应的点M 的轨迹方程． 18.答案：解：(1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2sinθ=cosθ−2sinθ，∴4sinθ=cosθ， ∵cosθ≠0，∴tanθ=14，∴sinθ⋅cosθ1+3cos 2θ=sinθ⋅cosθsin 2θ+4cos 2θ=tanθtan 2θ+4=465(2)∵|a ⃗ |=|b ⃗ |，∴sin 2θ+(cosθ−2sinθ)2=5， ∴1−4sinθcosθ+4sin 2θ=5， ∴−2sin2θ+2(1−cos2θ)=4， ∴sin2θ+cos2θ=−1，∴sin(2θ+π4)=−√22∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，∴θ=π2或θ=3π4．解析：(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=−√22，再结合三角函数的性质可得到结果．本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由e =c a =12，得a 2−b 2a 2=14，可得a 2=43b 2，又b =√6√1+1=√3，∴b 2=3，a 2=4．故椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意知直线l 方程为y =k(x −4)．联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0．由△=(−32k 2)2−4(4k 2+3)(64k 2−12)>0，得k 2<14.①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3．∴y 1y 2=k(x 1−4)⋅k(x 2−4)=k 2x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2． ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆内，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2 =(1+k 2)⋅64k 2−124k 2+3−4k 2⋅32k 24k 2+3+16k 2 =25−874k 2+3<0，② 由①②，解得−√35<k <√35．∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l 的斜率k ∈(−√35,√35).解析：本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．(1)由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可； (2)联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．20.答案：(Ⅰ)证明：连接BD ．∵AB =AD ，∠BAD =60°，∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD ．又∵AD ⊥CD ，CD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM//CD ，又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM//平面PCD ．∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN//PD ．又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN//平面PCD ．又BM ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN =M ， ∴平面BMN//平面PCD ； (Ⅱ)解：连接PM ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD =AD ，PM ⊂平面PAD ，又PM ⊥AD ， ∴PM ⊥平面ABCD ．又BM ⊥AD ，∴MB ，MD ，MP 两两互相垂直．以M 为坐标原点，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ． ∵AD =6，CD =√3，∴M(0,0，0)，P(0,0，3)，A(0,−3,0)，N(0,−32,32)，B(3√3,0,0)，C(√3,3,0)．设平面BMN 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面BCP 的一个法向量n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． ∵MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,0,0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−32,32)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{3√3x 1=0−32y 1+32z 1=0，取m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)． ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,0,3)，由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2√3x 2+3y 2=0−3√3x 2+3z 2=0，取n⃗ =(√3,2,3)．．∴平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值为5√28．解析：本题主要考查面面平行的判定，以及二面角，关键是建立坐标系，求平面的法向量． (I)连接BD ，利用条件证明BM//平面PCD 以及MN//平面PCD ，再根据面面平行的判定定理可证； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角求平面BMN 与平面BCP 所成的锐二面角大小的余弦值．21.答案：解：(1)∵数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +3，(n ∈N ∗)∴1a n+1=a n +3a n =3a n+1，∴1a n+1+12=3(1a n+12)，∴1an+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2．∴a n =23n −1.(4分)(2)∵a n =23−1，b n =(3n −1)n2n a n ， ∴b n =(3n −1)⋅n 2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，∴T n =1⋅1+2⋅(12)+3⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，①12T n=1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，② ①−②，得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =1−(12)n1−12−n2n =2−n+22n，∴T n =4−n+22n−1.(8分)，∵T n+1−T n =(4−n+32n)−(4−n+22n−1)=n+12n>0，∴{T n }为单调递增数列，∵不等式(−1)n λ<T n 对一切n ∈N ∗恒成立， ∴①当n 为正奇数时，−λ<T n 对一切正奇数成立， ∴(T n )min =T 1=1，∴−λ<1，∴λ>−1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min =T 2=2，∴λ<2．综上知−1<λ<2.(12分)解析：(1)由已知条件推导出1a n+1+12=3(1a n+12)，从而得到1a n+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2.由此能求出结果．(2)由b n =(3n −1)⋅n2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，利用裂项求和法求出T n =4−n+22n−1，从而得到{T n }为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的定义可以|MF|=p 2−(−2)=52，∴p =1，抛物线的方程为y 2=−2x ；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，点M 的坐标为(−2,2)，当直线l 斜率不存在时，设A(x 0,y 0)，B(x 0,−y 0)，又k 1+k 2=y 0−2x 0+2+−y 0−2x 0+2=−4x 0+2=−2，故x 0=0,y 0=0，此时A,B 重合，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与抛物线{y =kx +by 2=−2x , 得k 2x 2+(2kb +2)x +b 2=0， Δ=8kb +4>0， x 1+x 2=−2kb−2k 2，x 1x 2=b 2k2，①又k1+k2=y1−2x1+2+y2−2x2+2=−2，即(kx1+b−2)(x2+2)+(kx2+b−2)(x1+2)=−2(x1+2)(x2+2)，即2kx1x2+(2k+b−2)(x1+x2)+4b−8=−2x1x2−4(x1+x2)−8，将①代入得，b2−b−2−2k(b+1)=0，即(b+1)(b−2−2k)=0，解得b=−1或b=2+2k，当b=−1时，直线l为y=kx−1，此时直线恒过(0,−1)，当b=2+2k时，直线l为y=kx+2k+2=k(x+2)+2，此时直线恒过(−2,2)(舍去)，∴直线l恒过定点(0,−1)．解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义以及直线与抛物线的关系，属于较难题．(Ⅰ)由抛物线的定义求出p，从而求出抛物线的方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知点M的坐标，当直线l斜率不存在时，此时A,B重合，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程，将直线l与抛物线联立得关系式，通过韦达定理得到x1+x2 ,x1x2的表达式，代入k1+k2=−2化简后的式子中，得到k和b关系，从而证出直线l恒过定点(0,−1)．。

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学(理)

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三2月联考数学（理）试题一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（）A. B. C. D.【答案】B2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。

【详解】由题意，，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。

故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。

3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。

【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。

4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。

【详解】由题意，，则，设等比数列的公比为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。

5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。

【详解】取，对于A，，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，，故C不正确；对于D，当时，，当时，，当时，，，即，，故D正确。

【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。

湖北省荆州中学、宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

D．若 m ∥ ， n ，则 m ∥ n
6 ．数列 an 满足 2an an1 an1 ， S n 是数列 an 的前 n 项和， a2 , a2019 是函数
f (x) x 2 6x 5 的两个零点，则 S2020 的值为（）
点 (1, 4) 到直线 AB 的距离 d 4 12 34 18 ,
5
5
( 18.
SABC ) min

15 2
解：（Ⅰ）由 a
b
(18 5
2

2) 4 sin
. cos

9,
得 sin cos
1,
4
4
(sin cos )2 1 2sin cos 1 1 3 , sin cos 6 .
21.（本小题满分
12 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，Sn

2an

9 2n
,n N
* , bn

an

3 2n
.
（Ⅰ）求证：数列bn 为等比数列，并求出数列an 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数
，对任意 m, n N ，不等式 Sm

bn
恒成立？若存在，求出
x0 7 2
y0 2 2

x0
y0

2x 7 2y 2
，
由 (x0 1)2 ( y0 4)2 4 得 (2x 7 1)2 (2 y 2 4)2 4 ，
即 D 点的轨迹方程为 (x 4)2 ( y 3)2 1 .
（Ⅱ）计算得 AB 5 , 直线 AB 为 4x 3y 34 0,

湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案

一个动点，d + PQ 的最小值是A2 5 -1B.2.5 -2C. '万-1宜昌市2019-2020年高二年级上学期期末考试理科数学试题考试时间：120分钟考试满分：150分命题人：李海峰审题人：孙红波★祝考试顺利★一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.… … 1，〜…1 .右（x +2i ）i = y ——（x, y = R ）,则 x + y = iA. -1B.1C. -3D. 3D. m-n <0.13.某种商品的广告费支出 x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据:x 2 4 5 6 8 y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与x 的线性回归方程为？ = 6.5x+17.5,则表中m 的值为A. 45B. 50C.55D.604.已知a 、P 是两个平面，直线l <Za ,l 辽P .若以①l _Lc （,②l 〃P ,③a _L P 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个1 x 1 35 . m W —— ”是V x W R,使得—十——— >m 是真命题”的 2 2 2x 2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)22.6 .已知P 为抛物线y =4x 上一个动点，P 到其准线的距离为 d,Q 为圆x +（y-4） =1上A. m -n <1B. m-n <0.5C. m-n <0.22.执行如图所示的程序框图,若输入m=1,n=3,输出的x = 1.75,则空白判断框内应填的7 .已知一个棱长为 2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为A. 9B. 423.3 28.下面给出的命题中:a(1)已知函数 f (a) = \ cosxdx ,贝U(2) “m = —2”是直线(m+2)x + my +1 =0与直线(m —2)x 十(m 十2)y — 3= 0互相垂直”的必要不充分条件;(3)已知随机变量服从正态分布N(0,。

湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(文)试题含答案

宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二(文科)数学命题人：审题人：（全卷满分：150分考试用时：120分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1、若直线经过((1,0),3A B 两点，则直线AB 斜率为（）A.33B.1C.3 D ．－3 2、设变量,x y ，满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩错误！未找到引用源。

则目标函数4z x y =+的最大值为( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3下列说法错误的是（）A.对于命题2:,10P x R x x ∀∈++>，则200:,10P x R x x ⌝∃∈++≤B.“1x =”是“2x -3x+2=0”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则p ,q 都是假命题D.命题“若2x -3x+2=0则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠则2≠x -3x+20”4、在空间中，两不同直线a 、b ，两不同平面α、β，下列命题为真命题的是（） A.若//,//a b a α，则//b αB. 若//,//,,a b a b ααββ⊂⊂，则//βαC. 若//,//b αβα，则//b βD. 若//,a αβα⊂，则//a β5.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（） A ．476 B ．152C ．233D ． 66.送快递的人可能在早上6:307:30-之间把快递送到张老师家里, 张老师离开家去工作的时间在早上7:008:00-之间, 则张老师离开家前能得到快递的概率为（）A ．12.5%B ．50%C ．75%D ．87.5%7、以两点(3,1)A --和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是( ) A ．22(1)(2)25x y -+-= B ．22(1)(2)25x y +++= C ．22(1)(2)100x y +++= D ．22(1)(2)100x y -+-= 8、对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,539、现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样10、有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为（） A ．320 B ．25 C ．15 D ．31011、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若1AB ，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．75° D ．105°12、已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ,使得线段1PF 的垂直平分线恰好过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．2[,1)3B ．[13,2] C ．1[,1)3 D ．1(0,]3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13、已知直线（3a+2）x+（1－4a ）y+8＝0与（5a －2）x+（a+4）y －7＝0垂直，则a ＝14、已知一个回归直线方程为$45+ｙ=1.5x （x i ∈{1,5,7,13,19}），则y ＝________.15、下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是__________16、已知三棱锥ABC O -,A,B,C 三点均在球心为O 的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥ABC O -的体积为45,则球O 的表面积是__________ 三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ．（I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围18（本小题满分12分）、已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．19、（本小题满分12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润?并求出最大利润．20、（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2，AD=BG=1.(1)求证：DE ⊥BC ； (2)求证：AG ∥平面BDE ；21 、（本小题满分12分）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？(2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：生产能力分组 [100,110) [110,120)[120,130) [130,140) [140,150)人数48x 5 3表2：生产能力分组[110,120) [120,130)[130,140) [140,150)人数6y3618①先确定x ，y ，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．22．(本题满分12分）设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且45MD PD =， (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C 所截线段的长度.宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二（文科）数学参考答案一、选择题：二、填空题13、0或1 14、58.515、6316、64π三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．）17.解：（I ）:26p x -≤≤p Q 是q 的充分条件[]2,6∴-是[]2,2m m -+的子集022426m m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥∴⎨⎪+≥⎩的取值范围是[)4,+∞ ………………………5分（Ⅱ）当5m =时，:37q x -≤≤，由题意可知,p q 一真一假，……………6分p 真q 假时，由2637x x x x -≤≤⎧⇒∈∅⎨<->⎩或 ………………………7分p 假q 真时，由26326737x x x x x <->⎧⇒-≤<-<≤⎨-≤≤⎩或或 ………………………9分所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7--U ………………………10分18,解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x ×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x′＋x 2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95， ③y′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．………………………6分 (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. ……………………12分19.设该公司当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为， ……………1分则根据条件得，满足的约束条件为 ……………5分目标函数．……………6分作出约束条件所表示的平面区域如图，……………9分然后平移目标函数对应的直线（即）知，当直线经过直线与的交点时，目标函数取得最大值，即……………12分答：该公司派用甲、乙型卡车的车辆数分别辆和辆时可获得最大利润元．20. 证明：(Ⅰ)∵∠BCD =∠BCE =2π, ∴CD ⊥BC ， CE ⊥BC ，又 CD ∩CE =C ， ∴BC ⊥平面DCE ， ∵DE ⊂ 平面DCE ， ∴DE ⊥BC . ……………6分(Ⅱ)如图，在平面BCEG 中，过G 作GN ∥BC ，交BE 于M ，交CE 于N ，连结DM ，则BGNC 是平行四边形， ∴CN =BG =21CE , 即N 是CE 中点, ∴MN =21BC=1 ， ∴MG ∥AD ,MG =21BC =AD=1 ，∴四边形ADMG 是平行四边形， ∴AG ∥DM ，∵DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE . ……………12分(2)①由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. —————4分频率分布直方图如下：图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图 —————6分图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小． —————9分 ②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123， x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. —————12分 22. （Ⅰ）设的坐标为，的坐标为，由已知得，因为在圆上，所以，即的方程为. —————6分（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为。

湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(理)试题含答案

宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二(理科)数学（全卷满分：150 分考试用时：120 分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1、抛物线y=2x 2的焦点坐标是（） A ．（21，0 ） B ．（0，21） C ．（81，0） D ．（0，81） 2、下列说法错误的是（）A.对于命题P ：∀x єR,x 2+x+1>0,则⌝P ：∃x 0єR,x 02+x 0+1≤0 B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若命题p ∧q 为假命题，则p ,q 都是假命题D.命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3x+2≠0” 3、直线(cos6π)x+（sin 6π）y+2＝0的倾斜角为（） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 4、已知向量(1,1,0)a =r ，(1,0,2)b =-r，且ka b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15 C ．35 D ．755、某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299； ③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281； ④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300 关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A 、①③都可能为分层抽样B 、②④都不能为分层抽样C 、①④都可能为系统抽样D 、②③都不能为系统抽样6、在空间中，两不同直线a 、b ，两不同平面α、β，下列命题为真命题的是（） A.若//,//a b a α，则//b α B. 若//,//b αβα，则//b βC.若//,a αβα⊂，则//a βD. 若//,//,,a b a b ααββ⊂⊂，则//βα 7、有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为（） A ．310 B ．25 C ．15D ．3208、对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56D ．45，47，539、已知双曲线1n y -m x 2222=（m>0,n>0）的离心率为3，则椭圆1ny m x 2222=+的离心率为（）A ．12B ．3C ．3D ．2210、如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为 ( )A ．2(23)+B ．2(23)+2+C ．6D ．211、已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（） A ．14 B ．13C ．12D ．23 12、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为2F ，)0,0)(,(0000>>y x y x M 是双曲线C上的点，),(00y x N --，连接2MF 并延长2MF 交双曲线C 与点P ，连接PN NF ,2，若P NF 2∆是以P NF 2∠为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．x y 26±=C ．4y x =±D ．x y 210±=二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为14、已知直线(3a+2)x+(1－4a)y+8＝0与(5a －2)x+(a+4)y －7＝0垂直，则a ＝15、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若12AB BB =，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 . 16、某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为元. 三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ．（I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围18、（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m﹣n|＞10”概率．19、（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2，AD=BG=1.(Ⅰ)求证：DE ⊥BC ； (Ⅱ)求证：AG ∥平面BDE ； (Ⅲ)求几何体EGABCD 的体积.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．21、（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，CB CA CP ,, 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PC PB ,于N M ,，交AC AB ,的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：⊥EF 平面PAC ；（Ⅱ）若BE AB 2=，求二面角N DM P --的余弦值.22、（本小题满分12分）已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线l平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点。

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试化学试题

2019-2020学年湖北省两校高二上学期期末考试化学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 F-19 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64 Ba-137一、选择题(本题包括16小题，每小题3分，共计48分。

每小题只有一个选项符合题意。

)1．下列既属于放热反应又属于氧化还原反应的是( )A、氧化钙与水反应B、铁丝在氧气中燃烧C、NaOH溶液与盐酸反应D、Ba(OH)2·8H2O晶体与NH4Cl晶体反应2．其他条件不变，升高温度下列数据不一定增大的是( )A、可逆反应的化学平衡常数KB、0.1 mol/L CH3COONa溶液的pHC、水的离子积常数K WD、弱电解质的电离程度3．室温下，将1mol的CuSO4•5H2O（s）溶于水会使溶液温度降低，热效应为△H1，将1mol 的CuSO4（s）溶于水会使溶液温度升高，热效应为△H2，CuSO4•5H2O受热分解的化学方程式为CuSO4•5H2O（s）CuSO4（s）+5H2O（l），热效应为△H3，则下列判断正确的是( ) A、△H2＞△H3B、△H1＜△H3C、△H1+△H3=△H2D、△H1+△H2＞△H34．下列事实能说明醋酸是弱电解质的是( )A、醋酸能使石蕊溶液变红B、25℃时，0.1mol/L醋酸的pH约为3C、向醋酸中加入氢氧化钠溶液，溶液pH增大D、醋酸能与碳酸钙反应产生CO2气体5．为了除去MgCl2酸性溶液中的Fe3+，可在加热搅拌的条件下加入一种试剂，过滤后，再向滤液中加入适量的盐酸，这种试剂是( )A、NH3·H2OB、NaOHC、MgCO3D、Na2CO36．短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X与W同主族，X、W的单质在标准状况下的状态不同，Y是空气中含量最高的元素，Z原子最外层电子数是其内层电子总数的3倍，Z2－与W＋具有相同的电子层结构。

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校高三联考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆【答案】A【解析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（） A ．22i z = B ．2z z ⋅=C ．||2z =D ．0z z +=【答案】B【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ， ∴z ()()()2121111i i ii i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln x y e =的定义域和值域相同的是（） A ．y x = B ．ln y x = C ．y=D ．10x y =【答案】C 【解析】函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是（） A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可．【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2019＞0成立，若q ≠1，则S 2019()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2019符号相同， ∴a 1与S 2019的符号相同，则“a 1＞0”⇔“S 2019＞0”，即“a 1＞0”是“S 2019＞0”充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6．在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A．23-B．43-C．83-D．2-【答案】D【解析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．43钱B．73钱C．83钱D．103钱【答案】C【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（）A．590元B．690元C．790元D．890元【答案】B【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元，所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元．故选：B．【点睛】。

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学(理)试题

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三2月联考数学（理）试题一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。

【详解】由题意，，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。

故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。

3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。

【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。

4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。

5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。

湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

数学（全卷满分：150分考试用时：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线623=++yx在y轴上的截距为b，则=b( )A．3 B．－2 C．2 D．－32．已知椭圆)0(125222>=+mmyx的左焦点为)0,3(1-F，则=m( )A．3 B．4 C．9 D．163．等比数列}{na的前n项和aS nn+=3，则a的值为( )A．3 B．1 C．－3 D．－14．若原点在圆myx=++-22)4()3(的外部，则实数m的取值范围是( )A．m>25 B．m>5 C．0<m<25 D．0<m<55．数列}{na满足11=a，)(12*1Nnaann∈-=+，则=2019a( )A．1 B．2019 C．2020 D．－16．直线243=++yx与圆0222=-+xyx的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．无法判断7．等差数列}{na中，484=+aa，610=a，则公差=d( )A．1B．2 C．－1 D．－28．过抛物线xy42=焦点的直线l交抛物线于),(11yxP，),(22yxQ两点，若421=+xx，则||PQ＝( )A．8B．7 C．6 D．59．数列}{n a 的前n 项和为nS ，若)1(1+=n n a n ，则=5S ( )A ．1B ．56C ．16D ．13010．已知抛物线)0(2>=a ax y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则a 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．411．已知数列}{n a 为等差数列，若101011->>a a ，且它们的前n 项和n S 有最小值，则使得0<nS 的最大值n 为( )A ．22B ．21C ．20D ．1912．已知双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2，若抛物线2C ：)0(22>=p py x 的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程是( )A ．y x 162= B.y x 82=C ．y x 3382=D ．y x 33162=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知直线0243:1=-+y x l ，直线022:2=++y x l ，则两条直线的交点坐标为________．14．已知数列}{n a 的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)2n －2(n 为偶数)，则=+63a a_____．15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为_____升．16．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，当水面升高1 m后，水面宽度是_____m．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知定点)3,1(-A，)2,4(B，以A、B为直径的端点作圆.（1）求圆的方程；（2）已知该圆与x轴有交点P，求交点P的坐标．18．(本小题满分12分)（1）已知直线472:1=++yxl与直线23:2=-+ymxl平行，求m的值；（2）已知直线1)1()2(:1=--++yaxal与直线2)32()1(:2=+++-yaxal互相垂直，求a的值．19．(本小题满分12分)已知}{na是首项为1的等比数列，数列}{nb满足21=b，52=b，且11+++=nnnnnababa．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求数列}{nb的前n项和．20．(本小题满分12分)设1F 、2F 是椭圆E ：)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点．（1）若椭圆的离心率21=e ，求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的斜率为1，2AF 、AB、2BF 成等差数列，求b 的值．21．(本小题满分12分)已知数列}{n a 和}{n b 中，数列}{n a 的前n 项和为n S ．若点),(n S n 在函数x x y 42+-=的图象上，点),(n b n 在函数xy 2=的图象上．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n n b a 的前n 项和nT ．22．(本小题满分12分)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，5=MF ．（1）求抛物线的方程；（2）设l 为过点)0,4(的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（-2,2）14．2015．316．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．[详细分析]（1）由题意，圆心C 为AB 的中点)25,23(，圆的直径为26)23()41(22=-+--=AB∴圆的半径2262==AB r∴所求圆的方程为：213)25()23(22=-+-y x （或者写为一般方程：025322=+--+y x y x ） ------5分（2）方法1.213)25()23(22=-+-y x ∴令0=y ，则213)25()23(22=+-x ，化简得：41)23(2=-x ∴2123=-x 或2123-=-x ∴2=x 或1=x ∴交点P 的坐标为（1,0），（2,0）. ------10分方法2.025322=+--+y x y x 令0=y ，则0232=+-x x∴2=x 或1=x ∴交点P 的坐标为（1,0），（2,0）. ------10分18．[详细分析] (1)由l 1：2x ＋7y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.∵l 1∥l 2，24372-≠=∴m 解得76=m ------6分(2)方法1： l 1¡Íl 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1¡Íl 2. ------12分方法2：由题意，直线l 1¡Íl 2，¢Ù若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ¢Ú若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．¢Û若1－a ¡Ù0，且2a ＋3¡Ù0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1¡Íl 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1¡Íl 2. ------12分 19．[详细分析](1)把1=n 代入已知等式得：21121a b a b a +=，∴1112123a b a b a a =-=. ------3分 ∴}{n a 是首项为1,公比为3的等比数列即：11331--=⋅=n n n a . ------6分(2)由已知得：311==-++nn n n a a b b ------8分∴}{n b 是首项为2,公差为3的等差数列即：13)1(32-=-+=n n b n ------10分232)132(2)(21nn n n b b n S n n +=-+=+=∴ ------12分20．[详细分析](1)求椭圆定义知：21112=-=b e ，解得：432=b . ------2分 ∴所求椭圆的标准方程为：14322=+y x . ------4分(2)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43 ------6分设l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，设A (x 1，y 1)、B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得：(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2. ------9分因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|. ------10分则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝()224b 1b 8+，解得b ＝22. ------12分 21．[详细分析](1)由已知得S n＝－n 2＋4n，------1分∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， ------3分又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ------4分∴a n＝－2n ＋ 5.------5分(2)由已知得b n＝2n，a nb n＝(－2n ＋5)·2n .------6分T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1.两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋ (2)＋1)＋(－2n ＋5)×2n＋ 1------9分＝23(1－2n －1)1－2＋(－2n ＋5)×2n +1－6＝(7－2n )·2n +1－14.------12分22．[详细分析](1)由题意|MF |＝4＋p2＝5，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .------4分(2)方法1：由题意，直线l 的斜率一定不为0，故可设其方程为4+=my x ． ------6分设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧=+=x y my x 442，得01642=--my y∴16,42121-==+y y m y y------9分∴1616161616)(4)4)(4(22212122121=++-=+++=++=m m y y m y y m my my x x -----10分∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，------11分∴OA⊥OB，∴以AB为直径的圆必过原点． ------12分方法2：当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y ＝±4.∴|AB |＝8，∴|AB |2＝4，∴以AB 为直径的圆过原点． ------6分当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ¡Ù0)．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)y 2＝4x，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0，∴x 1＋x 2＝4＋8k 2k 2，x 1x 2＝16.------9分∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝k 2[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16]＝k 2[16－4×4＋8k 2k2＋16＝k 2(32－16－32k 2k 2)＝－16，------10分∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴OA⊥OB，∴以AB为直径的圆必过原点． ------11分综上可知，以AB为直径的圆必过原点． ------12分。

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期11月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．若集合{}2|log 1M x x =<，集合{}2|10N x x =-≤，则MN =（）A ．{}|12x x ≤<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|11x x -<≤D ．{}|01x x <≤【答案】D【解析】由题意得(0,2),[1,1],(0,1]M N M N ==-⋂=，选D. 2．复数z 满足(1)1z i i -=-，则复数z 的实部是（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用复数模的运算、除法的运算化简z ，由此求得复数z 的实部. 【详解】依题意1i -==所以)()()111122i z i i i +===+--+，故z 的实部为. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．已知向量(2,3)a =，(,4)b x =.若//()a a b -，则x =（） A ．38B ．83C ．12D ．2【答案】B【解析】先求得a b -的坐标，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值. 【详解】依题意()2,1a b x -=--，由于//()a a b -，所以()()23210x -⨯-⨯-=，解得83x =.故选：B. 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.4．已知圆222212x y 60x y -6y 0C C ++=+=：，：，则两圆的位置关系为( ) A ．相离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【解析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．【详解】由题意，可知圆1C ，即为22((2)1x y +-=，表示以1C 为圆心，半径为1的圆，圆2C ，即为22(3)9x y +-=，表示以1(0,3)C 为圆心，半径为3的圆，2=等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 5．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．89-B ．89C ．79D ．79-【答案】C【解析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.6．若偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，且(3)0f =，则不等式()0f x x<的解集是（） A ．()()3,03,-⋃+∞ B ．(,3)(0,3)-∞-⋃ C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞ D ．(3,3)-【答案】A【解析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，画出()f x 大致图像，根据图像求得不等式()0f x x<的解集. 【详解】由于函数()f x 是偶函数，在区间(,0]-∞上单调递增，且(3)0f =，所以()()330f f -==，且函数在[)0,+∞上单调递减.由此画出函数图像如下图所示，由图可知，能使()0f x x<，即()0x f x ⋅<，也即自变量和对应函数值异号的x 的解集是()()3,03,-⋃+∞.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7．如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部【答案】A【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若AB =则该直线的斜率为（）A ．1± B． C．D ．2±【答案】A【解析】先由题意，设直线的方程为1y kx =+；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】由题意设直线l 的方程为1y kx =+，因为圆()()22111x y -+-=的圆心为()1,1，半径为1r =，又弦长AB =2d ===，2=，解得1k =±. 故选A 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基础题型. 9．已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（）A ．53 B ．103C ．32D ．3【答案】D【解析】【详解】试题分析：434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++,当且仅当433x x yx y x+=+时取等号，故选D.【考点】基本不等式. 【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.10．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【解析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．在ABC ∆中,30B =,3BC =,AB =点D 在边BC 上,点,B C 关于直线AD 的对称点分别为B ,C '',则BB C ''∆的面积的最大值为ABCD【答案】D【解析】解三角形，建立坐标系，设AD 斜率为k ，用k 表示出B ′纵坐标，代入面积公式得出面积关于k 的函数，根据k 的范围和函数单调性求出面积最大值．【详解】由余弦定理可得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos B ＝12+9﹣2×3=3， ∴AC =AC 2+BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，以C 为原点，以CB ，CA 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：设直线AD 的方程为y ＝kx当D 与线段AB 的端点重合时，B ，B '，C '在同一条直线上，不符合题意， ∴则k -＜，设B ′（m ，n ），显然n ＜0，则32213n m k n m k +⎧=⋅+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得n =， ∵CC ′∥BB ′， ∴S △BB ′C ′＝S △BB ′C 11322BC n =⋅⋅=⨯=，令f （k）=（k ＜），则f ′（k）()222333(1)k k +-=+，令f ′（k ）＝0可得k =k =，∴当k ＜f ′（k ）＞0，当k 3-＜时，f ′（k ）＜0，∴当k =f （k ）取得最大值f （）=．故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题．二、多选题12．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．三、填空题13．已知函数(),0{ln ,0x e x f x x x ≤=>，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 【答案】12【解析】由函数的解析式有：11ln 22f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则：1ln 2111ln 222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】115【解析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有210C =45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P 314515==，故答案为：115【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．过圆225x y +=上一点(2,1)M -作圆的切线，则该切线的方程为______ ．【答案】250x y --=【解析】求得圆心O 的坐标，进而求得直线OM 的斜率，从而求得过M 点的圆的切线的斜率，由此求得切线方程. 【详解】依题意圆心为()0,0O ，故12OM k -=，所以过M 点的圆的切线的斜率为2，由点斜式得切线方程为()()122y x --=-，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 【点睛】本小题主要考查过圆上一点的切线方程的求法，属于基础题.16的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，23ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为________. 【答案】8π【解析】设出三角形ABC 的三边长，利用三棱锥P ABC -的体积列方程.计算出三角形ABC 的外接圆半径，由此计算出球O 的半径的表达式，并求得球O 的半径的最小值，进而求得其表面积的最小值. 【详解】设ABC ∆三条边长为,,AB c BC a AC b ===，则222222π2cos3b ac ac a c ac =+-=++①. 由于PA ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的体积为112πsin 232366ac ⨯⨯==，所以1ac =②. 设ABC ∆的外心为1O ，球O 的球心为O .由正弦定理得ABC ∆外接圆的半径为112π22sin 3b r =⨯==由图可知，球O 的半径2222123PA b R r ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将①代入上式得2222111233a c ac ac acR ac +++=+≥+=+=，当且仅当1a c ==时等号成立.故球O 表面积的最小值为24π4π28πR =⨯=.故答案为：8π.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．在ABC ∆中，a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+.（1）求角C 的值：（2）设函数()cos sin()34f x x x π=⋅+-，求(A)f 的取值范围. 【答案】（1）60C =︒；（2）()11,22f A ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C 的大小.（2）利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简()f x 表达式，根据A 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得()f A 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：222a ab bc c b bc -=+--， ∴222a b c ab +-=，∴1cos 2C =，∴60C =︒. （2）()1cos sin 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()11cos 21sin 2sin 260422x x x +=+=+， ∵0120A ︒<<︒，60260300A <+<，∴()()111sin 260,222f A A ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题. 18．已知圆22:2430C x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；（2）若点(),P x y 是圆C 上的动点，求2=+t x y 的取值范围.【答案】（1）(2y x =或10x y ++=或30x y +-=；（2）t ≤≤ 【解析】（1）求出圆心和半径.当切线过原点时，设切线方程为y kx =，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 的值.当切线不过原点时，切线方程为x y a +=，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 的值.（2）将问题转化为直线20x y t +-=与圆C 有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】（1）由方程222430x y x y ++-+=知圆心为()1,2-，1︒当切线过原点时，设切线l 方程为y kx ==∴2k =±l方程为(2y x =.2︒ 当切线不过原点时，设切线l 方程为x y a +=，=∴1a =-或3a =，即切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=.∴切线l方程为(2y x =±或10x y ++=或30x y +-=. （2）由题意可知，直线20x y t +-=与圆C 有公共点，所以圆心()1,2-到直线20x y t +-=的距离d =≤即t ≤≤，即2=+t x y的取值范围是t ≤≤. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．如图，ABCDFE 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，2AB =，∠BAF ＝∠ECD ＝60°.（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得EF BG ⊥，EF DG ⊥，由此证得EF ⊥平面BDG ，进而求得EF BD ⊥，根据空间角的概念，证得BD DC ⊥.（2）根据（1）得到BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，由此求得BD 的长.利用等体积法计算出D 到平面BCE 的距离h ，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值.【详解】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .在菱形ABEF 中， ∵60BAF ∠=，∴BEF ∆是正三角形，∴EF BG ⊥，同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥，∴EF ⊥平面BDG ，∴EF BD ⊥，又∵//CD EF ，∴CD BD ⊥.（2）由（1）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，又BG GD ==BDG ∆是正三角形，故有BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥，又由（1）得EF BO ⊥，所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =，又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，BC =所以12BCE S ∆==，设D 到平面BCE 的距离为h ，则1134332B DCE DCE V BO S -∆=⋅=⨯=，1133D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯=h =，故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为h BD =.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．【答案】（1）平均分68，众数65；（2）35【解析】（1）先求得成绩在区间[)80,90内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.（2）先求得[)80,90、[]90,100的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90内的频率为()10.00520.0150.0200.045100.1-⨯+++⨯=.所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =⨯+⨯+⨯+⨯0.10850.059568+⨯+⨯=，众数的估计值是65.（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”，由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有：0.01010404⨯⨯=人，记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402⨯⨯=人，记这2名学生分别为e ，f ，则从这6人中任选2人的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为：(),a e ，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共9种，所以()93155P A ==．故所求事件的概率为：35．【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB nMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．【答案】（1）1y =+；（2）83m n +=【解析】（1）当直线l 斜率不存在时，AB .当直线l 斜率存在时，设出直线的斜截式方程，利用圆心到直线的距离以及弦长公式列方程，解方程求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.（2）当直线l 斜率不存在时，求得,,N A B 的坐标，根据NA mMA =，NB nMB =，结合平面向量共线的坐标表示，求得,m n 的值，进而求得m n +的值.当直线l 斜率存在时，设出直线的斜截式方程，求得N 点坐标，联立直线l 的方程和圆的方程，写出韦达定理，结合平面向量共线的坐标表示，求得,m n 的表达式，进而求得m n +的值. 【详解】（1）1︒ 当直线l 的斜率不存在时，4AB =，不符合题意；2︒ 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，所以圆心O 到直线l的距离d =，因为AB =AB ==k = 所以直线l的方程为1y =+．（2）1︒ 当直线l 的斜率不存在时，不妨设()0,0N ，()0,2A ，()0,2B -，因为NA mMA =，NB nMB =，所以()()0,20,1m =，()()0,20,3n -=-，所以2m =，23n =，∴83m n +=. 2︒ 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1,0N k ⎛⎫-⎪⎝⎭．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得()21230k x kx ++-=，∴12221k x x k +=-+，12231x x k =-+，因为NA mMA =，NB nMB =，所以()11111,,1x y m x y k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()22221,,1x y n x y k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+，所以12121211122x x m n k k x x x x ⎛⎫++=+⋅+=+⋅ ⎪⎝⎭128233k k =+⋅=，综上83m n +=. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查根据弦长求直线方程，考查直线和圆相交，交点坐标的求法，考查平面向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =；（2）13a <?【解析】（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m 的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.（2）由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a <?. 【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.。

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绝密★启用前
湖北省荆州中学、宜昌一中
2019～2020学年高二年级上学期期末联考质量检测
数学试题
2020年1月
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．复数231i z i +=
-（i 为虚数单位）的虚部为（） A ．12- B ．12
i - C ．52 D ．52i 2． )0,,2(m a =，)1,3,1(-=n b ，若a //b ,则=+n m （）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
3．椭圆22
18
x y m +=的焦距为4,则m 的值为（） A ．12
B ．4
C ．12或4
D ．10或6 4．曲线 32313+-=
x x y 在点（1,34）处的切线的倾斜角为（） A ．4π B ． 3π C ．π32 D ．π4
3 5．已知,αβ是两相异平面,,m n 是两相异直线,则下列结论错误的是（）
A ．若m ∥n ,α⊥m ,则n α⊥
B ．若α⊥m ,β⊥m ,则α∥β
C ．若α⊥m ,β⊂m ,则αβ⊥
D ．若m ∥α,n =⋂βα,则m ∥n
6．数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点,则2020S 的值为（）
A ．6
B ．12
C ．2020
D ．6060
7．平面直角坐标系内,到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（）
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别B A ,,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接
C A
D B 圆方程为（） A ． 222+1=5x y --（）（） B ．22+2++1=20x y （）（） C ．
224+2=5x y --（）（） D ．22+4++2=2x y （）（） 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点0(2,)M y 在抛物线C 上,
M 与直线l 相切于点E ,且3EMF π∠=
,则M 的半径为( ) A ．23 B ． 43 C ． 83 D ．163 10．如图,正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面
DAC ,则二面角B CD A --的余弦值为( )
A ．2
B ．
12 C ．33 D ．55
11．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,满足
C B a c b cos cos +=+,8sin =A
bc ,则ABC ∆的周长的最小值为( )
A ． 3
B ．332+
C ． 4
D ．442+ 12．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线C 上一点,Q 为双曲线C 渐近线上一点,,P Q 均位于第一象限,且2QP PF =,120QF QF ⋅=,则双曲线C 的离心率为（）
A ．15-
B ．15+
C ．110-
D ．110+
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分;把答案填在对应题号的横线上.）
13. 如图,已知平行四边形ABCD 中,0
60,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ,且6=PA ,则=PC .
14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+,且55=a ,则
2
123a a +的最小值为 .
15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点,且4=AB ,点D 为线段AB。