最新初中数学竞赛——-巧添辅助线
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第16讲 巧添辅助线
知识总结归纳
一. 截长补短法
证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。 二. 角平分线相关的辅助线
因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。 三. 等腰三角形“三线合一”的运用
等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。 四. 倍长中线法
倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题
一. 截长补短法
【例1】 如图，ABC △中，2C B ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：AB AC CD -=．
【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AC BC =,AD 平分CAB ∠，求证：AB AC CD =+．
A
D
C B
D
B
C
A
【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．
【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．
二. 等腰三角形经典模型的运用
【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，
求AMN △的周长． M C
B
A
N
O
E
D
C
B
A
D
B
A
C
E
【例6】 如图，已知在ABC △中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，DE AC ∥，求证：BE AE =．
三. 等腰三角形“三线合一”的运用
【例7】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且
AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．
【例8】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 的直线//MN BC ，在直线MN 上
点A 的两侧分别取点E 、F ，且AE AF =．求证：DE DF =．
E
C
D
B
A
C
B
F
E
A
D
N
C
B
A
M
F E
D
【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．
【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．
四. 倍长中线法
【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．
D
C B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
【例12】 如图，AD 为ABC △的中线，AE EF =．求证：BF AC =．
【例13】 如图，在ABC △中，AD 为中线，并且90BAD ∠=，45DAC ∠=．求证：2AB AD =．
【例14】 如图，在ABC △中（AB AC ≠），D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF BA ∥交AE 于
点F ，DF AC =．求证：AE 平分BAC ∠．
F E
C
B
A D
D
C
B
A E
C
D
B
A F
【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且P M Q M
⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．
思维飞跃
【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．
【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试
判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．
A
B
E
C
D
O
B
E
C
A
【例18】 如图，已知锐角ABC △中，BE CF 、是高，在BE 或者CF 的延长线上，分别截取BQ CA =，
CP BA =，且BM BC ⊥，QN BC ⊥．求证：PM QN BC +=．
【例19】 如图，AM 是ABC △的中线，ABF △和AEC △均为等腰直角三角形，且
90FAB EAC ∠=∠=．求证：2EF AM =．
作业
1. 已知：AD 平分BAC ∠，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠；
A
B
D
C
E F
P
N
M C
B
Q A
2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1
()2
AE AB AD =+，求证：
180ABC ADC ∠+∠=．
3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．
4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =． C
A B
D
F
E
B
E
C
A
A
B
D
C
E