中考压轴冲刺二 动态几何定值问题解析

中考压轴冲刺二动态几何定值问题解析
类型一【线段及线段的和差为定值】
例1、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB，求线段
P A+PF的最小值．（结果保留根号）
【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．
②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，
∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴OF
A O'
＝
OC
OE
，
∴OF
OC
＝
A O
OE
'
，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′CF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．
由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，
在Rt △CB ′M 中，CB ′＝BC AB ＝2，∠MCB ′＝30°，
∴B ′M ＝
1
2
CB ′＝1，CM
∴AB ′2
∴P A +PF
类型二 【线段的积或商为定值】
例2、如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至
PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.
（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PE
PF
的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ； ①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.
【详解】（1）相似
理由：∵090BAP BPA ∠+∠=，090CPD BPA ∠+∠=， ∴BAP CPD ∠=∠， 又∵090ABP PCD ∠=∠=， ∴ABP PCD ∆∆:； （2）
在旋转过程中
PE
PF
的值为定值， 理由如下：过点F 作FG BC ⊥于点G ，∵BEP GPF ∠=∠，
90EBP PGF ∠=∠=，∴EBP PGF ∆∆:，∴
PE BP
PF GF
=， ∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABGF 为矩形， ∴2,1FG AB BP === ∴
1
2
PE PF = 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值，
1
2
PE PF =； （3）由（2）知：EBP PGF ∆∆:，∴
1
2
BE PE PG PF ==， 又∵,2AE t BE t ==-，
∴()2242PB t t =-=-，()14252BG AF BP PG t t ==+=+-=-， ∴EPF AEF BEP PFG ABGF S S S S S ∆∆∆∆=---矩形
()()()()2111
252521224245222
t t t t t t t =--⨯--⨯⨯--⨯⨯-=-+
即：245S t t =-+；
①当1t =时，EPF ∆的面积214152S =-⨯+=， ②当 4.2EPF S ∆=时，∴245 4.2t t -+=
解得：12t =-
，22t =（舍去）
∴当EPF ∆的面积为4.2时，25
t =-
； 类型三 【角及角的和差定值】
例3、如图，在△ABC 中，∠ABC ＞60°，∠BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同
侧），连接CD．
（1）若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；
（2）当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；（3）当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立．
【详解】（1）∵△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD，
又∵∠BAC=30°，
∴AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
∴CD=BC，
∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°；
（2）△ABC是等腰三角形，
理由：设∠BDC=x，则∠BAC=2x，
有∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
又∵AB=AD，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（3）当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立，
如图，作等边△BCE，连接DE，
∴BC=EC，∠BCE=60°.
∵∠BCD=150°，
∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°，
∴∠DCE=∠DCB.
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△ECD.
∴∠BDC=∠EDC，
即∠BDE=2∠BDC.
又∵△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC.
又∵BC=BE，
∴△BDE≌△BAC.
∴∠BAC=∠BDE，
∴∠BAC=2∠BDC.
类型四【三角形的周长为定值】
例4、如图，现有一张边长为的正方形ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.
∠=∠；
（1）求证：EPB EBP
∠=∠；
（2）求证：APB BPH
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式.
【详解】（1）证明：∵四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠
∴EP = EB
∴∠EPB = ∠EBP
（2）证明∵四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠，PG与BC重叠
∴∠EPG = ∠EBC
又∵∠EPB = ∠EBP
∴∠EPG - ∠EPB = ∠EBC - ∠EBP，即
∠BPH = ∠PBC
∵AD∥BC,
∴∠APB = ∠PBC,
∴∠APB = ∠BPH
（3）解：△PDH的周长不发生变化.
如图所示，过点B作BQ丄PG于点Q.
在△BP A和△BPQ中，
∵
APB QPB PB PB
A PQB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴()BPA BPQ ASA ≅V V ∴ ,,PQ AP AB BQ == ∴BQ BC =
Rt BHQ V 和Rt BHC V ，
∵BQ BC
BH BH =⎧⎨
=⎩
∴ ()Rt BHQ Rt BHC HL V V ≌ ∴QH =HC
∴△PDH
的周长为：PD DH PH PD AP DH HC AD l BC =++=+++=+=为固定值，固定不变.
如图，过点F 作FM 垂直AB 于点M .
∵90,90BEF ABP BEF MFE ︒︒∠+∠=∠+∠=
∴MFE ABP ∠=∠ 在△ABP 和△MFE 中
∵,A EMF AB MF
ABP MFE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴()ABP MFE ASA V V ≌ ∴ ME AP x ==
在△AEP 中，根据勾股定理，可得：
222(4)x BE BE +-=
解得：2
28
x BE =+
∴1
()2
EFCB S S CF BE BC ==
+⨯四边形 ，即 22
2
1224
288=282
x x S x x x ⎛⎫=⨯-+++⨯ ⎪⎝⎭-+ 即S 关于x 的关系式为：
2
282
x S x =-+
类型五 【三角形的面积及和差为定值】
例5、综合与实践：矩形的旋转 问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止，在此过程中开展探究活动． 操作发现：
（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，则线段AM 与CN 始终存在的数量关系是 ．
（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN 时，如图3所示，四边形QMRN 为菱形，请你证明这个结论．
（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN 中∠MQN 与旋转角∠AOE 存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由． 实践探究：
（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH 的旋转，四边形QMRN
的面积会发生变化．若矩形纸片的长为
，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE 为多少度时，四边形QMRN 的面积最大？最大
面积是多少？（直接写出答案）
【详解】（1）结论：AM＝CN．
理由：如图2中，设AB交EG于K，CD交EG于J．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，
∴AB∥CD，EF∥EG，OA＝OC＝OE＝OG，
∴∠MEK＝∠JGN，∠OAK＝∠OAJ，
∵∠AOK＝∠AOJ，∴△AOK≌△AOJ（ASA），
∴OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，∴EK＝JG，
∵∠EKM＝∠AKO，∠GJN＝∠CJO，∴∠EKM＝∠GJN，
∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM＝JN，∴AM＝AN．
（2）证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．
由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，
∴AD＝EH，AB∥CD，EF∥HG，
∴四边形QMRN为平行四边形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK＝EH，QL＝AD，∠QKM＝∠QLN＝90°，∴QK＝QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ＝∠MQN，∠MQN＝∠LNQ，
∴∠KMQ＝∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS），
∴MQ＝NQ∴四边形QMRN为菱形．
（3）结论：∠MQN＝∠AOE．理由：如图3﹣1中，
∵∠QND＝∠1+∠2，∠AOE＝∠1+∠3，
又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2＝∠3，∴∠QND═∠AOE，
∵AB∥CD，∴∠MQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠AOE．
（4）如图3﹣2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ＝AD，则AJ＝2，
∵CD＝，∴CJ＝AJ＝2，∴∠JCA＝∠JAC，
∵∠AJD＝45°＝∠JCA+∠JAC，∴∠ACJ＝22.5°，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝22.5°，∴∠BOC＝45°，
观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值＝
∴∠AOE＝45°或135°时，四边形QMRN面积最大为．
练习：
1．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C 重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，
（1）如图1，当AE⊥BC时，求线段BE、CG的长度．
（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
（3）如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAD +∠B =180°， ∵∠BAD =120°， ∴∠B =60°， ∵AE ⊥BC 于E ，
在Rt △ABE 中，∠BAE =30°，AB =6，
∴BE =3，AE ∵EF ⊥AB ， ∴∠BFE =90°，
在Rt △BEF 中，∠BEF =30°，
∴BF =
12BE =32，EF ， ∵S ▱ABCD =BC ×AE =AB ×FG ，
∴=6FG ，
∴FG
∴EG =FG ﹣EF ； （2）如图2，
过点A 作AH ⊥BC 于H ， ∵∠B =60°，
∴BH =3，AH
∵∠AHB =∠BFE =90°，∠B =∠B ， ∴△ABH ∽△EBF ，
∴
AB BH AH
BE BF EF
==， 设BE =a ，
∴
63a BF EF
==
， ∴BF =
12a ，EF
， ∵AB ∥CD ， ∴△BEF ∽△CEG ，
∴BF BE EF CG CE
EG ==， ∴132210a a a CG a EG
==-， ∴CG =
12（10﹣a ），EG =2
（10﹣a ）， ∴C △BEF +C △CEG =BE +BF +EF +CE +CG +EG =a +
12a +10﹣a +12（10﹣a ）10﹣a ）
（3）同（2）的方法得，EF ，CG =12（10﹣x ），
∴DG =CD +CG =6+5﹣
12x =11﹣1
2
x ， ∴S △DEF =
12EF ×DG =12×2x ×（11﹣12x ）=﹣8x 2+4
（0＜x ＜10）． 2．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD ，PE ，DE ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．
【详解】（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
则
8
640 c
a c
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
8
8
a
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
．
∴抛物线解析式为y＝﹣1
8
x2+8．
（2）设P（x，﹣1
8
x2+8），则F（x，8），
则PF＝8﹣（﹣1
8
x2+8）＝
1
8
x2．
PD2＝x2+[6﹣（﹣1
8
x2+8）]2＝
1
64
x4+
1
2
x2+4＝（
1
8
x2+2）2
∴PD＝1
8
x2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|1
8
x2+2﹣
1
8
x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|为定值2；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，
由d＝|PD﹣PF|为定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE==
∴C△PDE＝（PE+PF），
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝＝2 ．
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．
由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以当P与A重合时，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD=10．
得C△PDE最大值＝＝．
综上所述，△PDE周长的最大值是，最小值是．
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．
(1)直接填空：∠BAD=______°.
(2)点P在CD上，连结AP，AM平分∠DAP，AN平分∠P AB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设∠DAM=α°．
①求∠BAN的度数(用含α的代数式表示)．
②若AN⊥BM，试探究∠AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用α的代数式表示它．
【详解】解：(1)∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-90°=90°．
故答案为：90；
(2)①∵AM平分∠DAP，∠DAM=α°，
∴∠DAP=2α°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP=(90-2α)°，
∵AN平分∠P AB，
∴∠BAN=1
2
(90-2α)°=(45-α)°；
②∵AM平分∠DAP，AN平分∠P AB，
∴∠P AM=1
2
∠P AD，∠P AN=
1
2
∠P AB，
∴∠MAN=∠MAP+∠P AN=1
2
∠P AD+∠
1
2
∠P AB=
1
2
90°=45°，
∵AN⊥BM，
∴∠ANM=90°，
∴∠AMB=180°-90°-45°=45°．
4．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），
S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）
【详解】（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，
∴∠BAC +∠EAD ＝180°，∠BAC +∠CAG ＝180°， ∴∠DAE ＝∠CAG ， ∵AB ＝AE ＝AD ＝AC ，
∴
1
21
2
ABC AED
AB AC sin CAG S S AE AD sin DAE ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠V V 1． （2）如图2中，S △ABC ：S △ADE ＝定值．
理由：如图1中，作DH ⊥AE 于H ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于G ．
不妨设∠ADC ＝30°，则
AD =，AE ＝AB ， ∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，
∴∠BAC +∠EAD ＝180°，∠BAC +∠CAG ＝180°， ∴∠DAE ＝∠CAG ，
∴
1
2132
ABC AED
AB AC sin CAG
S S AE AD sin DAE ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠V V ．
（3）如图3中，如图2中，S △ABC ：S △ADE ＝定值．
理由：如图1中，作DH ⊥AE 于H ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于G ．
∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，
∴∠BAC +∠EAD ＝180°，∠BAC +∠CAG ＝180°， ∴∠DAE ＝∠CAG ，
∵AB ＝a ，AE ＝b ，AC ＝m ，AD ＝n
∴
1
21
2
ABC AED
AB AC sin CAG
S ma
S nb AE AD sin DAE ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠V V ． 5.（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且
PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，
3CF =，直接写出PG PH +的值．
【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =， ∴ABP ∆的面积11
1031522
AB PE =
⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+， ∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅， ∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=. 故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+， ∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =， ∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===， ∴ABC ∆是等边三角形， ∵AM BC ⊥， ∴1
52
BM BC ==，
∴AM =
=
∴ABC ∆的面积11
1022
BC AM =
⨯=⨯⨯= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
111222BC PE AC PF AB PG =
⨯+⨯+⨯1
()2
AB PE PF PG =++
=
∴210
PE PF PG ⨯++=
=. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒， ∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠， ∵90C ∠=︒，
∴4DC =
==，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒， ∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠， ∴四边形EQCD 是矩形， ∴4EQ DC ==， ∵//AD BC ， ∴DEF EFB ∠=∠， ∵BEF DEF ∠=∠， ∴BEF EFB ∠=∠， ∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=， ∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.
6．如图，已知锐角△ABC 中，AB 、AC 边的中垂线交于点O
（1）若∠A =α（0°＜α＜90°），求∠BOC ；
（2）试判断∠ABO +∠ACB 是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由． 解：（1）AB 、AC 边的中垂线交于点O ， ∴AO =BO =CO ，
∴∠OAB =∠OBA ，∠OCA =∠OAC ，
∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）=360°﹣2（∠OAB+∠OAC）=360°﹣2∠A=360°﹣2α，
∴∠BOC=360°﹣（∠AOB+∠AOC）=2α；
（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，
∴∠OBC=（180°﹣2∠A）=90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°，
∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣（90°﹣α）=90°．
7．⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．
（1）求证：AE＝BF
（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.
【详解】（1）如图，过O作OG⊥CD于G，
则G为CD的中点,
又EC⊥CD，FD⊥CD,
∴EC∥OG∥FD,
∴O为EF的中点，即OE=OF,
又AB为⊙O的直径,
∴OA=OB,
∴AE=BF（等式性质）,
(2)四边形CDFE的面积是定值,理由如下：
过点O作OG⊥CD于G，连接OD.
则
1
4.5cm.
2
DG CD
==
在△OGD中,
1
90,7.5cm
2
OGD OD AB
∠===
o，
根据勾股定理得6cm
OG==，则GD=4.5cm.
∵OD、DG是定值，
∴OG是定值,
∵CE∥OG∥DF，G为CD中点，
∴O为EF中点，
①当CD与AB不平行时．
∴OG为梯形CDFE的中位线，
∴CE+DF=2OG=2×6=12cm，
∵梯形的高也是定值9cm，
∴梯形的面积是定值=12×9÷2=54cm2.
②当CD∥AB时，四边形ECDF是矩形，
OG=EC=FD=6，
∴矩形的面积=6×9=54cm2是定值.
综上所述，四边形CDFE的面积是定值.
8．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点．
（1）直接写出点D的坐标及AB的长；
（2）若直角∠NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．
①当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM∽△MON，求点N的坐标；
②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．
【详解】（1）∵OA＝6，OB＝8，点D是AB的中点，∴点D的坐标为（3，4），AB==10；（2）①如图，过点D作DC⊥y轴于C，作DE⊥x轴于E，则
CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，设ON＝x，则CN＝4﹣x．
∵∠CDE＝∠PDM＝90°，∴∠CDN＝∠EDM，∴△CDN∽△EDM，∴CD CN
ED EM
=，即
34
4
x
EM
-
=，∴EM
4
3
=（4﹣x）．
∵CD∥PO，∴△CDN∽△OPN，∴CD CN
OP ON
=，即
34x
OP x
-
=，∴OP
3
4
x
x
=
-
．
∵△PDM∽△MON，∴∠NPO＝∠NMO，∴PN＝MN．
∵NO⊥PM，∴PO＝MO，即
34
3
43
x
x
=+
-
（4﹣x），解得：x1＝10（舍去），x2
5
2
=，∴ON
5
2
=，∴点N
的坐标为（0，5
2）；
②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小不会发生变化．理由如下：
由①可得：△CDN∽△EDM，∴CD DN
ED DM
=，即
3
4
DN
DM
=．
又∵OA＝6，OB＝8，∴
3
4
OA
OB
=，∴
DN OA
DM OB
=，即
DN DM
AO OB
=．
又∵∠AOB＝∠NDM＝90°，∴△AOB∽△NDM，∴∠DMN＝∠OBA．
∵∠OBA大小不变，∴∠DMN的大小不会发生变化．
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接P A，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：设对角线AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝1
2
∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝1
2
AB＝1，
∴OB
∴BD＝2BO＝
∴Y ABDE的周长为：2AB+2BD＝
Y
ABDE的面积为：BD•AO＝＝
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝AP+PE，∵C和A关于直线BD对称，
∴当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
当P 在点B 处时，AP +PE 的值最大，如图2， 过E 作EG ⊥BD ，交BD 的延长线于G ， ∵∠BDE ＝150°， ∴∠EDG ＝30°， ∵DE ＝2，
∴EG ＝1，DG
Rt △PEG 中，BG ＝
由勾股定理得：PE ==
∴AP +PE 的最大值是：
∵P 为边BD 上的一个动点（不与端点B ，D 重合），
∴C 1+C 2＜C 1+C 2＜ （写对一边的范围给一分）
②S 1+S 2
理由是：S 1+S 2＝
1111
BP AO PD AO AO()12222
BP PD ⋅+⋅=+=⨯=
10．如图，抛物线的顶点坐标为C （0，8），并且经过A （8，0），点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作直线y =8的垂线，垂足为点F ，点D ，E 的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD ，PE ，DE ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想并探究：对于任意一点P ，PD 与PF 的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
（3）求：①当△PDE 的周长最小时的点P 坐标；②使△PDE 的面积为整数的点P 的个数．
【答案】（1）抛物线的解析式为y =﹣
18
x 2
+8；（2）PD 与PF 的差是定值，PD ﹣PF =2；（3）①P （4，6），此时△PDE 的周长最小；②共有11个令S △DPE 为整数的点． 【解析】
（1）设抛物线的解析式为y =a （x +h ）2+k ∵点C （0，8）是它的顶点坐标， ∴y =ax 2+8 又∵经过点A （8，0）， 有64a +8=0，解得a =1
-8
故抛物线的解析式为：y =1-8
x 2+8； （2）是定值，解答如下：
设P （a ，1-8
a 2+8），则F （a ，8）， ∵D （0，6），
∴PD 2128a ==+ PF =2
2
118888
a a ⎛⎫--+=
⎪⎝⎭
， ∴PD ﹣PF =2；
（3）当点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD ﹣PF =2，∴PD =PF +2，
∴PE +PD =PE +PF +2，
∴当P 、E 、F 三点共线时，PE +PF 最小， 此时点P ，E 的横坐标都为4， 将x =4代入y =1
-8
x 2+8，得y =6， ∴P （4，6），此时△PDE 的周长最小． 过点P 做PH ⊥x 轴，垂足为H ． 设P （a ，1-8
a 2+8）
∴PH =1-8
a 2+8，EH =a -4，OH =a S △DPE =S 梯形PHOD -S △PHE -S △DOE
=
()2211111-86?844628282a a a a ⎛⎫⎛⎫++--+--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2
1-344a a ++ =2
1-6)134
a -+（ ∵点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点） ∴0≤a ≤8
当a =6时，S △DPE 取最大值为13． 当a =0时，S △DPE 取最小值为4． 即4≤S △DPE ≤13
其中，当S △DPE =12时，有两个点P ． 所以，共有11个令S △DPE 为整数的点．。