中考压轴冲刺二 动态几何定值问题解析

中考压轴冲刺二动态几何定值问题解析

类型一【线段及线段的和差为定值】

例1、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC＝EF；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB，求线段

P A+PF的最小值．（结果保留根号）

【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．

∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，

∵FE平分∠CEA′，

∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，

∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，

∴△FOC∽△A′OE，

∴OF

A O'

＝

OC

OE

，

∴OF

OC

＝

A O

OE

'

，

∵∠COE＝∠FOA′，

∴△COE∽△FOA′，

∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，

∴△A′CF是等边三角形，

∴CF＝CA′＝A′F，

∵EM＝EC，∠CEM＝60°，

∴△CEM是等边三角形，

∠ECM＝60°，CM＝CE，

∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，

∴∠FCM＝∠A′CE，

∴△FCM≌△A′CE（SAS），

∴FM＝A′E，

∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．

（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，

∴△A′EF≌△A′EB′，

∴EF＝EB′，

∴B′，F关于A′E对称，

∴PF＝PB′，

∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，

在Rt △CB ′M 中，CB ′＝BC AB ＝2，∠MCB ′＝30°，

∴B ′M ＝

1

2

CB ′＝1，CM

∴AB ′2

∴P A +PF

类型二 【线段的积或商为定值】

例2、如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至

PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.

（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；

（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PE

PF

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ； ①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.

【详解】（1）相似

理由：∵090BAP BPA ∠+∠=，090CPD BPA ∠+∠=， ∴BAP CPD ∠=∠， 又∵090ABP PCD ∠=∠=， ∴ABP PCD ∆∆:； （2）

在旋转过程中

PE

PF

的值为定值， 理由如下：过点F 作FG BC ⊥于点G ，∵BEP GPF ∠=∠，

90EBP PGF ∠=∠=，∴EBP PGF ∆∆:，∴

PE BP

PF GF

=， ∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABGF 为矩形， ∴2,1FG AB BP === ∴

1

2

PE PF = 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值，

1

2

PE PF =； （3）由（2）知：EBP PGF ∆∆:，∴

1

2

BE PE PG PF ==， 又∵,2AE t BE t ==-，

∴()2242PB t t =-=-，()14252BG AF BP PG t t ==+=+-=-， ∴EPF AEF BEP PFG ABGF S S S S S ∆∆∆∆=---矩形

()()()()2111

252521224245222

t t t t t t t =--⨯--⨯⨯--⨯⨯-=-+

即：245S t t =-+；

①当1t =时，EPF ∆的面积214152S =-⨯+=， ②当 4.2EPF S ∆=时，∴245 4.2t t -+=

解得：12t =-

，22t =（舍去）

∴当EPF ∆的面积为4.2时，25

t =-

； 类型三 【角及角的和差定值】

例3、如图，在△ABC 中，∠ABC ＞60°，∠BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同