初等数论(闵嗣鹤版)课件解析
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对 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k为间隔的素数。 对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。 不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们 已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数 对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟 然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)
第一节 整除的概念 带余数除法
如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
2、整除的基本定理
思考：逆命题是否成立？ 1、m|(a±b) →m|a,m|b 2、m|(a±b) ，m|a→m|b
定理2’ m | a, m | (a b) m | b
特例：m||a
m|aq
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解
经过8年的努力，英国数学家 安德鲁·怀尔斯 终 于在1995年完成了该定理的证明。
3、孪生素数问题
存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学家 Alphonse de Polignac 提出猜想：
三、几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易 搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困 难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现 的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家 欧拉,正式提出了以下的猜想：
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新 的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数 论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、 组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内 更得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发 展。
带余数除法的第三种表示（课后习题）
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例 当a 5, b 2时，可有 5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1; 或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
二 数论的发展
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重 视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几 何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了 素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数 的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦 有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”， 正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之 为孙子定理。
若 2n 1 是素数，则 2n1(2n 1) 是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍 然不知道有没有奇完全数。
四、初等数论在中小学教育中的作用
• 在培养中学生思维能力方面大有作用。
国际数学奥林匹克从1959年起到2002 年已经举行了43届比赛，大致统计， 在总共260道题目中，可以主要用初等 数论知识来解及初等数论知识有关的 约有82题，约占31.5%。
4、最完美的数——完全数问题
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的 信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于 它自己的因子(不包括它自身)的和， 如： 6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大 偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘 积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍 是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
wenku.baidu.com
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
第一章 整数的可除性
一 初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除 性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 分布 以及数论函数等内容，统称初等数论
（elementary number theory） 。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助， 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
第一节 整除的概念 带余数除法
如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
2、整除的基本定理
思考：逆命题是否成立？ 1、m|(a±b) →m|a,m|b 2、m|(a±b) ，m|a→m|b
定理2’ m | a, m | (a b) m | b
特例：m||a
m|aq
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解
经过8年的努力，英国数学家 安德鲁·怀尔斯 终 于在1995年完成了该定理的证明。
3、孪生素数问题
存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学家 Alphonse de Polignac 提出猜想：
三、几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易 搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困 难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现 的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家 欧拉,正式提出了以下的猜想：
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新 的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数 论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、 组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内 更得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发 展。
带余数除法的第三种表示（课后习题）
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例 当a 5, b 2时，可有 5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1; 或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
二 数论的发展
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重 视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几 何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了 素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数 的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦 有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”， 正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之 为孙子定理。
若 2n 1 是素数，则 2n1(2n 1) 是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍 然不知道有没有奇完全数。
四、初等数论在中小学教育中的作用
• 在培养中学生思维能力方面大有作用。
国际数学奥林匹克从1959年起到2002 年已经举行了43届比赛，大致统计， 在总共260道题目中，可以主要用初等 数论知识来解及初等数论知识有关的 约有82题，约占31.5%。
4、最完美的数——完全数问题
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的 信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于 它自己的因子(不包括它自身)的和， 如： 6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大 偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘 积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍 是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
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3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
第一章 整数的可除性
一 初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除 性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 分布 以及数论函数等内容，统称初等数论
（elementary number theory） 。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助， 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。