概率论与数理统计试题及答案2[1]
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计试卷及答案
模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计习题2及答案
当时，F 故X 的分布函数(X)=P (XWx) =10,X < 022—,0<x<I 35 34 - A —,1 < x < 2 35x>2习题3•设在15只同类型零件中有2只为次品，在英中取3次，毎次任取1只，作不放回抽样. 以X 表示取出的次品个数，求： (1) (2) (3) X 的分布律： X 的分布函数并作图; P{X<lhP{I<X <-),P)I<%<-),P{l<x<2}・ 2 2 2 【解】 x=at2・CP(X=O) = »±・C ；5 35 心)半』C ； 35C" 1P(X=2) =卑=丄・C ：5 35故X 的分布律为(2)当 xvO 时，F (X)=P (X<x) =0当OWxvl 时, 当lWxv2时,22 F (X)=P(XWx) =P(X=O)= —3534F (X)=P (XWx) =P(X=O)+P{X=1)= —1 I 22P (X<l) = F(i) = —,2 2 353 3 34 34P (KX <-) = F(-)-F(l) = --- — = 02 2 35 353 3 12P (1<X <-) = P(X = 1) + P(1<X<-)亠2 2 3534 1 P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X =2) = 1-衣-务=0.4•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布 律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数•则X<K 1. 2, 3.p(x = 0) = (0.2)3 =0・008 p(x =1) = C ；O.8(O.2)2 = 0.096 P(X = 2) = C^(0.8)'0.2 = 0.384 p(x= 3) = (0.8)3 =0.512故X 的分布律为 XP分布函数0, 0.00&F(X ) = W ・104.0.48&P(X > 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8965. （1）设随机变量X 的分布律为P(X=.}=Z.k\尖中后0, r 2,…，人>0为常数，试确定常数G （2）设随机变虽X 的分布律为 p{X=k ）=a/N, k=l. 2,…，N,x<0 0<%<1 1<%<2 2<x<3x>3试确世常数G【解】（1）由分布律的性质知1=》P(X =k) = u》——=ad D k!{2)由分布律的性质知N N\ = ^P{X=k}=^- = aA-l £-1 N即 a =6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为“今^$投3次，求:(1)两人投中次数柑等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率•【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XF (3,) y~b(3.(1)p(x = r)= p(x=o,y=o)+p(x=ty = i)+p(x = 2,r=2)+p(X=3.y=3)=(0・4)'(0・3)' + C"0.6(0.4)-C"0.7(03)- +C；(O・6)2O・4C；(O・7)2O・3 + (O・6)3(O・7)3=0.32076⑵ p(x>y)= p(x = i,r=o)+p(x = 2,y=o)+p(x=3,r = o)+p(x = 2,y=i)+p(x=3,y = i)+p(x=xr = 2)=C；O・6(O・4)2(O・3)3 +C；(O・6)2O・4(O・3)3 +(O・6)3(O・3)3 +C；(O・6)2O・4C；O・7(O・3)2 +(O・6)3C；O・7(O・3)2 + (O・6)3C；(O・7)2O・37•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设齐飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑逍的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200八设机场需配备W条跑逍，则有P(X > TV) <0,01200为 C 爲(0.02)气0.98严"vO.Olt-N'+i利用泊松近似A = np = 200 X 0.02 = 4. » 宀4*P(X>N)= Z ——<0.01 jt-A+i k!査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.8.已知在五重伯努利试脸中成功的次数X 满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为P,则P(X=4) = Ct(-/- = —. '3 3 2439.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当人发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 所以进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率：进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. (1)设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X~6(5,) 5P(X >3) = XC ；(O ・3)Z(O ・7)I =0.16308(2)令y 表示7次独立试验中人发生的次数，则Y-b (7r)P{Y > 3) = 2^C ；(03/ (0・7)F = 0.35293X-310•某公安局在长度为f 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(坨)t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).<1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率..3【解】(1) P(X=0) = e"^5(2) P(X >1) = 1-P(X =0) = l-e"^11•设 P{X=k}=C*/(l-p)--\ 后012P{y=m}=CS"(l - 〃)m=0,1,23/4分别为随机变Sx, y 的概率分布，如果已知P{xMi}=#,试求p{Y^i},54【解】因为P(X>l) = j,故P(X<1) = £.P(X<1) = P(X=O) = (1 — “)2(1-卩)冷,P （r> I ） = l-P （r = 0） = 1-（1-/?/= — «.0.802478112•某教科书岀版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有 5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则XF （2000,・利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2p(x= 5” ^^ = 0.00185!3 I13•进行某种试验，成功的概率为一,失败的概率为丄•以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X =12…人…P(X = 2) + P(X=4)+…+ P(X=2幻 + … =1.2+(1/2+...+(丄严4 4 4 4 4 43 4 1 =—• =— 4-（$5414. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为，毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险 公司领取2000元赔偿金•求： （1） 保险公司亏本的概率；（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b （25g,则所求概率为故得从而P(2000X >30000) = P(X>15) = \-P(X < 14)由于I)很大，p很小• A=np=5.故用泊松近似，有M e时P(X > 15)^1-工^^总0・000069*•<)k!(2) P(保险公司获利不少于10000)=P(3OOOO-2OOOX > 10000) = P(X < 10)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000-2000X > 20000) = P(X <5)5 ■呻迄一“.6窗即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为/(x)=^e ni, 8*+8. 求：(1〉人值：(2) P{O<X<1}; (3)F(x)・【解】(1)由/(x)d.r = 1得=J = 2J0 Ae"*d.v = 2A/?(0 < X < 1)=丄[「dx =丄(1 一 e")2" 2当 x<0 时，F(x) = J — e*dv = — e"2 2当心0时，F(x) = J ■^e~'^Av = J ¥&+[£「血十产F(x) =17•在区间[0, o]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在[0, g] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X-U[0.o],密度函数为八1 2P(X>3) = J^-dv = -故所求概率为厂C 净出；(討=等19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布£(-).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P{g?l}・ 【解】依题意知X~E(-) •即英密度函数为^5-e 蔦 X > 0 0,x<0该顾客未等到服务而离开的概率为1 2P(X>10) = p-e"'dLv = e-'y~b(5・r),即其分布律为f(x) = 一，0<x<« a0, 其他故当xvO 时F (X)=0当 0 WxWo 时 F(x)=『f(t}dt = J ； yaM =J^idZ = - 当 x>a 时，F (X)=1 即分布函数0,x<0F(x)=Q<x<a x>a18•设随机变量X 在［2, 值大于3的概率. 【解】XP ⑵5),即5］上服从均匀分布•现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测2<%<5/W = b'0, 其他P （y = £） = C （mi-r ）Lk =0,12345P （r> I ） = l-P （y = 0） = l-（l-e--/=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从W （40, 102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从W （50, 4?）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些 （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】（1）若走第一条路，X-N （40. 102）,则若泄:第二条路，X-N （50, 42）,则p(X<60) = Px-40 60-40----- < ------- 10 10= 0(2) = 0.97727P(X<60) = P(X-5Q 60-50、---------- <I 4= 0(2.5) = 0.9938 卄故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 X"/（40, 102〉，贝I]P{X < 45) = pf X二° <45 j = 0(0.5) = 0.6915若 X~N (50, 42〉，则p(X <45) = P(X-5Q 45-501---------- <I 4= 0(-1.25)= 1-0(1.25) = 0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3, 22),CD 求 P{2<X<5}» P{ 4<X<10}> P{|X| >2}, P{X>3}; (2)确总 c 使 P{X>c}=P{X^c}.【解】（1）P （2<X<5） = P=0(1) — 0 —一 =0 ⑴-1 + 0 -I 2丿 (2 = 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328 12P(-4<X <10) = P(-4-3X-3 10-3、 -------- < ----------- < -----------I 2 22 J2 12丿=0.9996P(l Xl>2) = P(X>2) + P(X <-2)P(X>3) = P(^^^>—) = 1-0(0) = 0.52 2⑵C=322•由某机器生产的螺栓长度（cm ） X-N C ）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品 的概率•=1-0(2) + 0(-2) = 2[1- 0(2)] =0.045623•—工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160, 02）,若要求P{120VXW200} 允许。
最新 年月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案
1 / 10全国2018年7月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197试卷来自百度文库 答案由绥化市馨蕾園的王馨磊导数提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（ ） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3}D ．{1，2，3，4}.B AB A B A B A B A 中的元素，故本题选中去掉集合合说的简单一些就是在集的差事件，记作与事件不发生”为事件发生而解：称事件“-2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12.31789105678;844104104848410C C C P C C ，故选本题的概率件正品中取，共有从件中没有次品，则只能若种取法；件，共有件产品中任取解：从=⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 3．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =⋃=，则()P B =（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.52 / 10()()()()()()()()()()()()()().5.04.04.07.0D B P B P B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P A P AB P B A ，故选，解得代入数值，得，所以，相互独立，，解：=-+=-+=-+=⋃= 4．设某实验成功的概率为p ，独立地做5次该实验，成功3次的概率为（ ）A ．35CB ．3325(1)C p p -C ．335C pD ．32(1)p p -()()()()()().1335.,...2,1,0110~23355B p p C P k n n k p p C k P k A p p A n p n B X kn kk n n ，故选，所以，本题，次的概率恰好发生则事件，的概率为次检验中事件重贝努力实验中，设每定理：在，解：-====-=<<-5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（ ）A ．1,11,()20,,Y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 B ．1,11,()0,,Y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他C ．1,01,()20,,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D ．1,01,()0,,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他()()[]()()()()()()[]()[][][]..01,121.01,1211.01,1212121.01,12121211,1212112010101110~A y y y y f y f y y h y h f y f y h y y h y y x x y x x f U X X Y X Y X 故选其他，，其他，，其他，，，得其他，，由公式，，即，其中，解得由其他，，，，，，解：⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈⨯=⎪⎩⎪⎨⎧-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎩⎨⎧-∈'=='+=-∈+=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=3 / 106．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ）则c =A ．112B ．16C ．14 D ．13()().611411211214161.1,...2,1,0B c c P j i P Y X jij iij ，故选，解得由性质②，得②，①：的分布律具有下列性质，解：==+++++==≥∑∑7．已知随机变量X 的数学期望E (X )存在，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．E [E (X )]=E (X ) B ．E [X +E (X )]=2E (X ) C ．E [X -E (X )]=0D ．E (X 2)=[E (X )]2()()()().D C B A XE X E E X E X 均恒成立，故本题选、、由此易知，即，期望的期望值不变，的期望是解：=8．设X 为随机变量2()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤（ ）A ．14 B ．518 C ．34D ．109364 / 10()()()()(){}(){}.416961091001092222A X P X D X E X P X E X E X D ，故选所以；切比雪夫不等式：，解：=≤≥-≤≥-=-=-=εε 9．设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P {X =1}=p ，P {X =0}=q ，其中0<p <1，q =1-p ，则p 的矩估计值为（ ） A ．1/5 B ．2/5 C ．3/5D ．4/5()()().53ˆ5301ˆC px p q p X E x X EX E x ，故选，所以，本题，，即估计总体均值用样本均值矩估计的替换原理是：解：===⨯+⨯== 10．假设检验中，显著水平α表示（ ） A ．H 0不真，接受H 0的概率 B ．H 0不真，拒绝H 0的概率 C ．H 0为真，拒绝H 0的概率D ．H 0为真，接受H 0的概率{}.00C H H P ，故选为真拒绝即拒真，表示第一类错误，又称解：显著水平αα=二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)《概率论与数理统计》习题及答案选择题
·151·《概率论与数理统计》习题及答案选 择 题单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ）. （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D ）“甲种产品滞销”.解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C.2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）.（A ）()A B B A B -=;（B ）()AB B A -=; （C ）()A B AB ABAB -=;（D ）()()()A B C A C B C -=--.解：()()()A B B AB B A B BB A B -=== ∴A 对. ()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠ B 不对()()().AB AB A B B A ABAB -=--= C 对 ∴选B.同理D 也对.3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-； （B ）()()()1P C P A P B ≥+-； （C ）()()P C P AB =； （D ）()().P C P AB =解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ⊂⇒≥=+-≥+-∴ 选B.4．设(),(),()P A a P B b P AB c ===，则()P AB 等于（ ）.（A ）a b -； （B ）c b -； （C ）(1)a b -； （D ）b a -. 解：()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P AB c b =-=-=--+=-·152· ∴ 选B.5．设,A B 是两个事件，若()0P AB =，则（ ）.（A ）,A B 互不相容； （B ）AB 是不可能事件； （C ）()0P A =或()0P B =； （D ）AB 未必是不可能事件. 解：()0P AB AB =⇒=∅/. ∴ 选D.6．设事件,A B 满足AB =∅，则下列结论中肯定正确的是（ ）. （A ）,A B 互不相容； （B ）,A B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=. 解：,A B 相容 ∴ A 不对. ,,A B B A AB ===Φ ∴ B 错. ()0AB P AB =Φ⇒=，而()()P A P B 不一定为0 ∴ C 错. ()()()()P A B P A P AB P A -=-=. ∴ 选D. 7．设0()1,(|)(|)1P B P A B P A B <<+=，则（ ） （A ）,A B 互不相容； （B ）,A B 互为对立； （C ）,A B 不独立； （D ）,A B 相互独立.解：()()()()()1()1()()()1()()1()P AB P AB P AB P A B P AB P A B P B P B P B P B P B P B -=+=+=+-- ()(1())()(1()()())()(1())P AB P B P B P A P B P AB P B P B -+--+=-⇒22()()()()()()()P B P B P AB P B P A P B P B -=+--()()()P AB P A P B ∴= ∴ 选D. 8．下列命题中，正确的是（ ）. （A ）若()0P A =，则A 是不可能事件； （B ）若()()()P A B P A P B =+，则,A B 互不相容； （C ）若()()1P AB P AB -=，则()()1P A P B +=；（D ）()()()P A B P A P B -=-. 解：()()()()P AB P A P B P AB =+-()()()()1P A B P AB P A P B ⇒-=+=由()0P A A =⇒=Φ/， ∴ A 、B 错.只有当A B ⊃时()()()P A B P A P B -=-，否则不对. ∴ 选C.·153·9．设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列各式中正确的是（ ）. （A ）()()P AB P A =； （B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-. 解：()()B A AB A P A B P A ⊂⇒=⇒= ∴选A.10．设,A B 是两个事件，且()(|)P A P A B ≤；（A ）()(|)P A P A B =； （B ）()0P B >，则有（ ） （C ）()(|)P A P A B ≥； （D ）前三者都不一定成立.解：()(|)()P AB P A B P B =要与()P A 比较，需加条件. ∴选D. 11．设120()1,()()0P B P A P A <<>且1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+，则下列等式成立的是（ ）. （A ）1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+； （B ）1212()()()P A B A B P A B P A B =+； （C ）1212()(|)(|)P A A P A B P A B =+；（D ）1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+. 解1：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-12(|)(|)P A B P A B =+ 1212(|)0()0P A A B P A A B ⇒=⇒=12121212()()()()()()P A B A B P A B P A B P A A B P A B P A B =+-=+ ∴ 选B. 解2：由1212{|}(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 得1212()()()()()P A B A B P A B P A B P B P B +=可见 1212()()()P A B A B P A B P A B =+∴ 选B.12．假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则（ ）. （A ）B 是必然事件； （B ）()1P B =； （C ）()0P A B -=； （D ）A B ⊂.解：()(|)1()()()()0()P AB P B A P AB P A P A P AB P A ==⇒=⇒-=()0P A B ⇒-= ∴ 选C.13．设,A B 是两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是( ).·154· （A ）()(|)P A P A B <； （B ）()(|)P A P A B ≤； （C ）()(|)P A P A B >； （D ）()(|)P A P A B ≥.解：()()(|)()()()A B P AB P A P A B P A P B P B ⊂====≥ ()()0()1A B P A P B P B ⊂⇒≤<< ∴选B （或者：,()()()(|)(|)A B P A P AB P B P A B P A B ⊂==≤）14．设12()0,,P B A A >互不相容，则下列各式中不一定正确的是（ ）. （A ）12(|)0P A A B =； （B ）1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+； （C ）12(|)1P A A B =； （D ）12(|)1P A A B =.解：1212()0P A A A A =⇐=Φ1212()(|)0()P A A B P A A B P B == A 对.121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-12(|)(|)P A B P A B =+ B 对. 121212(|)(|)1(|)P A A B P A A B P A A B ==-121(|)(|)1P A B P A B =--≠ C 错.121212(|)(|)1(|)101P A A B P A A B P A A B ==-=-= D 对.∴ 选C.15．设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）. （A ）A B 与C ； （B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ； （D ）AB 与C . 解：[()]()()()()(1())(1())()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C ===--[1(()()()())]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =-+-= A 对.()[()]()()()()P ACC P AC C P AC CC P AC P C P AC ===+-()()()P C P AC P C =≠ AC ∴与C 不独立 ∴ 选B.16．设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（ ）.（A ）A 与BC 独立； （B ）AB 与AC 独立；（C ）AB 与AC 独立； （D ）A B 与A C 独立.·155·解：,,A B C 两两独立， ∴若,,A B C 相互独立则必有()()()()()()P ABC P A P B P C P A P BC == ∴A 与BC 独立.反之，如A 与BC 独立则()()()()()()P ABC P A P BC P A P B P C == ∴选A. 17．设,,A B C 为三个事件且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）. （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立； （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立； （C ）若()1P C =，则A C -与A 也独立；（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 解：()()(),()1P AB P A P B P C ==∴概率为1的事件与任何事件独立AC ∴与BC 也独立. A 对. [()][()]()P AC B P A C B P AB BC ==()()()()()P AB P BC P ABC P A C P B =+-= ∴B 对.[()]()()()()P A C A P ACA P AC P A P C -===()()P A P AC =∴ C 对 ∴ 选D （也可举反例）.18．一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（ ）. （A ）121p p --； （B ）121p p -； （C ）12121p p p p --+； （D ）12(1)(1).p p -+- 解：设A =成品零件，i A =第i 道工序为成品 1,2.i = 11()1P A p =- 22()1P A p =-1212()()()()P A P A A P A P A ==12(1)(1)p p =-- 12121p p p p =--+ ∴ 选C.19．设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（ ）.（A ）44610(1)C p p -； （B ）3469(1)C p p -； （C ）4459(1)C p p -； （D ）3369(1).C p p -解：说明前9次取得了3次成功 ∴ 第10次才取得第4次成功的概率为33634699(1)(1)C p p p C p p -=-∴ 选B.20．设随机变量X 的概率分布为(),1,2,,0kP X k b k b λ===>，则·156· （ ）.（A ）λ为任意正实数； （B ）1b λ=+；（C ）11b λ=+； （D ）11b λ=-. 解：111()111k kk k k b P X K b b b λλλλλλ∞∞∞=========--∑∑∑ ∴ 11bλ=+ 选C .21．设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则下列各式正确的是（ ）.（A ）0()1f x ≤≤； （B ）()()P X x f x ==； （C ）()()P X x F x ==； （D ）()()P X x F x =≤. 解：()()()F x P X x P X x =≤≥= ∴ 选D. 22．下列函数可作为概率密度的是（ ）. （A ）||(),x f x ex R -=∈； （B ）21(),(1)f x x R x π=∈+； （C）22,0,()0,0;xx f x x -⎧≥=<⎩（D ）1,||1,()0,|| 1.x f x x ≤⎧=⎨>⎩解：A ：||0222x x x e dx e dx e dx +∞+∞+∞----∞===⎰⎰⎰∴ 错.B ：211arctan []1(1)22dx x x πππππ+∞+∞-∞-∞==+=+⎰ 且 21()0(1)f x x R x π=≥∈+ ∴ 选B. 23．下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）. （A ）21()1F x x =+； （B ）11()arctan 2F x x π=+； （C ）1(1),0()2,0;x e x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩·157·（D ）()()x F x f t dt -∞=⎰，其中() 1.f t dt +∞-∞=⎰解：对A ：0()1F x <≤，但()F x 不具有单调非减性且()0F +∞= ∴A 不是. 对B ：arctan 22x ππ-≤≤∴ 0()1F x ≤≤.由arctan x 是单调非减的 ∴ ()F x 是单调非减的.11()()022F ππ-∞=+⋅-= 11()122F ππ+∞=+⋅=.()F x 具有右连续性. ∴ 选B.24．设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）.（A ）32,55a b ==-； （B ）22,33a b ==； （C ）13,22a b =-=； （D ）13,22a b ==.解：12()()()0F aF bF -∞=-∞--∞=，()1F a b +∞=-=，只有A 满足∴ 选A25．设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()(),()f x f x F x -=是X 的分布函数，则对任意实数a 有（ ）. （A ）0()1()a F a f x dx -=-⎰；（B ）01()()2a F a f x dx -=-⎰；（C ）()()F a F a -=；（D ）()2()1F a F a -=-. 解：()()()()a a a F a f x dx f du f u du μ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰()()a f x dx f x +∞-∞-∞=-⎰⎰001(()())a dx f x dx f x dx -∞=-+⎰⎰00111()()22a a f x dx f x dx =--=-⎰⎰由()2()1f x dx f x dx +∞+∞-∞==⎰⎰001()()2f x dx f x dx +∞-∞⇒==⎰⎰∴ 选B.26．设随机变量2~(1,2)X N ，其分布函数和概率密度分别为()F x 和·158· ()f x ，则对任意实数x ，下列结论中成立的是（ ）.（A ）()1()F x F x =--； （B ）()()f x f x =-； （C ）(1)1(1)F x F x -=-+； （D ）11122x x F F -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：2~(1,2)()X N f x ∴以1x =为对称轴对称.(1)(1)P X x P X x ∴>+=≤-即 (1)1(1)1(1)F x P X x F x -=-≤+=-+ ∴ 选C.27．设22~(,4),~(,5)X N Y N μμ，设1(4)P X p μ≤-=，2(5)P Y p μ≥+=，则（ ）.（A ）对任意实数μ有12p p =； （B ）12p p <；（C ）12p p >； （D ）只对μ的个别值才有12.p p =解：14(4)(1)1(1)4p P X μμμ--⎛⎫=≤-=Φ=Φ-=-Φ⎪⎝⎭25(5)1(5)11(1)5p P Y P Y μμμμ+-⎛⎫=≥+=-<+=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭∴ 12p p = ∴ 选A （or 利用对称性）28．设2~(,)X N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<的值（ ）.（A ）单调增大； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定.解：1)1(2)1()1()(|)(|-Φ=-Φ-Φ=+<<-=<-σμσμσμX P X P ∴ 不随σ变 ∴ 选C.29．设随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则35-=X Y 的分布函数 )(y F Y 为（ ）.（A ）)35(-y F X ； （B ）3)(5-y F X ； （C ）⎪⎭⎫⎝⎛+53y F X ； （D ）.3)(51+y F X解：))3(51()35()()(+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Y ⎪⎭⎫⎝⎛+=53y F X ∴ 选C.·159·30．设X 的概率密度为)1(1)(2x x f +=π，则X Y 2=的概率密度为（ ）. （A ）)41(12y +π； （B ）2)4(1y +π；（C ）)4(22y +π； （D ）)1(22y +π.解：⎪⎭⎫⎝⎛=≤=≤=≤=2)2()2()()(y F y X P y X P y Y P y F X Y∴ )4(2)41(121221)(22y y y f y f X Y +=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ ∴ 选C. 31．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为212111P X - 212111PY -则下列式子正确的是（ ）.（A ）Y X =； （B ）0)(==Y X P ；（C ）21)(==Y X P ； （D ）1)(==Y X P . 解：A 显然不对. )1,1()1,1()(==+-=-===Y X P Y X P Y X P2121212121)1()1()1()1(=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P ∴ 选C.32．设)1,1(~),1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则（ ）.（A ）21)0(=≤+Y X P ； （B ）21)1(=≤+Y X P ； （C ）21)0(=≤-Y X P ； （D ）21)1(=≤-Y X P .解：)1,1(~)1,0(~N Y N X 且独立 ∴ )2,1(~N Y X +21)0()1()1(=Φ=>+=≤+Y X P Y X P ∴ 选B. 33．设随机变量2,1,412141101~=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i X i且满足1)0(21==X X P ，则==)(21X X P （ ）.·160· （A ）0； （B ）1/4； （C ）1/2； （D ）1. 解：(2121P∴ )0()1()(212121==+-====X X P X X P X X P )1(21==+X X P0000=++= ∴ 选A.34．设随机变量X 取非负整数值，)1()(≥==n a n X P n ，且1=EX ，则a 的值为（ ）.（A ）253+； （B ）253-； （C ）253±； （D ）5/1.解：∑∑∑∑∞=∞=∞===-∞='-='====1111)1()(1n n n aX n aX nn n nX a X a naa naEX2)1(11a ax x a a X -='⎪⎭⎫⎝⎛-==∴ 253,013,)1(22±==+--=a a a a a ，但1<a . ∴ 253-=a . ∴ 选B. 35．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=,1,0,1,11)(4x x x x F则X 的数学期望为（ ）.（A ）2； （B ）0； （C ）4/3； （D ）8/3.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-114)(5x x xx f3541114144(3dx EX x dx x x x ∞∞∞-=⋅==⨯-⎰⎰34= ∴ 选C.36．已知44.1,4.2),,(~==DX EX p n B X ，则二项分布的参数为（ ）. （A ）6.0,4==p n ； （B ）4.0,6==p n ； （C ）3.0,8==p n ； （D ）1.0,24==p n .解：4.06.04.244.144.14.2=⇒=÷=⇒⎭⎬⎫====p q npq DX np EX 6=n∴ 选B.37．已知离散型随机变量X 的可能值为1,0,1321==-=x x x ，且89.0,1.0==DX EX ，则对应于321,,x x x 的概率321,,p p p 为（ ）.（A ）5.0,1.0,4.0321===p p p ；（B ）1230.1,0.1,0.5p p p ===； （C ）4.0,1.0,5.0321===p p p ；（D ）1230.4,0.5,0.5.p p p ===⎪⎭⎪⎬⎫+==+=⇒-=+-==312222319.0)1.0(89.0)(1.0p p EX EX EX DX p p EX 1230.40.10.5p p p ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩ ∴ 选A.38．设)1,1(~),1,2(~-N Y N X ，且Y X ,独立，记623--=Y X Z ，则~Z __________.（A ）)1,2(N ； （B ）)1,1(N ； （C ）)13,2(N ； （D ）)5,1(N . 解：)1,1(~)1,2(~-N Y N X 且独立∴ 2)623(=--=Y X E EZ .949413DZ DX DY =+=+=.又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，∴ ~(2,13)Z N ∴ 选C.39．设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为（ ）.（A ）14； （B ）6； （C ）12； （D ）4. 解：),cov(2)(Y X DY DX Y X D -+=-， 246),cov(=-=-=EXEY EXY Y X 62219)(=⨯-+=-Y X D . ∴ 选B.40．设随机变量X 的方差存在，则（ ）.（A ）22)(EX EX =； （B ）22)(EX EX ≥； （C ）22)(EX EX >； （D ）22)(EX EX ≤.解：0)(22≥-=EX EX DX ∴ 22)(EX EX ≥. ∴ 选D. 41．设321,,X X X 相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令)(31321X X X Y ++=，则2Y 的数学期望为（ ）.（A ）λ31； （B ）2λ； （C ）231λλ+； （D ）λλ+231.解：321X X X 独立)(~λP )3(~)(321λP X X X ++∴λ3)()(321321=++=++X X X D X X X E3)(91)](31[321321λ=++=++X X X D X X X D 2222)(λ-=-=EY EY EY∴ 322λλ+=EY ∴选C.42．设Y X ,的方差存在，且EXEY EXY =，则（ ）.（A ）DXDY XY D =)(； （B ）DY DX Y X D +=+)(；（C ）X 与Y 独立； （D ）X 与Y 不独立. 解：),cov(2)(Y X DY DX Y X D ++=+DY DX EXEY EXY DY DX +=-++=)(2 ∴选B.43．若随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+，且0>DXDY ，则必有（ ）.（A ）Y X ,独立； （B ）Y X ,不相关； （C ）0=DY ； （D ）0)(=XY D .解：Y X P Y X Y X D Y X D ,00),cov()()(⇒=⇒=⇒-=+不相关. ∴ 选B.44．设Y X ,的方差存在，且不等于0，则DY DX Y X D +=+)(是YX ,（ ）.（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件； （B ）独立的必要条件，但不是充分条件； （C ）不相关的必要条件，但不是充分条件； （D ）独立的充分必要条件.解：由()cov(,)00D X Y DX DY X Y X ρ+=+⇔=⇔=⇔与Y 不相关 ∴ DY DX Y X D +=+)(是不相关的充要条件. A 、C 不对. 由独立DY DX Y X D +=+⇒)(，反之不成立 ∴ 选B.45．设Y X ,的相关系数1=XY ρ，则（ ）（A ）X 与Y 相互独立； （B ）X 与Y 必不相关； （C ）存在常数b a ,使1)(=+=b aX Y P ； （D ）存在常数b a ,使1)(2=+=b aX Y P . 解：⇔=1||XY ρ存在b a ,使1)(=+=b aX Y P ∴ 选C.46．如果存在常数)0(,≠a b a ，使1)(=+=b aX Y P ，且+∞<<DX 0，那么Y X ,的相关系数ρ为（ ）.（A ）1； （B ）–1； （C ）||1ρ=； （D ）||1ρ<. 解：aDX X X a b aX X Y X ==+====),cov(),cov(),cov(1以概率 DX a DY 21以概率==== ||||),cov(1a a DX a aDX DYDX Y X XY=====⋅=以概率ρ||1ρ∴=，以概率1成立. ∴ 选C.47．设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为则（ ）.（A ）Y X ,不独立； （B ）Y X ,独立； （C ）Y X ,不相关； （D ）Y X ,独立且相关.解：1.0)0,0(===Y X P)2.01.0)(25.005.01.0()0()0(+++===Y P X P 12.03.04.0=⨯= )0()0()0,0(==≠==Y P X P Y X P ∴ X 与Y 不独立. ∴ 选A.48．设X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C 和0>ε，必有（ ）.（A ）εε/||)|(|C X E C X P -=≥-； （B ）εε/||)|(|C X E C X P -≥≥-； （C ）εε/||)|(|C X E C X P -≤≥-； （D ）2/)|(|εεDX C X P ≤≥-. 解：||||||(||)()()X C X C X C P X C f x dx f x dx εεεε-≥-≥--≥=≤⎰⎰||1()||X C f x dx E X C εε+∞-∞-≤=-⎰∴ 选C.49．设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P （ ）.（A ）25.0≤； （B ）75.0≤； （C ）75.0≥； （D ）25.0≥. 解：75.0431002511)10|(|2==-=-≥<-εDXEX X P ∴ 选C.50．设 ,,21X X 为独立随机变量序列，且i X 服从参数为λ的泊松分布，,2,1=i ，则（ ）.（A ）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ；（B ）当n 充分大时，∑=ni iX1近似服从标准正态分布； （C ）当n 充分大时，∑=ni iX1近似服从),(λλn n N ；（D ）当n 充分大时，)()(1x x XP ni iΦ≈≤∑=.解：由独立同分布中心极限定理∑∞→=⇒nn i iX1近似服从),(λλn n N∴ 选C51．设 ,,21X X 为独立随机变量序列，且均服从参数为λ的指数分布，则（ ）.（A ）)(/lim 21x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ； （B ）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ；（C ）)(/11lim 21x x X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ； （D ）).(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ解：λ1=i EX 21λ=i DX λnX E n i =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1 21λn X D n i =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑由中心极限定理⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑∞→x n nX P n i n 21lim λλ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=∑∞→x n n X P n i n 1lim λ)(x Φ=. ∴ 选B.52．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是（ ）.（A ）415X X +； （B ）41ii Xμ=-∑；（C ）σ-1X ； （D ）∑=412i iX.统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.53．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21 为来自X 的样本，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k X P （ ）.（A ）p ； （B ）p -1；（C ）k n k k n p p C --)1(； （D ）k n k k n p p C --)1(.解：n X X X 21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=ni ip n B X1),(~即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n-====- ∴ 选C.54．设n X X X ,,,21 是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）.（A ）)1(~/-n t S X ； （B ）)1,0(~N X ；（C ）)1(~)1(22--n S n χ； （D ）)1(~-n t X n .解：∑==ni i X n X 11 0=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(222--n S n χσ )1(~)1(1)1(2222--=-∴n S n S n χ)1(~-n t n SX . ∴ A 错.∴ 选C.55．设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 1112232222)(11,)(1,)(11μ，∑=-=n i i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）.（A ）1/1--=n S X T μ； （B ）1/2--=n S X T μ；（C ）nS X T /3μ-=； （D ）n S X T /4μ-=解：)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ)1,0(~N n X σμ-)1(~1)(1122----=∑=n t n X XnX T ni iσσμ)1(~11/)(222---=--=n t n S X n nS n X T μμ ∴ 选B.56．设621,,,X X X 是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2DS 的值为（ ）.（A ）431σ； （B ）451σ； （C ）452σ； （D ）.522σ 解：2126,,,~(,),6X X X N n μσ= ∴)5(~5222χσS由2χ分布性质：1052522=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σS D即442522510σσ==DS ∴ 选C.57．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21 μ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）1X 是μ的无偏估计量； （B ）1X 是μ的极大似然估计量； （C ）1X 是μ的一致（相合）估计量； （D ）1X 不是μ的估计量. 解：11EX EX X μ==∴是μ的无偏估计量.∴ 选A.58．设n X X X ,,,21 是总体X 的样本，2,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（ ）.（A ）2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）2S 与X 独立；（C ）)1(~)1(222--n S n χσ； （D ）2S 是2σ的无偏估计量. 解：已知总体X 不是正态总体 ∴（A ）（B ）（C ）都不对.∴ 选D.59．设n X X X ,,,21 是总体),0(2σN 的样本，则（ ）可以作为2σ的无偏估计量.（A ）∑=n i i X n 121； （B ）∑=-n i i X n 1211； （C ）∑=n i i X n 11； （D ）∑=-ni i X n 111. 解：2222)(,0σ==-==i i i i i EX EX EX DX EX22121)1(σσ=⋅=∑n nX n E n i∴ 选A.60．设总体X 服从区间],[θθ-上均匀分布)0(>θ，n x x ,,1 为样本，则θ的极大似然估计为（ ）（A ）},,max {1n x x ； （B ）},,min{1n x x （C ）|}|,|,max {|1n x x （D ）|}|,|,min{|1n x x解：1[,]()20x f x θθθ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它似然正数∏==ni i n x f x x L 11),();,,(θθ 1,||1,2,,(2)0,i nx i n θθ⎧≤=⎪=⎨⎪⎩其它此处似然函数作为θ函数不连续 不能解似然方程求解θ极大似然估计∴ )(θL 在)(n X =θ处取得极大值 |}|,|,max{|ˆ1nn X X X ==θ ∴ 选C.。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
概率论与数理统计试题及答案(自考)
概率论与数理统计试题及答案（自考）一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】：A解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。
2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】：B解析：无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。
A、sB、C、D、【正确答案】：C解析：样本均值是总体均值的无偏估计量。
故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。
A、B、C、D、【正确答案】：B解析：5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】：B解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。
6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】：A解析：本题考察假设检验“两类错误”内容。
选择A。
7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】：D解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。
计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。
8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】：B解析：样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。
概率论与数理统计试题与答案(1_2)
12分
四、(本题12分)设二维随机变量 联合概率密度为
=
(1) 确定常数 .
(2) 求边缘概率密度 及 ,并问 与 是否独立,为什么?
(3) 求 .
[解答]
(1)由密度函数的性质有
故 .3分
(2)如果 ,则 ;
如果 ,则
故 的边缘密度数为
5分
如果 ,则 ;
如果 ,则
故 的边缘密度数为
Hale Waihona Puke 7分由于 ,故 与 相互独立..9分
解 (1) 3分
6分
(2) 9分
12分
六、(本题12分)设随机变量 的密度函数为
= 其中 为未知参数, 是 的简单随机样本, 是 的样本观察值,求参数 的极大似然估计值.
解 似然函数
.4分
取对数
6分
令 得 10分
所以 的极大似然估计值为 12分
七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命 其中 都是未知的参数,现在观测25个样本,得样本观察值 计算得 .试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平 下是否为 (小时)?
小时.10分
(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值
,
于是拒绝域为 5分
(4) 根据样本观察值计算统计量 的观察值:由已知 ,故
8分
(5)判断: 由于 ,故接受H0,即这种电子元件的平均使用寿命为
小时.10分
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、 或 2、 3、
4、 5、-6,256、0.57、0.875
8、 9、 10、
则 0.875.
8、设 与 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
,
则 的联合概率密度 =.
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0。
3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.9解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =,即()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调,反函数为()h y所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=,-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ。
概率论与数理统计试题及答案 (2)
一.选择题（18分，每题3分）1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ）)(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容.2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1。
现任选4人，则4人血型全不相同的概率为： （ ）)(A 0.0024； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0.3. 设~),(Y X ⎩⎨⎧<+=.,0,1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ）)(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量；)(C 不独立同分布的随机变量；)(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 （ ）)(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与．5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ）)(A 32112110351ˆX X X ++=μ； )(B 3212949231ˆX X X ++=μ； )(C 3213216131ˆX X X ++=μ； )(D 32141254131ˆX X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10)(22212n Xini χμχ-=∑=，其拒域为（1.0=α） （ ）)(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(205.02n χχ≥.二. 填空题（15分，每题3分）1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为 .3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .4. 设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数，则=)(Y E ，=)(Y D . 5．设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2σμN X 中抽取的样本，则 概率 =≤-≤∑=)76.1)(37.0(222012012σσX XP ii .5. 设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 . 三. 计算题 （54分，每题9分）1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。
概率论与数理统计试题及答案2[1]2(最终)
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概率论与数理统计 B二．填空题〔每题 3 分，共15 分〕1．设A、B是彼此独立的随机事件，P( A)=0.5, P( B)=0.7, 那么P( A B) = .~ B (n, p), E( ) 3, D()2．设随机变量，那么n=______.E( 2) =_______.( ) 2，那么3．随机变量ξ的期望为E( ) 5 ，尺度差为4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率别离是和0.8. 先由甲射击，假设甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是彼此独立的，那么目标被射中的概率为_________. a5．设持续型随机变量ξ的概率分布密度为 f (x) ，a为常数，那么P( ξ≥0)=_______.x2 2x 2三．( 此题10 分) 将4 个球随机地放在 5 个盒子里，求以下事件的概率(1) 4 个球全在一个盒子里;(2) 恰有一个盒子有 2 个球.四．( 此题10 分) 设随机变量ξ的分布密度为A, 当0≤x≤3f (x) 1 x0, 当x<0或x>3(1) 求常数A; (2) 求P( ξ<1) ；(3) 求ξ的数学期望.五．( 此题10 分) 设二维随机变量( ξ, η) 的联合分布是η＝1 η=2 η＝4 η＝5ξ＝0ξ＝1ξ＝2E( )(1) ξ与η是否彼此独立? (2) 求的分布及；六．( 此题10 分) 有10 盒种子，此中 1 盒抽芽率为90％，其他9 盒为20％. 随机拔取此中 1 盒，从中取出1 粒种子，该种子能抽芽的概率为多少？假设该种子能抽芽，那么它来自抽芽率高的 1 盒的概率是多少？七．( 此题12 分) 某射手参加一种游戏，他有 4 次时机射击一个目标. 每射击一次须付费10 元. 假设他射中目标，那么得奖金100 元，且游戏遏制. 假设4 次都未射中目标，那么游戏遏制且他要付罚款100 元. 假设他每次击中目标的概率为0.3, 求他在此游戏中的收益的期望.八．( 此题12 分) 某工厂出产的零件废品率为2000 个合格品. 问他至少应购置多少零件？5％，某人要采购一批零件，他但愿以95％的概率包管此中有(1.28) (1.65))( 注：,九．( 此题 6 分) 设事件A、B、C彼此独立，试证明 A B 与C彼此独立.某班有50 名学生，此中17 岁5 人，18 岁15 人，19 岁22 人，20 岁8 人，那么该班学生春秋的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量 5 次，数据如下〔单元：℃〕：1820，1834，1831，1816，1824~ N( , 2 ) . 估计假定重复测量所得温度10 ，求总体温度真值μ的的置信区间. (注：(1.96) , (1.65) )答案一．1．〔D 〕、2. 〔D 〕、3. 〔A 〕、4. 〔C 〕、5. 〔C 〕E( 2 )二．1． 、2. n =5、3.、 =29、5. 3/4三．把 4 个球随机放入 5 个盒子中共有 54=625 种等可能成果 --------------3 〔1〕A={4 个球全在一个盒子里 } 共有 5 种等可能成果 , 故分P ( A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分分(2) 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有1 52 4C C30 种方法 ----------------------------------------------------74 个球中取 2 个放在一个盒子里，其他2 个各放在一个盒子里有 12 种方法因此， B={ 恰有一个盒子有 2 个球} 共有 4×3=360 种等可能成果 . 故36072P( B)--------------------------------------------------10 分625 1253A 1f (x)dxdx Aln 4, A四．解：〔1〕---------------------3 分1 xln 4 0 10 A 1P(1) dx Aln 2 〔2〕 -------------------------------6 分1 x2 3Ax3 〔3〕E ( )xf ( x)dx(3 ln 4)dx A[ x ln(1 x)] 01 x0 13 1------------------------------------10分ln 4ln 4五． 解：〔1〕 ξ的边缘分布为0 1 2--------------------------------2 分0. 39η的边缘分布为1 2 4 5---------------------------4 分P(0, 1) 0 .05 P( 0)P( 1), 故ξ 与η 不彼此独立 -------5分因 〔2〕 的分布列为0 1 245810P因此，E( ) 0 1 2 0 .17 45 8 10 3 .16-------10分另解 ：假设 ξ与η彼此独立 , 那么应有P(ξ＝0, η＝1) ＝P(ξ＝0)P( η＝1); P( ξ＝0, η＝2) ＝P(ξ＝0)P( η＝2); P(ξ＝1, η＝1) ＝P(ξ＝1)P( η＝1); P( ξ＝1, η＝2) ＝P(ξ＝1)P( η＝2); 因此，P( P(0, 1,1) P( 1)P(0, 1,2) P( 2)P(0) 1)0 .05但，故 ξ 与η 不彼此独立。
概率论与数理统计(二) 自考试题及答案
概率论与数理统计(二) 自考试题及答案一、填空题（共14题，共28分）1.一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=2.丢一颗骰子.A：出现奇数点，则A=（）；B：数点大于2，则B=（）3.一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A=（）；B：两次出现同一面，则=（）；C：至少有一次出现正面，则C=（）4.一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=5.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A 、B、C都不发生表示为：6.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A与B都发生,而C不发生表示为：7.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A与B都不发生,而C发生表示为：8.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中最多二个发生表示为：9.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中至少二个发生表示为：10.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中不多于一个发生表示为：11.设S{x:0x5},A{x:1x3},B{x:24}：则12.设S{x:0x5},A{x:1x3},B{x:24}：则AB=13.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是14.已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则二、问答题（共9题，共54分）15.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
16.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。
17.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求正好有2个女同学的概率18.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求最多有2个女同学的概率19.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求至少有2个女同学的概率20.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
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概率论与数理统计B二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = .2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ）二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分（2）ξη⋅的分布列为因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2); 因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P 但10.012.003.005.0≠，故ξ与η不相互独立。
六．解：由全概率公式及Bayes 公式P (该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分 P (该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分七．令A k ={在第k 次射击时击中目标}，A 0={4次都未击中目标}。
于是P (A 1)=0.3; P (A 2)=0.7×0.3=0.21; P (A 3)=0.72×0.3=0.147P (A 4)= 0.73×0.3=0.1029; P (A 0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。
-------------------------------------------------------------------------------------------8分因此，65.26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE--------------------12分八．解：设他至少应购买n 个零件，则n ≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n 很大，故B(n,p)近似与N (np ,npq ) ------------4分由条件有(2000)10.95Pξ≥≈-Φ=-------------------------------------------8分因(1.65)0.95Φ= 1.65=-，解得n=2123,即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分 九． 证：因A 、B 、C 相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-------2分()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+----------------------------4分[()()()()]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =+-=故A B 与C 相互独立. -------------------------------------------------------6分一、填空题（每小题4分，共40分）1、 设A 与B 为互不相容的两个事件，0)B (P >，则=)|(B A P 0 。
2、 事件A 与B 相互独立，,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。
3、 设离散型随机变量X 的分布函数为0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ，则=a61 =b , 65。
4、 某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。
5、 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从“0-1”分布，4.0=p ；Y 服从2=λ的泊松分布)2(π，则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、 已知,31,9)Y (D ,16)X (D XY =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、 设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
8、 设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数，从总体X 中抽取容量为16的样本，样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。
（96.1975.0=u ）9、 在假设检验中，显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指___原假设为真却拒绝原假设____________。
10、若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
二、 计算题（每小题10分，共60分）1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。
求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。
解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：73C C C 281216=…………………（2）第二次才取得次品的概率为：1437826＝⨯⨯……………………… （3）令1A 表示“第一次取出的是正品” ，2A 表示“第一次取出的是次品” B 表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为：4182718672)A (P )A |B (P )A (P )A |B (P )B (P 2211=⨯+⨯=+= ……………………………2、 （10分）设随机变量X 的概率密度=)(x f 1+Ax 20<≤x 0 其它求：（1）A 的值；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）}.5.25.1{<<x P 解：（1）由⎰+∞∞-=1dx )x (f 可得，⎰-=⇒=+2021A 1dx )1Ax (……………… 所以，=)(x f 1x 21+-20<≤x 0 其它（2）=)x (F 0， 0x <x x 412+-， 20<≤x …………………. 1 2x ≥（3）⎰=+-=<<25.1161dx )1x 21(}5.2x 5.1{P …………………..3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X 和Y 的联合分布律；（2）X 和Y 的边缘分布律。