历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如

右图所示，则相应的俯视图可以为

2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23

==,则棱锥

AB BC

-的体积为。

O ABCD

3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83

3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =

从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()1,0,0A ，()03,0B ，，()

1,3,0C -，()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,

0,{

n AB n PB ⋅=⋅=

即 3030

x y y z -+=-=

因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC 的法向量为m ，则

m 0,

m 0,

{

PB BC ⋅=⋅=

可取m=（0，-1，3-） 27

cos ,727

m n =

=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27

7

-

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

A

23 B 33 C 2

3

D 63

2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为

(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A)

23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

1. D

2. D

3. B

4. 解法一：

(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,

由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,

所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .

作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，

故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB

226SB SD DB =+=

3

SD DB DE SB =

= 22626

-,-33

EB DB DE SE SB EB ==

== 所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =

+===⊥知

2

2

121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

又.

故ADE ∆为等腰三角形.

取ED 中点F,连接AF ,则226

,AF DE AF AD DF ⊥=-=

. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.

所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263

FG DG DF =

-=

, 2221

cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,

所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==

设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)

由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC == 故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则

2(,,)111E λλλλλ

+++ 2

(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ

==+++

设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得

0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故

20,20111x y z

y λλλλλ

++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.

由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-== 故SE=2EB

（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333

F FA =--，

故0FA DE =，由此得FA DE ⊥

又242(,,)333

EC =--，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1

cos(,)2||||

FA EC FA EC FA EC =

=-

所以，二面角A DE C --的大小为120