sec16 金属、绝缘体的能带论解释
固体物理学：5-3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
所有固体中都包含大量的电子，但是，电子的 导电性却相差非常大 。
特鲁特关于一些金属导电电子数等于原子的价电子
数的假设是相当成功。但是，其它一些固体却不是这 样，导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？
1
晶体按导电性能的高低可以分为
导体
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
以上分析说明，一个晶体是否为导体，取决于电子在能带中的 分布情况，关键在于它是否具有不满的能带。 原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。原子内层 电子能级是充满的，相应的内层能带也是满带，是不导电的。 所以，晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电 子充满。由于每个能带可容纳2N个电子，N是晶体原胞数目， 因此价带是否被电子填满取决于每个原胞(固体物理学原胞)所 含的价电子数目，以及能带是否有交叠。 例如： Li、Na、K等碱金属元素，是半满带导体。 二价元素Ba、Mg、Zn等是重叠带导体。 金刚石，每个原胞有两个原子共8个电子，能带又不重叠，所 以是典型的绝缘体。
因而具有导电能力。 热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变
化，半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大。
半金属 :V族元素Bi、Sb、As, 三角晶格结构，原胞 有偶数个电子，具有金属的导电性，导电能力远小 于金属,能带交叠较小，对导电有贡献的载流子数远 远小于普通的金属。
10
二、导体、绝缘体与半导体
jh
(k
)
1 V
[qv
(k
)]
0
近满带的电流密度：
jh
(k
)
1 V
qv (k
)
其中 V是晶体体积
固体物理学§5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
情况下整个近满带的总电流。设想在空的k态中填入一个
电子，这个电子对电流的贡献为－qv(k)。但由于填入这
个电子后，能带变为满带，因此总电流为0。
I (k ) [qv(k )] 0
11
固体物理
固体物理学
I (k ) qv(k )
这表明，近满带的总电流就如同一个带正电荷q，其速度 为空状态k的电子速度一样。
进一步考查电磁场的作用时，设想在k态中仍填入一
个电子形成满带。而满带电流始终为0，对任意t时刻都成
立。
dI (k) q d v(k)
dt dt
作用在k态中电子上的外力为
q{E [v(k ) B]}
12
固体物理
固体物理学
电子的准经典运动：
dI(k ) q2
dv F dt m
{E [v(k ) B]}
ns态有一个价电子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 等。 由N个碱金属原子结合成晶体时，原子的内层电子刚好 填满相应的能带，而与外层ns态相应的能带却只填充了 一半。因此，碱金属是典型的金属导体。
贵金属（Cu、Ag和Au）的情况（fcc结构）与碱金属相 似，也是典型的金属导体。
26
v空穴 v电子
• 空穴有效质量 m空穴 m电子
与电子有效质量相反，在价带顶，空穴有效质量为正,在导带
底为负
15
固体物理
固体物理学
二、导体、绝缘体和半导体
导体和非导体的基本能带模型
非导体中, 电子恰好填满最 低的一系列能带, 再高的各带 全部是空的,由于满带不导电, 尽管有很多电子, 并不导电。
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固体物理
固体物理学
• 原来未满能带的电子在外电场作用 下漂移
导体半导体和绝缘体的能带论解释
导体半导体和绝缘体的能带论解释导体、半导体和绝缘体的能带论解释在我们日常生活和现代科技中，导体、半导体和绝缘体是非常重要的概念。
从电线中的铜到计算机芯片中的硅，材料的导电性能决定了它们的用途和应用场景。
而要深入理解这些材料的导电特性，能带论是一个关键的理论工具。
让我们先从最基本的概念说起。
在原子物理学中，每个原子都有一系列离散的能级，电子只能占据这些特定的能级。
当大量的原子聚集在一起形成固体时，这些离散的能级会扩展形成能带。
导体之所以能够良好地导电，是因为其能带结构具有一些独特的特征。
在导体中，存在着部分被填满的能带，这被称为导带。
导带中的电子能够在外界电场的作用下自由移动，从而形成电流。
打个比方，想象一个充满人的体育场，导带就像是其中没有坐满人的区域，人们（电子）可以在这个区域内自由移动找到空位。
而且，导体的价带和导带之间通常没有能隙，或者能隙非常小。
这意味着电子很容易从价带跃迁到导带，参与导电过程。
接下来看看半导体。
半导体的能带结构比较特殊。
它的价带是填满的，而导带是空的，但是价带和导带之间存在一个相对较小的能隙，也被称为禁带。
在常温下，只有少量的电子能够获得足够的能量从价带跃迁到导带，从而导电。
但如果我们对半导体进行掺杂，也就是有意地引入一些杂质原子，就能够显著改变其导电性能。
比如，在纯净的半导体中掺入少量的五价杂质原子，就会形成 N 型半导体；掺入少量的三价杂质原子，则会形成 P 型半导体。
以硅为例，它是一种常见的半导体材料。
在纯净的硅中，电子很难跃过禁带进入导带。
但当掺入磷等五价元素时，磷原子在硅晶体中会多出一个自由电子，这个电子很容易在电场作用下移动，从而增加了导电性。
而当掺入硼等三价元素时，会形成空穴，周围的电子可以填补这个空穴，从而也能实现导电。
绝缘体与导体和半导体有很大的不同。
绝缘体的价带是填满的，并且其价带和导带之间存在一个非常大的能隙。
这使得在一般条件下，电子几乎无法从价带跃迁到导带，因此绝缘体几乎不能导电。
05_03_导体、绝缘体和半导体的能带论解释
杭州电子科技大学
－ 1 －
应用物理系
固体物理讲义_第五章 外场作用下晶体中的电子
d ( k ) dk 1 电子动量的变化： F —— F dt dt
有外场时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动 在一个能带中，从布里渊区边界状态
Hale Waihona Puke a出去的电子，又从布里渊区边界状态
带，如图 XCH007_026_01 和 XCH007_026_02 所示。
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应用物理系
固体物理讲义_第五章 外场作用下晶体中的电子
—— 通常引入空穴的概念来描述近满带的导电性 1) 近满带产生的电流 设想近满带中只有一个 k 态没有电子，在电场作用下，近满带产生的电流为近满带中所有电子对电 流的贡献，总电流密度为 jh ( k ) 。如果在空的 k 中放入一个电子，近满带变为满带，总的电流为零
1) 在无外场时
—— 波矢为 k 的状态和波矢为 k 的状态中电子的速度大小相等、方向相反 两个电子产生的电流为 qv —— 对电流的贡献相互抵消 在热平衡状态下 —— 电子占据波矢为 k 的状态和占据波矢为 k 的状态的几率相等 所以晶体中的满带在无外场作用时，不会产生电流
—— 如图 XCH005_008_00 所示 2) 在有外场 E 作用时 电子受到的作用力： F qE
对于一些金属，特鲁德关于导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功，但对于其它一些固 体却不是这样 —— 导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？电子的能带理论给予很好的解释 1 满带中的电子对导电的贡献 能带中电子的能量是波矢 k 的偶函数： En ( k ) En ( k ) 波矢为 k 的电子的速度： v ( k )
电工电子学导体绝缘体和半导体的能带论解释
才能被热激发，这些声子的波矢q<<qm。可以认为， kF与qm同数量级，因此， 长波声子的波矢q<< 电子的 波矢k。而每次散射电子损失的准动量为
k
k 1 cos 2
k
sin
2
2
kF 2 / 2
由于 k k kF q
q kF T
所以，电子每次散射的准动量损失
禁带宽度(Band gap)
是指一个能带宽度(单位是电子伏特(eV))，固体中电子的能量是不可以连续 取值的，而是一些不连续的能带，要导电就要有自由电子存在，自由电子存 在的能带称为导带（能导电），被束缚的电子要成为自由电子，就必须获得 足够能量从而跃迁到导带，这个能量的最小值就是禁带宽度。例如：锗的禁 带宽度为0.66ev；硅的禁带宽度为1.12ev；砷化镓的禁带宽度为1.46ev；氧化 亚铜的禁带宽度为2.2eV。禁带非常窄的一般是金属，反之一般是绝缘体。 半导体的反向耐压，正向压降都和禁带宽度有关。
T
在低温下，当T<<D时，只有 j kBT 的长
波声学声子才能被热激发，晶格热容量CLT3，因此 晶格振动的总能量T4。如果声子的平均能量近似为 kBT，那么，系统的总声子数就正比于T3。因此，有
单位时间内的散射次数 T 3 （当T<<D时）
另一方面，由于对金属电导有贡献的只是在费米
面附近的一小部分电子，其波矢近似等于费米波矢，
半导体：其禁带宽度一般较窄：Eg介于0.2 ~ 3.5 eV之间 常规半导体：如 Si：Eg ~ 1.1eV； Ge： Eg ~ 0.7 eV；GaAs： Eg ~ 1.5 eV 宽带隙半导体：如－SiC： Eg ~ 2.3 eV； 4H－SiC： Eg~ 3 eV
能带理论--能带结构中部分概念的理解小结
本文是关于能带结构概念部分学习的小结，不保证理解准确，欢迎高中低手们批评指教，共同提高。
能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。
能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。
1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。
2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。
价带（valence band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。
在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。
对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。
对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。
3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。
根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。
“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。
海平面即是费米能级。
一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。
成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。
4. 能量色散（dispersion of energy）。
上讲回顾金属、绝缘体的能带理论解释
上讲回顾：金属、绝缘体的能带理论解释•金属、绝缘体和半导体*电子如何填充能带→可用原胞内电子填充判断？#第一布里渊区不等价的状态数#满带、空带、半满带*满带不导电→金属、绝缘体、半导体•结构因子与布里渊边界能级简并分裂的关系*物理原因同X射线衍射的消光现象#原胞内等价原子波函数在布里渊区边界的反射相干http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似1本讲目的：能带计算近似方法的物理思想•如何计算能带?1.近自由电子近似(赝势方法)2.紧束缚方法 第19讲http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似2第17讲、近自由电子近似1.能带计算近似的物理思想2.近自由电子近似——平面波方法3.举例——只取两个平面波4.平面波方法评论5.赝势方法http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似34()()[]()()()k r k k r r r ,,xc 2ψ=ψ++∇-E V μ相对论非相对论全电子势（Muffin-tin ）赝势凝胶模型（相当于自由电子气）局域密度泛函近似非局域修正非周期性周期性对称性非自旋极化自旋极化平面波缀加平面波线性组合缀加平面波散射函数原子轨道线性组合数值1、能带计算方法的物理思想能带计算方法分类•各种能带计算方法基本上可分为*对晶体势场V(r)的不同近似*对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取1.根据不同的研究对象、计算条件对势场和基函数作不同的近似处理 不同的物理思想*全电子势(Muffin-tin势，真正全电子势很少用)*赝势2.能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分成两大类：*紧束缚近似*近自由电子近似http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似5http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似6能带如何形成——近自由电子观点•近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E (k)是连续的能级*由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin 区边界产生分裂、突变 禁带，连续的能级形成能带•这时晶体电子行为与自由电子相差不大*因此，可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为•微扰观点：空晶格的解是零级近似，都把它当作简并微扰的方式用零级解组成晶体波函数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似7能带如何形成——紧束缚观点•紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子一样紧紧束缚在该原子周围*孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相互作用，孤立原子能级从而扩展成能带•由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作用*因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用•微扰观点：孤立原子解是零级近似解；组成晶体波函数时周期性条件使成Bloch函数形式质疑：晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？晶体电子共有化在紧束缚方法中如何体现？•近自由电子近似无这个问题：平面波本身就是非局域的！平面波本身就是调幅函数为常数的Bloch函数！•紧束缚方法的局域波函数和周期性的相因子来构成满足Bloch函数的基函数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似82、近自由电子近似——平面波方法•真实的势，-Ze2/r，特点：*靠近原子核区，势变化剧烈*远离原子核区，势变化平缓•近自由电子(平面波)→动量空间*平面波不同的波矢对应大小不同的动量•对应的晶体波函数的性质?*靠近核区波函数振荡→对应平面波波矢大的成分*远离核区波函数平滑→对应平面波波矢小的成分•因此，如果用平面波作基函数，为很好地描写这种特点，所需要的基函数数量特别大http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似9http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似10平面波方法•数学上，看Bloch 波函数)R r k ()r k ()r k ()r k (rk +==⋅,,,,u u u e i ψ•u 既然是R 的周期函数，也可以作Fourier 展开∑⋅=K rK )K ,k ()r k (i ec u V 1,•c (k ,K )是展开系数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似11•这是平面波的线性组合——自由电子的本征解的线性组合，注意K•问题：求和取多少？或，取多少倒格矢？•将弱周期性势场问题看作是自由电子的微扰•弱势场的解应该是自由电子解的组合 近自由电子近似∑⋅+=K r)k K ()K ,k ()r k (i ec V 1,ψ•Bloch 波函数现为http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似12本征值方程•将用平面波展开的晶体电子波函数代入Schroedinger 方程(原子单位)[])r k ()()r k ()(,,2ψψk E r V =+∇-•得到[]{}0V 12=-+∇-∑⋅+r )K k (r )K ,k ()k ()r (i e c E Vhttp://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似13•乘以rK k ⋅+-)'(V 1i e •对整个晶体积分后，利用平面波的正交归一关系',V )'(V 1K K r K K r δ=⎰⋅-d e i •可得本征值方程组[]{}0),()'()()(',2=-+-+∑K K K K k K K k K k c E V δ•其中势的Fourier 展开系数为r r K K r K K d e V i ⎰⋅-=-V )'()(V1)'(Vhttp://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似14[]{}02=-+-+∑K 'K ,K )K ,k ()K 'K ()k ()K k (c E V δ•这是个齐次线性方程组，写成矩阵形式())K K ()k K (...C H C H j i i i n n c c c E E -=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-V V T T V V V V V T V V V V T ij 221n3n2n12n 232211n 13121 ... ... ... ... 0单位矩阵http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似15•方程有非平凡解的条件是其系数行列式为零[]00... ...... E - ... E -2n3n2n12n232211n13121=-+-+=-)K 'K ()k ()k K (det 'K ,K V T V V V V V T V V V V T δE E n •有专门的线性代数方法解这类方程http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似163、举例——只取两个平面波•前面那么多数学可能不太熟悉*我们将平面波方法只用到二阶，即只用|k>和|k+K>作展开晶体电子波函数，看看能够得到什么结果？[]r k K r k r k ⋅+⋅+=)(10V 1),(i i e c e c ψ()r K k rk ⋅+-⋅-i i e e ,[]{}[]0V 1)()()(102=+-+∇-⋅+⋅r k K r k r k r i i e c e c E V []()[]0)()(0)()(120102=+-++=-+-c E c c c E k K k K K k k V V •代入Schroedinger 方程•以分别左乘后积分，得到二阶连立方程，已设V(0)=0http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似17•c 0和c 1有非平凡解的条件是其系数行列式为零()0)( )()( )(22=-+--k K k K K k k E E V V ()()[]2/)(4)(222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++±++=K K k k K k k k V E •可以解得•根据Bloch 定理，当k 处在Brillouin 区边界时，k 和k+K 是同一状态；这时，上式为)()(2K k k V ±=E •能量差就是能隙宽度，正是简并微扰的结果)(2K V =g E 注意，这时，k在布里渊区的边界http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似184、平面波方法的优劣•二阶当然不够，完备的平面波函数集是无限的，前面行列式的阶数是无限的！？•那么，取多少平面波才是合适的？•由势场傅立叶分量的大小决定*K 小时，傅立叶展开系数V(K)较大，K 大时，V(K)较小，因此，一定K 以后，V(K)小到可以忽略•截断：动能小于某个值的所有平面波*平面波的个数决定了久其方程的维数截断E <+2)K k (评论：平面波方法的特点？•较好的解析形式——傅立叶展开系数基本都可以解析表达(矩阵元)•理论上可以无限制地改善基函数集的完备性——使解收敛•基函数是非局域的，不依赖于原子位置——有好处也有坏处——视所描写的晶体电子的性质而定http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似19评论：平面波方法的困难？•收敛很慢：在靠近原子核区域，电子有很大的动量；而在原离原子核区域，动量较小*因此，即需要小的也需要大的动量的平面波。
能带理论
§ 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度 d e dt=-k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
用能带论解释导体、半导体和绝缘体的导电性
用能带论解释导体、半导体和绝缘体的导电性在我们生活中有很多电器都是利用导体的导电性，导线里流动的是电流，通过导线形成电流回路，利用电能工作的装置。
那么怎样使电流从导线流向我们的日常用品的呢？其实这个问题很简单，只要用能带理论就可以解释这个现象。
因此，我们对于电的研究不仅仅局限于经典物理学和近代物理学，而是要应用现代物理的方法和观点，建立现代的电子学理论。
自从人类发明了电之后，对电的认识就不断加深，先是直观的“火花放电”，进而是“赫兹电磁波”的概念出现。
再接下来是德国人阿尔诺在1900年时提出的场的概念；在1920年时，意大利科学家马可尼在他制造的无线电传声设备中首次采用的无线电信号，当时叫做无线电波；二十世纪五十年代，贝尔实验室的科学家们在国际上首次利用电子管进行电话通讯。
（一）导体具有良好的导电性，原因是材料中含有一定数量的带负电荷的自由电子。
所谓自由电子，是指原子失去最外层电子时所剩余的最外层电子，它们具有良好的导电性。
在金属材料中，电子一般呈自由态，容易吸收或者释放电子，所以金属导电性比较好。
如果我们把绝缘体看作是缺少了电子的原子，那么就说这种物质是导体；如果我们把半导体看作是一种失去了若干个电子而带有部分正电荷的原子，那么就说这种物质是半导体；如果我们把超导体看作是没有了电子的原子，那么就说这种物质是绝缘体。
到了后来，随着物理学、化学、生物学等学科的发展，人们发现各种金属元素中还存在着一些半金属元素和非金属元素，它们在化合物中表现出的性质介于金属和非金属之间。
于是，科学家将这些新元素称为第三类导体。
这些第三类导体中的一些新材料已被广泛地用于电子工业和各种高新技术领域中，这些新材料就是纳米材料。
纳米材料的基本特征是材料小于1纳米。
但它们的长度往往大于100纳米。
它们的形状有球形、棒形、树枝形等等。
由于它们具有很大的表面积和表面能，又具有巨大的比表面积，使得这些新型材料具有许多奇异的性能，如高导电率、高热膨胀系数、耐高温等。
例题
得
d 2 E C 2h2 2h2 8h2 2 dE 3m0 m0 3m0
1 1 d 2 Ec 8 2 2 mnc h dk 3m0 3 3 m m0 9.11031 kg 3.411031 kg 8 8
nc
⑶同理，可得价带顶电子有效质量：
能带
能带：能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用，是一种晶体周期性的势场。
在固体金属内部构成其晶格结点上的粒子，是金属原子或正离子，由于金属原子的价电子的电离能较低，受外界环境的影响(包括热效应等)，价电子可脱离原子，且不固定在某一离子附近，而可在晶格中自由运动，常称它们为自由电子。
正是这些自由电子将金属原子及离子联系在一起，形成了金属整体。
这种作用力称为金属键。
当然固体金属也可视为等径圆球的金属原子(离子)紧密堆积成晶体。
这时原子的配位数可高达8至12。
金属中为数不多的价电子不足以形成如此多的共价键。
这些价电子只能为整个金属晶格所共有。
所以金属键不同于离子键；也不同于共享电子局限在两个原子间的那种共价键(定域键)。
广义地说，金属键属于离域键，即共享电子分布在多个原子间的一种键，但它是一种特殊的离域键，既无方向性，也无饱和性。
为阐明金属键的特性，化学家们在MO（Molecular Orbit）理论的基础上，提出了能带理论。
现仅以金属Li为例定性讨论。
Li原子核外电子为1s2s。
两个Li互相靠近形成Li2分子。
按照MO理论，Li分子应有四个MO。
其中(σ1s)2与(σ1s*)2的能量低，紧靠在Li是空着的(LUMO)。
参与成键的Li原子越多，由于晶格结点上不同距离的Li核对它们的价电子有不同程度的作用力，导致电子能级发生分裂，而且能级差也越来越小，能级越来越密，最终形成一个几乎是连成一片的且具有一定的上、下限的能级，这就是能带。
对于N个Li原子的体系，由于1s与2s之间能量差异较大，便出现了两条互不重叠或交盖的能带。
这种具有未被占满的MO的能带由于电子很容易从占有MO激发进入空的MO，故而使Li呈现良好的导电性能。
能带理论
材料按电性能分类:
导体、半导体、绝缘体
导 体 纯金属的电阻率在108 ～ 107 m 金属合金的电阻率为107 ~ 105 m 半导体 电阻率为103 ~ 10+5 m 绝缘体 电阻率为10+9 ~ 10+17 m
电阻率的大小取决于材料的结构。
1、自由电子理论
Band - 1
2、能带理论
空带
禁带 价带 （导带）
未排电子
部分能级 排满半导体和绝缘体的比较
导带和价带重叠 半导体的禁带一般小于 3 eV
绝缘体的禁带一般大于 5 eV
只有外层价电子起主要作用。
2、能带理论
准连续能级 • 经典理论：连续能量 • 量子理论：量子化能级（分立）
• 当原子结合成固体，形成带 状能级－能带
• 大量能级形成准连续的带， 带间可能有间隔（带隙） • 能带同时具有分立、连续的 能量特点
Band - 3
Band gap
Band - 2
Band gap
自由电子理论把金属中的电子分为两类： 一类是内层电子，处于原子核束缚较强的状态，与单独 原子中的电子差别不大，在比较狭窄的区域内运动，被 称为“定域电子”。 一类是价电子，受原子核束缚较弱，可脱离原子核，在 整个晶体中进行离域的共有化运动，被称为“离域电子” 或“自由电子”。
自由电子理论认为，金属中的价电子类似于理想气体分子， 价电子间没有相互作用，由价电子组成的气体——“电子气” 在金属晶体中受一恒定势场的作用，可以在整块晶体中自由 运动，但不能超出表面。 金属晶体的特征：导电、导热、金属光泽、延展性和可塑性
上讲回顾金属、绝缘体的能带理论解释
上讲回顾：金属、绝缘体的能带理论解释•金属、绝缘体和半导体*电子如何填充能带→可用原胞内电子填充判断？#第一布里渊区不等价的状态数#满带、空带、半满带*满带不导电→金属、绝缘体、半导体•结构因子与布里渊边界能级简并分裂的关系*物理原因同X射线衍射的消光现象#原胞内等价原子波函数在布里渊区边界的反射相干http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似1本讲目的：能带计算近似方法的物理思想•如何计算能带?1.近自由电子近似(赝势方法)2.紧束缚方法 第19讲http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似2第17讲、近自由电子近似1.能带计算近似的物理思想2.近自由电子近似——平面波方法3.举例——只取两个平面波4.平面波方法评论5.赝势方法http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似34()()[]()()()k r k k r r r ,,xc 2ψ=ψ++∇-E V μ相对论非相对论全电子势（Muffin-tin ）赝势凝胶模型（相当于自由电子气）局域密度泛函近似非局域修正非周期性周期性对称性非自旋极化自旋极化平面波缀加平面波线性组合缀加平面波散射函数原子轨道线性组合数值1、能带计算方法的物理思想能带计算方法分类•各种能带计算方法基本上可分为*对晶体势场V(r)的不同近似*对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取1.根据不同的研究对象、计算条件对势场和基函数作不同的近似处理 不同的物理思想*全电子势(Muffin-tin势，真正全电子势很少用)*赝势2.能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分成两大类：*紧束缚近似*近自由电子近似http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似5http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似6能带如何形成——近自由电子观点•近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E (k)是连续的能级*由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin 区边界产生分裂、突变 禁带，连续的能级形成能带•这时晶体电子行为与自由电子相差不大*因此，可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为•微扰观点：空晶格的解是零级近似，都把它当作简并微扰的方式用零级解组成晶体波函数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似7能带如何形成——紧束缚观点•紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子一样紧紧束缚在该原子周围*孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相互作用，孤立原子能级从而扩展成能带•由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作用*因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用•微扰观点：孤立原子解是零级近似解；组成晶体波函数时周期性条件使成Bloch函数形式质疑：晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？晶体电子共有化在紧束缚方法中如何体现？•近自由电子近似无这个问题：平面波本身就是非局域的！平面波本身就是调幅函数为常数的Bloch函数！•紧束缚方法的局域波函数和周期性的相因子来构成满足Bloch函数的基函数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似82、近自由电子近似——平面波方法•真实的势，-Ze2/r，特点：*靠近原子核区，势变化剧烈*远离原子核区，势变化平缓•近自由电子(平面波)→动量空间*平面波不同的波矢对应大小不同的动量•对应的晶体波函数的性质?*靠近核区波函数振荡→对应平面波波矢大的成分*远离核区波函数平滑→对应平面波波矢小的成分•因此，如果用平面波作基函数，为很好地描写这种特点，所需要的基函数数量特别大http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似9http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似10平面波方法•数学上，看Bloch 波函数)R r k ()r k ()r k ()r k (rk +==⋅,,,,u u u e i ψ•u 既然是R 的周期函数，也可以作Fourier 展开∑⋅=K rK )K ,k ()r k (i ec u V 1,•c (k ,K )是展开系数http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似11•这是平面波的线性组合——自由电子的本征解的线性组合，注意K•问题：求和取多少？或，取多少倒格矢？•将弱周期性势场问题看作是自由电子的微扰•弱势场的解应该是自由电子解的组合 近自由电子近似∑⋅+=K r)k K ()K ,k ()r k (i ec V 1,ψ•Bloch 波函数现为http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似12本征值方程•将用平面波展开的晶体电子波函数代入Schroedinger 方程(原子单位)[])r k ()()r k ()(,,2ψψk E r V =+∇-•得到[]{}0V 12=-+∇-∑⋅+r )K k (r )K ,k ()k ()r (i e c E Vhttp://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似13•乘以rK k ⋅+-)'(V 1i e •对整个晶体积分后，利用平面波的正交归一关系',V )'(V 1K K r K K r δ=⎰⋅-d e i •可得本征值方程组[]{}0),()'()()(',2=-+-+∑K K K K k K K k K k c E V δ•其中势的Fourier 展开系数为r r K K r K K d e V i ⎰⋅-=-V )'()(V1)'(Vhttp://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似14[]{}02=-+-+∑K 'K ,K )K ,k ()K 'K ()k ()K k (c E V δ•这是个齐次线性方程组，写成矩阵形式())K K ()k K (...C H C H j i i i n n c c c E E -=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-V V T T V V V V V T V V V V T ij 221n3n2n12n 232211n 13121 ... ... ... ... 0单位矩阵http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似15•方程有非平凡解的条件是其系数行列式为零[]00... ...... E - ... E -2n3n2n12n232211n13121=-+-+=-)K 'K ()k ()k K (det 'K ,K V T V V V V V T V V V V T δE E n •有专门的线性代数方法解这类方程http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似163、举例——只取两个平面波•前面那么多数学可能不太熟悉*我们将平面波方法只用到二阶，即只用|k>和|k+K>作展开晶体电子波函数，看看能够得到什么结果？[]r k K r k r k ⋅+⋅+=)(10V 1),(i i e c e c ψ()r K k rk ⋅+-⋅-i i e e ,[]{}[]0V 1)()()(102=+-+∇-⋅+⋅r k K r k r k r i i e c e c E V []()[]0)()(0)()(120102=+-++=-+-c E c c c E k K k K K k k V V •代入Schroedinger 方程•以分别左乘后积分，得到二阶连立方程，已设V(0)=0http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似17•c 0和c 1有非平凡解的条件是其系数行列式为零()0)( )()( )(22=-+--k K k K K k k E E V V ()()[]2/)(4)(222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++±++=K K k k K k k k V E •可以解得•根据Bloch 定理，当k 处在Brillouin 区边界时，k 和k+K 是同一状态；这时，上式为)()(2K k k V ±=E •能量差就是能隙宽度，正是简并微扰的结果)(2K V =g E 注意，这时，k在布里渊区的边界http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似184、平面波方法的优劣•二阶当然不够，完备的平面波函数集是无限的，前面行列式的阶数是无限的！？•那么，取多少平面波才是合适的？•由势场傅立叶分量的大小决定*K 小时，傅立叶展开系数V(K)较大，K 大时，V(K)较小，因此，一定K 以后，V(K)小到可以忽略•截断：动能小于某个值的所有平面波*平面波的个数决定了久其方程的维数截断E <+2)K k (评论：平面波方法的特点？•较好的解析形式——傅立叶展开系数基本都可以解析表达(矩阵元)•理论上可以无限制地改善基函数集的完备性——使解收敛•基函数是非局域的，不依赖于原子位置——有好处也有坏处——视所描写的晶体电子的性质而定http://10.107.0.68/~jgche/近自由电子近似19评论：平面波方法的困难？•收敛很慢：在靠近原子核区域，电子有很大的动量；而在原离原子核区域，动量较小*因此，即需要小的也需要大的动量的平面波。
导体 绝缘体和半导体的能带论解释
定义：当满带顶附近有空状态 k 时，整个能带中的电流 以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同一个带正 电荷e、具有正有效质量m*和速度v(k)的粒子的情况一 样。我们将这种假想的粒子称为空穴。
空穴是一个带有正电荷，具有正有效质量的准粒子。 它是在整个能带的基础上提出来的，它代表的是近满带中 所有电子的集体行为，因此，空穴不能脱离晶体而单独存 在，它只是一种准粒子。
在金属中，其导带部分填充， 导带中有足够多的载流子（电子
或空穴），温度升高，载流子的
数目基本上不增加。但温度升高，
原子的热振动加剧，电子受声子
散射的几率增大，电子的平均自
由程减小。因此，金属的电导率
随温度的升高而下降。
T
如果半导体中存在一定的杂质，其能带的填充情况 将有所改变，可使导带中出现少量电子或价带中出现少 量空穴，从而使半导体有一定的导电性，称为非本征导 电性。
能态是空的。
能带中每个电子对电流的贡献 -ev(k)，因此带中所有
电子的贡献为：
J
1 V
e v k
k
求和包括能带中所有被占据态。
一. 满带电子不导电
在 k 空间中，对于同一能带有 En k En -k
容易证明，对于同一能带，处于k态和处于－k态的电 子具有大小相等方向相反的速度。
v
k
1
满带中缺了少数电子就会有一定的导电性，这种近满 带的情形在半导体中特别重要，要描述近满带中电子的运 动，由于涉及到数目很大的电子的集体运动，因而在表述 上十分不便，为此，引入空穴的概念，将大量电子的集体 运动等价地变为少数空穴的运动，从而大大简化了有关近 满带的问题，使满带顶附近缺乏一些电子的问题与导带底 有少数电子的问题十分相似。
sec16 金属、绝缘体的能带论解释
晶体能带
k
18
第一B区中有多少不等价状态？
• 第一布里渊区中所有的[k]都是不等价的
* 有多少？
• 这里先讨论一维情况，很容易推广到三维 • 对循环边界条件 x Na x 用Bloch定理，得 x Na e iNak x
Eg~1eV
Insulator
10.107.0.68/~jgche/
Metal
Semimetals
能带论解释
Semiconductor
28
3、空穴概念、空穴导电
• 其中 V n 1 v x e i 2a nx dx j j
V j ( n )e
j 1
m
i
2 n j a
a
• 势的傅立叶分量
10.107.0.68/~jgche/
V ( n ) V j ( n )e
能带论解释 j 1
m
i
2 n j a
7
• 以一维为例
V ( x) v( x la )
l m j
* 如原胞内有m个原子，则 v( x) v j ( x j )
10.107.0.68/~jgche/ 能带论解释
6
• 其傅立叶分量是
2 nx i i nx 1 1 a V ( n) V ( x ) e dx v x la e a dx Na Na l
* 对称的部分相互抵消，不对称的部分形成电流
10.107.0.68/~jgche/
能带论解释
26
投影能带图
• 为讨论方便，有时需要 将能带往某一方向投 影，得到所谓的投影能 带
用能带理论解释导体、半导体和
空带
Eg 禁带 3s 填满的能带
本征半导体的禁带比绝缘体的窄很多，在常温 下，少数电子经热激发可越过禁带跃迁到空带中， 这时，半导体就具有一定的导电性。
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
金属、半导体和绝缘体能带结构区别
金属、半导体和绝缘体的能带结构区别本论文从能带的形成过程和电流的产生机理两方面来说明金属、半导体和绝缘体的能带结构区别。
1.能带（Energy Band）的形成过程当孤立的原子结合在一起形成固体时，相邻的原子之间会产生各种交互作用，原子之间的排斥力和吸引力最后在一定的原子间距达到平衡．由量子力学可知，晶体中相同原子孤立存在时，各自的电子波函数没有相互作用，因而各原子可以有完全相同的电子能级结构。
当相同原子相互接近时，其电子波函数便开始重迭．根据量子力学的泡利不相容原理，在一个系统中，不允许有两个电子具有相同的量子状态，因而孤立原子的能级必然产生分裂，这些新产生的分裂能级不再是某个原于所独有，而是属于原子共有。
在固体中，大量原子结合在一起，相互极为接近的大量分裂能级最终成为一个连续的能带。
量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级,在晶体中就变成了N条靠得很近的能级,称为能带。
如图1所示：图1能带的宽度记作∆E ，数量级为 ∆E ～eV 。
若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV 。
能带的一般规律：越是外层电子，能带越宽，∆E 越大； 点阵间距越小，能带越宽，∆E 越大； 两个能带有可能重叠。
如图2所示：图22.电流产生机理电流的产生要求电子能够在电场的作用下加速移动至新的能量状态，即要求在电子现有能量状态附近必须有空能级。
举例来说，如果一个能带中只有很少几个电子，而有大半的能态是空的，则电子很容易在能带中由这个能态运动到另一个能态，从而发生电荷的迁移，产生导电行为。
对于金属、绝缘体和半导体来说，因其导电性不同，所以其能带结构也不相同。
在绝缘体结构中0K时“价带”已被全部占据，导带是全空的，因而价带中的电子于无法进行电荷运输，因为价带中没有空能级。
导带中虽有空能级但无电子，因而也不可能进行电荷运输；半导体的电子能带结构与绝缘体相仿，但其禁带宽比绝缘体小得多．例如Si为1.1eV，而金刚石为5eV。
高二物理竞赛导体绝缘体和半导体的能带论解释课件
r
rL rI
m11
ne2 t L t I
杂质对电子的散射是弹性散射。这是因为杂质原子的
基态与最低激发态之间的能量间隔约为几个eV>>kB T，因 此几乎所有杂质原子都处于基态。
如果电子在与杂质的散射中把能量交给杂质原子，电 子能量将失去过多，以致费米球内没有空态可以接纳它。 因此，杂质散射所产生的电阻与温度无关，它是T0时的 电阻值，称为剩余电阻。
周期表中第四族及其以上的元素，由于其电子态和 结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能 判断是金属还是非金属。
对绝缘体，如：NaCl晶体 Na原子基态：1s22s22pபைடு நூலகம்3s1 Cl原子基态：1s22s22p63s23p5
当Na原子与Cl原子结合成NaCl晶体时，Na的3s带比 Cl的3p带高约6 eV 。在能量较高的Na的3s带中的N个电子 就转移到能量较低的Cl的3p带中，刚好填满Cl的3p带， 而Na的3s带成为空带，其能隙Eg~ 6 eV ，所以，NaCl晶 体为绝缘体。
零电阻现象 ）
Meissner效应（完全抗磁性
几个实例 v碱金属晶体结构：体心立方（ bcc）， 每个原胞中 有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和，最外 层的 ns态有一个价电子。 如Li：1s22s1 ；Na：1s22s22p63s1
由N个碱金属原子结合成晶体时， 原子的内层电 子刚好填满相应的能带，而与外层ns态相应的能带却 只填充了一半。因此，碱金属是典型的金属导体。
长波声子的波矢q<< 电子的波矢k 通常， 可用室温电阻率与r(0)
随温度的升高而迅速上升是明显不同的。
周期表中第四族及其以上的元素， 由于其电子态和
声学声子才能被热激发，晶格热容量CL µT3 ，因此晶格振
导体、绝缘体和半导体的能带论
导体、绝缘体和半导体的能带论.1. 能带的填充与导电性. ()()E k E k =−K K(1) 22()2k E k m=+K =Δ (2) E 是k 的偶函数，v(k)是k 的奇函数。
在电场下，/dk eE τ=−K K =对满带，k 与-k 的电子数相等，I = 0 。
图1.2. 金属、绝缘体和半导体a) 对Ag ，Au ，Cu 及碱金属， 每原子含一个价电子。
b) 碱土金属，二个价电子，对一维情况能带填满，为绝缘体；三维晶体各方向上带宽不等的能带产生重迭，结果仍然是金属。
c) 对Al ，S ，P 等，p 带半满。
d) 对C ，Si ，Ge 等，半导体。
图2.3. 空穴的慨念在能带中空的轨道常叫空穴。
空穴在外电场和外磁场的作用下就象带正电+e 一样。
我们通过以下五步来说明： 1) k k k =−K K e （3） 对于满带，电子的总波矢为零，0k =∑K，此结果是从布里渊区的几何对称性得到的：即对每一个基本类型的格子，都存在着关于任一格点的反演对称性（）；从而倒格子及布里渊区亦存在着反演对称性。
如果能带中所有的轨道对都被填满，则总波矢为零。
r →−K K r 如果轨道中一个波矢为的电子逸失，则系统的总波矢为-，这也就是空穴的波矢。
结果令人吃惊：电子从e k K e k Ke k K处逸失，于是在色散关系图中（图4）空穴亦处于的位置。
但是空穴真实的波矢e k K k k e k =−K K ，亦即如果空穴中图中的E 点， 则其波矢在图中的G 点。
空穴波矢-e k K加入到光子吸收的选择定则中。
空穴是能带中一个电子逸失后的另一种描述， 我们要么说空穴具有波矢-，要么说一个电子逸失后能带的总波矢为-e k K e k K。
图42) ()()k k e e E k E k =−K K ) (4)令价带带顶的能量值为零。
在此价带中电子逸失的能量越低，则系统的能量越高。
因为从能带中一个低能量的轨道移走一个电子所要做的功比从高能量轨道中移走一个电子的大，所以空穴的能量与逸失电子的能量符号相反。
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能带论解释
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能带理论最成功的地方就是给出了金 属、绝缘体的解释。Bloch在回忆录中 谈到此事，最遗憾的是他没有给出金 属、绝缘体的能带论解释
因为他当时还没有金属、绝缘体的概 念，没有考虑这个问题
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能带论解释
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3、导体、绝缘体的能带理论解释
• 能带可能的填充情况：满带、未满带和空带
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能带论解释
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自由电子气的E=k2关系，在实际晶体的布 里渊区边界发生了变化。设问：还有哪些 性质相对于自由电子气会发生哪些变化？ 或者，从自由电子气的解，我们还能得到 什么？
• 费米能级=最高占据能级，费米面 • 态密度 • 总能 • …
10.107.0.68/~jgche/ 能带论解释
4. 空穴概念 5. 结构引起的金属绝缘体相变
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能带论解释
3
1、布里渊区边界的能带变化
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能带论解释
4
上讲讨论题：在布里渊区边界，能隙 是否一定出现？
• 这实际上分成两个问题
1. 布里渊区边界简并是否一定消除？ 2. 简并消除就会使能隙一定出现？ 一维情况一定；二维、三维不一定
* 先假定原胞总数N，则L=Na
比较两式，得 e iNak 1 2 即 k l, l为整数 Na 因[k]限定在第一B区，l只能取 N / 2 l N / 2
能带论解释
19
• 第一布里渊区内有N个不等价状态！
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• 第一布里渊区有N个不等价的k状态，整 个晶体共有N个原胞
k
10.107.0.68/~jgche/ 能带论解释
20
特别注意
• 前面并不是说，只有两个电子填充一 条能带， • 而是在判断能带填充到哪个能级时， 只要看一个原胞内的电子填充情况就 可以了
* 这时，每两个电子填充一条能带 晶体能带
E
• 晶体有N个原胞，每条能带填满的 话，就是2N电子
* 否则，等于能带上只有两个电子在外场 作用下参与输运，这是不可能的
10.107.0.68/~jgche/ 能带论解释
13
能隙的物理原因：入射与反射驻波
• 在布里渊区边界，空晶格 模型的简并能级在晶格势 作用下分裂——形成能隙 （没有解的能量区间）
* 分裂结果：能级低的更低， 高的更高——所谓简并能级 “相互排斥” * 分裂的大小(能隙宽度)与晶 格势的强弱有关——用微扰 法可以计算
能带论解释
17
2、能带填充
• 能带理论最成功的地方就是解释了 什么是金属，什么是绝缘体，什么 E 是半导体 • 而金属、绝缘体、半导体的性质与 费米能级附近的能带结构有关 • 费米能级是零温时，电子最高的占 据能级 • 现在， E(k)=E(k+K)，在第一B区， 先要看电子如何填充能带，即第一B 区中有多少状态可供电子占据，才 会知道如何确定费米能级
上讲回顾：初识能带
• 空晶格模型能带
* 能带结构 * 能带重叠
• 实际晶体空晶格模型+微扰能隙
* 除布里渊区边界外，晶体势场对其他区域能带的影 响可忽略 * 布里渊边界能级简并将分裂，其分裂的宽度是势能 傅立叶展开系数的两倍，Eg=2|V(n)|
• 课堂讨论的存疑问题
* 布里渊区边界简并能级是否一定会分裂？ * 布里渊区边界简并能级分裂的物理原因？
• 第一布里渊区不等价的状态数是N
* 总共有N个原胞以一个原胞内的电子数计算，第 一布里渊区的每条能带只填不同自旋各一个电子
10.107.0.68/~jgche/ 能带论解释
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因此，可以根据费米能级附近的能带 结构，确定金属还是绝缘体的性质 这就是金属、绝缘体的能带论解释
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Eg~1eV
Insulator
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Metal
Semimetals
能带论解释
Semiconductor
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3、空穴概念、空穴导电
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简并消除就会使能隙一定出现？
• 简并能级消除简并是否意味着能隙？
* 1D是，2D、3D能带会有重叠 * 通常2D、3D的能带结构都比较复杂
• 如何推广到二维、三维？
* 对一维晶体所得到这些结论布里渊区边界简并分 裂完全可以推广到二维、三维 * 但对于二维、三维，消除简并并不意味着能隙？取 决于能量不允许的区域是否在整个布里渊区贯通
k
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费米能级的重要性
• 能带结构给出了电子状态与能量的关系
——E~k关系 * 费米能级附近的电子行为决定输运性质 * 所以，靠近费米能级的能带结构才是所关心的
• 费米能级在那里？
* 取决于电子如何填充能带，或者说，每条能带填充 多少电子？ 取决于第一布里渊区中的状态数
• 如果原胞内是同种原子，则
V ( n ) V1 ( n ) e
j 1 m i 2 n j a
V1 ( n ) S ( n )
2 n j a
• 结构因子 • 如果
S ( n) e
j 1
m
i
S ( n) e
j 1
m
i
2 n j a
0
• 则同一原胞中的原子引起的反射波正好相互干 涉从而使Bragg反射消失，简并不能消除。原 理与消光一样 V (n) 0
2
1 N
i nx i nx 1 1 a v x e dx v x e a dx a l a
2
2
• 再看原胞内m个原子，则是m个原子势的叠加
v x v j ( x j )
j 1 m
2 2 2 m i nx i n j i nx 1 1 m V (n) v j x j e a dx v j x e a dx e a a j 1 j 1 a
晶体能带 * 如以原胞计，即只考虑原胞内电子数去占 据第一B区的状态的话，每个原胞只分配到 E 一个不等价的状态k * 每条能带可填原胞内不同自旋的两个电子 * 也即，原胞内每两个电子填第一布里渊区 内的一条能带
• 再考虑自旋向上、向下各可填一个电子
• 电子填充的最高能级？
* 对于一维能带，一个原胞内电子总数除以2 即等于最高填充能带序数；该能带的最高 能量位置就等于费米能级
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先看费米能级：k空间和能量空间。在 能量空间，对自由电子气，零温度 时，由对态密度的占据总数等于体系 电子数确定，即
N
D E dE ,
EF
其中D E C E
实际晶体中，态密度会发生什么变化， 以后再讨论。先看k空间
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本讲目的：能带结构显示了什么物理性质
• 从能带结构可以了解什么?
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第16讲、金属、绝缘体的能带论解释
1. 布里渊区边界的能带变化 2. 能带填充费米能级？ 3. 金属绝缘体的能带论解释
* 能带论最成功的地方就是对此给出了解释，也是 Bloch在回忆中最遗憾的地方绝缘体本质专题
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简并消除的物理原因？
• 在布里渊区边界，满足Bragg反射极大条件
* 沿一个方向行进的平面波受到反射，产生反射波， 沿相反方向传播。反射波与入射波干涉，形成驻波 简并消除（能隙）的起因
A B
0 0 k
0 k'
* 平面波对称组合和反对称组合分别为
() e ( ) e
* * * * 以原胞内电子计数，每条能带可填充2个电子 如果填充了2个电子，能带已满满带 如果填充了1个电子，能带未满半满带 如果1个电子都未填，能带全空空带
• 实际对应
* 具有N个原胞的晶体，每个能带能够容纳2N个电子
• 晶体的导电性质由能带填充情况决定？ • 根据Bloch定理，E(k)关于k对称
* 对称的部分相互抵消，不对称的部分形成电流
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投影能带图
• 为讨论方便，有时需要 将能带往某一方向投 影，得到所谓的投影能 带
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金属、绝缘体、半导体、半金属的能带
E(k) kBT>Eg 杂质
Eg>5eV
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晶体能带
k
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第一B区中有多少不等价状态？
• 第一布里渊区中所有的[k]都是不等价的
* 有多少？
• 这里先讨论一维情况，很容易推广到三维 • 对循环边界条件 x Na x 用Bloch定理，得 x Na e iNak x
2
2
a
x
• 最大在±0.5a, ±1.5a, …上，位于正 离子之间
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驻波与平面波电荷分布的差别
()
2
( )
2
e
ikx 2
• 两个驻波(+)和(-)，使电子积聚在不同的区域， 因此具有不同的势能 • 能隙的起因：(+)的能量比平面波低， 而(-)比 平面波高，使原来简并的能级分裂 • 能隙的宽度： (+)和(-)的能量差微扰法定量