数学的美-PPT课件

微分学告诉我们： 怎样处理“变量”的局部和 整体


局部是一个模糊的名词。没有说多大。就象一个 人的成长， 大的局部可以是社会变动、乡土文化、 学校影响， 小的可以是某老师、某熟人， 再小些 仅限父母家庭。 各人的环境是不同的。 最后我们 把环境中的各种影响汇集起来研究某人的特征。 同样， 微积分方法， 就是考察函数在一点的周围， 然后用极限方法， 确定函数在该点的性态。
例1. “对顶角相等”的教学。欣赏点：这 样明显的命题为什么要证明？（提出问题）



几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减 等量， 其差相等。 定理本身非常直观， 无人质疑。如果就事论事地解说 一番， 或者时髦地让学生“量一量”、“拼一拼”那 样地活动一下， 都不能使学生获得数学之“真”的欣 赏。 数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主政治。 民主 要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。 中国古代数学是国家管理数学。
向理性的飞跃


关键点是要问：“这样明显的命题要不要证 明？” 中国古代数学没有这样的命题。 古希 腊数学家提出这样的定理， 认为需要证明， 而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以 证明。两相对照， 才知道自己的浅薄，古希 腊理性精神的伟大。 从“显然正确因而不必证明”， 到“崇尚理性 需要证明”， 是一次思想上的飞跃， 可以说 震撼了许多孩子们的“灵魂”

换个思路： 欣赏勾股定理未尝不可
最后的晚餐， 达 . 芬奇

像欣赏一幅名画那样 欣赏勾股定理之价值
用历史的发展介绍各种数学文化：
陈子定理， 勾三股四弦五； 古希腊证明； 巴比仑泥板中的勾股数； 中国赵爽的代数证明。 2019年北京国际数学家大会的会标 ； 费马定理的解决， 与外星人通讯使用的图形。
整体是由局部构成的


常言道， “聚沙成塔，集腋成裘”， 那是简 单的堆砌。 其实， 科学地看待事物， 其单元 并非一个个的孤立的点， 而是一个有内涵的 局部。 人体由细胞构成， 物体由分子构成。 社会由 乡镇构成， 所以费孝通的“江村调查”， 解 剖一个乡村以观察整体， 竟成为中国社会学的 经典之作。 同样， 社会由更小的局部 –家庭 构成。 所以， 我们的户口以家庭为单位。


欣赏， 是教育的一部分。 语文教育重在欣赏， 比如语文课教学生 欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作 古诗，写古文。 但是，从小学到大学，数学教育的重点 是 “做题目”， 几乎不谈“欣赏”二字。
数学欣赏需要“教”吗？ 需要， 非常需要

数学学好了， 题目会做了， 思维自然就 严密了。 数学的“真”， 也就在其中了， 用不到什么特别的“数学欣赏”。 形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗 词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底 蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解 释，才能使学生有所领悟。
欣赏就是讲道理
既要讲推理， 更要讲道理。

萧树铁等《高等数学改革研究报告》 （非数学类）。 高等教育出版社 2000
一、欣赏数学之真

爱因斯坦说过 “为什么数学比其他一切学科受到特殊 的尊重? 理由之一是数学命题的绝对可 靠性和无可争辩性。 至于其他各个学科 的命题则在某种程度上都是可争辩的， 经常处于会被新发现的事实推翻的危险 之中”。

微积分阐述的“局部”思维，是精密的思维 过程， 体现了数学的“真”。
二、欣赏数学的 “善”
震撼于数学模型之深刻

数学知识推动社会科技与文 明的发展，以其独特的方式 为人类文明的发展服务，这 是 数学“善”的 表现。
例3 勾股定理的教学设计： 从数学文化的高度欣赏
当前时髦的勾股定理的教学设计： 发现， 探究， 摸索 1、探究、发现勾股定理，工作单有6 张之多。 2、各种各样的证明， 古希腊证明， 赵爽的证明……。几百种之多。
欣赏数学的真善美
世上万物，以真善美为最高境界。
“教育形态的数学”与“学术形态的数 学”之间的一个重大区别， 就在于是否 具有“数学欣赏”的内涵。 冰冷美丽下的火热思考 二者都要欣赏。 被淹没在形式演绎 的海洋里的真善美，需要大力挖掘、 用心体察才能发现， 感受、体验和欣赏。

语文教学与数学教学

数学教学之贫困

数学各章小结就是一幅 逻辑框图。
数学思想呢？数学价值呢？……

把数学等同与逻辑， 就把美丽的数学女 王， 描写成一幅X光片里的一付骨架
欣赏需要指导、培育




提出问题， 揭示冰冷形式后面的 数学本质； 对比分析， 体察古今中外的数学 理性精神； 梳理思想， 领略抽象数学模型的 智慧结晶； 构作意境， 沟通数学思考背后的 人文情景。
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例2. “飞矢不动”与“瞬时速 度”。

欣赏点：“辩证精密思维的典范， 微积 分思维的人文意境”。
微分学的精髓在于认识函数的局部。如 何透过微积分教材的形式化陈述，真正 领略微积分的思考本质， 是微积分教学 的一项重要任务。

飞矢不动静止的运动观 函数描写运动的局限性



古希腊哲学家芝诺问他的学生：“一支射出的 箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是 不动的？” “不动的，老师。” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的”
惠施（约前370—约前310）提出“飞鸟之景，
未尝动也”，



把直觉的瞬时速度， 化为可以言传的瞬 时速度， 需要克服 “飞矢不动“的芝诺 悖论。 考察函数不能孤立地一点一点考察， 而 要联系其周围环境。 这是微积分的核心 思想之一： 考察“局部”。 微积分的 “真”， 通过局部的精密分析 显示出来，使人觉得“妙不可言”。
“近朱者赤， 近墨者黑”。
看人，要问他/她的身世、家庭、社会关系， 孤立地考察一个人是不行的。 函数也是一样， 孤立地只看一点的数值不行， 还要和周围个点上的函数值联系起来看。微积 分就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地 考察一点、不及周围的静态思考， 转而用动态 地考察“局部”的思考方法， 终于创造了科学 的黄金时代。