向量解题技巧

向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确

(1)若c

a c

b b a 则,,；

(2)两向量b a

、相等的充要条件是b a 且共线、b a ； (3)

b

a 是向量

b

a 的必要不充分条件；

(1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C

D B A

是四边形ABCD

为平行四边形的充要条件； (2)

D

C B A 的充要条件是A 与C 重合，

D B 与重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a

与b

不共线，则

b

a b a 与是以a

与b

为邻边的平行四边形两条对角线

所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2

2

1

1

y x B y x A ，

则

A O

B O B A

)

,(),(),(12121122y y x x y x y x 。

例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1( c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2

123.2123.2321.2321. 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已

知两点),3,1(),1,3( B A 若点

满足C B

O A O C O

，其中R ,且

1 ，则点

C 的轨迹为（ ）

52. 02.0)2()1.( 01123.22 y x D y x C y x B y x A

例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)

(C

A C

A B A B A A O P O

，),0[ ，则P

的轨迹一定过ABC 的（）

.

A 外心 .

B 内心

.

C 重心

.

D 垂心

例5 设G 是ABC 内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC 重心，则0

C B B G A G ；

(2)若0

C B B G A G ，则G 是为ABC 重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线

与C A B A

)，只需证明存在实数 ，使C

A B A

，，其中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若

)

,(),,(2211y x b y x a

，

则

)

(0//12211221y x y x y x y x b a b a

例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O

，其中t 为一变量。

证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、

B 点？

例2 证明：始点在同一点的向量b

a b a

23 、、的终点

在同一直线上

例3 对于非零向量b

a b a b a b a

求证：、,

四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1 已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(y Q P N M 且Q P N M

//，求y 的值。

例2 已知点)2,1( A ，若向量,

132)3,2( B A a B A

同向，与则B

点的坐标是____.

例3 平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3( c b a

，则： (1) 求;23c b a (2)

n

m c n b m a 、的实数求满足

(3) 若;

),2//()(k a b b k a 求实数

(4) 设.,1)//()(),(d c d b a c d y x d 求且满足

例4

(1) 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ，求的坐标

的交点，与P B D C A

。

(2)

若平行四边形ABCD 的顶点

的坐标。求顶点D C B A ),6,5(),1,3(),2,1(

五、向量的数量积的求法

求数量积：

•• •2121cos y y x x b a b a b a 坐标法：定义法：

当

1800// 和时，b a

两种可能。故b a b a

• •

一些重要的结论：

22a

a a a • ；2

222)(b

b a a b a • ；

2

2

))((b a b a b a

例1 设c b a

,,是任意的非零的向量，

且相互不共线，则（ ）

2249)23)(23(()(;

;0)()(b

a b a b a ④c b c a a c b ③b a b a ②b a c c b a ① •• • • •垂直不与）

其中是真命题的为（ ） ②④③④C ②③B ①②A D. . . .

例2 已知平面上三点A 、B 、C ，满足,

5,4,3 A C C B B A

则B

A A C A C C

B

C B B A

• • •的值等于________。

例

3 已知向量b

a 和的夹角为

120，且

.______)2(,5,2 • a b a b a

则

六、如何求向量的长度

形如b a

的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方 ，即：

2

2

2

2

2

2b b a a b a

•

例1 已知向量____,,60,4,, b a b a b a b a

则的夹角为与____,

b a 其中

.

___________,方向夹角为与方向的夹角为与a b a a b a