§3.2 不变子群和商群
不变子群的判别条件
不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
群论第二章ppt
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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
同态与不变子群
第15 讲§11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不G。
由此，我们变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。
而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。
该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。
在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。
群G的同态象G可以设想是G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。
都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有非单非同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样。
上述存在的关系就是本节的重点。
为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。
4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。
所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核定义1：设G G →:ϕ是一个群同态映射，（即G b a b a ab ∈∀=,)()()( ϕϕϕ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈ϕ叫做ϕ的核，记为)(ϕKer 。
即 })(|{)(e x G x Ker =∈=ϕϕ.结论1：设G G →:ϕ是群同态映射，那么G Ker )(ϕ. 证明：设)(ϕKer N =.N e e e ∈⇒=)(ϕ .∴∅≠N . N y x G N ∈∀≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(ϕϕϕ.∴N xy ∈.N x ∈∀.e e x x ===---111))(()(ϕϕ.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈∀,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111ϕϕϕϕϕϕϕϕ∴N gxg ∈-1由上知G N 结论2：设)(ϕKer N =是G G →:ϕ的群同态映射的核，那么ϕ是单同态 }{e N ⇔.证明：N x ∈∀⇒ )(. ∴e x =)(ϕ.而显然N e ∈且e e =)(ϕ.于是 )()(e x ϕϕ=.但ϕ是单射e x =⇒.由x 的任意性知}{e N =.)(⇐ 设G y x ∈,且有e y x y x =⇒=-1)()()()(ϕϕϕϕ,即e xy =-)(1ϕ ∴ e xy e N xy =⇒=∈--11}{.即y x =. ∴ϕ是单射.二、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射N G G →:ϕ，其中：xN x =)(ϕ.证明：显然xN x G x =∈∀)(.ϕ（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯一确定的） 又因为N G aN ∈∀ ，那么ϕϕ⇒=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ϕϕϕ===∈∀∴)()()(y x xy ϕϕϕ= 即N G G →:ϕ一个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。
第三章循环群群的结构信息安全数学
循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群．
证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t，
于是
gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以
n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm
到(g)的映射：对于任意 k Zm， f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ，
子群的陪集
证明 1）a，h都是G的元素，由G的封闭性，我们有
ahG． 则对于任意baG，总有bG，于是aG G． 对于任意bG，我们有
b = eb = (aa1)b = a(
b = a(a1b)aG，
G aG． 故G = aG． 2） GG aG GG
aG
子群的陪集
M的另一种表示为M = {mt | tZ}．
显然M是整数加群Z的子群
设为模m的一个剩余类，即 i{i+mt| tZ}
于是我们有
i i+M
可见 i i+M 是M的一个陪集．由Z可以按模m分成 m个剩余类，则Z可以按M分成m个陪集：
M，1+M，2+M，…，(m1)+M．
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
群论02_第二章
都可表为
42
证明：若
和
属于同一个左陪集
，则
反之，若
，则 和 同属左陪集
上面推论同样适用于右陪集，两元素只是属同一右 陪集的充要条件是 如果子群的所有左陪集 和右陪集 都对应 相等，则此子群称为不变子群，或正规子群。
不变子群的商群的概念。
43
三，共轭元素和类 定义：群 中两个元素 和 称为互相共轭，如果
3。
和
互相共轭。
群包含三个类： 一个不变子群：
48
当 是奇数时，顶点和对边中点的连线是二次固有 转动轴，当 是偶数时，两相对顶点的连线和对边 的连线都是二次固有转动轴。 群包含 个自逆类。
不变子群
群包含
个自逆类：
不变子群 和
49
习题
50
习题*
51
复习
群中所有互相共轭的元素的集合构成类。 不同类没有公共元素。恒元单独构成一类。阿贝尔 群每个元素构成一类。除恒元外，类不构成子群。
哈密顿量的本征函数可以用宇称来分类。宇称是系 统的一个守恒量。 4
作为一级近似，电偶极跃迁的几率与电偶极算符 在初末态波函数间的矩阵元模平方成正比。 电偶极算符和坐标算符成正比，在空间反演中是 奇函数。因此当初末态宇称相同时，这个矩阵元 的积分为零。也就是说，在宇称状态相同的初末 态间电偶极跃迁概率的一级近似为零。
10
以
为例来证明：
11
有限群的乘法表，简称群表。 称为左乘元素， 称为乘积元素。 称为右乘元素，
把左乘元素排在表的第一列，把右乘元素排在表的 第一行。第一行和第一列中元素的排列次序可以任 意，但一般使它们的排列次序相同，且第一个是恒 元。表中间的内容，分别按乘积规则填入相应的乘 积元素。 对应恒元的那一行与表头第一行相同，对应恒元的那 一列与表头的第一列相同。表的内容中每一行（每一 列）不会有重复元素。乘法表相同的两个群同构。但 乘法表不同的两个群不一定不同构。
2-8不变子群和商群
2019/9/30
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商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
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解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
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二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
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四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
群的阶与群中元素的阶的关系
群的阶与群中元素的阶的关系群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)群的定义 (2)群的阶的定义 (3)元的阶的定义 (4)子群、子群的陪集 (6)同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (7)不变子群与商群 (7)Cayley(凯莱)定理 (7)内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (9)3.1 有限群中关于元的阶 (9)有限群中元的阶的有限性 (9)有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)拉格朗日定理 (11)相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)有限交换群的结构定理 (13)相关例子 (14)参考文献 (16)致谢·········································································错误!未定义书签。
近世代数主要知识点
[5] x [3] x [2] x [6] x [5] x x [2] x [4] x [5]
5 4 3 3 2 2
[5] x [3] x ([2] [6]) x ([5] [2]) x ([4] 1) x [5]
5 4 3 2
等价关系与等价类
集合的等价关系 假如～满足以下规律Ⅰ反射律；a～a， 不管a是A的哪个元。Ⅱ， 对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～ c 同余关系
群的定义
群的第一定义 一个不空集合G对于乘法的代数运 算来说做成一个群，假如 ⅰG对于这个乘法来说是闭的 ⅱ结合律成立：a（bc）=（ab）c 对于G的任意的三个元a，b，c 都对； ⅲ对于G的任意两个元a，b来说， 方程ax=b 和ya=b都在G里有 解
子集
若集合b的每一个元 素都属于集合a，我们说，b是a 的子集 交集 集合a和集合b的所有共 同元所组成的集合就叫做a和b 的交集 并集 由至少属于集合a和b之一 的一切元素组成的集合就叫做a 和b的并集
映射 映射的定义 假如通过一个法则Ф ，对于任何一个
A1×A2×· · ×An的元都能得到一个唯一的D的元d， ·· ·· 那么这个法则叫做集合A1×A2×· · ×An到集合D的 ·· ·· 一个映射 像 逆象， 映射的相同 效果相同就行
代数运算
定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个 代数运算我们用。来表示
二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭 的 二元运算
群论所有答案
2.4 证明当群G的阶数为5，6，或7时，除恒元 外，不可能所有元素的阶数都是2 .
d
e
f
1
0
0
sin sin sin cos
0 g h i g h i 0 0 0
进行矩阵乘法运算得到：
d cos g sin sin ecos hsin sin f cos sin sin b a 0
acos g sin cos
asin sin d sin cos
bcos hsin cos bsin sin esin cos
对于H3中的元素Ri、Rj∵H3是H1和H2的交集∴ Ri∈H1 Rj∈H1 Ri∈H2 Rj∈H2∵H1、H2是G的子群满足封闭性∴H1、H2包含Ri、 Rj的乘积 即Ri Rj ∈ H1 Ri Rj ∈H2∴Ri Rj ∈H3 H3包含Ri、 Rj的乘积，封闭性即可得到证明 3、恒元
H1、H2是子群，所以必包含恒元E 恒元E是H1、H2的公共元素 E∈H3 4、逆元
X
0
d
0
d
'
b 0 b' 0
令（2）式的两侧同时左乘X，则 展开可知：
2 0 0 0
BX
1 2
X
0 0 0
2 0 0
0 1
3
0
3 1
a 3b
3c 3d a' 3b'
3c' 3d ' 2a 0
1 3a 3b
4
3a
3b
3a b
商群
又因为K是G的不变子群，所以 aha 1 K
1 即 aha H K，
由定理2知H ∩ K是H的不变子群
例6， 假定H是G的子群，N是G的不变子群，则HN是G的子群 证明： hn HN , h H , n N , 因为H是G的子群，所以h 1 H
意思为：子群H的包含元a的右陪集为a右乘H的每一个元。 为什么这样写呢？
看剩余类，含1的类即为H+1={…,-n+1,1,n+1,2n+1,…}
对于一般的G、H和元a： Ha {ha G | h H } 假定 b∈Ha， b～a 即 ba-1=h ∈ H
b=ha
反之 b=ha，h∈H，则 ba-1=h ∈ H b～a b Ha
例1， G = S3 = {（1），（12），（13），（23），
（123），（132）}]
H = {（1），（12）}
则 H（1）={（1），（12）}
H（13）={（13），（123）} H（23）={（23），（132）}
H（12）={（1），（12）}=H（1）
H（123）={（13），（123）}=H（13） H（132）=H（23）
即{a, an}={a, na}
由n≠e得a≠an, a≠na（否则由消去律得n=e） ∴an=na，由a的任意性知n属于G的中心。 单位元属于G的中心是很明显的事， 所以G的中心包含N
作业1 G=S3，找出S3的所有不变子群。
从上面的例子可以看出，任意一个群G的不变子群是存在的，
并且不是唯一的。那么G的子群中究竟有哪些是不变子群呢？ 或者说一个子群作为不变子群究竟应该具备什么条件呢？ 为此，我们先规定一个符号
3-2正规子群和商群
§2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
2014-4-9
18:39
一、正规子群的定义
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群） ，记作
N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群. 例2 任意群 G 的中心
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
2014-4-9 18:39
定理6
有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数.
证明:
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群 , 从而 反之, 设G是单群且G n 1.在G中任取
G显然是一个单群 . 元素a e.若 a n, 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾 .因此必a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数.
N H G ，且 N G，则 N H .
设是群G到群G的一个同态满射 , 则在之下 G的正规子群的像是 G的一个正规子群 , G的 正规子群的逆象是 G的一个正规子群 .
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四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
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五 商群的应用
定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则 G有p阶元素,从而有p阶子群. 证:
不变子群定义
不变子群定义
不变子群定义
不变子群即指一组间接的代数元素，它们的变换操作是组内的单位元。
不变子
群的概念来源于代数学研究对群用数学语言表示后发现的一些矛盾情况，而不变子群是用来解决这类问题的。
不变子群可以被看作是一个自治的群，它的所有元素都可以用组中的单位元表
示出来。
通常情况下，在一个大群中，有一个称为主群的小群，该群既是介於大群和不变子群之间的桥梁，也是大群中可寻找不变子群的元素并将它们组合成不变子群的窗口。
换而言之，不变子群的元素是从大群中可以找到的，而它的元素可以被识别出来。
不变子群的优点是可以被识别出来，在处理复杂的问题或释放变量后，可以快
速找到可控制的变换，从而解决所有问题。
它能明确结构，有助于对代数问题进行有效的描述。
不变子群的应用非常广泛，不仅在数学上有重要的作用，而且也在物理学、化
学以及工程等研究领域具有重要意义。
它被广泛用于求解复杂的群概念，从而了解不同种类中可能出现的解的物理意义。
不变子群也被用于现代计算机的工程技术中，用于解决某些具体的网络结构、编程问题以及许多其他复杂的问题。
同态与不变子群
联 系．
１ 群 同 态 及 同 态核 旧
定义 １ 设 ‘ ｐ ： Ｇ —Ｇ 是一个群 同态映射 ， （ 即‘ Ｐ ㈥ ： ‘ Ｐ （ ａ ） ‘ Ｐ （ ｂ ） Ｖ ａ ， ｂ ∈Ｇ） ， 那么Ｇ的单位元 ｅ 的全 部 原象 （ 逆象 ） 作 成的集合 ｘ ∈Ｇ Ｉ ‘ Ｐ （ ｘ ） ∈ｅ ｌ 叫做 ‘ Ｐ 的核 ， 记为
反之若 Ｈ ／ Ｎ＜ ３Ｇ ／ Ｎ． 由定理 ４ ｊ （ Ｈ ｆ Ｎ ） ＡＧ ． 但 （ Ｈ ， Ｎ ） ＝ 【 （ Ｈ ） 】 ， 所以 Ｈ＜ ３Ｇ ．
原象记为 （ Ｈ ） ， 即
‘ Ｐ （ Ｈ ） ＝ （ ｇ ∈Ｇ ｌ ‘ ｐ （ 曲∈Ｈ ｝ ．
第一同构定理： 设 Ｈ＜ ３ Ｇ且 Ｋ＜ ３ Ｇ ， 若 Ｋ≤Ｈ ， 那 么
第２ ９卷 第 ５ 期（ 上） ２ ０ １ ３ 年 ５月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ｌ ａ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｆ ｅ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
理．
即Ｋ ｅ ｒ （ ｑ ￣ ） ＝ ｛ ｘ ＥＧ ｌ ‘ Ｐ （ ｘ ） ∈ｅ ｝ ．
引理 １ 设 ‘ ｐ ： Ｇ —Ｇ 是群同态映射 ， 那么 Ｋ ｅ ｒ ＠） ｑＧ ． 引理 ２ 设 Ｎ ＝ ｋ ｅ ｒ （ ｑ ￣ ） 是‘ Ｐ ： Ｇ —Ｇ 的群同态映射 的核 ， 那
基金项 目： 新 疆 昌吉 学 院研 究群 体 项 目（ ２ ｏ １ １ Ｙ Ｊ ＱＴ Ｏ Ｏ １ ） ； 新 疆 昌 吉 学院 教研 资 助 项 目（ １ ￣ ｙ ｙ ｂ ０ １ ７ ）
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。
对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。
从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G ==ΛΛ.在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =，必有G h ∈。
（2） 结合律。
对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈，对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素，1-f称为f 的逆元素。
例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表.例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X Λ=映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P ΛΛ 其中n m m m ,,,21Λ是n ,,2,1Λ的任意排列，P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
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1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解： 因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
定理2 群 G 与 G 同态， 的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续） 定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN ( ab) N 做成的群为 G 关于
设N
N 的商群.
特例----剩余类加群
例
整数加群 ( Z , )，模4的剩余类：
定理6
有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数阶群.
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群, 从而 反之, 设G是单群且 G n 1.在G中任取 元素a e.若 a n , 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾.因此必 a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数. G显然是一个单群.
因为 (1) N {(1), (123), (132)} N (1 )
(12) N {(12), (23), (13)} N (1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
思考 能找出S3的所有不变子群吗？
复习
不变子群的定义
例子
不变子群的判定
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作 N
推论
Pq(p,q互为素数) 阶交换群必为循环群.
六 哈密顿群与单群 定义2 设G是一个非交换群.如果G的每个子群都是G 的正规子群,则称G是一个哈密尔顿群. 定义3 阶大于1且只有平凡正规子群的群,称为单群. 例6 四元数群 G={1,i, j, k, -1 –i, -j, -k} 是一个哈密尔顿群. 证: 首先,G是非交换群显然.其次,由上一章习题2.7 知G的非平凡子群只有
（1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
六、 商群的应用
定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则G有p阶元 素,从而有p阶子群. 证:
对n用数学归纳法. 当n 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 k n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a e, 若p a , 令
构成 ( Z , ) 的一个分类：
[0],[1],[2],[3]
Z 4 Z 4 Z 0 , 1 , 2 , 3
①分类中存在一个特殊的类[0]=4Z是Z的不变 子群；每个类正好是这个子群乘上这个类中 任取定的一个元素[i]=i+[0].
② 运算[a][b]=[a+b]
近世代数
§3-2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
判定子群的充要条件
定理2 设 H 是群 G 的非空子集, 则 H G 的充分必要条件是： (1) a, b H ，有 ab H 1 (2) a H ，有 a H 定理3 设 H 是群 G 的非空子集, 则 H G (3) a, b H ，有 a 1b H . 定理4 设 H 是群 G 的非空有限子集, 则 H G a, b H ，有 ab H (*).
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
C (G ) {c G | a G, ca ac}
都是不变子群.(证明) 例3 交换群的子群 都是不变子群. 如，nZ是Z的正规子群.
五、商群
G / N {aN | a G } N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
证明： ① N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 ( aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) ( abc ) N ，有结合律； ④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ ( a N )( aN ) eN ,有逆元.
K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)} B4 K 4 K 4 S4 B4 不是 S4 的不变子群.
四、不变子群的性质 性质1
N H , H G ，但 N 未必是 G
的不变子群，即无传递性. 性质2
N H G ，且 N G，则 N H .
a ps, 则 a s p, 定理成立. 若p不整除 a , 令 a m 1, 则(m, p) 1. 由于 m pn, n p , H m 故m n.令H a , 则由于G是交换群, 故 n 1 n. m 于是由归纳假设, 群 G 有p阶元, 任取其一 H 设为bH, 且 b r , 则 G (bH) r b r H r H, 从而p r , 令r pt, 则 b t p.
证明:
小结 1.正规子群的定义及性质 2.商群及哈密尔顿群 作业：2. 3. 7
4) N
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
(aN )(bN ) ( ab) N ( ba) N ( bN )( aN )
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a ) 为循环群, N G 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N
二、不变子群的定义
G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
C (G ) {c G | a G, ca ac}
都是不变子群.(证明) 例3 交换群的子群 都是不变子群. 如，nZ是Z的正规子群.
三、不变子群的判定
定理1
设
N G ，则 N 是 G 的不变子群 a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N
例2
n次交代群A n 是n次对称群Sn的一个正规子群. 证 :由于任意n次置换与其逆 有相同的奇偶
1
性, 从而易知A n 1 A n , 故 A n Sn .
思考题
我们知道“子群”的概念具有传递性: N H ，H G N G ，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？ N H, H G N G ？ 例3 S4
商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N ]. 2)如果 G 是有限群, 则商群
N 3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
G / N 的阶＝ [G : N ] ＝
G
.
G , 则 e eN N 为商群 G / N 的单位元, a 1 N 为 aN 的逆元.