综合与实践硬币滚动中的数学共19页文档
(课件)硬币滚动中的数学 省优获奖课件
1、滚动的轨迹？
O2
2、滚动的距离？
2r
2∙2πr=4πr
O1
3、相当于硬币自身滚动
了几圈？ 2圈
问题1、一条直线段
拓 将一个半径为
展 r的硬币分别
延 伸
在一段总长度 为2πr 的下列
r
2πr
轨道上滚动， 思考：1、在硬币滚动的
研究其滚动的 轨迹和距离.
过程中，圆与直线有何位 置关系？
2、画出圆心的滚动轨迹，
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
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则圆心O经过的路径弧O1O2的长为
60π∙1 180
=
π 3
3、如图③，∠ABC=90°，AB=BC=π，半径为1的⊙O从⊙O1的位
置 程出中发，，圆心⊙OO在经∠过A的B路C外径部长沿为A-B-C滚动π到+π⊙+ O9401的π8∙0位1 置=，52在π 这个过 4、如图④，△ABC的周长为4π，半径为1的⊙O从与AB相切于
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附赠 中高考状元学习方法
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前 言
高考状元是一个特殊的群体，在许 多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
硬币的滚动圈数
硬币的滚动圈数
制作人： 杨 威 / 谷尚品 单位：温州滨海学校/温州市蒲鞋市小学
d=2米 d=2米 d=3米
12.56米 18.84米
18.84米
旋转几周？
r=1
r=1
R=2
r=1
R=3
r=1
A
C
B
Chen Jiacang Work Studio for Teachers of Zhejiang
谢 谢！
制作人： 杨 威 / 谷尚品 单位：温州滨海学校/温州市蒲鞋市小学
这个问题为什么会引起人们那么多的争论呢？ 这是因为人们已经非常熟悉物体在直线滚动的 规律，并且很自然地把这一规律运用到物体在 圆周上滚动的情形中，而实际上这两者却有着 重大的区别。
取八个大小相同的硬币，摆成下图形状。最 上端那个硬币圆（A）顺着排成圈的6个硬币滚 动着旋转一圈。硬币A自己一共转了几圈？
R=4
r=2
R=3
r=1
R=2
r=1
R=3
r=1
R=4
大圆的半径为5厘米，小圆的半径为1厘米， 小圆分别沿着大圆的内外壁滚动到原来的位置， 求两个小圆分别滚动了几圈？
在一块边长为8.28厘米的正方形内有一个 半径为1厘米的小圆，小圆紧贴正方形内壁滚 动一周，小圆自己转几圈？
硬币旋转问题最早刊登在1867年的《科学 美国人》月刊上。当时读者对“2圈”这一结果 也同样难于理解。由于争论的信件实在太多， 以致于编辑部不得不于1868年4月宣布不再讨 论这一问题。
综合与实践硬币滚动中的数学
圆心。
变式 问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长 圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长
圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简 单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。
“滚动的硬币”实验方案
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
硬币滚动中的数学
10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和． 解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数 及哪几段弧 ． 点评 学生通过做实验， 画图， 观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切， 所以当硬币要由一个圆形 到另一个圆形时， 会与这两个圆形轨道同时外切 ． 因此 就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形， 而 得到 ∠BCD = 60 ° ， 所以 ∠ OAB = 120 ° ， 即硬币在两侧的 弧所对的圆心角是 120 ° ， 在中间所经过弧所对的圆心角 都是 60 °． （ 3 ） 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ： 多了 DE， 还要加DE 的长度 ． 生5 ： 运动距离为两部分的和， 即线段的长度加弧长DE． 老师请画图的学生说明原因 ． 生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时， 都和直线 AC OA 始终和直线垂直， 和 BC 相切， 在运动过程中， 所以当 圆心 O 从 D 到 E 时， 多走了一段 DE， 圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度， 在线段 BC 运动的距离等 点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段 ． 滚动 的距离实际是圆心 O 移动的距离 、 线段的长度 ． （ 2 ） 由两条直线段组成， 其夹角为 α． 师： 当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时， 圆与直线是什 么位置关系？ 生： 仍然相切， 此时过切点的半径与切线垂直 ． 师： （ 1 ） 这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的 长度吗？ （ 2 ） 角度对滚动的距离有什么影响？ 老师示意小组合作， 动手实验 ．
华东师大九年级下第27章综合实践硬币滚动中的数学教学设计
二、学情分析
九年级下学期的学生已经具备了一定的数学基础和思维能力，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，他们对综合实践活动有较高的兴趣和热情，希望通过实践活动解决实际问题。然而，学生在解决实际问题时，可能仍存在以下困难：一是将理论知识与实际问题相结合的能力较弱；二是小组合作中，沟通与协作能力有待提高；三是面对复杂问题时，缺乏独立思考和解决问题的能力。因此，在本章节的教学过程中，教师应关注学生的这些特点，有针对性地进行教学设计和引导，帮助他们克服困难，提高数学综合素养。同时，注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与实践活动，培养他们的探究精神和创新意识。
华东师大九年级Biblioteka 第27章综合实践硬币滚动中的数学教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握滚动的基本概念，通过硬币滚动的实践活动，深化对圆周率π的认识，以及圆的周长和直径的关系。
2.学会运用数学公式进行实际问题的计算，例如，通过测量硬币滚动一定距离的数据，计算硬币的周长，并进一步求解π的近似值。
2.引导学生运用数学方法对硬币滚动中的数学问题进行定量和定性分析，学习如何收集数据、处理数据，并从中寻找规律。
3.通过小组合作的方式，培养学生团队协作的能力，学会倾听他人意见，表达个人观点，共同完成学习任务。
4.教学过程中，教师应关注学生的个别差异，因材施教，引导他们通过自主学习、合作学习、探究学习等多样化学习方式，提高数学思维能力。
2.以任务驱动法为主线，设计具有挑战性的学习任务，让学生在完成任务的过程中，自主探究、发现、解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、讨论等途径，主动探索硬币滚动中的数学规律。
华东师大版九年级下册第27章圆硬币滚动中的数学课件
数学课件
2020/8/21
第五套人民币硬币尺寸
直径1.9cm
直径2.05cm
直径2.5cm
【感知1】
将一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，
它所滚过的距离是
.
【发现】 一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度
等于这个圆滚动过的路径长度.
1
A
B
一般情况:
长度除以这个圆的周长.-1 0 1 源自 3 4 5 6 7【实践】
经观察某变速箱中太阳齿 轮和行星齿轮的齿数分别 为24和12，当行星齿轮绕 着太阳齿轮转一周时，它 将自转几圈？
答：3圈
【实践】
课堂小结
硬币滚动
数学知识
圆与直线 位置关系
相切
外切
数学思想
数形结合
归纳思想
模型思想
将一枚半径为r的硬币沿着一条长度为l 的
线段滚动，它能滚动
圈.
l
【规律】 一个圆滚动的圈数等于圆心运动的路径
长度除以这个圆的周长.
【探索】 将两枚同样的硬币平放在桌上，固定其中
一个，而另一个沿着其边缘滚动一周，这时滚 动的硬币滚动了多少圈呢？
【结论】 一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度
等于这个圆滚动过的路径长度.
小组探究活动:
将一枚硬币固定，另一枚相同硬币沿着固定硬币 外缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了几圈？
答：2圈
遇到的问题:
1.滚动时出现打滑现象. 2.不确定何时硬币滚动一圈. 3.缺乏理论支持.
【发现】 一个圆滚动前进，其滚动的圈数受轨道形
状影响，由圆心运动的路径决定.
A
B
1圈
会跳动的硬币科学教案中班
会跳动的硬币科学教案中班教案标题：会跳动的硬币科学教案（中班）教学目标：1. 通过观察和实践，让学生了解硬币在不同表面上的运动方式。
2. 培养学生的观察力、实验探究能力和解决问题的能力。
3. 培养学生的合作与分享精神。
教学准备：1. 硬币（不同面额的硬币，如1元、5元等）2. 不同表面的材料（如木板、玻璃、纸张等）3. 实验记录表格4. 教学展示板5. 相关科学绘本或图片教学过程：引入：1. 引导学生回顾硬币的特点，如形状、材质等。
2. 展示不同面额的硬币，并鼓励学生观察它们的相似之处和不同之处。
探究活动：1. 将不同表面的材料放在桌上，让学生观察并预测硬币在不同表面上的运动方式。
2. 将一枚硬币放在木板上，让学生观察并描述硬币的运动方式。
3. 让学生尝试将硬币放在其他材料上，观察并记录硬币在不同表面上的运动方式。
4. 引导学生讨论他们的观察结果，询问他们是否发现了某些规律或模式。
5. 鼓励学生提出问题，如为什么硬币在某些表面上会跳动，而在其他表面上则不会。
总结与延伸：1. 教师总结学生的观察结果，并强调硬币在光滑表面上可能会滑动，而在粗糙表面上可能会跳动。
2. 延伸讨论：为什么硬币在光滑表面上滑动？为什么在粗糙表面上会跳动？3. 鼓励学生提出自己的解释和想法，并进行实验验证。
4. 结合科学绘本或图片，进一步加深学生对硬币运动方式的理解。
评估：1. 观察学生在活动中的参与程度和表现。
2. 收集学生的实验记录表格，评估他们对硬币运动方式的理解。
拓展活动：1. 让学生尝试使用不同材料制作斜面，观察硬币在斜面上的运动方式。
2. 引导学生思考：如何改变硬币的运动方式？他们能否设计一个实验来验证自己的想法？教学反思：1. 教师在活动中应注重观察学生的实验过程和思考过程，及时给予指导和鼓励。
2. 需要注意学生的安全意识，确保他们正确使用实验材料。
3. 教师可以根据学生的实际情况，适当调整活动的难度和深度。
硬币的滚动问题
C
a 180
B
2 r 360
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r旳硬币沿
⊿ABC旳外侧滚动一周需转 4 圈；
rO
O1
120°
A
2 r 60C°
2 r
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形旳
外侧滚动一周需转 5 圈.
rO
O1
A
2 r
C O2
2 r
B O3
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r旳线段AB在中点C处折成60°，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O
r
O1120°
A
2 r 60C°
2 r
B
拓展延伸
思索：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O r
O1
A
圆周长
硬币转动旳圈数= 2 2r 2 2 r
多边形的周长为2 r
O
O
O
r
r
r
O
O
O
r
r …… r
r
边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r旳硬币沿着另一枚半 径为2r旳硬币旳边沿滚动一周，这时滚动
旳硬币滚动了 3 圈
Or
2r O1
2r Or O1
学以致用
将4枚半径为1cm旳硬币放在桌上，固定其中三枚，
2 r
B
O2
2 r
2 r
D
2 r C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三
硬币的滚动轨迹研究
硬币的滚动轨迹研究一、课程目标知识目标：1. 让学生理解硬币滚动的基本原理，掌握影响硬币滚动轨迹的因素；2. 帮助学生掌握运用数学知识描述硬币滚动轨迹的方法；3. 引导学生了解圆周运动的基本概念及其在硬币滚动中的应用。
技能目标：1. 培养学生运用观察、实验、数据分析等方法研究硬币滚动轨迹的能力；2. 提高学生运用几何图形和数学公式解决问题的技能；3. 培养学生团队协作、沟通交流的能力，能够共同完成硬币滚动轨迹的研究任务。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对科学研究的兴趣，激发学生探索未知世界的热情；2. 培养学生严谨求实的科学态度，敢于面对困难和挑战；3. 引导学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生运用数学知识解决实际问题的信心。
课程性质分析：本课程属于自然科学与数学相结合的探究性学习，注重实验观察与理论分析相结合，旨在培养学生的实践操作能力和逻辑思维能力。
学生特点分析：六年级学生对科学实验有较高的兴趣，具备一定的观察、分析和总结能力。
在此基础上，学生能够通过本课程的学习，进一步提高探究问题和解决问题的能力。
教学要求：1. 教师应注重引导学生从实践中发现问题，激发学生的探究欲望；2. 教师要关注学生在探究过程中的思维发展，适时给予指导；3. 教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，培养团队协作精神。
二、教学内容1. 硬币滚动的基本原理：引导学生理解硬币在滚动过程中的力学原理，包括重力、摩擦力等；教材章节：《力学》第五章“力的作用与运动”2. 影响硬币滚动轨迹的因素：探讨硬币大小、重量、表面材质等对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第五章“摩擦力”、《几何》第二章“圆的性质”3. 描述硬币滚动轨迹的方法：教授学生运用几何图形、数学公式描述硬币滚动轨迹；教材章节：《几何》第二章“圆的方程”、“圆的切线方程”4. 圆周运动在硬币滚动中的应用：分析硬币滚动过程中圆周运动的特点及其对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第四章“匀速圆周运动”5. 实践操作与数据分析：组织学生进行硬币滚动实验，收集数据，分析并总结规律；教材章节：《实验指导》第三章“力学实验”教学进度安排：第一课时：硬币滚动的基本原理及影响滚动轨迹的因素；第二课时：描述硬币滚动轨迹的方法；第三课时：圆周运动在硬币滚动中的应用；第四课时：实践操作与数据分析。
硬币里面见数学
硬币里面见数学作者：周叙吟来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期“哎呀，哎呀，要输了，要输了！”“快倒快倒！哈哈哈，我赢了！”数学老师还在讲台上滔滔不绝，调皮的小明和小强却早已按捺不住，用书本做掩护，玩起了滚硬币的游戏.“小明，小强，你们要注意听课啊，今天讲的圆的知识很重要，不听岂不是损失大了？”坐在前面的“模范生”小刚悄悄提醒道.“没事没事，数学多无聊啊，听还不如趁着机会好好玩一玩呢！”小明嬉皮笑脸地回答道.“小明，小强，你们把头藏在书本里干什么？”老师厉声说道，这使小明和小强不由得打了个寒战.“报……告老师，我们听不懂您讲的内容，所……以就……玩了一会儿滚硬币……”小强结结巴巴地回答道.“滚硬币？你可知道，这滚硬币里面可有着大学问呢！”老师笑着走向他们，拿起他们手中的硬币，“如果这枚硬币沿着直线滚动一周，你们能不能计算出它的圆心移动的路程呢？”“这太容易了！”小刚抢答道，“将硬币比作一个圆，设半径为r，那么滚动的路程就是它的周长2πr.”“可我如果把题目变化一下呢，你还能顺利解答吗？如果是两个同样大小的硬币，固定其中一个，另一个沿着其边缘滚动一周呢？”老师的话音刚落，同学们就七嘴八舌地讨论开了，有拿着硬币滚的，有找演草纸算的.没多久，小刚又算出了答案：“设圆的半径为r，则一枚硬币沿着另一枚的边缘滚动一周圆心所走的路程是以2r为半径的圆周长，即为4πr.”“回答得很好！”老师满意地笑了，“那如果又变成半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆形连贯而成图形的边缘滚动呢？”题目一出，讲台下鸦雀无声，同学们皱着眉头，迟迟找不到头绪. 不知过了多久，一个微小的声音响起：“答案应该是6πr吧.”同学们向声音的来源寻去，惊讶地发现，回答问题的竟然是平时调皮捣蛋，成绩也不好的小明.见同学们一脸疑惑，小明又补充道：“三个圆外切时，圆心的连线可以组成一个等边三角形，通过弧长公式就可以求出答案.”一阵短暂的安静后，教室里爆发出了雷鸣般的掌声，大家都向小明投来了赞许的目光.老师微笑着说道：“在数学的学习过程中，没有优等生和后进生之说，只有爱动脑的和不爱动脑的同学.我们要勤思考，在生活的一点一滴中找到数学的影子. 一旦你钻进数学这个美丽的洞穴，你就会被它的奇妙所吸引.让我们一起去思索，攻克一个又一个难题吧，我相信，你一定会爱上数学.今天就讲到这里，下课！”随着老师的离开，教室里的同学们又纷纷聚到了一起.“如果硬币绕着三角形旋转呢，路程又是多少？”“小明，刚刚你讲的我还有一点不懂，你能讲给我听吗？”……教师点评：你将一节课的收获，用这样具有创意的方式进行演绎，别具匠心.文章的几个主人公，是不是就是你们小组的同学呢？课堂上，我们将数学知识融入游戏中，而你又将数学知识融入故事中，真的很精彩！（指导教师：王磊）。
硬币中的数学共22页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
O
BC O
A
思考：将轨道改为下列情形，半径为r的圆O沿着 轨道(6个均半径为r的圆形相拼而成的图形)滚动， 圆心所经过的路线是怎样的？路线的长度是多少？
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从Байду номын сангаас后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
A
B
A B
问题3：将长为2πr的直线折成如图一个夹角为α （∠ABC）的轨道，半径为r的圆O沿着轨道ABC 滚动，圆O滚动了几圈？ 圆心所经过的路线是怎样的？路线的长度是多少？
C
A
B
UC
T
O
L
A
KB
问题3：将长为2πr的直线折成如图一个夹角为α （∠ABC）的轨道，半径为r的圆O沿着轨道ABC 滚动，圆O滚动了几圈？ 圆心所经过的路线是怎样的？路线的长度是多少？
硬币滚动中
的数学
C A
问题1：半径为r的圆沿着直线滚动一圈， 它所滚动的距离是多少？