数值分析期末复习资料

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习

题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明

第一章 误差与有效数字

一、 有效数字

1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说

x*有n 位有效数字。 2、 两点理解：

（1） 四舍五入的一定是有效数字

（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点：

（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）

二、 避免误差危害原则 1、 原则：

（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）

（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14

三、 数值运算的误差估计 1、 公式：

（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时

除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5

（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4

*(1)

11

102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =

第二章 插值法

一、 插值条件

1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值

yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使

2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一

二、 拉格朗日插值及其余项

1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））

2、 插值多项式表达式（P26（2.9））

3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计

4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1

三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：

（1） 可表示为函数值的线性组合

（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式

四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法：

（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相

等各2个）

（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14

五、三次样条插值定义

n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==

（1） 分段函数，每段都是三次多项式

（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）

（3）

考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题

第三章 函数逼近与曲线拟合

一、 曲线拟合的最小二乘法

解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代

第四章 数值积分与数值微分

一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，

则称该求积公式具有m 次代数精度

2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2,

…x n 代入式子求解 eg.P100例1

二、 插值型的求积公式

求积系数

定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

n

j y x S j j ,,1,0,)( =

=

三、 牛顿-科特斯公式

1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性

2、 定理：当n 为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公

式至少具有n+1次代数精度 3、 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即,k b a

x a kh h n

-=+=

，k=0，1，2，….n 。则可构造牛顿-柯斯特求积公式:

()()()

n 0

00

00(1)=b-a (),!()n

n

n k n n

n

n n k k k k j j j k

j k

b a t j I C f x C dt t j dt h k j nk n k -===≠≠---==---∑∏∏⎰⎰（）！ n=1时，求积公式为梯形公式：()()()()2

b a

b a f x dx f a f b -≈+⎡⎤⎣⎦⎰

n=2时，求积公式为辛普森公式：

()()()()46

2b a

b a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫

≈

++ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎣

⎦

⎰ n=4时，求积公式为柯特斯公式：

()()()()()()()012347321232790

b a

b a f x dx f x f x f x f x f x -⎡⎤≈

++++⎣⎦⎰ 4、 低阶求积公式的余项： 梯形公式：()()

()[]2

,,12

T

b a R b a f a b ηη-''=-

-∈

辛普森公式：()()()[]4

4,,1802S b a b a R f a b ηη--⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭

柯特斯公式：()()

()[]6

62,,9454C b a b a R f a b ηη--⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭

5、 复合梯形公式及余项（P106）

()()()1122n n k k h T f a f x f b -=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑()()()1

2

10

b-a ,12n n n k k k k k R f I T h f x x ηη-+=''=-=-∈+∑

6、 复合辛普森公式及余项（P107）

()()

()()1211

01426n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦

∑∑

()()()4

1

4

10b-a ,1802n n n k k k k k h R f I S f x x ηη-+=⎛⎫=-=-∈+ ⎪⎝⎭

∑