第七章常微分方程习题课

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7-7常系数齐次线性微分方程习题课

y = C1e−2x + C2e2x + C3 cos 3x + C4 sin 3xr1, 2 = −3 2i 故所求通解为 y = e−3x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
第七章第七节
3
3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3
解特征方程为 r2 + 4r + 4 = 0
解得 r1 = r2 = −2 故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x
第七章第七节
2
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
解特征方程为 r2 + r − 12 = 0
解得 r1 = −4 , r2 = 3 故所求通解为 y = C1e−4x + C2e3x
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。
解特征方程为 r2 + 6r + 13 = 0
以上结论可推广到更高阶常系数线性微分方程
第七章第七节
1
1 求 y + y − 12 y = 0 的通解。
2 求 y + 6 y + 13 y = 0 的通解。 3 求解 y + 4 y + 4 y = 0 , y(0) = 0 , y(0) = −3 4 求解 y(4) + 2 y + y = 0 5 求解 y(4) + 5 y − 36 y = 0
7.7 常系数齐次线性微分方程习题解答
二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = 0
解题思路：特征方程法特征方程: r 2 + p r + q = 0 , 特征根：

（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案

（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()?+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程=x y f dx dy 令u xy=，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-??||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

高等数学微分方程第七章练习题答案

第七章练习题一、填空：第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是一阶常微分方程. 3、01"=+xy 是二阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是（ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为（ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ）（A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为（ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

高等数学第七章第八节常系数非齐次线性微分方程习题课

0
+
C2
cos
0
+
1 2
e0
1 = 1 C1 = 2
=
1
C2
=
1 2
f ( x) = 1 cos x + 1 sin x + 1 ex
2
2
2
第七章第八节
7
对于 y + y − 2 y = 6xex (1)
设 (1) 的特解为：y1 = x( Ax + B)e x
A
=
1,
B
=
−
2 3
y1
=
x( x
−
2)e x 3
对于 y + y − 2 y = −4x (2)
设 (2) 的特解为：y2 = Cx + D 叠加原理
C = 2 , D = 1 y2 = 2x + 1
第七章第八节
4
Q( x) + (2 + p)Q( x) + (2 + p + q)Q( x) = Pm ( x) y = Q( x)eλx = xkQm ( x)e λx
3 求 y + y − 2 y = x(6ex − 4)的通解。
解特征方程 r2 + r − 2 = 0
特征根 r1 = −2 , r2 = 1
A
=
3 2
y = x( 3 x − 3)e− x
B = −3
2
原方程通解为
y
=
C1e−
x
+
C2e−2 x
+
x(
3 2
x
−
3)e− x
第七章第八节

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。

高数第七章微分方程常微分方程

铁岭师范高等专科学校理工学院数学教研室
5．微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件： y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始条件。
(
y) x
的方程，称为齐次方程。
例如（1）2xy d y (x2 y2 ) d x 0
（2）(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2．齐次方程的求解：
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后，再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中，令 u y ，化简并整
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第一讲微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程方程
授课题目（章节）§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程教学目的与要求：了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念； 2．会识别变量可分离的一阶微分方程，熟练掌握可分离
用常数变易法，令：y ueP(x)dx ，其中u u(x) 为待定函数，
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ，可解
得：u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此，非齐次微分方程 d y P(x)y
解为： d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x

高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二)

即
( 欧拉方程 )
26
解初值问题:
则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
12
练习题: P326 题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9),
(10)
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以为通解的微分方程. 2 2 (xC) y 1 消去 C 得提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dp f ( x , p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法齐次代数法 • 常系数情形非齐次 • 欧拉方程 2 x y p x y q y f ( x ) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (e t )
练习题: P327 题 2
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量代换因变量代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
4
例1. 求下列方程的通解
1 y x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
3
2 2 ( 2) x y x y y ;
思考
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y * A cos 2 x B sin 2 x D
24
2 y a y 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C 2 . 再解 dx 1 a x

常微分方程习题课

y
P ( x, y)
(99.数1,6分)
Q
O
x
解 :曲线y = y( x )上点P ( x , y )处的切线为 :
Y − y = y '( x )( X − x ).
y 它与 x 轴的交点为( x − , 0)， y'
由于 y '( x ) > 0, y (0) = 1, 所以 y ( x ) > 0,
所以此时间间隔内湖泊中污染物A的改变量 m0 m dm = ( − )dt。 6 3
m0 分离变量得 : m = − Ce 2
代入初始条件 m
t =0
−
t 3
,
9 = 5m0 , 得 C = − m0 . 2
− t 3
所以
m0 m= (1 + 9 e 2
).
令 m = m 0 , 得 : t = 6 ln 3。
(1 + xg ( x ))(1 + ∆ xg ( ∆ x )) − 1 − xg ( x ) = lim ∆x → 0 ∆ xg ( x )∆ xg ( ∆ x )) + ∆ xg ( ∆ x ) = lim ∆x → 0 ∆ = xg ( x ) + 1 = f ( x )，
即有 f ( x ) = f '( x ), ⇒ f ( x ) = Ce x。
12 有一盛满水的圆锥形漏斗,高为10cm,顶角
π
3
,
漏斗下面有面积为0.5cm2的孔,求水面高度的变化规律及水流完所花时间. 解:由水力学知道:
dV Q= = 0.62 S 2 gh , dt
r
h
dh
在[ t , t + dt ]时间段内, 水面高度由 h降为

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

第七章常微分方程答案

习题7.1—7.3一、判断1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．×；7．×。

二、选择二、选择题1．D ； 2．A ； 3．A ；4．B ；；5．A ； 6．B ；7．C ； 8．D 。

三、填空1．在横线上填上方程的名称①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程；④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。

2．3； 3．3； 4．2；5．2Cx y =； 6．C y x =+22；7．22x Cxe y =；四、解答题1．验证函数x x e e C y 23--+⋅=(C 为任意常数)是方程y e dx dy x 32-=-的通解，并求出满足初始条件0|=x y 的特解。

解：略2．求微分方程()()⎩⎨⎧==-++=1|011022x y dy x y dx y x 的通解和特解。

解：C x y =-+2211，1222=+y x 。

3．求微分方程x y x y dx dy tan +=的通解。

解：Cx xy =sin 。

4．求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+='=2|1x y x y y x y 的特解。

解：()2ln 222+=x x y 。

5．求微分方程x x y dx dy sin =+的通解。

解：()C x x x x y +-=cos sin 1。

习题7.41．求微分方程()()⎪⎩⎪⎨⎧==+--'+=1|0121027x y x y y x 的特解。

解：()()223131132+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x y 。

2. 求下列微分方程的通解.解：（1）直接用常数变量法.对应的齐次线性方程为 21dy y dx x =+，通解 2(1)y C x =+ 令非齐次线性方程522(1)1dy y x dx x -=++时，通解为 2()(1)y C x x =+ 代入方程得12()(1)C x x '=+，322()(1)3C x x C =++故所述方程的通解为 3222(1)(1)3y x C x ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦＝7222(1)(1)3x C x +++ （2）此题不是一阶线性方程，但把x 看作未知函数，y 看作自变量，所得微分方程4dx x y dy y+=即31dx x y dy y -= 是一阶线性方程 1()P y y=-，3()Q y y = 113413dy dy y y x e y e dy C y Cy -⎡⎤⎰⎰⎢⎥=+=+⎢⎥⎣⎦⎰ (3)这是一阶线性微分方程,原方程变形为2ln dy y x dx x+=,两边同乘22dx x e x ⎰=得 22()ln d x y x x dx= 积分得223311ln ln 39x y C x xdx C x x x =+=+-⎰ 由1(1)9y =-得0C =⇒11ln 39y x x x =- 3. 求下列微分方程的通解（1）()2ln dy y x y dx x+= （2）22x y xy y '+= 解（1）用2y 除方程的两边，得211ln dy y y x dx x --+= ()111ln d y y x dx x ---+=令1z y -=，则得一阶线性方程1ln dz z x dx x-=- ()11ln dx dx z e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()21ln 2x x C ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦用1z y -=代入，得()21ln 12yx x C ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ （2）所给方程既属于齐次方程又属于伯努利方程故两种方法以便对照解一 222d y y x y y y d x x x x -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令y u x =，则得2du u x u u dx +=-22du x u u dx =- 112ln 2du dx C x C u u x ==+-⎰⎰()11ln 2ln ln 2u u x C --=+⎡⎤⎣⎦22u Cx u -=，故22y x Cx y -=()22212 =1x y Cx x y Cx-=-，解二 221x d y x y d xy +=，令1z y =，得21dz x xz dx -+= 211dz z dx x x -=-，通解 112z C x x=+ 22122121x x y C x Cx ==+- 习题 7.5略习题 7.6略习题 7.7略习题 7.8略自测题答案一、判断1．×；2．√；二、填空1．()x C x C e y x sin cos 212+=； 2．()()111221+-+-=x C x C y ；3．()1sin cos 21++=x C x C e y x三、选择1．B ；2．C ；3．A ；4．A ；5．D ；6．D ．四、解答1．设x e y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解，求此微分方程满足条件0|2ln ==x y 的特解。

高等数学第七章常微分方程

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高等数学
第七章常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念一阶微分方程可降阶的高阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节微分方程的概念
一、微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx

高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解

例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x

2

A
p

ex , q
不是特征方程的根
y

A xex
2 p
是特征方程的单根 ,

A x 2ex 2
是特征方程的重根

微分方程习题课共54页

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里习题课
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

第七章一阶线性偏微分方程常微分方程课件高教社ppt 王高雄教材配套课件

第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

常微分方程练习题及答案

常微分方程练习题及答案(复习题)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程练习试卷一、23210d x x dt +=()x dyf xy y dx=_______3230d yy x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x xy x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+222()0d x dxx dt dt +=sin y y x'=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dtdX =)(t ΦX A dt dX=η=)0(x 2213dyx y dx=--(1,0)x Ax '=(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx)}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dtdX=ηϕ=)(0t ηϕ)(exp )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x=+3,2,1αβγ=-==-3y1()()t t -'ΦΦ25 00t Att e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dyxy y dx dx-+=13dy x y dx x y +-=-+10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩.d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+ 222arctanln (1)(2)1y x y C x -=++-++222()0d x dxx dt dt+=sin y y x'=+y y '=x y ce =()x y c x e =()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+()sin x c x e x -'=1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++1(sin cos )2x y ce x x =-+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-2M Nxy y x∂∂=-=∂∂22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=2222111(sin )()()0222d x d x y d y ++=2222sin x x y y C -+=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX=η=)0(x 31det()(2)(5)0,24A E λλλλλ---==++=--122,5λλ=-=-122,5λλ=-=-1211,,(,0).12V V αβαβ⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2525().2tt tt e e t ee ----⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦1211(0)113-⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦=ΦΦ=-ηϕ)0()()(1t t 2525211111132tt tt e e ee ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦25252134t t t t e e e e ----⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦2213dyx y dx=--(1,0)0()0x ϕ=221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰223452011133()[213()],1025xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰3284dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=dyp dx=3284p y x yp +=322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy-+-=32(4)(2)0dp p y y p dy --=20dp y p dy -=12p cy =2()p y c=2224c p x c =+22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3240p y -=123(4)py =3427y x =x Ax '=(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦221()69014p λλλλλ--==-+=-1,23λ=12n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑10()!in tii t e A E i λλ-=-∑[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ32()480dy dyxy y dx dx-+=2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦()t Φ1()t -Φ1()()()X t t t -=Φψ()X t det ()0X t ≠()()()t t X t ψ=Φ()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ()()()t A t t 'ψ=ψ()()0t X t 'Φ=()0,X t '=()X t C =()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx)}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡⎰++≡xx d y x 0,])([)(20ξξξψξψ,)(00y x =ϕ⎰∈++≡-xx n n x x d y x 0],[,,])([)(0120βαξξξϕξϕ),2,1( =nβ≤≤x x 00x x ≤≤α),()|||)(|(|)()(|0200x x M d x x xx -≤+≤-⎰ξξξψξϕψ|}||)(|{max 2],[x x x M x +=∈ψβα221000|()()|(|()()|)()(),2!xxx x MLx x d L M x d x x ψϕξψξϕξξξξ-≤-≤-=-⎰⎰ }{max 2],[x L x βα∈=n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕψ21xn n x |(x )(x )|(|()()|)d ψφξψξφξξ--≤-⎰,)(!)1()(!10010+--+=-≤⎰n xx n nn x x n ML d x n ML L ξξk1110|()()|()()!!k k kk k ML ML x x x x k k ψϕβα----≤-≤-k →∞0→)}({x n ϕβ≤≤x x 0)(x ψ)()(x x ϕψ≡β≤≤x x 0)(t ϕAX dtdX=ηϕ=)(0t ηϕ)(exp )(0t t A t -=At t exp )(=ΦAX dtdX=)(t ϕC (t )exp At C φ=⋅ 0t t =C At 0exp =ηη10)(exp -=At C1000(t )exp At (exp At )exp At exp(At )exp A(t t )φηηη-=⋅=⋅-=-。