第七章 常微分方程习题课

y3
y
故方程的通解为 x2 1 C . y3 y
23
(2) 利用曲线积分求解:
( x,y) 2 x dx
y2
3x2 dy
C,
y (0,1) 3
y4
即
x 2x
y y2 3x2
dx
dy C,
1 0 3
1
y4
x2
1 y
y 1
x2 y3
y 1
C.
故方程的通解为
x2 y3
1 y
C.
24
解：由线性微分方程解的结构理论知，
y2 y1及 y3 y1 是对应齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的解且它们线性无关，，所以对应齐次方程的通解
Y C1(e x x) C2 (e2x x)
故原方程的通解为 y C1(e x x) C2 (e2x x) x
由y(0) 1, y(0) 3 C1 1,C2 2
由
2 解得
4b 0，
a 1，
8 b 0，
y* 1
1 8
x;
(2)
设
y* 2
x(c cos 2x
d
sin
2 x ),
则
(
y* 2
)
(c
2dx)cos
2x
(d
2cx)sin
2x,
(
y* 2
)
(4d
4cx)cos
2x
(4c
4dx)sin
2
x,
代入 y 4 y 1 cos 2x，得 2
33
4d cos 2x 4c sin 2x 1 cos 2x, 2
r1,2 i
y ( C1 C2x ) er1 x y e x (C1 cos x C2 sin x )
13
★ n 阶常系数齐次线性方程解法
特征方程 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根
单实根 r 一对单复根：
r1,2 j
k 重实根 r
一对k 重共轭
解 特征方程 r 2 4 0,
特征根 r1,2 2i,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2x C2 sin 2x.
设原方程的特解为
y*
y* 1
y* 2
.
(1)
设
y* 1
ax
b,
则
(
y* 1
)
a,
(
y* 1
)
0,
代入 y 4 y 1 x，得 4ax 4b 1 x，
2
2
32
4a 1，
解 P (2x) 6x ,
y y y3
y4
Q ( y2 3x2 ) 6x , ( y 0 )
x x y4
y4
P Q , y x
方程为全微分方程.
22
(1) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为
2x 3x2
1
( dx dy) dy 0,
y3
y4
y2
即得
x2
1
d( ) d( ) 0,
1)x
x3 ]e x , 6
30
y(1) 1,
(C1
2C2
5)e 6
1,
由
C1
C2
1 e
1, 3
解得
C1
2C2
1 e
5, 6
C1
2 e
1 6
,
C
2
1 2
1, e
所以原方程满足初始条件的特解为
y [2 1 (1 1)x]e x x3 e x x2 e x .
e6 2e
62
31
例9 求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2x). 2
7
x3
2
Cx3 .
7
20
例3 求 dy dx
x
y y2 cos
的通解 y
解：将原方程写成
dx 1 x y cos y dy y
x
e
1 y
dy
(
y cos
y
)e
1 y
dy
dy
C
y
(
y
cos
y)
1 y
dy
C
y(C sin y)
21
例4
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
29
将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得
a 1, b 1,
6
2
原方程的一个特解为 y* x3 e x x2 e x , 62
故原方程的通解为
y
(C1
C2 x)e x
x3 6
ex
x2 2
ex.
y(1) 1,
(C1
C2
1 )e 3
1,
y
[
(C1
C2)
(C2
通解：y Y y*
求特解的方法 待定系数法
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根
设特解 y* xkexQm (x) k 1 是单根 ,
2 是重根
15
(2)
f
(
x)
ex
[
Pl
(1)
(
x)
cos
x
P(2) n
(
x)
sin
x]
型
设特解
y*
xkex[Rm(1) (x) cosx
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
2
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
8
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y P, y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
9
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果 y1( x)与 y2 ( x)是（1)的两个解,则
P C1 y 1,
即 dy dx
C1 y 1,
故方程的通解为 2 C1
C1 y 1 x C2.
27
例7 已知方程 y P( x) y Q( x) y f ( x)有三个
解 y1 x, y2 e x , y3 e2x ，求此方程满足初始条
件 y(0) 1, y(0) 3 的特解。
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
y1n z
e ( (1n)P( x)dx
Q(
x)(1
n)e
(1n) P (
x
) dx
dx
c
).
7
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
所求通解为 xy cos y C . x
18
4
例2 求通解 xy 2 y 3x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
y
4 3
y
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
12
★ 二阶常系数齐次线性方程解法
y p y q y 0 ( p , q为常数)
特征方程 r2 p r q 0 特征根 r1 , r2
特征根
r1 r2 实根
通解
y C1er1 x C2er2 x
r1 r2 p 2
（使用分离变量法）
当Q( x) 0, 非齐次
通解
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
（常数变易法）
6
(5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
4d 1，
由
2即
4c 0，
c 0，
d
1，
y* 2
1 8
x sin 2x;
8
故原方程的通解为
y
C1
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5
(4) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 齐次 通解 y Ce P( x)dx .
复根： j
通解中的对应项
C erx
ex (C1 cos x C2 sin x)
erx (C0 C1x Ck1xk1)
ex [(C0 C1x Ck1xk1) cosx (D0 D1x Dk1xk1) sin x]
14
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x)
2
1
y3
3x2,
x
令
1
z y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 , x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程
3x
2
对应齐方通解为 z Cx3 ,
19
利用常数变易法
2
设 z C(x)x3,
代入非齐方程得
2
C( x)x3 x2 ,
C(
x)
3
7
x3
C,
7
原方程的通解为
1
y3
3
R(2) m
(
x)
sin
x]
其中， Rm(1) (x), Rm(2) (x) 是 m 次多项式
m maxl, n
0 i 不是特征方程的根时; k 1 i 是特征方程的单根时.
16
二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
第七章 微分方程 一、基本要求
1. 知道并理解与微分方程相关的概念 2. 熟练掌握一阶微分方程的解法 3. 熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法 4. 理解线性微分方程解的结构 ５. 熟练掌握二阶常系数线性方程解法
1
二、内容提要
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
d( )
2
1
x (y
)2
,
x
1 y
x
y
ln 1
x y
ln C ,
x
故方程的通解为 e x y C x y . x y
26
例6 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
所求特解为 y 2e2x e x
28
例8 求特解 y 2 y y ( x 1)e x , y(1) y(1) 1.
解 特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根 r1 r2 1,
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b)x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
(2)
定理 3 设 y*是(2)的一个特解,若Y 是 (1)的通解, 则 y Y y*是(2)的通解.
定理 4 设(2)的右端 f ( x)是几个函数之和, 如
y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f2 ( x)而 y1*与 y2*分
别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
11
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n 阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
17
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
y C1 y1 C2 y2也是(1)的解.（C1, C2是常数）
定理 2：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
10
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
3
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微Leabharlann Baidu方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
4
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
例5 求通解 ( x2 y2 2 y)dx ( x2 y2 2x)dy 0.
解 P 2 y 2, Q 2x 2,
y
x
P Q , y x 利用积分因子法: 原方程重新组合为
非全微分方程.
( x2 y2 )(dx dy) 2( ydx xdy),
25
y
dx dy 2 ydx xdy x2 y2