隔板法解决排列组合问题

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隔板法解排列组合问题

隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。

[隔板法解排列组合问题]解读隔板法

[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。

应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

微专题隔板法解排列组合问题

微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。

利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个）所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。

（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。

（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。

组合例题+隔板法

(3) 分成的组别彼此相异
1.“至少分配一个”型
将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），每人（或位置）至少有一个。【例1】将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子，要求每个盒子至少放1个球，一共有多少种不同的放法？
C93种放法
将例1中10个球改为8个球，4个盒子改为3个盒子，有多少种放法呢？
练习、将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少 1个名额，有多少种不同的分配方法？
C17 19
2.“至少分配n个”型（减球插板）
【例2】将8个完全相同的小球放入3个编号为1、2、3的盒子，要求每个盒子的球数不少于其编号，一共有多少种不同的放法？
111
2
3
C42种放法
将例2改为：16个完全相同的球放入3个不同盒子，每个盒子至少3个球，有多少种放法呢？
3.“允许空位”型
（添球插人（或位置），允许若干个人（或名额）为空。
例3．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，允许盒子为空，共有多少种不同方法.
111
C120种放法
练习、将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
C222 231
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)C33n8n

C 3n 21 n
二、分组分配问题
• 昨日作业讲解

排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。

在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。

一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。

共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。

二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2）分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。

（4）若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。

隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题

1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子�7�6要求每个盒子非空共有多少种放法�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:�7�6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA �7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按�7�6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: �7�63629C �7�71526C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123�6�710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。

“隔板法”

“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。

（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。

（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有 C3286 种，所以该方程有 286 组非负整数整数解。

排列组合的基本方法——隔板法

一、知识要点预备：二、知识要点：排列组合的基本方法——隔板法排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其中涉及到名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起研究一下这种方法。

例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。

用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有59C 种方法。

按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标……依此类推，共有59126C =种分法。

例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解析：先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。

由例1可知，共有2615C =种不同的分配方法。

例3 研究不定方程123410x x x x +++=的正整数解有多少个？解析：该问题可以这样处理：将方程左边的1234x x x x 、、、看成是4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。

这样就相当于10个优秀名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法。

这样，本题就转化为里例1的形式，所以本题的答案即为3984C =。

例4 研究不定方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少个？解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的个数，即1234x x x x 、、、有可能等于0，所以本题就不能再直接的看成是例1的名额分配的问题了。

但我们可以通过转化将其转化为名额分配的问题。

方程123410x x x x +++=即为123411((1)14x x x x ++++++=（）（）+1)，通过这样的转化形式，11x +、21x +、3x +1、41x +就都是正整数了。

所以本题的最后答案是313286C =。

2015河南公务员考试行测冲刺：排列组合问题之隔板法

2015河南公务员考试行测冲刺：排列组合问题之隔板法排列组合问题一直是公务员行测考试的重点题型，也是很多考生感到头疼的题目。

在排列组合问题中有一种隔板法，如果将题干特征辨认清楚的话，套用公式可以帮助我们快速解题。

隔板法的题干特征有：(1)相同元素分堆;(2)每堆至少一个。

必须同时满足这两个条件才可以使用隔板法解决。

所求方法数为：例题1.10个相同的小球，放入4个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球，问有几种放法?A. 84B. 86C. 90D. 92【解析】本题是10个相同的小球，放到4个盒子里，满足相同元素分堆，每个盒子至少一个，满足每堆至少一个，两个条件同时满足，直接套用公式:，答案选A。

例题2. 某单位订阅了30份学习材料分发给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?A. 7B. 9C. 10D. 12【解析】本题中30份相同的学习材料发给3个部门，满足相同元素分堆问题，但是每个部门至少发放9份材料，又不满足每堆至少一个。

此时，我们需要想办法转化成隔板法的问题，他要求每个部门至少发放9份材料，我们就可以先每个部门发放8本材料，剩下的30-3×8=6本材料，再使用隔板法，每个部门至少一个，加上之前每个部门分得的一个，就满足了每个部门至少9个这个条件。

故应该为，答案为C。

例题3.刘老师有10支一模一样的铅笔，想要分给四个学生，他还没有想好每个学生分几只铅笔，问刘老师可能的分法有几种?A. 285B. 286C. 287D. 288【解析】10个相同的铅笔分给四个学生，满足相同元素分堆，但是还没有想好每个学生分几只铅笔，也即有的学生有可能没有铅笔，那现在这种情况也不满足隔板法的要求，我们就需要想办法转化成隔板法。

这里我们主要采取一个先“先借后还”的思想。

高中数学第一章计数原理1.4计数应用题“隔板法”及其应用素材苏教版选修2_3

“隔板法”及其应用排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

例1、将7个相同的球放入4个不同的盒子中，（1）不出现空盒时的放入方式共多少种？（2）任意放入时的方式共有多少种？该题有多种解法，先介绍其中的“隔板法”。

解：（1）将7个相同小球一字排开，在其中间的6个空格中加入无区别的3个“隔板”将球分成四份。

故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法，则不同的放法共有2036==C N 种。

（2）每种放法对应于将7个相同小球与3个相同“隔板”进行的一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有120310==C N 种放入的方式。

思维启迪凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即“n 个相同元素有序分成m 组（每组的任务不同）”的问题一般可用“隔板法”解，即（1）当每组含元素数目至少一个时，其不同分组方式为11--=m n C N 种，即给n 个元素的中间1-n 空格加入1-m 个“隔板”。

（2）任意分组，可出现某些组含元素为0个时，其不同分组方式为11--+=m m n C N 种，即将n 个相同元素与1-m 个相同“隔板”进行排序，在1-+m n 个位置中选1-m 个安排隔板。

例2、将10个优秀的指标分配给3个班级，（1）每班至少一个，则共有多少种分配方法？（2）任意分配共有多少种分配方法？（3）若班级为一、二、三班，若名额数不小于班级数，则共多少种分配方法？分析：由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子模型。

可采用“隔板法”。

（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有3629==C N 种分配方法。

（2）排隔板，即10个指标和2个隔板，共12个位置选2个放隔板，共有66212==C N 种分配方法。

（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的4个优秀名额用插隔板法，共有1025==C N 种分配方法。

利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)

利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。

一、放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。

由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。

所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。

点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。

隔板的块数要比盒子数少1。

二、指标分配问题。

例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。

分两步。

第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。

取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。

由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。

由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。

点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。

三、求n 项展开式的项数。

例3、求()10125x x x +++展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈，，，，，记作i x 的i k 次方。

这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。

取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。

“隔板法”解决排列组合问题

“隔板法”办理排列拉拢问题（下二、下三）之阳早格格创做排列拉拢计数问题，背景各同，要领机动，本领央供下，对付于相共元素有序分组问题，采与“隔板法”可起到简弥合题的成果.对付于分歧元素只波及名额调配问题也不妨借帮隔板法去供解,底下通过典型例子加以办理.例1、（1）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中起码有一个小球的分歧搁法有几种？（2）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中，问分歧搁法有几种？（3）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中央供每个盒子中，央供每个盒子中的小球个数没有小于其编号数，问分歧的要领有几种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个隔断，正在那11个隔断中选出3个，搁上“隔板”，若把“1”3C=165种.11C=种；②拆进（2）法1：（分类）①拆进一个盒子有144二个盒子，即12个相共的小球拆进二个分歧的盒子，每C C=种;③拆进三个盒子，即12个相共盒起码拆一个有2141166C C=220的小球拆进三个分歧的盒子，每盒起码拆一个有32411种;④拆进四个盒子，即12个相共的小球拆进四个分歧的盒子，每盒起码拆一个有311165C =种;由加法本理得公有4+66+220+165=455种.法2：先给每个小盒拆进一个球，题目中给定的12个小球任性拆，即16个小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个的拆法有315455C =种.（3）法1：先给每个盒子拆上与其编号数相共的小球，还剩2个小球，则那二个小球不妨拆正在1个盒子或者二个盒子，公有124410C C +=种. 法2：先给每个盒子拆上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转移为将6个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，由隔板法有3510C =由上头的例题不妨瞅出法2要比法1简朴，即此类问题皆不妨转移为起码分一个的问题.例2、（1）圆程123410x x x x +++=的正整数解有几组？(2)圆程123410x x x x +++=的非背整数解有几组？（3）圆程1231023x x x x ++++=的非背整数整数解有几组？解：（1）转移为10个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，有3984C =种，所以该圆程有84组正整数解.（2）转移为10个相共的小球拆进4个分歧的盒子，不妨有空盒，先给每个小盒拆一个，从而转移为14个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，有313286C =种，所以该圆程有286组非背整数整数解.（3）当10x =时，转移为3个相共的小球拆进9个分歧的盒子，不妨有空盒，有311165C =种.当11x =时，转移为1个小球拆进9个分歧的盒子，不妨有空盒，有19C =9种；所以该圆程有165+9=174组非背整数整数解.例3、已知集中{}I =1,2,3,4,5，采用I 的二个非空子集,A B ，且A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则采用要领有几种？解：由题意知,A B 的接集是空集，且,A B 的并集是I 的子集C ，所以C 起码含有二个元素，将C 中元素按从小到大的程序排列，而后分为二部分，前边的给A ，后边的给B ，,A B 起码含有1个元素，设C 中有n 个元素，则转移为n 个相共的小球拆进2个分歧的盒子，则有 1n C 种拆法，故本题有2314151552535449C C C C C C C +++=种采用要领.总之，通常是处理与“相共元素有序分组”模型时，咱们皆可采与“隔板法”.若每组元素数目起码一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，背每组元素数目起码一个的模型转移，而后用“隔板”法加以办理.。

排列组合问题中的定序问题和隔板法

排列组合问题中的定序问题和隔板法
定序问题和隔板法是排列组合中常见的两个概念。

1. 定序问题：在排列组合中，如果考虑元素的顺序，则称为定序问题。

对于n个元素进行排列，其中元素的顺序不同，结果也是不同的。

例如，从4个元素中选择2个元素进行排列，可以得到12种不同的结果，因为存在不同的顺序。

2. 隔板法：隔板法是一种用于解决组合问题的方法。

在隔板法中，我们可以将问题转化为将n个元素分成k个组的问题。

假设有n个元素和k个隔板，我们可以将n个元素插入k个隔板之间的空隙中，从而将n个元素分成k个组。

例如，如果有10个球和3个隔板，我们可以将10个球分成3组，每组的球数不同。

使用隔板法，我们可以计算出不同分组的可能数。

在排列组合问题中，我们经常需要综合考虑定序问题和隔板法来解决实际问题。

定序问题考虑元素的顺序，而隔板法则考虑将元素分组的方式。

通过综合运用这两个概念，我们可以解决更复杂的组合问题。

隔板法在排列组合中的应用

作者：王录远
作者机构：广西钦州市第一中学，535000
出版物刊名：中学教学参考
页码： 49-49页
年卷期： 2014年第26期
主题词：排列组合名额分配简化解分配问题分法球数得分率非负整数展开式分配方法
摘要：排列组合在历年来的高考中占的比分很高,在20分左右.它联系实际、题型多变、解法灵活、能力要求高、每年高考得分率极低.而排列组合中的分配问题,是排列组合问题中的重点与难点,对于排列组合中涉及相同物品的分配或名额分配的问题,若采用隔板法,则可起到简化解题的功效.下面笔者通过三种类型题来介绍一下隔板法的应用.。

隔板法

n 1 空档中选取 m 1 个位置放隔板，因隔板无差别，
m 故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 Cn1 种不同的放Байду номын сангаас， 1
根据分步计数原理，共有 1× Cn1 = Cn1 种不同排法,因 m 1 块隔板将 n 件相同物品分成 m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有 Cn1 种分法.
2 2 22
归纳：
对 n 件相同物品（或名额）分给 m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这 n 件物品分成 m 组，允许若干组为空的问题. 将 n 件物品分成 m 组，需要 m 1 块隔板，将这 n 件物品和 m 1 块隔板排成一排，占 n m 1 位置，
m1
m1
m1
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种? (2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种? (3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种?
17 17 有 C19 种不同的放法，根据分步计数原理，共有 C19 种不同的方法，因 17
块隔板将 20 个小球分成 18 组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有 C19 种分法.
17
归纳：
对 n 件相同物品（或名额）分给 m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这 n 件物品分成 m 组，每组不空的问题.将 n 件物品分成 m 组，需要 m 1 块隔板，将这 n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有 1 种排法，再在这 n 件物品之间的

隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题汇总

1 10.3 组合（六）教学目标: 1．掌握组合数的性质，并能应用组合数的性质解题. 2．培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1．有10 个相同的小球，放入编号为1、2、3 的三个不同盒子，�7�6要求每个盒子非空，共有多少种放法？�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法？方法一:�7�6设x＋y＋z＝10, x≥y≥z, 其正整数解为：x＝8，y＝1，z＝1；x＝7，y＝2，z＝1；x＝6，y＝3，z＝1；x＝6，y＝2，z＝2；x＝5，y＝4，z＝1；x＝5，y＝3，z＝2；x＝4，y＝4，z＝2；x＝4，y＝3，z＝3．则放法有�7�7先将1 个、2 个小球分别放入第2、3 个盒子，再按�7�6放入每个盒子的小球数> 0，设x＋y＋z＝7, x≥y≥z, 其正整数解为：x＝5，y＝1，z＝1；x＝4，y＝2，z＝1；x＝3，y＝3，z＝1；x＝3，y＝2，z＝2．则放法有: . 15 3 3 方法二：隔板法.如: 对应: �7��7�C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7 个班中选出12 名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1 人参加的选法有多少种？练习2. 6 人带10 瓶汽水参加春游，每人至少带1 瓶汽水，共有多少种不同的带法？练习3.北京市某中学要把9 台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2 台，共有种不同送法. 例2. 已知方程x＋y＋z＋w＝100，求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x 1 ＋x 2 ＋x3＝50，求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号 2 隔板法：就是把“|”当成隔板，把考察的对象分成若干份．例3. 一座桥上有编号为1，2，3�6�7，10 的十盏灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问不同的关灯方法有多少种？练习5. 一条长椅上有9 个座位，3 个人坐，若相邻2 人之间至少有2 个空椅子，共有几种不同的坐法？例 4. 一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？课堂小结 1. 隔板法；2. 插入法；3. 捆绑法 . 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决"相邻问题" 及"不邻问题"。

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