抛物线的有关结论

探索与研究圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。

下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。

（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

反过来， 准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。

下面对上面的结论做出证明。

一、焦点)0,2(pF 处的结论1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=.证明：根据抛物线的定义, 2||1px AM AF +==.2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）. 证明：根据焦半径公式，2||1p x AF +=，2||2px BF +=.p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=∴2121)2()2(.根据抛物线的定义，θcos ||AF p AM AF +== ,可得θcos 1||-=pAF .θcos ||BF p BN BF -==,得θcos 1||+=pBF . θθθθ22sin 2cos 12cos 1cos 1||pp p p BF AF AB =-=++-=+=. （或采用代数法通过联立方程组求出，如下a) 直线AB 斜率不存在时，经检验符合结论.b) 直线AB 斜率存在时，方程为)2(tan px y -=θ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2θ 消去y 得04tan )2(tan tan 22222=++-p x p x θθθ 得4,tan )2(tan 2212221p x x p x x =+=+θθ.θθθθ222221sin 2)tan 11(2tan )2(tan pp p p p x x AB =+=++=++=∴）.3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；证明：焦半径AF 的中点到y 轴的距离为(利用梯形中位线等于两底和的一半)22)2(21)(21AF AM A A pA A OF d =='+='+=(A '为AM 与y 轴的交点)，这就证明了圆心到y 轴的距离等于直径AF 的一半，所以以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明：焦点弦AB 的中点到抛物线的准线的距离为(利用梯形中位线等于两底和的一半)2)(21)(21AB BF AF BN AM d =+=+= 这就证明了圆心到准线的距离等于直径AB 的一半，所以以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①090=∠AGB ②090=∠MFN ③AB GF ⊥证明：①根据以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，设切点为G ， 则G 为MN 的中点，090=∠AGB .②BN FC AM //// (C 为准线与对称轴的交点) MFC AMF ∠=∠∴(内错角).又AFM AMF AF AM ∠=∠⇒=,MFC AFM ∠=∠∴. 同理NFC BFN ∠=∠,得090=∠MFN .③在AMG ∆与AFG ∆中，GM FG AG AG AF AM ===,,.AMG ∆∴与AFG ∆全等，090=∠=∠AMF AFG .（3）六定值：①焦点弦两端点),(11y x A 、),(22y x B 的对应坐标的乘积是定值：221221,4p y y p x x -==，243p OB OA -=⋅.证明：依据2、焦点弦长的代数法推导过程可知，4221p x x =.因为)0(2,221222121<==y y px y px y 得221p y y -=.所以2212143p y y x x OB OA -=+=⋅.②n BF m AF ==,，则pn m 211=+，mn GF =||. 证明：特殊的，当AB 垂直于对称轴时，检验符合结论。

当AB 不垂直于对称轴时，以图例，过B 做AM 的垂线BR 交AM 于R,交x 轴于S ，则BFS∆与BAR ∆相似，nm np n m n --=+，即22n mn pn pm n mn --+=-， mn pn pm 2=+，两边同除以pmn 得pn m 211=+.在AGB Rt ∆中，AB GF ⊥,由射影定理，mn GF =2，所以mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆=. 证明：因为θ2sin 2||p AB =，点O 到AB 的距离sin 2pd θ=. 所以2122sin AOBp S d AB θ∆=⋅=. 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？ 解：设抛物线上任一点),(00y x P ，则0202px y =.()()()202002020202022220a x p a x px a ax x y a x PA +--=++-=-+-=（00≥x ）.此关于0x 二次函数对称轴为p a x -=0. （1） 当00<-=p a x 即p a <时，202min20a PAPAx ===.（2） 当00≥-=p a x 即p a ≥时，()()22222min2220p ap a p a p a PAPApa x -=+---==-=.综上所述，)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在)0,(p D 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.三、点)0,2(p E 处的结论例：B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p 。

ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程。

ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.解： B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，所以),2(121y py A ，),2(222y p yB ，ⅰ.OB OA ⊥，得0=⋅OB OA ，即042122221=+y y p y y .021≠y y 2214p y y -=∴；2222212144p py y x x ==.ⅱ.当过AB 的直线与x 轴垂直时，212221,22y y pyp y ≠= 21y y -=∴又2214p y y -=.p y 21=∴，AB 的直线方程为p x 2=，过)0,2(p .当过AB 的直线与x 轴不垂直时，由两点式得121212221222y y y y p y p y pyx --=--，化简得 )2(2221212121p x y y p y y y y x y y p y -+=+++=.所以上面直线恒过点)0,2(p . 综上所述直线AB 过定点)0,2(p .ⅲ.设AB 中点为K )2,222(212221y y p yp y ++，即点K 的坐标的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=24212221y y y p y y x 可化为⎩⎨⎧+=+=21222124y y y y y px 消去21,y y 得22844p px y -=. 即)2(2p x p y -= 所以AB 中点的轨迹方程为)2(2p x p y -=.ⅳ.设T 点坐标为()y x ,，因为点)0,2(p 在直线AB 上，T 点在直线AB 上，且AB OT ⊥. 得0=⋅AB OT 得出()()0,2,=-⋅y p x y x ，化简得0222=+-y px x .所以垂足T 的轨迹方程为0222=+-y px x . ⅴ. AOB ∆面积为21221y y P S AOB-⨯⨯=∆； ()p p y y y y y y 442)(22212121==-≥-+=-（利用均值定理，当且仅当21y y -=时取等号，即当且仅当直线AB 与对称轴垂直时取到 ），此时AOB ∆面积的最小值为24p .结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E ；（2）2214p x x =，2214p y y -=.对于结论中的已知直线AB 过点)0,2(p E ⇒090=∠AOB ，可以根据上面的结论2214p x x =，2214p y y -=，利用数量积证明：因为直线AB 过点)0,2(p E ，所以2214p x x =，2214p y y -=，所以02121=+=⋅y y x x OB OA 证得090=∠AOB .四、准线上的有关结论过抛物线的焦点⎪⎭⎫⎝⎛0,2PF 的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线px y 22=的切线，其交点在抛物线的准线2px -=上，且两切线垂直。