全等三角形教学案例

三角形全等教学案例

（简记成‘边角边’或‘SAS’）”

赵玉教师在设计教案时，应想方设法让学生掌握公理语言叙述的结构：并不是“两边和一个角对应相等的两三角形全等”，这里的角是有限制的，那就是这个对应角是两组相等对应边的夹角，而不是任意角.如此，就与易混淆的假命题：“两边及其中一边对角对应相等的两三角形全等.”进行了比较严格的区别.向学生提供如图1，△ABC≌△DEF，但是△ABC与△DEG不是全等三角形，尽管在△ABC和△DEG中，条件AB=DE，AC=DG，∠ABC=∠DEF.这样就可以使学生能更直观地认识这一问题。

要辨别清楚公理结构与其混淆形式命题结构的本质区别在于公理的条件是“两边和它们的夹角”，而混淆形式命题条件是“两边和其中一边的对角”.

一、公理应用中条件的逐步确定

在应用定理（公理）进行逻辑推理证明命题入门阶段，“SAS”初步应用，教科书所设置的练习题要学生寻找三组对应元素中，比较容易获得两组对应元素（边、角）相等，第三组对应元素（角或边）相等，往往需要依据“两边夹一角”的条件结构来确定出判定公理所需要的第三个条件，这就是“需知A”，它作为一个“中途点”来调控寻找满足它的已知条件.这时，就应该引导学生挖掘题设中隐含条件，公理成立的第三个条件是一定会找到的，它们又可以分为以下的两种情形：

其二，当题设条件中有两组对应边相等时，只要找出这两组相等对应边夹角也对应相等，这样就满足“边角边”公理的条件了.

例1（p.29，例4）①已知：如图2，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.

分析要证明△ABC≌△ADE，由于AB=AD，AC=AE，可知△ABC和△ADE有两组对应边相等了.由“边角边”公理条件结构要求，知需要找寻到AB、AC的夹角∠BAC与AD、AE的夹角∠DAE也对应相等，即只要证明出了∠BAC=∠DAE（这是“中途点”）就找到了满足“边角边”公理的“两边夹一角对应相等”的条件了.由∠BAD=∠CAE，知∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠BAD+∠EAB=∠DAE.这就是∠BAC=∠DAE.

当要证明全等的一对三角形中，已经有两组对应边相等.在这种情况下，配合“边角边”公理的条件结构要求，就逐步确定出了要找寻对应相等的两组对

应边所组成夹角也对应相等，这就确定出了一个“中途点”，从而由“中途点”来代替原来结论.如果从已知条件中得出了这一个“中途点”，那么“边角边”公理中的三个条件就都得到了，问题便已经解决了.如此，我们便找到了解决这种问题的“线性”推进的方法：从已给的条件——经过“中途点”——到要证明的结论，同时也寻找到了解决问题的突破口，使学生能从诸多条件与结论纠缠在一起所形成的茫无头绪的混沌中解脱出来.

其三，当题设条件中有一组对应角相等，且夹这组对应角的两组对应边中有一组对应边相等时，只要找到夹这组对应角的另一组边也对应相等，这样，就满足了“边角边”公理的三个条件了.

例2（p.30，第2题）已知：如图3，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=BC，∠1=∠2，AE=CF.求证：∠B=∠D.

分析要证明∠B=∠D，我们会想到全等三角形性质：“全等三角形对应角相等”，于是便想在图3中，寻找到一对全等三角形，使∠B、∠D成为一组对应角，就达到目的了.而图3很简单，只有两个三角形，于是试图找到△BCE≌△DAF（这是第一个“中途点”）.由∠1=∠2，AD=BC，知所要证明的这一对三角形已经有一组对应角相等了，并且还有夹这组对应角的一组对应边相等.于是，由“边角边”公理条件结构要求，知只要寻找到夹∠1、∠2这组对应角另一组对应边CE与AF也对应相等，即要证明CE=AF（这是第二个“中途点”）就达到目的了.因为，CF=AE，所以，CE=CF+EF=AE+EF=AF，问题已经解决了.

在含有三角形的题设图形中，常常利用全等三角形性质证明线段相等或角相等，找寻出一对三角形，作为一个“中途点”；而在要证明的两个全等三角形中，当已知条件中有一组对应角相等，且夹这组对应角的两组对应边中也有一组对应边相等时，由“边角边”公理条件结构，只要找夹这组对应角的另一组对应边也相等，作为一个“中途点”.例2就由两个“中途点”所组成，由这两个“中途点”便能使解决问题的思路过程变成了围绕“中途点”的“线性”推进.这样，降低了学生推理的难度.

其四，一般三角形全等公理（定理）教学

有了“边角边”公理的样板，学生对另外两个公理与一个推论及其简单应用的学习就容易多了.当他们学习了这些公理和推论之后，教师要即时总结与归纳在解决较为复杂习题时（往往不只是应用一个判定公理），如何应用全等三角形的这些判定.其实就是在较为复杂问题中怎样找寻“中途点”，并利用这些

“中途点”来调控从已知条件到所要证明结论的路径.在实践中，可以如下的设计：

其五，当已知条件中出现两组对应边相等，此时，只要找出第三组对应边相等，或者找出两组对应边夹角相等，就可以用“边边边”或者“边角边”公理来论证两个三角形全等.

例3（p.41，第1题）已知：如下页图4所示，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠A=∠D.

分析要证明∠A=∠D，我们选择证明以∠A、∠D为对应角的一对三角形全等，通过观察已知图形可知，需要证明△ABC≌△DEF（第一个“中途点”）.由在△ABC与△DEF中，有条件AB=DE，AC=DF这两组对应边相等了，现在只要找到由这两组相等对应边所夹的一组角也对应相等，就是需要证明AB、AC的夹角∠BAC与DE、DF的夹角∠EDF即要证明∠BAC=∠EDF，就可以应用“边角边”公理了，但这正是我们所要证明的命题结论，有了它，整个问题便都已经解