2.数列计算-学生版

合集下载

2.等差数列(学生版)

第二节等差数列一知识梳理一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n +1-a n =d (n ∈N *).(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项满足A =a +b2或者2A =a +b .(3)通项公式：如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2，推导方法是倒序相加法.二等差数列a n 的性质(1)等差数列的拓展通项公式：a n =a m +(n -m )d (n ，m ∈N *)，d =a n -a mn -m.(2)a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d ),当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，斜率为公差d ，反之亦成立.若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(3)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，⋯仍是等差数列，公差为kd .(4)☆若a m 1+a m 1+⋯+a mk =a n 1+a n 1+⋯+a nk ⇔m 1+m 2+⋯+m k =n 1+n 2+⋯+n k .特别地，若m +n =p +q =2k ，则a m +a n =a p +a q =2a k .三等差数列前n 项和S n 的性质(1)S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项．显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．(2)☆S n n =d 2n +a 1-d2，即S n n 也是等差数列，其公差为a n 的公差的一半.(3)☆等差数列依次k 项之和，仍是等差数列，即数列S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，⋯也是等差数列，公差为k 2d ．(4)☆S 2n -1=2n -1 (a 1+a 2n -1)2=2n -1 a n （a n 是前2n -1项的最中间项），例S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5;S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n a n +a n +1 （a n 和a n +1是前2n 项的最中间两项），例S 10=10(a 1+a 10)2=5a 5+a 6 .(5)☆当总项数为2n -1项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n -1项偶数项，S 偶=(n -1)(a 2+a 2n -2)2=(n -1)a n，此时，S 奇-S 偶=a n ，S 奇S 偶=nn -1；当总项数为2n 项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n 项偶数项，S 偶=n (a 2+a 2n )2=na n +1，此时，S 偶-S 奇=nd ，S 偶S 奇=an +1a n ；(6)☆综合(4)和(5)得，n 为奇数时，S n =na 中，S 奇=n +12a 中，S 偶=n -12a 中，∴S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，S 偶-S 奇=nd 2.(7)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n +p }，{pa n +qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1+qd 2.二题型讲解一等差数列的基础题型一等差数列基本量的计算解题通法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4=0，a 5=5，则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n 1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=a 8=8，则公差d =( )A.14B.12C.1D.22.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4=24，S 9=99，则a 7=( )A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5=-14，S 3=-39，则S 10=( )A.6B.10C.12D.204.(2022·陕西汉中)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 6=15，S 9=99，则等差数列a n 的公差是( )A.-4B.-3C.14D.45.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为.二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）2.(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2)，a 1=12.(1)求证：1S n是等差数列；(2)求a n 的表达式．反思感悟等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n -a n -1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法2a n =a n +1+a n -1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n =pn +q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式验证S n =An 2+Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7.下列选项中，为“数列a n 是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A.2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)B.a n 2=a n +1⋅a n -1n ≥2C.通项公式a n =2n -3D.a n +2-a n =a n +1-a n -1n ≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为( )A.a ，c ，b B.a 2，b 2，c 2C.|a |，|b |，|c |D.1a ，1b ，1c9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a n是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )A.a n+3B.a2nC.a n-1+a nD.2a n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n-1在直线x-y-3=0上，则( )A.数列a n是等差数列B.数列a n是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=3nD.数列a n的通项公式为a n=3n三求数列{|a n|}的前n项和3.数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*)，设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．反思感悟已知等差数列{a n}，求绝对值数列{|a n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．11.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=-22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.12.在数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求T n.二等差数列性质的应用一下标和性质的应用（m+n=p+q=2k）1.(2022·广州市阶段训练)已知{a n}是等差数列，a3=5，a2-a4+a6=7，则数列{a n}的公差为( )A.-2B.-1C.1D.2反思感悟(1)由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q求解(注意项数不变，脚标和不变)．(2)等差数列中最常用的性质：①d=a p-a qp-q，②a m1+a m1+⋯+a mk=a n1+a n1+⋯+a nk⇔m1+m2+⋯+m k=n1+n2+⋯+n k.特别地若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q. (3)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．1.(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=( )A.1452B.145C.1752D.1752.(2021·江西九江一中月考)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3=59，则S9S5=( )A.1B.-1C.2D.123.(2022·北京通州·一模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若a3+a5=20，则S7=( )A.60B.70C.120D.1404.(2022·浙江杭州·二模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=( )A.12B.15C.18D.215.(2022·安徽滁州)已知a n是公差不为零的等差数列，若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k∈N∗，则m+k=( )A.7B.8C.9D.106.(2022·河北石家庄·二模)等差数列a n的前n 项和记为S n，若a2+a2021=6，则S2022=( )A.3033B.4044C.6066D.80887.(2022·河南平顶山)已知S n为正项等差数列a n的前n项和，若a3+a9=a26，则S11=( ) A.22 B.20 C.16 D.118.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{a n }满足a n+1=a n+2且a2+a4+a6=9，则log3(a5+a7+ a9)=( )A.-3B.3C.-13D.13二等差数列前n项和S n的性质2.(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=1，S30=5，则S40=( )A.7B.8C.9D.10反思感悟思路1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{a n}的前n项和S n=An2+Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得S n，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40-S30，得S40；思路4：利用S nn是等差数列，由S1010、S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得S40.9.(2021·山东师大附中模拟)若S n 是等差数列{a n}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则a10=__，S19=_____.10.若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足A nB n=2n-13n+1，则a3+a7+a11b5+b9的值为( )A.3944B.58C.1516D.132211.已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n =2n +33n -1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532C.1D.212.(2022·四川师范大学附属中学二模(理))设等差数列a n ，b n 的前n 项和分别是S n ，T n ，若Sn T n =2n3n +7，则a 6b 5=( )A.65B.1117C.1114D.313.在等差数列{a n }中，a 1=-2023，其前n 项和为S n ，若S 1212-S1010=2，则S 2023=( )A.-2023 B.-2022C.-2021D.-202014.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=-12，S 9=45，则S 12=____.三数列中的S 奇、S 偶相关问题3.在等差数列{a n }中，S 10=120，且在这10项中，S 奇S 偶=1113，则公差d =________.15.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.516.已知在等差数列{a n }中，公差d =1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____．17.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_______，项数是________．三等差数列中的最值问题一关于S n的最值问题解题通法(1)在等差数列{a n}中，当a1>0，d<0时，S n有最大值，使S n取得最值的n可由不等式组a n≥0，a n+1≤0确定；当a1<0，d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组a n≤0，a n+1≥0确定．(2)S n=d2n2+a1-d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．1.在等差数列{a n}中，a1=25，S8=S18，求前n 项和S n的最大值．2.(2022·吉林市调研)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当S n 最大时，n=()A.6B.7C.10D.9延伸 ①本例2中若将“S5=S9”改为“S5=S10”，则当S n取最大值时n=；延伸②本例2中，使S n<0的n的最小值为.二关于S n＞0或S n＜0时n的最值问题3.(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<-1，且其前n项和S n有最大值，则使得S n>0的最大值n为()A.11B.19C.20D.21延伸本例3中，使S n取最大值时n=.1.(2021·长春市模拟)等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.92.在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为.3.(2022·重庆·二模)(多选)设等差数列a n前n 项和为S n，公差d>0，若S9=S20，则下列结论中正确的有( )A.a15=0B.当n=15时，S n取得最小值C.a10+a22>0D.当S n>0时，n的最小值为294.(2022·内蒙古赤峰)已知等差数列a n的前n 项和为S n，若a3=15，S2=36，则S n取最大值时正整数n的值为( )A.9B.10C.11D.125.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10=S20，则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<06.(2022·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列a n的公差为d，其前n项和为S n，且S5=S13，a6+ a14<0，则使得S n<0的正整数n的最小值为( )A.16B.17C.18D.19跟踪测验1(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7=15，则该数列前9项和S9=( ) A.18 B.27 C.36 D.452已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2= 4，S4=22，a n=28，则n=( )A.3B.7C.9D.103(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则( ) A.d=3 B.a10=12C.S20=280D.a1=-44一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的范围是(　) A.d>875 B.d<325C.875<d<325D.875<d≤3255（多选）等差数列{a n}是递增数列，满足a7= 3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是( )A.d>0B.a1>0C.当n=5时S n最小D.S n>0时，n最小值为86（多选）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=07(2022·安徽·芜湖一中)等差数列a n的前n 项和为S n，满足：3a27+S21=72，则S25=( ) A.72 B.75 C.60 D.1008(2022·全国·高三阶段练习(理))若数列3a n+2是等差数列，a1=1，a5=-53，则a2= ( )A.-1B.1C.-2D.29(2022·全国·高三专题练习)已知数列a nn∈N*是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0,S9=27，则数列a n的公差是( )A.1B.2C.3D.410(2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测(文))已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5+ 2a10+a13=18，则S18=( )A.74B.81C.162D.14811(2022·安徽合肥·二模)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15=5(a3+a8+a m)，则m的值为( )A.10B.12C.13D.1412(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知a，b，c成等差数列，则( )A.a2，b2，c2一定成等差数列B.2a，2b，2c可能成等差数列C.ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)一定成等差数列D.1a，1b，1c可能成等差数列一轮复习第六章数列13(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d<0”是“S n有最大值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14(2022·重庆·二模)等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，若a m=5，则S m的最大值为( )A.3B.6C.9D.1215(2022·云南师大附中)已知a n是等差数列，S n是a n的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n>S3”是“a4>a3”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件16(2022·四川南充)设等差数列a n的前n项和为S n，满足a1<0,S9=S16，则( )A.d<0B.S n的最小值为S25C.a13=0D.满足S n>0的最大自然数n的值为2517(2022·全国·高三专题练习)在等差数列a n中，S n为a n的前n项和，a1>0，a6a7<0，则无法判断正负的是( )A.S11B.S12C.S13D.S1418(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=019(2022·全国·高三专题练习)(多选)等差数列a n与b n的前n项和分别为S n与T n，且S2nT n= 8n3n+5，则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时，b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀x∈N*，T n>020(2022·全国·高三专题练习)(多选设a n是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7> S8，则下列结论正确的是( )A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值21(2022·云南昭通)等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n,S nT n=3n-22n+1,a1=2，则b n的公差为____.22(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n，T n，且S nT n= n2n+1，则a3b5=_________.23(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n，b n的前n项和分别为S n，T n，若S nT n= 3n-12n+3，则a9b11=______．1112一轮复习第六章数列公众号：玩酷高中数学24(2022·黑龙江·哈九中二模)已知数列a n 满足a 1a 2⋅⋅⋅a n =2-2a n ，n ∈N ∗．证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；25(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=4-4a nn ∈N *．求证：1a n -2 是等差数列；26(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足，a 1=3，a n +1=3-4a n +1n ∈N *，设数列b n =1a n -1(1)求证数列b n 为等差数列；(2)求数列a n 的通项公式；27(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．。

专题--数列求和的基本方法和技巧(学生版)

数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n 例1 金榜108页典例1二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

例2. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①例3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

变式练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和。

三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

形如：①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n ,2,,12, 例 4.已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.变式练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

数列.版块二.等差数列-等差数列的通项公式与求和.学生版

【例1】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例2】数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．【例3】数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例4】数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++= _______.【例5】设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S .【例6】设等差数列的前n 项的和为n S ，且416S =，864S =，求12S .典例分析等差数列的通项公式与求和【例7】有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b ．【例8】在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例9】等差数列{}n a 的前m 项和m S 为30，前2m 项和2m S 为100，则它的前3m 项和3mS 为_______．【例10】等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中*n ∈N ．⑴ 设函数()y f x =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列；⑵ 设函数()y f x =的图象的顶点到y 轴的距离构成数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【例12】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项及公差．【例13】设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >，且9100,0S S ><，求当n S 取得最大值时n 的值．【例14】已知等差数列{}n a 中，150a =，2d =-，0n S =，则n =（）A ．48B ．49C ．50D ．51【例15】已知{}n a 是等差数列，且253,9a a ==，11n n n b a a +=，求数列{}n a 的通项公式及{}n b 的前n 项和n S ．【例16】在各项均不为0的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --等于（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例17】设数列{}n a 满足1a 6=，24a =，33a =，且数列{}1n n a a +-()n *∈N 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．【例18】已知22()2(1)57f x x n x n n =-+++-，⑴ 设()f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证{}n a 为等差数列． ⑵ 设()f x 的图象的顶点到x 轴的距离构成{}n b ，求{}n b 的前n 项和．【例19】已知数列{}n a 是等差数列，其前项和为n S ，347,24a S ==．⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 设,p q 是正整数，且p q ≠，证明221()2p q p q S S S +<+．【例20】在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例21】有固定项的数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79．⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，123n a a a a ⋅⋅⋅，，，，成等差数列(n 为正偶数)．又2(1)f n =，(1)f n -=-，⑴求数列的通项n a ；⑵试比较12f ⎛⎫⎪⎝⎭与3的大小，并说明理由．【例23】设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=则d 的取值范围是．【例24】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【例25】在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．【例26】已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，2a ，3a 成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项； ⑵求数列{}2n a 的前n 项和n S ．【例27】已知数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，n *∈N 都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求3a ，5a ；⑵设2121n n n b a a +-=-()n *∈N 证明：{}n b 是等差数列；⑶设12121()n n n n c a a q -+-=-(0)q n *∈N ≠，，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【例28】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（）A ．10B ．12C ．15D ．30【例29】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（）A ．12B ．1C ．2D ．3【例30】若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（）A B ．C ．D ．【例31】已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-【例32】已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（）A ．83B ．82C ．81D ．80【例33】等差数列{}n a 中，35a =-，61a =，此数列的通项公式为，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则8S 等于．【例34】设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数） ⑴在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中11a =，22a =，33a =，44a =，55a =， 11b =，24b =，35b =，44b =，51b =；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；⑵设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，34c =，18n S =证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；⑶设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =．求证：123k k k d d d +++>>．【例35】已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n = ．⑴求345,,a a a 的值；⑵设121n n b a -=+，1,2,3,n = ，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的2m ≥，*m ∈N ，在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由．。

求数列通项公式方法(学生版)

求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，求n a ；2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =，求数列}{n a 的通项公式5.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；6.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；7.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n nn n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；8.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；9.数列已知数列{}n a 满足111,41(1).2n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例：1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

专题：数列试题1[学生版]

专题数列第1讲数列的基本概念1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－212．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋2n －1，则( ) A ．a n ＝2n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝2n －1(n ∈N *)C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2，n ∈N *) D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，(n ＝1)，2n －1，(n ≥2，n ∈N *) 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1144．(2010年安徽)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．645．(2011年江西)已知数列(a n )的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．556．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2014＝________.7．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝2,n n n a n ⎧⎪⎨⎪⎩，为奇数时，为偶数时，(n ∈N *)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．8．(2011年浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)(23)n 中的最大项是第k 项，则k ＝__________.9．(2011年广东广州)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)，求{a n }的通项公式．第2讲等差数列1．(2011年重庆)在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12 B．14 C．16 D．182．(2011届广东汕头)在等差数列{a n}中，a2＋a12＝32，则2a3＋a15的值是()A．24 B．48 C．96 D．无法确定3．(2011年广东湛江测试)等差数列{a n}前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝()A．3 B．6 C．17 D．514．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其结果为确定常数的是()A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．(2010年福建)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n 取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．96．(2011年全国)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()A．8 B．7 C．6 D．57．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n.若S nT n＝7n＋14n＋27(n∈N*)，则a7b7＝________.8．(2011年辽宁)S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝______.9．(2011年福建)已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．10．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S n＝12n－n2.求数列的通项公式。

中学数学数列.版块二.等差数列-等差数列的定义.学生版

【例1】判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？【例2】若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（）A ．19B ．21C ．37D ．41【例3】在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．【例4】设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（）A ．120B ．105C ．90D ．75【例5】在等差数列{}n a 中，533a =，45153a =，则201是该数列的第（）项A ．60B ．61C ．62D ．63【例6】在等差数列{}n a 中，47a =，1121a =，则它的首项1a =_______，前n 项和n S =_______．典例分析等差数列的定义【例7】若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【例8】 ⑴ 在等差数列{}n a 的公差为d ，第m 项为m a ，求其第n 项n a ．⑵ 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，①求通项n a ；②若242n S =，求n .⑵ 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2329,S S =424S S =，求数列{}n a 的通项公式．【例9】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，求证1{}na 是等差数列，并求通项n a ．【例10】等差数列{}n a 中, 25a =，633a =，则35a a +=______________．【例11】设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．【例12】已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ．35B ．33C ．31D ．29【例13】证明以下命题：⑴ 对任一正整数a ，都存在正整数b ，c ()b c <使得2a ，2b ，2c 成等差数列；⑵存在无穷多个互不相等的三角形n △，其边长n a ，n b ，n c ，为正整数，且2n a ，2n b ，2n c 成等差数列．【例14】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

数列题型(学生版)

=
1 , 则数列{an} 2
). B.an= 2�� D.an=
1 ��2 1
设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2 n＋1－
* na2 n＋an＋1an＝0(n∈N )，求通项公式 an.
题型六判断数列的单调性
方法归纳数列单调性的判断方法 (1)作差法：若 an＋1－an>0，则{an}是递增数列；若 an＋1－an<0，则{an}是递减数列； an＋1 an＋1 * (2)作商法：若 a >1(an>0，n∈N )或 a <1(an<0，n∈N*)， n n an＋1 an＋1 * 则{an}是递增数列；若 a <1(an>0， n∈N )或 a >1(an<0， n∈N*)， n n 则{an}是递减数列．
[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n 1 或
＋
(－1)n－1 来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．

专题02 数列求通项问题 - 学生版

技巧方法专题2 数列求通项问题解析版一、数列求通项常用方法知识框架二、数列求通项方法【一】归纳法求通项1.例题【例1】由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，… (2)12，23，34，45，56，… (3)2，52，134，338，8116，…(4)12，16，112，120，130，…【例2】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（） ()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-k {}n a 1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则{}n a 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系.2. 巩固提升综合练习【练习1】由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7，13，－19，25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．【二】公式法求通项1.例题【例1】数列满足，，则（） A ．B ．C ．D ．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2．求证：数列{b n }是等差数列，并求n a ． {}n a 112a =()*1111n 11n n N a a +=-∈--10a =91010910111110等差数列：d n a a n )1(1-+=等差数列：等比数列：11-=n n qa a 等比数列：2.巩固提升综合练习【练习1】已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0． (1)求a 2，a 3；(2)证明数列{a n }为等比数列,并求n a ．【练习2】已知数列{}n a 和{}n b 满足111112,341,341n n n n a b a b n b a n ++=+==+-=-+()1求证：{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列； ()2求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【三】累加法求通项1.例题【例1】在数列中，，，则（） A ． B ． C ．D ．{}n a 12a =11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭10a =2ln10+29ln10+210ln10+11ln10+型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；第二步依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来；第三步得到a n －a 1的值，解出a n ；第四步检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______，数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S =_______.2.巩固提升综合练习【练习1】在数列中，，则数列的通项 ________.【练习2】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为__________．【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列{}n a ，则1_______(2)n n a a n --=≥；对*n N ∈，_____n a =．【四】累积法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .{}n a 111,21n n a a a n +=-=+n a ={}n b 34-{}n a 12nn n a a +-=*n N ∈137a b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11a =25a =312a =422a =型如)(1n f a a nn =+的递推公式求通项可以使用累积法2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A.a n ＝2n －1 B.a n ＝2n C.(1)22n n n a -=D.222n n a =【五】Sn 法（项与和互化求通项）1.例题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23-=nn S ，则=n a .【例2】设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．【例3】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 2.巩固提升综合练习【练习1】在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .【练习2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______. {}n a n n S 11a =-()*1102n n S a n N +-=∈{}n a {}n a n n S 323n n S a n =+-{}n a n a =11,(1)n n n s a s s n -⎧=⎨->⎩,（n=1)已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为类型二.【练习3】已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【练习4】设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【练习5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，20(2)n n n n S a S a n -+=≥．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .【六】构造法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .【例2】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.【例3】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式. 1.型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )；第二步由待定系数法，解得t ＝qp －1；第三步写出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 的通项公式；第四步写出数列{a n }通项公式. 2.a n ＋1＝pa n ＋f (n )型【参考思考思路】确定()f n →设数列{}1()n a f n λ+→列关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++→比较系数求1λ，2λ→解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式→解得数列{}n a 的通项公式【例4】已知数列满足：，，则（）A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________.【练习2】已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n (n ＋1)2n【练习3】已知非零数列{}n a 的递推公式为11a =,()112n n n n a a a a n N *++=+∈.(1)求证数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)若关于n 的不等式2221211152111log 1log 1log 1n m n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解,求整数m 的最小值；(3)在数列()111n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中,是否一定存在首项、第r 项、第s 项()1r s <<,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出r s 、所满足的条件；若不存在,请说明理由. {}n a 11a =1122(2,)n n n a a n n N --=+≥∈n a =2n n a n =⋅12n n a n -=⋅(21)2n n a n =-⋅1(21)2n n a n -=-⋅【七】其他求通项方法 1.例题【例1】已知数列满足,,则（） A ．B ．C ．D ．【例2】若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n 为________________. 【例3】已知数列满足递推关系：，，则＝（） A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，211=a ，则S 2 017＝（）【练习2】在数列中，已知，，则_______，归纳可知_______．【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）1.例题【例1】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 113a =111nn n a a a ++=-*()n N ∈2012391a a a a ⋯⋯⋅⋅=3-2-12-13-{}n a 11n n n a a a +=+112a =2018a 12016120171201812019{}n a 12a =()*131nn n a a n N a +=∈+2a =n a ={}n a *12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a 一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．21(,n n n a pa qa p q ++=+112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+n a 2x px q =+,αβ1212(,n nn a c c c c αβ=+αβ=1212()(,nn a c nc c c α=+1122,,a m a m ==12,c c n a【例2】已知数列满足，求数列的通项．2.巩固提升综合练习【练习1】设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．{}n a *12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a1.例题【例3】已知数列满足，求数列的通项．【例4】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+{}n a n a {}n a *11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+{}n a n a 二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．此方法又称不动点法． 2n n n Aa Ba Ca D++=+2n n n Aa B a Ca D++=+*1,(,,,a m n N A B C D =∈0,0C AD BC ≠-≠Ax B x Cx D+=+2()0Cx D A x B +--=,αβ11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--c 12,a a c n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭11a a αβ--c n a αβ=111n n c a a αα+=+--c 12,a a c 1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭1na α-c n a2.巩固提升综合练习【练习2】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？【练习3】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n(1)求b 1、b 2、b 3、b 4的值；(2)求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S【练习4】各项均为正数的数列{}n a 中，,,11b b a a ==且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,都有=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++，当时，求通项54,21==b a n a ．三、课后自我检测1．已知正项数列，则数列的通项公式为（） A ． B ．C ．D ．2．在数列－1，0，211298n n -，，，，…中，0.08是它的第________项． 3．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.4．已知数列{}n a 中，1512a =-，1(1)3n n n na n a n +=+++，则该数列的通项n a =_______. 5．已知数列{}n a 中，()10a b b =>，()111n n a n N a ++=-∈+则能使n a b =的n 的数值是（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+．（1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式． {}n a *12(1)()2n n n a a a n N ++=∈{}n a n a n =2n a n =2n na =22n n a =7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(2)3n n S n a =+．（1）求n a ；（2）求证:121111na a a ++⋯+<．8．已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列，并求n a ．9．已知数列{}n a 满足：10a =，144n na a +=-，*n N ∈. （1）若存在常数x ，使得数列1n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，求x 的值；（2）设2311n n b a a a +=，证明：123n b b b +++<.10．已知数列{}n a 满足：()1231312nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a +=，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．11．数列{}n a ，*n N ∈各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.12．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<．13．已知数列{}n a 满足：11a =，()*121n n a a n +=+∈N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()()n12ˆ111*4441N n b b b b n a n ---⋅⋯⋯=+∈，证明：{}nb 是等差数列.（3）证明：()*122311232n n a a a n nn a a a +-<++⋯+<∈N .14．在平面直角坐标系中，点(,)n n A n a 、(1,0)n B n -和(,)n C n t （*,n N t ∈为非零常数），满足1//n n A A +n n B C ，数列｛n a ｝的首项为1a =1，其前n 项和用n S 表示. （1）分别写出向量1n n A A +和n n B C 的坐标；（2）求数列｛n a ｝的通项公式；（3）请重新设计的n A 、n C 坐标（点n B 的坐标不变），使得在1//n n A A +n n B C 的条件下得到数列｛n b ｝，其中n b =nS n．15．已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足()112n n n n S S S S n -+-=+≥．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,问使得10002015n T >成立的最小正整数n 是多少？。

人教版小学四年级数学第6讲：数列(学生版)教学内容

第6讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？例2、全部三位数的和是多少？例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。

例5、班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。

若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛?例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？A1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。

2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。

从2开始的连续100个偶数的和是。

3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。

4、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。

最上面一层放本书，最下面一层放本书。

5、除以4余1的三位数的和是。

专题2 求数列的前n项和 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版)

求数列的前n 项和求数列的前n 项和S n 是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前n 项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 (1) 等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d(2) 等比数列求和公式S n ={na 1 ,q =1a 1(1−q n )1−q,q ≠1(3) 12+22+32+⋯+n 2=n (n+1)(2 n+1)6(4) 13+23+33+⋯+n 3=[n (n+1)2]2.【典题1】求和式3+6+12+⋯+3∙2n−2，先思考它是几项之和再求和.(n∈N∗)．【典题2】已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S n=a n+1−132(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．巩固练习1 (★★) 求和式1+4+7+⋯+(3n+1).2 (★★) 已知{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，且a1 ,a3 ,a9成等比数列，求数列{2a n}的前n项和S n．3 (★★) 已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为15，(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若公差d>0，求数列{|a n|}的前n项和T n．4 (★★★) 设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．(1)求数列{a n}的等差数列．(2)令b n=lna3n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【方法二】倒序相加(乘)法1 对于某个数列{a n }，若满足a 1+a n =a 2+a n−1=⋯=a k +a n−k+1，则求前n 项和S n 可使用倒序相加法. 具体解法：设S n =a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ① 把①反序可得S n =a n +a n−1+⋯+a 2+a 1 ②由①+②得2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n−1)+⋯+(a n−1+a 2)+(a n +a 1)⇒S n =(a 1+a n )n2.2 对于某个数列{a n }，若满足a 1a n =a 2a n−1=⋯=a k a n−k+1，则求前n 项积T n 可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.【典题1】设f(x)=14x +2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(－3)+f(－2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)的值为．【典题2】求sin 21∘+sin 22∘+sin 23∘+⋯+sin 288∘+sin 289∘的值【典题3】设函数f (x )=x2x +√2的图象上两点P 1(x 1 ,y 1)、P 2(x 2 ,y 2)，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且点P 的横坐标为12．(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求S n =f (1n )+f (2n )+⋯+f(n−1n)+f(nn).巩固练习1 (★★) 设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=(a1+a n)n2.2(★★) 设f(x)=(x−1)3+1，求f(－4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)的值为.3(★★) 设函数f(x)=x21+x2，求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)的值．【方法三】分组求和法1 若数列{c n}中通项公式c n=a n+b n，可分成两个数列{a n}，{b n}之和，则数列{c n}的前n项和等于两个数列{a n}，{b n}的前n项和的和.2 常见的是c n=等差+等比形式3 等比数列的通项公式形如a n=kn+b，等差数列的通项公式形如a n=A∙B n.【典题1】求数列{3n+2n−1}的前n项和S n.【典题2】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5a1，S3−a2=8．(2)若数列{b n }满足(n ×2n +S n )b n =a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n ．【典题3】设数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n=2n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列b 2+b 3+⋯+b 100的值．巩固练习1 (★★) 已知数列{a n }的通项a n =2n +n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8= ．2 (★★) 数列112，214，318，…，n +12n 的前n 项和为S n = ．3 (★★★) 已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，数列{b n }是等差数列，公差为d ，且满足：a 1=b 1=1，b 2+b 3=4a 2，a 3－3b 2=－5． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．4(★★★) 已知公差不为0的等差数列{a n }的前9项和S 9=45，且第2项、第4项、第8项成等比数列．(2)若数列{b n }满足b n =a n +(12)n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【方法四】错位相减法当数列{a n } 的通项公式a n =b n ⋅ c n ,其中{b n } 为等差数列, {c n } 为等比数列.【典题1】已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2 ,a 4的等差中项． ( 1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =a n ⋅log 12a n ，S n ＝b 1+b 2+⋯+b n ，求S n ．【典题2】已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2+a n −2S n =0(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为T n，若b n=(2a n−7)2n，求T n；(3)求数列{T n}的最小项．巩固练习1 (★★★) 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=2(a n−1)，求数列{b n}的前n项和R n．4n2 (★★★) 正项数列{a n}的前n项和为S n，且8S n=(a n+2)2(n∈N∗)．(1)求a1，a2的值及数列{a n}的通项公式；(2)记c n=a n，数列{c n}前n的和为T n，求证：T n<2．3n3 (★★★) 已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4(a3−a4)，正项数列{b n}前n项和为S n，且2√S n=b n+1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n=b n，求数列{c n}的前n项和T n；a n(3)若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2−kλ+2>a2n b n成立的k的取值范围．4(★★★) 已知数列{a n}满足：(n+1)a n+1−(n+2)a n=(n+1)(n+2)(n∈N∗)且a1=4，数列{b n}的前n 项和S n满足：S n=2b n−1(n∈N∗)．(1)证明数列{a nn+1}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=(√a n−1)b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N∗，T n≤nS n+1−m−2恒成立，求实数m的取值范围．【方法五】裂项相消法常见裂项公式(1)1n(n+1)=1n−1n+1，1n(n+k)=1k(1n−1n+k)；(2)√n+1+√n =√n+1−√n，√n+k+√n=1k(√n+k−√n).【典题1】设等差数列{a n}满足a2=5，a6+a8=30，则数列{1a n2−1}的前n项的和等于．【典题2】数列{a n}的通项公式a n=√n+2+√n+3，则该数列的前n项和S n等于.【典题3】等比数列{a n}中，a1=2，q=2，数列b n=a n+1(a n+1−1)(a n−1)，{b n}的前n项和为T n，则T10的值为．【典题4】已知数列{a n}满足a n≠0，a1=13，a n−1−a n＝2a n a n−1(n≥2 ,n∈N∗)．(1)求证：{1a n }是等差数列；(2)证明：a12+a22+⋯+a n2<14．巩固练习1 (★★) 数列{a n}满足a n=1(2n+1)(2n+3),n∈N∗，其前n项和为S n．若S n<M恒成立，则M的最小值为．2 (★★★) 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N∗有2S n=a n2+a n，令b n=a√a+a√a，设{b n}的前n项和为T n，则在T1 ,T2 ,T3 ,… ,T100中有理数的个数为．3 (★★★) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S n=a n+1−2n+2+2 ,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2na n ，记数列{b n b n+1}的前n项和为T n，证明：12≤T n<1．4(★★★) 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a na n+1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a nn+2，求数列{b n}前n项和S n．5 (★★★) 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=2n+1n2(a n+1−1)2，求{b n}的前n项和T n．6 (★★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1=3S n+4n(n∈N∗)，a1=0．(1)求证：数列{a n+2}是等比数列；(2)若对任意T n 为数列{a n +2(a n +4)(a n+1+4)}的前n 项和，求证：T n <12．7(★★★★) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，6S n =3na n+1−2n(n +1)(n +2)，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<56．。

数列与推理证明——学生版

第1讲等差数列、等比数列【高考考情解读】高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ≥1)(a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m q n－m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1考点一与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值；(2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．(1)(2012·浙江改编)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号)①若d <0，则数列{S n }有最大项；②若数列{S n }有最大项，则d <0；③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0；④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.考点二与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国改编)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．考点三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3．等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值．d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值．d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.2．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．3．已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． (2013·江西改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．2． (2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 3．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.4．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝________.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于________． 7．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.8．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．9．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 二、解答题10．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．11．设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .12．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．第2讲数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n＋1的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1.常见的拆项公式：①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；③1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项a n与它的前一项a n－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.考点一分组转化求和法例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(2013·安徽)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.考点三裂项相消求和法例3(2013·广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n}(a n>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为S n，对于所有大于1的正整数n都有S n＝f(S n－1)．(1)求数列{a n}的第n＋1项；(2)若b n是1a n＋1，1a n的等比中项，且T n为{b n}的前n项和，求T n.考点四数列的实际应用例4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克．(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ；(2)试写出销售量S 与n 的函数关系式；(3)当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？1．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．(3)递推关系形如a n ＋1a n＝f (n )，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1转为用迭加法求解．2．数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和． (3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3．数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.2．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．3．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n ＝________.2．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于________．3．对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2，…，则a 2 013＝________.x 1 2 3 4 5 f (x )543124．设{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，记M n ＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ，则数列{M n }中不超过2 013的项的个数为________．5．在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是________．6．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012＝________.7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝________.8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是________．10．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．二、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n项和S n.12．将函数f(x)＝sin 14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．13．在等比数列{a n}中，a2＝14，a3·a6＝1512.设b n＝log2a2n2·log2a2n＋12，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理①类比推理是由特殊到特殊的推理②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3．直接证明(1)综合法：用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(2)分析法：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件4．间接证明：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014＝________.(2)(2012·江西改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.考点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． (2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．考点三直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．2．已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．5．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．6．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．7． (2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．9．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x ＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．。

四类数列题型(学生版)

四类数列题型-高考数学大题秒杀技巧数列求和问题一般分为四类：类型1：错位相减；类型2：裂项相消求和；类型3：分组求和；类型4：含−1 n 类进行求和。

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：①当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是a n −a n −1②当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解a n →简称《构造法》③当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系，关系式中出现倍数关系时，应分为两种情况，第一种情况：若f n 是常数时，可归为等比数列，第二种情况：若f n 可求积，应遵循以下步骤第一步：出现商的形式第二步：列举第三步：求积出现a n →简称《知商求积》类型1：错位相减；a n =An +B ⋅C n第一步：求和(求和×公比)S n =A +B ⋅C 1+A ⋅2+B ⋅C 2+A ⋅3+B ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n −1+A ⋅n +B ⋅C n C ⋅S n =A +B ⋅C 2+A ⋅2+B ⋅C 3+A ⋅3+B ⋅C 4+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n +A ⋅n +B ⋅C n +1①式-②式得S n −C ⋅S n =A +B ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n −A ⋅n +B ⋅C n +1S n 1−C =A ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +1S n =A ⋅C ⋅1−C n1−C +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +11−CS n =A ⋅C ⋅1−C n 1−C 2+B ⋅C 11−C −A ⋅n +B ⋅C n +11−C ⇒S n =AC −C n +1C −12−B ⋅C 1C −1+A ⋅n +B ⋅C n +1C −1S n =An C −1+B C −1−A C −1 2 ⋅C n +1−B C −1−A C −1 2⋅C错位相减专项训练1已知等差数列a n前n项和为S n，a1=1，S9=9a6-18.(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=2n-3⋅2n+1+6，求和：T n=a1b n+a2b n-1+⋯+a n-1b2+a n b1.2数列a n中，a1=2，记T n=a1a2a3⋯a n，T n是公差为1的等差数列.(1)求a n的通项公式；(2)令b n=na n2n，求数列b n的前n项和S n.3已知数列a n满足a1=-1，且2a n+1-a n=1 2n.(1)求2n⋅a n的通项公式；(2)求数列a n的前n项和S n.4已知数列a n的前n项和为S n,a1=0，且S n+1=2S n+2n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n满足b n=log2a n+12，求a n+1b n的前n项和T n.5已知等差数列a n的公差不为零，其前n项和为S n，且a2是a1和a5的等比中项，a2n=2a n +1n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=2a n+1，令c n=a n b n，求数列c n的前n项和T n．类型2：裂项相消求和①a n=f(n+1)−f(n)②sin1°cos n°cos(n+1)°=tan(n+1)°−tan n°③a n=1n(n+1)=1n−1n+1④a n=(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+1212n−1−12n+1⑤a n=1n(n−1)(n+2)=121n(n+1)−1(n+1)(n+2)⑥a n=n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n,则S n=1−1(n+1)2n⑦a n=1(An+B)(An+C)=1C−B1An+B−1An+C⑧a n=1n+n+1=n+1-n，1a+b=1a-ba-b⑨a n=log a n+1n=log a n+1−log a n⑩a n=2n2n−1⋅2n+1−1=12n−1−12n+1−1裂项相消求和专项训练6已知在等差数列a n 中，a 1+a 5=18,a 6=15.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列1a n -1a n 的前n 项和S n .7已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，a n +S n -1S n=0(n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列(2n +1)a 2n 的前n 项和.8已知公差不为0的等差数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1,a 2,a 5成等比数列，a 2a 3=a 8.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)若n ≥2，1S 2-1+1S 3-1+⋯+1S n -1≥2140，求满足条件的n 的最小值.9从①a n +1 2=a 2n -1+4a n +2a n -1+1n ≥2 ,a n >0，②na n +1=n +1 a n +1，③前n 项和S n 满足nS n +1S n+n=n +1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列a n 的首项a 1=1，且.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =2a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10已知数列a n 满足a 1=13，2-a n a n +1=1．(1)证明：数列11-a n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项的积为T n ，证明：T 1T 2+T 2T 3+⋯+T n T n +1<12．类型3：分组求和①等差数列求和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)2d②等比数列求和公式：S n=na1(q=1) a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q(q≠1)③S n=nk=1k=12n(n+1)④S n=nk=1k2=16n(n+1)(2n+1)⑤S n=nk=1k3=12n(n+1)]2类型3：分组求和专项训练11已知数列a n的前n项和为S n,a1=3,2S n=3a n-3.(1)求a n的通项公式；(2)设数列b n满足：b n=a n+log3a n，记b n的前n项和为T n，求T n.12已知数列a n满足：a1=3，a n=a n-1+2n-1n≥2,n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)令b n=a n-1+-1n log2a n-1，求数列b n的前n项和T n．13在等比数列a n中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．第一列第二列第三列第一行-1-416第二行2-6-10第三行5128(1)写出a1，a2，a3，并求数列a n的通项公式；(2)若数列b n的前n项和S n．满足b n=a n+log2a2n，求数列b n14已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n+1=2S n+1n∈N+．(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n a n+1+log2a n a n+1的前n项和．，求数列b nn∈N+15已知数列a n的前n项和S n=n2+n2，等比数列b n满足b2=a2，b3=a3+1．(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)若c n=-a n b n+1,n为奇数a nb n,n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n．类型4：含−1n类进行求和我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为a n=−1n⋅f n 的摆动数列{a n}前n项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，a n+a n+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由S n=a1+a2+a3+a4+a5+a6+⋯+a n−1+a n求出S n；第三步：当n为奇数且n＞1时，由S n=S n−1+a n求出S n，特别注意对n=1时要单独讨论，即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时S n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示含−1n类进行求和专项训练16设S n为数列a n的前n项和，a n>0，a2n+2a n+1=4S n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列-1n4na n a n+1的前n项和Tn.17数列a n 的前n 项的和为S n ，已知a 1=1，a 2=3，当n ≥2时，S n +1+S n -1=2S n +n +1.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)设b n =-1 n ⋅a n ，求b n 的前2m m ∈N ∗ 项和T 2m .18设正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 3=5，且a 2n +1=4S n +4n +1.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =(-1)n ⋅2n a na n +1，求数列b n 的前n 项和T n .19正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知2a n S n =a 2n +1．(1)求证：数列S 2n 为等差数列，并求出S n ，a n ；(2)若b n =(-1)na n，求数列b n 的前2023项和T 2023．20已知正项等比数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1,a2a3a4=64，数列b n满足b1=1,b1+1 2 b2+1 3b3+⋅⋅⋅+1nb n=b n+1-1n∈N*．(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)设c n=a n+(-1)n2b n+1，求数列c n的前2n项和T2n．。

小学奥数计算题库数列计算等差数列应用题.学生版

等差数列应用题例题精讲【例 1】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学．【例 2】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【例 3】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【例 4】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【例 5】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?【例 6】一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？【例 7】时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？【例 8】已知：13599101a=+++++，24698100b=+++++，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大多少？【例 9】小明进行加法珠算练习，用1234++++，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了一个数，这个数是多少？【例 10】编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【巩固】例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【例 11】小王和小高同时开始工作。

数列大题(学生版)1

001 已知数列{a n }满足na n+1−(n +1)a n =1(n ∈N ∗)，且a 1=1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =a n 2，求数列{b n }的前n 项和S n .002设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且535S S =，4223a a =-. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足*121211,2n n n b b b n N aa a +++=-∈，证明：38n b ≤．003已知等差数列{a n}的前n(n∈N∗)项和为S n，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5−2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．（2）若c n=2S n004已知等差数列{a n}的公差为d，且关于x的不等式a1x2−dx−3< 0的解集为(−1,3)，(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=2(a n+12)+a n，求数列{b n}前n项和S n．005已知{a n}是等比数列，{b n}满足b1=2，b2=8，且a1b1+a2b2+⋯+a n b n=(2n−1)⋅3n−1．(1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n的表达式；(2)求数列{b n}的通项公式．006已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，n∈N+.递增的等比数列{b n}满足b1+b3=10，b22=16.（Ⅰ）求数列{a n},{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．007已知数列{a n}满足2a1+3a2+4a3+⋯+(n+1)a n=2n.（1）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和S n.（2）设b n=a nn+3a n+1（n∈N*）008已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=n+12（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n}是等比数列，并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{n2a n}的前n项和T n；a n+1≤(n+6)λ恒成立，求实数λ的（Ⅲ）对任意n∈N*，使得n3最小值．009在①a n+1a n =−12，②a n+1−a n=−16，③a n+1=a n+n−8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=4，______________，求{a n}的通项公式，并判断S n是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．010已知等差数列{a n}的公差d≠0，a3=7，且a1，a2，a6成等比数列，数列{b n}满足b n+b n+1=a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前20项和S20．011在①n(a n+1+1)=(n +1)(a n +4n +1)；②a n+1−a n =2(√a n+1+1+√a n +1)；③a n −a n−1=8n −4（n ≥2）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{a n }中，a 1=3，__________．（1）求a n ；（2）若数列{1a n}的前n 项和为T n ，证明：13 ≤ T n <12．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．012设{a n }是公比大于1的等比数列，a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2(12)n，求数列{b n }的前n 项和T n ．013在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；（2）设，求的前项和．014己知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,S n=2S n−n(n≥2).a }是否是等比数列，并说明理由；（1）试判定{1n（2）求数列{na n}的前n项和T n；015已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1=3，A2=3，A5= B3.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；，数列{c n}的前n项和为S n，证明：S n<（2）设c n=b n+1a n⋅a n+1(n+1)2.016已知数列{a n}满足a2＝2a1＝4，且a n＋1－b n＝2a n，数列{b n}是公差为－1的等差数列。

考点03 求数列的通项公式(学生版)

考点03 求数列的通项公式数列的通项公式，是历年高考的高频考点，无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。

例如：2020年新高考全国卷Ⅱ[18]，2020年天津高考[18]，2020年新高考全国卷Ⅱ[17]，,2021年浙江高考[20]，2021年全国乙卷（理）[19]，2022年天津高考[18]，等都对三角函数的图像与性质及三角恒等变换进行了考查。

〔1〕公式法借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列或等比数列的通项公式求解。

(1)常见的等差数列的通项公式：①d n a a n )1(1-+=；①d m n a a m n )(-+=；①q pn a n +=(p ，q 为常数）。

(2)常见的等比数列的通项公式：①11-=n n q a a ；①mn m n q a a -=。

〔2〕退位相减(除)法(1)退位相减法：适用于递推关系中同时含有n S 与n a 的形式(其中n n a a a a S ++++= 321)，借助⎩⎨⎧≥-==-;2,;1,11n S S n S a n n n 求数列{}n a 的通项公式。

(2)退位相除法：适用于递推关系中同时含有n T 与n a 的形式(其中n n a a a a T 321=)，借助⎪⎩⎪⎨⎧≥==-;2,;1,11n T T n T a n n n求数列{}n a 的通项公式。

注意：不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合在n≥2的条件下求出的通项公式，在首项不符合的条件下，书写通项公式时，注意分段表达. 〔3〕用累加法、累乘法求通项))((*1N n n f a a n n ∈+=+(累加法)，))((*1N n n f a a nn ∈=+(累乘法)。

〔4〕构造等差、等比数列求通项 (1)待定系数法①)0,1,0(1≠≠≠+=+q p p q pa a n n 型：设)(1λλ+=++n n a p a (其中λ为待定系数)。

求数列的通项公式(学生版)

求数列的通项公式1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r的数列求通项可用倒数法； (3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法； (5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路： ①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n . 考向一待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。

例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。

可用待定系数法求通项的主要有三种：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ＝k (a n ＋λ)，整理后与a n ＋1＝ka n ＋b 对比可求出λ的值，得出数列是公比为的等比数列；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ∙b n +1＝k (a n ＋λ∙b n )，整理后与a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 对比可求出λ的值，得出数列是公比为的等比数列；③形如a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 的数列求通项，方法是：a n ＋2＋λa n ＋1＝μ(a n ＋1＋λa n )，整理后与a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 对比可求出λ、μ的值，得出数列是公比为的等比数列．变式1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2，求数列的通项公式a n .例2—1 已知数列{a n }中，其中a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝a n －12a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式。

数列求和专题——奇数、偶数--学生版

数列求和专题——奇数、偶数19．（12分）（2016•滨州二模）已知数列{a n}的前n项和S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n（a n•+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•潍坊模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N+）．（1）求a n和S n；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和T n．求证：3≤T n＜24．19．（12分）（2015•温州二模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n ∈N+）．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有++…++＜成立．19．（12分）（2016•山东二模）已知正数数列{a n}满足：a1=1，a n+12﹣2a n+1=a n2+2a n．数列{b n}满足b n•b n+1=3n且b2=9．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知c n=2n a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•威海一模）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列与的前n项和为T n，求证：．19．（12分）（2016•山东模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．19．（12分）（2016•德州校级二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，都有a n=+2．（1）设b n=log2a n，求证：数列{b n}为等差数列；（2）在（1）的条件下，设c n=（﹣1）n+1，数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n ≤．18．（12分）（2016•临沂二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，S5=45；数列{b n}前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和Q n．19．（12分）（2016•山东三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n；数列{b n}是公比大于1的等比数列，且满足b1+b4=9，b2b3=8．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n S n+a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•江门模拟）已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n 项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．数列求和专题——裂项相消（累乘与累加）19．（12分）（2016•威海二模）设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•日照一模）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．19．（12分）（2016•青岛二模）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7=2，且成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有64T n＜|3λ﹣1|成立，求实数λ的取值范围．19．（12分）（2016•青岛一模）已知数列{a n}满足2a n a n+1=a n﹣a n+1，且a1=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，若数列{b n}满足b n=（k∈N+），求S64；（3）设T n=+++…+，是否存在实数c，使{}为等差数列，请说明理由．19．（12分）（2016•济宁二模）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，在等比数列{b n}中，b1+b3=5．b4+b6=40．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n．18．（12分）（2016•济宁三模）已知数列{a n}满足：++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．18．（12分）（2016•德州二模）已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．20．（12分）（2016•莱芜一模）已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．17．（12分）（2016•衡阳三模）设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．（12分）（2016•日照二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=+log2图象上任意两点，M为线段AB的中点．已知点M的横坐标为．若S n=f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n=，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．+118．（12分）（2016•泰安二模）已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．（12分）（2015•茂名一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n （n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．数列求和专题——错位相减专题19．（12分）（2016•济宁一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．18．（12分）（2016•平度市三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n ﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=1，f（b n+1）=．①求数列{b n}的通项公式，②设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•平度市模拟）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•青岛一模）已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{b n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足=T n+2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．19．（12分）（2016•邹城市校级模拟）已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．19．（12分）（2016•菏泽二模）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N+）数列{b n}满足a n=+++…+（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•德州一模）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，写出T n关于n的表达式，并求满足T n＞时n的取值范围．19．（12分）（2016•菏泽一模）已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•滨州一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前项和T n．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2016•泰安一模）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．数列求和专题——分组求和19．（12分）（2016•济南模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=3，a n+2=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T2n．数列求和专题——数学归纳法证明18．（12分）（2016•潍坊二模）已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．。

数列专题六、累乘法求an题库(学生版)

累加法求an1．已知数列{}n a 满足11a =，()1+=-n n n a n a a ，则数列{}n a 的通项公式为n a =（） A ．21n -B ．11n n n -+⎛⎫⎪⎝⎭C ．2nD ．n2．在数列{}n a 中，11a =，且1(21)(21)n n n a n a +-=+，则数列{}1n n a a +⋅的前10项和等于（） A ．919B ．1819C ．1021D ．20213．已知数列{}n a 满足113a =，12321n n n a a n --=+(2n ≥，*n ∈N )，则数列{}n a 的通项n a =（） A ．2141n - B ．2121n +C ．()()12123n n -+D ．()()113n n ++4．已知{}n a 中，11a =，1(1)2n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是（） A ．21n n na =- B ．12n n n a -=C ．n a n =D ．12n nn a +=5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，26a =，()()*12N nn n a S n +=∈，则数列{}na 的通项公式为（） A ．3n a n = B ．3nn a =C ．4n a n =+D ．22n a n =+6．已知数列{}n a 满足递推公式()*12,1n n na a n n n -=≥∈+N ，且15a =，则数列{}n a 的前四项依次为___________，它的通项公式为___________. 7．若数列{}n a 满足13a =，13132n n n a a n +-=+，则n a =________，数列{}1n n a a +⋅的前10项和是_________.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12021a =，2n n S n a =，则2011a =_________．9．已知数列{}n a 满足11a =，()11n n na a n n *+=∈+N ，则n a =___________. 10．在数列{}n a 中，12a =，()12*1n n a nn n N a n -=≥∈-，，则9a =______ ．11．在数列{}n a 中，11a =，()*11n n a nn a n +=∈+N ，则10a =_________． 12．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =________. 13．若数列满足则数列的通项公式n a =___________． 14．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n a a a a a n n-++++=-≥，则{}n a 的通项公式为______．15．已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 16．已知数列{}n a ，11a =，且12n n na a n +⋅=+，则12322212n n n a a a a a a --⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅=_______. 17．数列{}n a 中，若11a =，12n n na a n +=+，则191k k a ==∑___________. 18．已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是______________．19．已知数列{a n }中，（n +1）a n =na n +1，a 1=1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =3n •（a n +1），求数列{b n }的前n 项和S n .20．已知数列{}n a 满足1a *1,n n n +=∈N ，求数列{}n a 的通项公式. 21．已知数列{a n }，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，求通项公式a n . 22．在数列{}n a 中，()11212,n n n a a a n++==，求数列{}n a 的通项公式． 23．若数列{}n a 满足()()1112n n n a na n --=+≥，且11a =，求数列{}n a 的通项公式．24．已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N-+=-≥∈.求{}na 的通项公式.25．已知数列{}n a 满足1a *1,n n n +=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*n nb n =∈N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：1n S <． 26．已知正项数列{}n a 满足11a =，且()22*111,n n n n na n a a a n N ++-+=⋅∈，求{}n a 的通项公式27．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，且11a >，21a -，42a -，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设142n a n n n b a a -+=+，数列{}n b 的前n 项和为n T . 28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()*21N n n S n a n =+∈.求数列{}n a 的通项公式.29．已知正数数列{}n a 满足11a =，2n n S n a =，求{}n a 的通项公式.30．已知数列{}n a 满足()()()11211n n n a n a +-=+-，29a =.求数列{}n a 的通项公式.。