特征值与特征向量计算第六章
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T T
和对合性（ H I ）以及 H H 。
2 T
1
P136定义6-1，定理6-4
构造一个 Householder 矩阵Ｈ主要是确定向 量u
v u n 。对任意非零向量 v R ，可令 v 2 ，此时
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 44 .9995 , x1 (1,0.333 ,0.6667 )
T
注：1、归一化例题6-2
2、幂法的加速：原点平移法； Aitken加速法；Rayleigh商加速法
（1）原点平移法 最简单的加速办法是以 B A qI 来代替矩阵 A 进 行迭代, 此时适当选取平移量 q 可使过程得以加速。 易知 B 的特征值为 q, i 1,
…………..
k k Vk AVk 1 AkV0 11 1 2 k 2 2 n nn
i k [1 1 i ( ) i ] 1 i 2
k 1 n
同理可得： k 1 Vk 1 1 [1 1
i 假定 ( 1 ) j 0 ,因为 1(i 2,3,, n ) ,故得 1
1、Householder矩阵
定 义 ： 设 向 量 u u1 , u2 , , un
H I 2uuT ， 称为
T
，且
uT u u
2 2
1 ，则
Householder 矩阵， 简称Ｈ矩阵。
根据定义可以看出，Householder 矩阵 具有良好的性质： 对称性（ H H ） ，正交性（ H H I ）
n
i [11 i ( ) i ] 1 i 2 mk max( Vk ) max{ } n i k 1 k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
lim uk
k
max( 1 )
1
i max[ 11 i ( ) i ] 1 i 2 1 n i k 1 max[ 11 i ( ) i ] 1 i 2
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。 目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法---幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。
V
(k )
,V ( k )
因为：
r (V
(k )
AV ) V
,V ( k ) A K 1V ( 0) , A K V ( 0) (k ) (k ) K ( 0) K (0) ,V A V ,A V
(k )
2k
2 2 k 1 a i i i 1 n
n
a12 a1n a11 a a a 22 2n f x det A I 21 a a a n1 n2 nn
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A 的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得 出特征值λ对应的特征向量X。
lim uk
k
max( 1 )
1
lim mk 1
k
证: V1 Au0 AV0 , u1
V1 AV0 max( V1 ) max( AV0 )
AkV0 Vk Auk 1 max( Ak 1V0 ) Vk AkV0 uk mk max ( AkV0 )
i
, n ， B
1
的特征向量与矩阵
A
相 同 。 为 了 加 速 求 得 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且 。
q
2 q 2 1 q 1
易求得，
2 n
2
是一个很好的选择.可以验证，
2 q
1
此时 B 的模最大的特征根仍为 1 q ， 且模第二大的特 征根为 2 q 或 n q ， 由于 q q 2
一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1 , 2 ,, n (它们线性无关)， 则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 Vk AVk1 有
(Vk ) j lim 1 k (V k 1 ) j
其中表示向量的第j个分量.
（3）Rayleigh 商加速 设对称矩阵 A 的特征值满足 1 2 n ， 且含 有相互正交的特征向量 x1 , x 2 , , xn ，则在幂法迭代的 每一步可进一步计算 V( k ) 的 Rayleigh 商
r (V ( k ) )
(k ) (k ) AV , V
1 2 n
其对应的特征向量为
因为 A xk = k xk
x1 x2 , x3 ,
, xn
所以 A-1 xk = k-1 xk
故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足
n
1
n1
1
1
1
对应的特征向量仍为 x k 。因此，求矩阵 A 的按模最小特征 值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1 ，这只需应用 幂法即可求得。
wenku.baidu.com
四、ＱＲ算法
ＱＲ算法是目前计算任意方阵全部特征值 及特征向量最有效的方法之一，它是幂法的推 广和变形。由线性代数可知，任何实的非奇异 阵Ａ都可以分解为正交矩阵Ｑ和上三角矩阵Ｒ 的乘积，而且当Ｒ的对角线元取定时，这种分 解是唯一的。
ＱＲ算法的基本思想就是先对Ａ进行ＱＲ 分解，然后通过逆序相乘对原矩阵实现一系列 正交相似变换，最后约化成一个近似的上三角 阵，其对角元就是所求矩阵Ａ的近似特征值。 ＱＲ分解可以用 Householder 变换或平面旋转 变换来实现。
注意点： 由于求逆非常费时。故在用迭代向量 Vk A1uk 1 由uk-1求Vk时，可采用解方程组
AVk uk 1
的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故 计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每 次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别 当n较大时，将大大地节省计算量。 三、幂法小结： 幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相 应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序 在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依 赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是 求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。
（2）Aitken 加速方法 易知
mk max(V
(k )
2 ) 1 C 1
k
于是有： mk 2 1 mk 1 1 mk 1 1 mk 1 便可得到
1 1( k )
2 mk 2 mk mk 1 mk 2 2mk 1 mk
a
i 1
2 i
i2 k
2 (k ) r ( V ) [ 1 O ( 1 所以： 1
)]
其近似程度比 Atiken 加速方法好。
二、反幂法： 基本思路：设 A没有零特征值，则 A非奇异，即 A的逆矩 阵存在，设的特征值为 0
n
k
lim mk 1
例： 用幂法求矩阵
6 135 133 A 44 5 46 88 6 90
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出Vk,uk和mk,迭代 7次的结果列于下表
P129：定理6-2；归一化幂 法是定理6-3。
证明： 仅就为实数的情况来证明.假定
V0 11 2 2 n n (1 0)
于是,由矩阵特征值定义知 i i i ,得
V1 AV0 1 A1 2 A2 n An 111 22 2 nn n 2 2 V2 AV1 A2V0 11 1 2 2 2 2 n nn
矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容
一、幂法 二、反幂法 三、幂法、反幂法小结 四、QR算法 五、Jacobi方法
问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的 求解，有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。 学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ 的解法，即先求出A的特征多项式：
uk
1 -0.67153 -0.66727 -0.66670 -0.66667 -0.66667 -0.66667 -0.66667
m2 44 .42377 , m3 44 .92333 , m4 44 .99572 m5 44 .99959 , m6 44 .99953 , m7 44 .99953
1 1 2
n q
2 n
n
2 1
， 因而，
过程可以加速。
这个办法也可用来求按模最小的特征值及相应 特征向量，只需令
1 n1 q 2
即可。
上述加速办法也称为移位法 .由于特征值分布 范围预先可由定理 6.1 先限定一个范围，但此范围 往往太大，实际使用时一般是通过多次实验找到合 适的 q 值使迭代过程有明显加速为止。
Vk
1 274 44.43277 44.92333 44.99572 44.99959 44.99953 44.99953 1 95 14.84322 14.97623 14.99865 14.99988 14.99983 14.99983 1 -184 -29.64262 -29.95048 -29.99722 -29.99974 -29.99968 -29.99968 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.34672 0.33413 0.33337 0.33334 0.33333 0.33333 0.33333
i [1 1 i ( ) i ] 1 i 2 n i k k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
i k ) i 1 i 2 n i k m ax [ 1 1 i ( ) i ] 1 i 2 1 1 i (
i k 1 i ( ) i ] 1 i 2
n
i k 1 ( 1 ) j [i ( ) i ] j (Vk ) j 1 i 2 lim 1 lim 1 n k (V k i k 1 k 1 ) j 1 ( 1 ) j [i ( ) i ] j 1 i 2
n
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方 法,具体步骤如下： (1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T (2)计算Vk=AVk-1 (Vk ) j (3)当k足够大时,即可得到：1
(Vk 1 ) j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向 量。 为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理 定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
和对合性（ H I ）以及 H H 。
2 T
1
P136定义6-1，定理6-4
构造一个 Householder 矩阵Ｈ主要是确定向 量u
v u n 。对任意非零向量 v R ，可令 v 2 ，此时
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 44 .9995 , x1 (1,0.333 ,0.6667 )
T
注：1、归一化例题6-2
2、幂法的加速：原点平移法； Aitken加速法；Rayleigh商加速法
（1）原点平移法 最简单的加速办法是以 B A qI 来代替矩阵 A 进 行迭代, 此时适当选取平移量 q 可使过程得以加速。 易知 B 的特征值为 q, i 1,
…………..
k k Vk AVk 1 AkV0 11 1 2 k 2 2 n nn
i k [1 1 i ( ) i ] 1 i 2
k 1 n
同理可得： k 1 Vk 1 1 [1 1
i 假定 ( 1 ) j 0 ,因为 1(i 2,3,, n ) ,故得 1
1、Householder矩阵
定 义 ： 设 向 量 u u1 , u2 , , un
H I 2uuT ， 称为
T
，且
uT u u
2 2
1 ，则
Householder 矩阵， 简称Ｈ矩阵。
根据定义可以看出，Householder 矩阵 具有良好的性质： 对称性（ H H ） ，正交性（ H H I ）
n
i [11 i ( ) i ] 1 i 2 mk max( Vk ) max{ } n i k 1 k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
lim uk
k
max( 1 )
1
i max[ 11 i ( ) i ] 1 i 2 1 n i k 1 max[ 11 i ( ) i ] 1 i 2
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。 目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法---幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。
V
(k )
,V ( k )
因为：
r (V
(k )
AV ) V
,V ( k ) A K 1V ( 0) , A K V ( 0) (k ) (k ) K ( 0) K (0) ,V A V ,A V
(k )
2k
2 2 k 1 a i i i 1 n
n
a12 a1n a11 a a a 22 2n f x det A I 21 a a a n1 n2 nn
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A 的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得 出特征值λ对应的特征向量X。
lim uk
k
max( 1 )
1
lim mk 1
k
证: V1 Au0 AV0 , u1
V1 AV0 max( V1 ) max( AV0 )
AkV0 Vk Auk 1 max( Ak 1V0 ) Vk AkV0 uk mk max ( AkV0 )
i
, n ， B
1
的特征向量与矩阵
A
相 同 。 为 了 加 速 求 得 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且 。
q
2 q 2 1 q 1
易求得，
2 n
2
是一个很好的选择.可以验证，
2 q
1
此时 B 的模最大的特征根仍为 1 q ， 且模第二大的特 征根为 2 q 或 n q ， 由于 q q 2
一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1 , 2 ,, n (它们线性无关)， 则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 Vk AVk1 有
(Vk ) j lim 1 k (V k 1 ) j
其中表示向量的第j个分量.
（3）Rayleigh 商加速 设对称矩阵 A 的特征值满足 1 2 n ， 且含 有相互正交的特征向量 x1 , x 2 , , xn ，则在幂法迭代的 每一步可进一步计算 V( k ) 的 Rayleigh 商
r (V ( k ) )
(k ) (k ) AV , V
1 2 n
其对应的特征向量为
因为 A xk = k xk
x1 x2 , x3 ,
, xn
所以 A-1 xk = k-1 xk
故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足
n
1
n1
1
1
1
对应的特征向量仍为 x k 。因此，求矩阵 A 的按模最小特征 值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1 ，这只需应用 幂法即可求得。
wenku.baidu.com
四、ＱＲ算法
ＱＲ算法是目前计算任意方阵全部特征值 及特征向量最有效的方法之一，它是幂法的推 广和变形。由线性代数可知，任何实的非奇异 阵Ａ都可以分解为正交矩阵Ｑ和上三角矩阵Ｒ 的乘积，而且当Ｒ的对角线元取定时，这种分 解是唯一的。
ＱＲ算法的基本思想就是先对Ａ进行ＱＲ 分解，然后通过逆序相乘对原矩阵实现一系列 正交相似变换，最后约化成一个近似的上三角 阵，其对角元就是所求矩阵Ａ的近似特征值。 ＱＲ分解可以用 Householder 变换或平面旋转 变换来实现。
注意点： 由于求逆非常费时。故在用迭代向量 Vk A1uk 1 由uk-1求Vk时，可采用解方程组
AVk uk 1
的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故 计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每 次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别 当n较大时，将大大地节省计算量。 三、幂法小结： 幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相 应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序 在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依 赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是 求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。
（2）Aitken 加速方法 易知
mk max(V
(k )
2 ) 1 C 1
k
于是有： mk 2 1 mk 1 1 mk 1 1 mk 1 便可得到
1 1( k )
2 mk 2 mk mk 1 mk 2 2mk 1 mk
a
i 1
2 i
i2 k
2 (k ) r ( V ) [ 1 O ( 1 所以： 1
)]
其近似程度比 Atiken 加速方法好。
二、反幂法： 基本思路：设 A没有零特征值，则 A非奇异，即 A的逆矩 阵存在，设的特征值为 0
n
k
lim mk 1
例： 用幂法求矩阵
6 135 133 A 44 5 46 88 6 90
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出Vk,uk和mk,迭代 7次的结果列于下表
P129：定理6-2；归一化幂 法是定理6-3。
证明： 仅就为实数的情况来证明.假定
V0 11 2 2 n n (1 0)
于是,由矩阵特征值定义知 i i i ,得
V1 AV0 1 A1 2 A2 n An 111 22 2 nn n 2 2 V2 AV1 A2V0 11 1 2 2 2 2 n nn
矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容
一、幂法 二、反幂法 三、幂法、反幂法小结 四、QR算法 五、Jacobi方法
问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的 求解，有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。 学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ 的解法，即先求出A的特征多项式：
uk
1 -0.67153 -0.66727 -0.66670 -0.66667 -0.66667 -0.66667 -0.66667
m2 44 .42377 , m3 44 .92333 , m4 44 .99572 m5 44 .99959 , m6 44 .99953 , m7 44 .99953
1 1 2
n q
2 n
n
2 1
， 因而，
过程可以加速。
这个办法也可用来求按模最小的特征值及相应 特征向量，只需令
1 n1 q 2
即可。
上述加速办法也称为移位法 .由于特征值分布 范围预先可由定理 6.1 先限定一个范围，但此范围 往往太大，实际使用时一般是通过多次实验找到合 适的 q 值使迭代过程有明显加速为止。
Vk
1 274 44.43277 44.92333 44.99572 44.99959 44.99953 44.99953 1 95 14.84322 14.97623 14.99865 14.99988 14.99983 14.99983 1 -184 -29.64262 -29.95048 -29.99722 -29.99974 -29.99968 -29.99968 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.34672 0.33413 0.33337 0.33334 0.33333 0.33333 0.33333
i [1 1 i ( ) i ] 1 i 2 n i k k max{ 1 [1 1 i ( ) i ]} 1 i 2
k 1 n
i k ) i 1 i 2 n i k m ax [ 1 1 i ( ) i ] 1 i 2 1 1 i (
i k 1 i ( ) i ] 1 i 2
n
i k 1 ( 1 ) j [i ( ) i ] j (Vk ) j 1 i 2 lim 1 lim 1 n k (V k i k 1 k 1 ) j 1 ( 1 ) j [i ( ) i ] j 1 i 2
n
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方 法,具体步骤如下： (1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T (2)计算Vk=AVk-1 (Vk ) j (3)当k足够大时,即可得到：1
(Vk 1 ) j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向 量。 为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理 定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即