第3讲——条件熵、联合熵及熵的性质
熵及条件熵的相关定理及其证明
熵及条件熵的相关定理及其证明设出属性集合P 和D ={d }导出的对论域()n U U =||的划分分别为(){}n X X X P IND U ⋯=,,|21和(){}n Y Y Y d IND U ⋯=,,|21，则有如下定理成立： 定理[]()()()P H P D H P D H == |1.339。
定理3.2设U 是一个论域，P ，Q 是U 。
上的两个属性集合若 ()()，P UIND Q UIND =则()()P H Q H =（逆并不成立）。
定理 3.3设U 是一个论域，P ，Q 是U ，上的两个属性集合且Q P ⊆，若()()P H Q H =，则()()P UIND Q UIND =。
定理3.4设U 是一个论域，P 是U 上的一个属性集合，P 中的一个属性r 是不必要的，其充分必要条件为{}{}()0=-r P r H 。
推论3.1P 中的一个属性r 是必要的必要条件为{}{}()r P r H -＞0。
定理3.5设U 是一个论域，P 是U 上的一个属性集合，Q 是P 的一个约简的充分必要条件为()()P H Q H =，且对任意的Q q ∈都有{}{}()q Q q H -＞0。
由定理3.3、定理3.4和定理3.5可知，对于属性约简而言，信息熵表示形式与代数表示形式是等价的。
可以从信息熵的角度来研究属性约简问题，但上述定理还仅仅是针对一般信息表的约简问题（绝对约简）而言的。
对于决策表的相对约简问题，文献[11]证明了如下定理。
定理3.6设U 是一个论域，P 是U 上的一个属性集合，d 为决策属性，且论域U 是在P 上相对于{d }一致的，则P 中的一个属性r 是P 相对于决策属性d 不必要的（多余的），其充分必要条件为{}(){}{}()r P d H P d H -=||。
证明：首先令(){}n X X X P IND U ⋯=,,|21，(){}m Y Y Y d IND U ⋯=,,|21。
2.3二元联合信源的联合熵与条件熵
2.3二元联合信源的联合熵（共熵）与条件熵讨论两个信源的情况。
如前所述，信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Xp X 类似地信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Y p Y 这两个信源，即二元联合信源的概率空间，可以由其联合概率空间来描述。
2.3.1共熵研究二元联合信源的熵即共熵。
二元联合信源的共熵可以按照单信源熵的定义写出：∑∑==-=ni mj xiyj lbp xiyj p XY H 11)()()(研究单信源熵与联合概率的关系.2.3.2条件熵条件熵不能由单信源熵定义直接写出，而是由其共熵导出。
H(XY)=H(X)+H(Y/X) (2.3.3)二元联合信源的共熵还可以写成：H(XY)=H(Y)+H(X/Y)(2.3.4)[例2.3.1]仍以[例2.1.5]为例验证式（2.3.3），（2.3.4）的正确性。
推论１：推论２：[例2.3.2]有一离散信源具有三个消息A、B、C，发出的消息序列前后符号具有相关性，其中相关性可用下表中的条件概率来描述，求该离散信源的熵。
某地二月份天气构成的信源为现有人告诉你:“今天不是晴天。
”，把这句话作为收到的消息y1。
当收到消息y1 后，各种天气发生的概率变成后验概率了。
其中计算 与各种天气之间的互信息量。
各种熵之间的关系⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡81,81,41,21)(),(),(),()(4321雪雨阴晴x x x x X P X 41)/(;41)/(;21)/(;0)/(14131211====y x p y x p y x p y x p 互信息量为负值的不确定度更大反而使的不确定度减少不仅没有使后说明收到消息比特的不确定度各减少了使也可理解为消息比特的信息量各分别得到了这表明从同理对天气信息量之间与不必再考虑对天气→-∞========∴=。
x ，x ，y bit x p y x p y x I 。
，x x ，x y ，，x ，x x y bit y x I y x I bit x p y x p y x I x 。
熵的知识点总结高中
熵的知识点总结高中一、热力学中的熵1. 热力学第二定律熵的概念最早出现在热力学中。
热力学第二定律是熵的基本原理，它告诉我们自然界中的某些现象是不可逆的。
热力学第二定律有很多等价的表述，最常见的一种是开尔文表述，即“不可能从单一热源吸热，使之全部变为有用功而不引起其他变化”。
这个表述告诉我们，热能不可能完全转化为机械功而不产生其他变化，也就是说，热能可以转化为机械功的过程是有限的。
克劳修斯不等式和普朗克不等式是热力学第二定律的数学表述，它们告诉我们能量转化的方向和限度。
热力学第二定律的基本原理是熵增原理，即在孤立系统中，熵不会减少，而只会增加或保持不变。
2. 熵的定义熵最早是由克劳修斯提出的，他将熵定义为热力学不可逆过程的度量。
克劳修斯熵增原理告诉我们，孤立系统中熵不会减少，而只能增加或保持不变。
后来开尔文和普朗克将熵的定义进一步推广，将其定义为系统的混乱程度或者无序程度。
这个定义很容易理解，例如一个有序的晶体结构的系统，其熵很低；一个无序的气体系统，其熵很高。
熵的定义强调了系统的有序和无序之间的关系，也体现了熵是热力学不可逆性的度量这一基本概念。
3. 熵的性质熵有许多重要的性质，它们是热力学第二定律的基础。
熵是广延量，即与系统的大小成比例；熵是状态函数，即与系统的路径无关；熵是可加的，即复合系统的熵等于各个子系统的熵之和。
这些性质保证了熵在热力学中的重要地位，也是热力学第二定律的数学基础。
4. 熵的应用熵在热力学中有许多重要的应用。
例如在热力学循环中，熵是评价热机效率的重要参量；在相变中，熵是评价相变过程的重要参量；在化学反应中，熵变是评价反应条件的重要参量。
这些应用都表明了熵在热力学中的重要地位，也反映了熵在自然界中普遍存在的事实。
二、统计物理中的熵1. 统计物理的基本原理统计物理是热力学的微观基础，它描述了宏观系统的宏观性质是如何由微观粒子的微观运动产生的。
统计物理的基本原理是玻尔兹曼分布和吉布斯分布，它们告诉我们：在平衡态下，系统的微观状态是服从一定的分布律的，而这个分布律是由系统的宏观性质决定的。
条件熵与相对熵
条件熵与相对熵
条件熵和相对熵是信息论中的两个重要概念，它们都用于度量信息的不确定性或随机变量的不确定性。
条件熵是在某个给定条件下，随机变量熵的大小。
具体来说，条件熵是条件概率分布的熵对某个随机变量的期望。
它可以用来衡量在已知某个随机变量的条件下，另一个随机变量的不确定性。
条件熵的计算公式为H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)，其中H(X,Y)表示随机变量X和Y的联合熵，H(X)表示随机变量X的熵。
相对熵（也称为Kullback-Leibler散度或信息散度）是两个概率分布之间差异的非对称性度量。
它可以用来衡量两个概率分布之间的相似性或差异性。
如果两个概率分布相同，相对熵为0；如果两个概率分布完全不同，相对熵最大。
相对熵的计算公式为DKL(P||Q) = ∑p(x)log(p(x)/q(x))，其中P和Q是两个概率分布，p(x)和q(x)分别是P和Q的概率质量函数或概率密度函数。
条件熵和相对熵在信息论、机器学习和数据压缩等领域中有广泛的应用。
例如，在最大熵模型中，条件熵被用作模型输出的不确定性度量；在自然语言处理中，相对熵被用来衡量两个语言模型之间的相似性；在图像处理中，相对熵被用来实现图像的压缩和去噪等。
信息论与编码基本概念
信息论与编码基本概念信息论是一门研究信息传输和处理的学科，而编码则是信息论的重要组成部分。
信息论的基本概念包括信息熵、条件熵、联合熵以及信道容量等。
本文将介绍这些基本概念，并探讨它们在信息处理中的应用。
1. 信息熵信息熵是信息论中的一个重要概念，用来度量信息的不确定性或者信息的平均信息量。
对于一个离散随机变量X，其熵定义为：H(X) = -Σp(x)log2(p(x))其中, p(x) 是随机变量X取值为x的概率。
信息熵越大，代表信息的不确定性越高。
2. 条件熵条件熵是在给定了某些条件的情况下，随机变量的熵。
对于两个随机变量X和Y，条件熵H(X|Y)表示在已知Y的情况下，随机变量X的不确定性。
条件熵可以计算为：H(X|Y) = -ΣΣp(x,y)log2(p(x|y))其中，p(x,y) 是随机变量X和Y的联合分布。
3. 联合熵联合熵是指两个随机变量的联合分布的熵。
对于X和Y两个随机变量，其联合熵可以计算为：H(X,Y)= -ΣΣp(x,y)log2(p(x,y))4. 信道容量信道容量是指在信道传输过程中，能够传输的最大信息量。
信道容量由香农定理给出，其计算公式为：C = B*log2(1+S/N)其中，B是信道的带宽，S是信号的平均功率，N是噪声的功率。
信道容量取决于信号与噪声之比，当信号强于噪声时，信道容量较大。
信息论的基本概念与编码密切相关。
编码是指将输入的信息转换为一系列编码符号，以便在信道中传输或储存。
编码可以通过增加编码的冗余性来提高信息的可靠性，并且可以通过编码方式的设计来减少传输的误码率。
常见的编码方式包括香农-离散傅里叶变换编码、霍夫曼编码、矩阵幂搅拌编码等。
这些编码方式根据不同的需求和约束条件，来实现信息的高效传输与存储。
总结：信息论与编码是信息科学中重要的领域，它研究信息的度量、传输与处理。
信息熵、条件熵、联合熵和信道容量是信息理论的基本概念，用于度量信息的不确定性、传输的可靠性等。
联合熵推导
联合熵推导联合熵是信息论中用来衡量多个随机变量之间关联程度的指标。
它是熵的一个扩展，可以帮助我们理解和量化多个随机变量之间的信息传递和依赖关系。
1. 信息熵回顾在介绍联合熵之前，我们先来回顾一下信息熵的概念。
信息熵是用来衡量一个随机变量的不确定性的度量方式。
对于一个离散型随机变量X ，其信息熵H(X)的定义如下：H (X )=−∑P ni=1(x i )logP (x i )其中，x i 表示X 的取值，P (x i )表示X 取值为x i 的概率。
信息熵越高，表示随机变量的不确定性越大。
2. 联合熵的定义现在我们考虑两个随机变量X 和Y ，它们的联合概率分布为P(X =x i ,Y =y j )。
联合熵H(X, Y)的定义如下：H (X,Y )=−∑∑P mj=1n i=1(x i ,y j )logP(x i ,y j )其中，x i 和y j 分别表示X 和Y 的取值，P(x i ,y j )表示X 取值为x i 且Y 取值为y j 的联合概率。
联合熵可以看作是在考虑了两个随机变量之间的关联情况下的不确定性度量。
如果X 和Y 相互独立，那么联合熵就等于各自的熵的和。
如果X 和Y 之间存在依赖关系，那么联合熵就小于各自的熵的和。
3. 联合熵的性质联合熵具有以下性质：•非负性：联合熵始终大于等于零，即H (X,Y )≥0。
•对称性：H (X,Y )=H (Y,X )，即X 和Y 的顺序不影响联合熵的值。
• 条件熵的性质：联合熵可以通过条件熵来计算，即H (X,Y )=H (X )+H (Y|X )。
其中，H (Y|X )表示在已知X 的条件下，Y 的不确定性。
4. 联合熵的应用联合熵在信息论和统计学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 信息传输在通信领域中，联合熵可以用来衡量信道中的信息容量。
通过计算发送方和接收方之间的联合熵，可以确定在给定信道条件下的最大可靠传输速率。
4.2. 数据压缩联合熵可以用来评估数据的冗余度。
2.3二元联合信源的联合熵与条件熵
2.3二元联合信源的联合熵（共熵）与条件熵讨论两个信源的情况。
如前所述，信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Xp X 类似地信源的概率空间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(Y p Y 这两个信源，即二元联合信源的概率空间，可以由其联合概率空间来描述。
2.3.1共熵研究二元联合信源的熵即共熵。
二元联合信源的共熵可以按照单信源熵的定义写出：∑∑==-=ni mj xiyj lbp xiyj p XY H 11)()()(研究单信源熵与联合概率的关系.2.3.2条件熵条件熵不能由单信源熵定义直接写出，而是由其共熵导出。
H(XY)=H(X)+H(Y/X) (2.3.3)二元联合信源的共熵还可以写成：H(XY)=H(Y)+H(X/Y)(2.3.4)[例2.3.1]仍以[例2.1.5]为例验证式（2.3.3），（2.3.4）的正确性。
推论１：推论２：[例2.3.2]有一离散信源具有三个消息A、B、C，发出的消息序列前后符号具有相关性，其中相关性可用下表中的条件概率来描述，求该离散信源的熵。
某地二月份天气构成的信源为现有人告诉你:“今天不是晴天。
”，把这句话作为收到的消息y1。
当收到消息y1 后，各种天气发生的概率变成后验概率了。
其中计算 与各种天气之间的互信息量。
各种熵之间的关系⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡81,81,41,21)(),(),(),()(4321雪雨阴晴x x x x X P X 41)/(;41)/(;21)/(;0)/(14131211====y x p y x p y x p y x p 互信息量为负值的不确定度更大反而使的不确定度减少不仅没有使后说明收到消息比特的不确定度各减少了使也可理解为消息比特的信息量各分别得到了这表明从同理对天气信息量之间与不必再考虑对天气→-∞========∴=。
x ，x ，y bit x p y x p y x I 。
，x x ，x y ，，x ，x x y bit y x I y x I bit x p y x p y x I x 。
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵原⽂地址：1、信息熵 (information entropy)熵 (entropy) 这⼀词最初来源于热⼒学。
1948年，克劳德·爱尔伍德·⾹农将热⼒学中的熵引⼊信息论，所以也被称为⾹农熵 (Shannon entropy)，信息熵 (information entropy)。
本⽂只讨论信息熵。
⾸先，我们先来理解⼀下信息这个概念。
信息是⼀个很抽象的概念，百度百科将它定义为：指⾳讯、消息、通讯系统传输和处理的对象，泛指⼈类社会传播的⼀切内容。
那信息可以被量化么？可以的！⾹农提出的“信息熵”概念解决了这⼀问题。
⼀条信息的信息量⼤⼩和它的不确定性有直接的关系。
我们需要搞清楚⼀件⾮常⾮常不确定的事，或者是我们⼀⽆所知的事，就需要了解⼤量的信息。
相反，如果我们对某件事已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息就能把它搞清楚。
所以，从这个⾓度，我们可以认为，信息量的度量就等于不确定性的多少。
⽐如，有⼈说⼴东下雪了。
对于这句话，我们是⼗分不确定的。
因为⼴东⼏⼗年来下雪的次数寥寥⽆⼏。
为了搞清楚，我们就要去看天⽓预报，新闻，询问在⼴东的朋友，⽽这就需要⼤量的信息，信息熵很⾼。
再⽐如，中国男⾜进军2022年卡塔尔世界杯决赛圈。
对于这句话，因为确定性很⾼，⼏乎不需要引⼊信息，信息熵很低。
其中负号是⽤来保证信息量是正数或者零。
⽽ log 函数基的选择是任意的（信息论中基常常选择为2，因此信息的单位为⽐特bits；⽽机器学习中基常常选择为⾃然常数，因此单位常常被称为奈特nats）。
I(x) 也被称为随机变量 x 的⾃信息 (self-information)，描述的是随机变量的某个事件发⽣所带来的信息量。
图像如图：H(X) 就被称为随机变量 x 的熵,它是表⽰随机变量不确定的度量，是对所有可能发⽣的事件产⽣的信息量的期望。
从公式可得，随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越⼤，混乱程度就越⼤。
信息论 联合熵和损失熵-概述说明以及解释
信息论联合熵和损失熵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它是由克劳德·香农在20世纪40年代提出的。
信息论的核心概念是信息熵，它描述了信息的不确定性和信息的平均量。
在信息论中，除了信息熵，还有联合熵和条件熵等重要概念。
联合熵指的是多个随机变量一起产生的信息量的平均值，它可以衡量多个随机变量之间的不确定性。
条件熵则是在已知某些信息的条件下，另一随机变量的不确定性。
联合熵和条件熵在信息理论中有着重要的应用，可以帮助我们理解信息的传输、数据的压缩以及通信系统的设计等方面。
本文将深入探讨信息论中的联合熵和损失熵的概念，并分析它们在信息传输和处理过程中的作用。
通过对这些概念的研究，我们可以更好地理解信息的特性，提高信息传输的效率，以及优化数据处理的方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容:本文将分为引言、正文和结论三个部分进行阐述。
在引言部分中，将概述信息论的基本概念，并介绍本文的结构和目的。
在正文部分，将首先介绍信息论的基础知识，包括信息论的概念、信息熵等内容。
接着会详细探讨联合熵的重要性，包括联合熵的定义与计算、应用以及与信息传输的关系。
最后，将讨论损失熵的概念与应用，包括损失熵的定义、在数据压缩中的作用以及与信息传输的关联。
在结论部分，将对信息论中的联合熵和损失熵进行总结，并提出未来的研究方向和结论。
整体结构清晰，逻辑性强，有助于读者更好地理解信息论中的重要概念。
1.3 目的本文旨在深入探讨信息论中的联合熵和损失熵这两个重要概念。
通过对联合熵和损失熵的定义、计算方法以及在信息理论中的应用进行详细分析，旨在帮助读者更好地理解信息熵的概念，并掌握其在数据处理和信息传输中的作用。
同时，本文也将探讨联合熵和损失熵在数据压缩、信息传输等领域的应用，以及它们与信息传输过程中的关联，从而为读者深入理解信息论的基础知识提供有益的参考和指导。
通过本文的学习，读者可以更好地应用信息论原理解决实际问题，提高信息处理和传输的效率和准确性。
热力学中的熵与热力学第二定律知识点总结
热力学中的熵与热力学第二定律知识点总结熵与热力学第二定律知识点总结热力学是研究物质热平衡和能量转化关系的科学，而熵与热力学第二定律是热力学中的两个重要概念。
在本文中，我们将对熵的概念和性质以及热力学第二定律进行总结。
1. 熵的概念和性质熵是描述系统无序程度的物理量，是热力学中的基本概念。
熵的定义为：$$S = -k\sum_{i} p_i\ln(p_i)$$其中，$k$为玻尔兹曼常数，$p_i$为系统处于第$i$个微观状态的概率。
熵具有以下性质：1. 熵是一个状态函数，与系统的路径无关。
2. 熵的增加符合热力学第二定律。
3. 等概率原理：在封闭系统中，处于平衡态的系统最有可能处于熵最大的状态。
2. 热力学第二定律热力学第二定律是热力学中的核心定律，它用来描述自然界中不可逆过程的规律性。
以下是热力学第二定律的几种表述和内容：1. 克劳修斯表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成其他形式的功而不引起其他变化。
2. 开尔文表述：不可能从一个循环过程中只吸热、不放热得到功。
3. 玻尔兹曼表述：在孤立系统中，熵不会减少，而只能增加或保持不变。
热力学第二定律的含义：1. 不可逆性：存在一些过程，无法实现倒转。
2. 熵增原理：封闭系统的熵只能增加或保持不变。
3. 热力学箭头：自然界中的过程具有一定的方向性，体现为熵的增加。
3. 熵与热力学第二定律的应用熵与热力学第二定律有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 工程热力学：在工程领域中，熵是评估能量转换效率和工作性能的重要指标。
例如在汽车发动机、蒸汽轮机等能量转换装置中，通过最大化系统的熵生成率来提高能量利用率。
2. 热机效率：根据热力学第二定律，在热机中无法将所有的吸热能量完全转化为有用的功。
根据卡诺定理，工作在两个恒温热源之间的理想卡诺循环的效率最高，即为卡诺效率。
3. 热力学中的化学反应：熵变可以用于衡量化学反应的自发进行性。
当反应的熵增大于零时，反应是自发进行的；反之，则是非自发的。
2.3 二元联合信源的共熵与条件熵
由这两个信源构成的联合信源的各种概率空间： 由这两个信源构成的联合信源的各种概率空间：
{ XY , p( xi y j ) } {Y / X , p( y j / xi ) } { X / Y , p( xi / y j ) }
联合概率空间； 联合概率空间；
条件概率空间。 条件概率空间。
4
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.3 二元联合信源的共熵与条件熵
一、引言
1. 不同的信源之间存在相关性 2. 单个信源的消息之间存在相关性 本节讨论 (1) 多个信源的联合信息量问题； 多个信源的联合信息量问题； (2) 单个信源的实际信息量问题。 单个信源的实际信息量问题。 重点讨论 (1) 两个信源的联合情况； 两个信源的联合情况； (2) 单个信源相邻两个消息之间有关联的情况。 单个信源相邻两个消息之间有关联的情况。 后者将转化为前者来研究。 后者将转化为前者来研究。
记为
H (Y / x i ) ;
的前提下， 即 H (Y / xi ) 表示在信源 X 发出消息 xi 的前提下， 每发出一个消息所提供的平均信息量。 信源 Y 每发出一个消息所提供的平均信息量。 10
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.3 二元联合信源的共熵与条件熵
二、二元联合信源的共熵与条件熵 二元联合信源的共熵与条件熵
记为
H max ( X Y ) .
证明 只需证当 X, Y 相互独立时， H(Y / X ) = H(Y ) . 相互独立时， 由 p( xi y j ) = p( xi ) p( y j ) , p( y j / x i ) = p( y j ) , 即得
= log ∑
i
第 二 章 基 本 信 息 论
信息论各种熵之间的关系
熵是信息论中的一个基本概念，表示数据集中不确定性的度量。信息增益则是机器学习中常用的概念，用于衡量 特征对分类的贡献。在信息增益的计算中，通常会用到熵来度量数据集的不确定性。通过计算每个特征的信息增 益，可以确定该特征对于分类的贡献程度，从而在特征选择和模型构建中起到关键作用。
熵与互信息
总结词
计算熵。
02
各种熵之间的关系
熵与信息熵
熵
01
熵是系统不确定性的度量，表示系统随机变量的平均信息量。
信息熵
02
信息熵是信息论中用于度量信息的不确定性和随机性的概念，
与熵相似，但应用于信息领域。
关系
03
信息熵可以被视为熵在信息论中的特例，用于度量信息的不确
定性。
熵与交叉熵
熵
熵是系统不确定性的度量。
熵的物理意义
熵表示系统内部混乱程度或不确定性的度量。
在信息论中，熵用于度量信息的不确定性和混乱程度，即信息的不确定性 和混乱程度越大，熵越大。
熵的物理意义还体现在热力学中，表示系统热平衡状态下的能量分布情况。
熵的计算方法
01 根据定义，计算熵需要知道随机变量的概率分布。 02 对于离散随机变量，可以直接使用公式计算熵。 03 对于连续随机变量，需要先进行离散化处理，再
03
信息论中熵的应用
熵在数据压缩中的应用
熵在数据压缩中用于衡量数据的冗余程 度。通过计算数据中每个符号出现的概 率，可以确定数据压缩的潜力。
数据压缩算法如Huffman编码和算术编码利 用熵的性质，将数据压缩成更小的表示，同 时保留足够的信息以重构原始数据。
熵在数据压缩中的应用有助于减少 存储空间和传输成本，提高数据处 理的效率。
条件熵联合熵及熵的性质
得联合概率：
p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
mn
?? ? ?
p ( xi y j ) log p ( xi / y j )
j?1 i?1
nm
?? H (Y / X) ? E[ I ( yj / xi )] ? ?
p(xi y j ) log 2 p( y j / xi )
i?1 j?1
条件熵是一个确定值，表示信宿在收到 Y后，信源X仍然存 在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称 H(X/Y)为 信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。
扩展性
? 扩展性
lim
?? 0
H
K
(
p1
,
p2
,?
, pK ? ?, ?) ? H K ( p1, p2 ,?
, pK )
这说明信源空间中增加某些概率很小的
符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的
信息量，但由于其概率接近于 0，在信源熵中
占极小的比重，lim
持不变。
?? 0
?
log
2
?
?
0
，使信源熵保
可加性
? 可加性 H ( XY ) ? H ( X ) ? H (Y / X )
22熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
分布律 条件熵
分布律条件熵条件熵是信息论中的重要概念之一，用于衡量在给定某个条件下的不确定性或信息量。
在本文中，我们将从分布律的角度来探讨条件熵及其相关概念。
我们来回顾一下熵的定义。
熵是信息论中用来度量一个随机变量的不确定性的指标，它的值越大，表示不确定性越高。
对于一个离散随机变量X，其熵H(X)的定义如下：H(X) = -Σp(x)log2(p(x))其中，p(x)表示随机变量X取值为x的概率。
条件熵是在给定一个条件下的熵。
假设有两个随机变量X和Y，条件熵H(X|Y)表示在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的不确定性。
其定义如下：H(X|Y) = -Σp(x,y)log2(p(x|y))其中，p(x,y)表示随机变量X取值为x且随机变量Y取值为y的概率，p(x|y)表示在已知随机变量Y取值为y的条件下，随机变量X 取值为x的概率。
条件熵的意义在于衡量在已知一些信息的情况下，还需要多少额外的信息才能确定一个事件。
比如，在天气预报中，我们可以通过已知的天气情况来预测明天的天气。
如果已知的天气情况足够多，那么条件熵就会很低，说明我们对明天的天气有很高的确定性；相反，如果已知的天气情况很少，那么条件熵就会很高，说明我们对明天的天气不确定性很大。
在实际应用中，条件熵经常与互信息相关联。
互信息表示两个随机变量之间的相关性，它可以用于衡量一个随机变量X包含有关另一个随机变量Y的信息量。
互信息I(X;Y)的定义如下：I(X;Y) = ΣΣp(x,y)log2(p(x,y)/(p(x)p(y)))其中，p(x,y)、p(x)、p(y)分别表示随机变量X和Y的联合概率、边缘概率。
互信息可以看作是两个随机变量的熵之和减去它们的联合熵，即：I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y)当两个随机变量相互独立时，它们的互信息为0；当它们之间存在依赖关系时，互信息大于0。
条件熵与互信息之间的关系可以通过以下公式表示：H(X|Y) = H(X) - I(X;Y)这个公式的意义在于，已知随机变量Y的条件下，随机变量X的不确定性等于随机变量X的熵减去X和Y的互信息。
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离散无记忆:
p(xi ) p( xi1 , xi2 , , xiL ) p( xi1 ) p( xi2 ) p( xi3 ) p( xiL ) p( xil )
l 1 L
离散无记忆信源的序列熵
信源的序列熵
H (X L ) p( xi ) log p( xi )
i 1 nL
1/2
2 1 2 2 1 1 H ( X ) H ( , ) log log 0.92bit 3 3 3 3 3 3
例题
• 条件熵H(Y|X) 由 p( xi y j ) p( xi ) p( y j / xi ) p( y j ) p( xi / y j ) 得联合概率： p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
p( xi ) log p( xil ) p( xi ) log p( xil ) H ( X l )
i l 1 l 1 i l 1
L
L
L
进一步化简
H (X L ) LH ( X )
平均符号熵
1 H L (X) H (X L ) H ( X ) L
?
H(XY) ≤H(X)+H(Y)
H (U1U 2 U N ) H (U n )
n 1 N
2.1.5 离散序列信源的熵
离散无记忆信源
设信源输出的随机序列为 X =(X1X2…Xl…XL)
序列中的变量Xl∈{x1,x2,… xn}
p(xi ) p( xi1 , xi2 ,, xiL ) p( xi1 ) p( xi2 | xi1 ) p( xi3 | xi1 xi2 ) p( xiL | xi1 xi2 xiL1
极值性
极值性——最大离散熵定理
H ( X ) log2 K
信源X中包含K个不同离散消息时，信源 熵 H ( X ) log2 K，当且仅当X中各个消息 出现的概率全相等时，上式取等号。 表明等概信源的不确定性最大，具有最 大熵，为 log2 K
基本定理
i
H (X ) 其中, p ( y j ) p ( xi / y j ) p ( xi y j ) p ( xi )
j j
基本定理推广
H(X/Y) ≤H(X)
H (U n U n1U n2 U ns H (U n U n1 U nm )
1 s m n N
2.1.4 熵的基本性质
熵的基本性质
X x1 P p 1 x2 p2
pk 0
xK pK
p
k 1
K
k
1,
(k 1,2,...,K )
K
H ( X ) H ( p1 , p2 pK ) pk log pk
k 1
0
这说明信源空间中增加某些概率很小的 符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的 信息量，但由于其概率接近于0，在信源熵中 lim log 2 0 ，使信源熵保 占极小的比重， 0 持不变。
可加性
可加性
i
H ( XY ) H ( X ) H (Y / X ) H ( XY ) H (Y ) H ( X / Y )
离散无记忆信源的序列熵
信源的序列熵
H (X L ) p( xi ) log p( xi )
i 1 nL
p( xi ) log p( xil ) p( xi ) log p( xil ) H ( X l )
i l 1 l 1 i l 1
L
L
L
进一步化简
H (Y | X ) p( xi , y j ) log p( y j | xi )
ij
1 3 1 1 1 1 1 1 log log log log 0.88bit 2 4 6 4 6 2 6 2
例题
• 联合熵H(XY)
H(XY)＝H(X)＋H(Y|X)=1.8bit/符号 • 信源输出熵H(Y) 由
第二章
信源及其信息熵
2.1.3 条件熵及联合熵
条件熵
条件熵是在联合符号集合XY上的条件自信息量的数学期望。 在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的条件熵定义为：
H ( X / Y ) E[ I ( xi / y j )] p ( xi y j )I ( xi / y j )
j 1 i 1 m n m n
同理 p(x0 |y1)=0 ； p(x1 |y1)=1 p(x0 |y2)=1/2； p(x1 |y2)=1/2
ij
H ( X | Y ) p( xi , y j ) log p( xi | y j ) 0.33bit
或 H(X|Y)= H(XY)-H(Y)=1.8-1047=0.33bit/符号
H (X L ) LH ( X )
平均符号熵
1 H L (X) H (X L ) H ( X ) L
?
离散无记忆信源的序列熵
H ( X l ) p( xi ) log p( xil )
i
H ( X1 ) p( xi ) log p( xi1 ) p( xi ) log p( xi1 )
例题
• 条件熵H(X|Y)
由 p( xi | y j ) n p( xi y j ) p( xi y j )
p( xi y j )
i 1
p( y j )
p( x1 y0 ) p( x0 y0 ) 1 / 2 0 1 p ( x1 | y0 ) 得 p( x0 | y0 ) p ( y0 ) 1/ 2 p ( y0 )
i
L
L
L
L
p( xi1 ) p( xi2 ) p( xi3 ) p( xiL ) log p( xi1 )
i1 1 i2 1 i3 1 L iL 1
L
L
L
L
i1 1 i2 1 i3 1
iL 1
p( xi1 ) log p( xil ) p( xi2 ) p( xi3 ) p( xiL )
j
证明: H ( XY ) p( xi y j ) log 2 p( xi y j )
p ( xi y j ) log 2 [ p ( xi ) p ( y j / xi )]
i j i j i j
p ( xi ) p ( y j / xi ) log 2 p ( xi ) p ( xi y j ) log 2 p ( y j / xi p ( xi ) log 2 p ( xi ) p ( y j / xi ) H (Y / X ) i j H ( X ) H (Y / X ) 利用 : p ( xi y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
联合熵
• 联合离散符号集合XY上的每个元素对 自信息量的数学期望。
n m n m
( xi y j )
的联合
H ( XY ) p( xi y j )I ( xi y j ) p( xi y j ) log2 p( xi y j )
i 1 j 1 i 1 j 1
熵、条件熵、联合熵关系
要用联合 概率加权
p( xi y j ) log p ( xi / y j )
j 1 i 1
m
H (Y / X ) E[ I ( y j / xi )] p( xi y j ) log2 p( y j / xi )
i 1 j 1
n
条件熵是一个确定值，表示信宿在收到Y后，信源X仍然存 在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称H(X/Y)为 信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。
概率矢量
非负性
非负性 H(X)≥0 由于0≤pk≤1, 所以logpk≤0，-logpk≥0， 则总有H(X)≥0。
对称性
对称性
H ( p1 , p2 ,...pK ) H ( pK , p1 , p2 ,...pK 1 )
根据加法交换律可以证明，当变量交换顺序 时熵函数的值不变, 即信源的熵只与概率空间 的总体结构有关，而与各概率分量对应的状 态顺序无关。
H ( XY ) H ( X ) H (Y X ) H (Y ) H ( X Y )
例题
• 一个二进信源X发出符号集{0,1},经过离散无记忆信道传 输,信道输出用Y表示.由于信道中存在噪声,接收端除收 到0和1的符号外,还有不确定符号“2” X Y 3/4 • 已知X的先验概率: 0 0 p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3, 1/4 2 • 符号转移概率： 1/2 p(y0|x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 1 1 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2， • 信源熵H(X)
确定性
确定性
H (1,0) H (0,1) H (1,0,0,...0) 0
当信源 X的信源空间 [X，P]中，任一概率 分量等于 1 ，根据完备空间特性，其它概 率分量必为 0 ，这时信源为一个确知信源， 其熵为0。
扩展性
扩展性
lim H K ( p1 , p2 , , pK , ) H K ( p1 , p2 ,, pK )