校本课程-奥数

校本课程——奥数

第一课时

1．如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

×，

2．在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

（2）这n个圆共有多少个交点？

=1+．

个平面区域；

=

个圆共有个交点．

第二课时

3．设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然数），试问这样的三角形有多少个？

．

．

4．设1×2×3×…×n缩写为n！（称作n的阶乘），试化简：1！×1+2！×2+3！×3+…+n！×n．

第三课时

5．设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

6．已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上（如图）．

（1）当=2时，求证：=

（2）当上述条件中比值为3，4，…，n时（n为自然数），那么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？

S•S=

S

S

=

S

第四课时

7．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

（1）这n条直线共有多少个交点？

（2）这n条直线把平面分割为多少块区域？

个交点；

8．求适合x 5

=656356768的整数x ．

9．设x ，y ，z ，w 为四个互不相等的实数，并且x+=y+=z+

=w+ 求证：x 2y 2z 2w 2=1 条直线，将平面分成x+=y+x+=y+=z+=w+

∴⇒⇒

第五课时

10．设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度（如图）．

，，

，∴．同理，

，则

∴∴

11．设a1，a2，…，a n都是正数．试证：++…++≥a1+a2+…+a n．①

+

（

+

≥

+

++

第六课时

12．如图．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A′，B′，C′，D′．

（1）求证：A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些（如l过A，或l交AB，BC等），那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明；

（3）如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系（如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA'，BB'，CC'，DD'只保持平行等），那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．

OE=

（

OE=OE=

OE=OE=

13．如果△ABC的周长为40米，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度．

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