2020版数学高考专题突破 (67)

第9节离散型随机变量的均值与方差

最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．

知识梳理

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1，2，…，r).

(1)均值

EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r，EX刻画的是X取值的“中心位置”.

(2)方差

DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.

2.均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).

3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).

[微点提醒]

1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).

2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).

3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nM N.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()

解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.(选修2－3P58例1改编)已知X的分布列为

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()

A.7

3 B.

4 C.－1 D.1

解析E(X)＝－1×1

2＋0×

1

3＋1×

1

6＝－

1

3，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－2

3＋3＝

7

3.

答案 A

3.(选修2－3P62A2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.

解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，

∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.

答案0

4.(2018·浙江卷)设0

则当p在(0，1)内增大时()

A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大

D.D(ξ)先增大后减小

解析由题可得E(ξ)＝1

2＋p，所以D(ξ)＝－p

2＋p＋1

4＝－⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p－

1

2

2

＋

1

2，所以当p

在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.

答案 D

5.(2019·合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.

解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.

E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

所以E(Y)

答案乙

6.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.

答案 1.96

考点一 离散型随机变量的均值与方差

【例1】 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，2

3；两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).

解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为p 1＝14×16＝1

24， 两人都付40元的概率为p 2＝12×23＝1

3， 两人都付80元的概率为

p 3＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－14－12×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，

则两人所付费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝124＋13＋124＝512.

(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝1

24；

P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝1

4；

P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝5

12；

P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝1

4；

P (ξ＝160)＝14×16＝1

24. ξ的分布列为