2020版数学高考专题突破 (67)

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2024年高考数学新增高频考点(解析版)

(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项2023年高考数学新增高频考点专题突破一．复数的三角表示(共5小题)1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6，则z 1z 2的代数形式是()A.6cosπ4+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 C.3-3i D.3+3i2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π33已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数4复数z =cos -2π5+i sin -2π5 的辐角主值为()A.8π5B.-8π5C.2π5D.-2π55任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，17利用积化和差公式化简sin αsin π2-β 的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)]B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为．10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sin αsin β的取值范围是．三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)C.cos α+cos β=2sin α+β2⋅sin α-β2D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cosα-β212在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A2•tan C 2的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C2)()A.2B.12C.3D.1313已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为．15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CAB.-12CAC.32CAD.-32CA19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.22320已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.8023某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.1024某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为11025某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为．六．点、线、面间的距离(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．七．条件概率(共8小题)29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=，P (A|B )=．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.9533为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.61735人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．八．全概率公式(共2小题)37某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.3838假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15九．贝叶斯公式(共2小题)39对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A(A 的对立事件)存在如下关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A.0.01B.0.0099C.0.1089D.0.1十．二项分布中的最大项(共3小题)41若X ~B 100，13 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()A.P (X =k )≤P (X =50)B.P (X =k )≤P (X =32)C.P (X =k )≤P (X =33)D.P (X =k )≤P (X =49)42已知随变量从二项分布B 1001，12，则()（多选）A.P (X =k )=C k100112 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>12D.P (X =k )最大时k =500或50143经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为．(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项参考答案与试题解析一．复数的三角表示(共5小题)已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，则z 1z 2的代数形式是()+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 D.3+3i【解析】：∵z 1=2cosπ12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π6=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π12cos π6 i=6cos π12+π6 +i sin π12+π6=6cos π4+i sin π4 =622+22i=3+3i ，故选：D ．z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3【解析】：z =32+12i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π6+i sin π6．故选：A ．z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，对于C ，z ⋅z=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故D 错误．故选：C ．=cos -2π5 +i sin -2π5的辐角主值为()B.-8π5C.2π5D.-2π5=cos -2π5 +i sin -2π5 ，∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π5．5任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8m(m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】：∵复数cosπ8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π8为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2，k ∈Z ，根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，1【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2，则cos A cos B =12[cos (A -B )+cos (A +B )]=12cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π2，可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π2-β的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)]故选：D ．8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为　14　．【解析】：∵cos α+cos β=12，∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14．故答案为：14．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为　m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=cos2α-cos2β2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2=cos 2α-cos 2β=m10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是　0，32　．【解析】：∵α-β=π6∴sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]=-12cos(α+β)-32=-12cos2β+π6-32∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴-32<cos2β+π6<32∴0<-12cos2β+π6-32<32故答案为：0，3 2三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)C.cosα+cosβ=2sinα+β2⋅sinα-β2D.cosα-cosβ=2cosα+β2⋅cosα-β2【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A2•tan C2的值为(参考公式：sin A+sin C=2sin A+C2cos A-C2)()A.2B.12C.3 D.13【解析】：∵a+c=2b，∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，即2sin A+C2cos A-C2=4sin A+C2cos A+C2，在三角形中sin A+C2≠0，∴cos A-C2=cos A+C2，即cosαA2cos C2+sin A2sin C2=2cos A2cos C2-2sin A2sin C2，即3sin A2sin C2=cos A2cos C2，即sin A2sin C2cos A2cos C2=13，即tan A2•tan C2=13，故选：D．13已知sinα+sinβ=2165，cosα+cosβ=2765，则sinβ-sinαcosβ-cosα=　-97　．【解析】：sin α+sin β=2165，可得2sin α+β2cos α-β2=2165⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=2765⋯②．①②可得sin α+β2cosα+β2=2127=79．sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sinα+β2=-97．故答案为：-97．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为　247　．【解析】：由sin α+sin β=14，得2sinα+β2cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=13，两式相除，得tanα+β2=34，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2α+β2=2×341-34 2=247故答案为：24715在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cosB +C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C2两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C2=1，由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π2，所以A =π2，则△ABC 为直角三角形．故答案为：直角四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b【解析】：因为两个单位向量a 和b的夹角为120°，所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-12=-12，所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-12-1=-32，故所求投影向量为(a-b )⋅b |b |⋅b =-32b．故选：D ．17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b=(-3，1)，则(a -b )⋅b=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b|b |=-22=-2，得a -b 在b方向上的投影向量为-2⋅b 2=(-1，-1)．故选：D ．18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32CA【解析】：AB 与CA 的夹角为2π3，则cos ‹AB ，CA ›=-12，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅CA|CA |=-12CA ．故选：B ．19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.223【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23b，∴(a+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，∵|a|=|b |=1，∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-13．故选：A ．20已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a【解析】：∵|a|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2，∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a|a |=-32a ．故选：B ．五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是90分．【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.80【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52=76+782=77，故选：B ．23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.10【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102=9.5．故选：C ．24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，设第60百分位数为x ，则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．25某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．六．点、线、面间的距离计算(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，∴FG ∥AD ，FG =12AD ，又AD ∥BC ，BC =12AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π2，则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，设平面CDE 的法向量n=(x ，y ，z )，则CD ⋅n=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0，令x =1，解得：y =2，z =2，∴n=(1，2，2)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n||n |=23．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，因为BF ∥EA ，且BF =12AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)则设CM =λCE=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB=(0，0，-1)设平面DBM 的一个法向量为n=(x ，y ，z )，则n ⋅DM=0n ⋅DB =0，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，得n=(-2λ，0，1-2λ)，设平面FBC 的一个法向量为m=(a ，b ，c )，则m ⋅BC =0m ⋅FB =0，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，得m=(3，1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=155，解得λ=13或λ=1，又∵0<λ<1，∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-23，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m||m |=2332=33．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，易知u=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，所以AE=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u||AF ||u |=1-255 2，即t t 2+4=55，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE=0，n ⋅AF =0，，所以平面AEF 的法向量n=(-1，2，1)，又因为AP=(0，0，2)，所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |=26=63，所以点P 到平面AEF 的距离为63，由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2=255，解得BF =12AB =12BC ，故F 是BC 的中点，所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =12PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，所以△AEF 的面积为S △AEF =12AE ⋅EF =62，因为PA =AB =2，△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =14PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =13，解得h =63，所以点P 到平面AEF 的距离为63．七．条件概率(共8小题)A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥【解析】：根据题意，设P (B )=x ，由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；P (B |A )=P (AB )P (A )=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=　1936　，P (A |B )=　319　．【解析】：P (A )=13，则P (A )=1-P (A )=23，故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=23×23+13×14=1936，P (A |B )=P (AB )P (B )=13×141936=319．故答案为：1936，319．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=　38　．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-710=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=415+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )=110415=38．故答案为：38．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=12，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 13×124=316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D)，因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 33A 35=35，P (D )=1-35=25，P (C |D )=122×34=316，P C |D )=123=18，所以P (C )=316×35+18×25=1380．(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=P (CD )P (C )=P (C |D )P (D )P (C )=316×351380=913．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.617【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25=1720，P (AB )=C 23C 14C 34C 25=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )=3101720=617．故选：D ．35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120；所以试验一次结果为红球的概率为1120．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=920，所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12920=19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19；②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-19=89，中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B2)P (B1|A1)+P (A2|B2)910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=89×910+19×210=3745，所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-18=310．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，则P (A )=910，P (AB )=1-310=710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )=710910=79．八．全概率公式(共2小题)乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。

2020年高考数学专项突破50题(3)--数列【含答案解析】

2020年高考数学专项突破50题（3）--数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（）A. ()()33312(1)k k k ++++++LB.()()()333121k k kk +++++++LC. 3(1)k + D. 63(1)(1)2k k +++2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，甲所得为（） A. 54钱 B.43钱 C.23钱 D.35钱 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项10a >，公差0d <，10210a S ⋅<，则S n 最大时，n 的值为( ) A. 11 B. 10C. 9D. 84.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若243,15S S ==，则56a a +=( ) A. 16 B. 17C. 48D. 495.设正项等比数列{a n }的前项和为S n ，若32=S ，154=S ，则公比q =（） A. 2 B. 3C. 4D. 56.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D.4109900- 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1785S =，则7911a a a ++的值为 A. 10 B. 15C. 25D. 308.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（）A. 4B. 5C. 6D. 79.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7C. 3D. 210.设等差数列{a n }前n 项和为S n ，等差数列{b n }前n 项和为T n ，若2018134n n S n T n -=+，则33a b =（） A. 528 B. 529C. 530D. 53111.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若39S =,627S =，则9S =( ) A. 45 B. 54C. 72D. 8112.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足56S S <且678S S S =>，则下列结论错误的是（） A. 6S 和7S 均为S n 的最大值 B. 70a = C. 公差0d < D. 95S S > 13.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D.231a a a +++14.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 3515.在等差数列{a n }中，64=a ，3510a a a +=，则=12a （） A. 10 B. 12 C. 14 D. 1616.已知数列{a n }的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（） A. 196 B. 200C. 10011942+ D. 10211982+17.若点(),n n a 都在函数324y x =-图象上，则数列{a n }的前n 项和最小时的n 等于( ) A. 7或8 B. 7C. 8D. 8或918.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且8,45241=+=+a a a a ，则20192019S = ( ) A. 2016 B. 2017C. 2018D. 201919.已知数列{a n }满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =（）A. 2018112-B. 2019112-C.20183122- D.20193122- 20.已知数列{a n }満足: 11a =,132n n a a +=-，则6a =( ) A. 0 B. 1C. 2D. 621.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 101122.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（） A. 36 B. 72C. 55D. 11023.在等差数列{a n }中，其前132<<m 项和为S n ，且满足若3512a S +=，4724a S +=，则59a S +=（）A. 24B. 32C. 40D. 7224.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（）A. 3B.C.3D. 33-25.若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A.－4 B. －3C. －2D. －126.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. －24C. －21D. 1127.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2AB =,则△ABC 的面积S 为（）A. 3B.C.D. 28.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且181212a a a ++=，则13S =（） A. 104 B. 78C. 52D. 3929.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（） A. 36 B. 72C. 55D. 11030.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（） A. 24 B. 48 C. 12 D. 6031.已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }分别满足下列各式，其中数列{b n }必为等差数列的是（） A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-32.已知数列{a n }是一个递增数列，满足*n a N ∈，21n a a n =+，*n N ∈，则4a =（）A. 4B. 6C. 7D. 833.11的等比中项是（） A. 1 B. －1C. ±1D.1234.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立35.在数列{a n }中，231518n a n n =+-，则a n 的最大值为（）A. 0B. 4C.313 D.213 36.在等差数列{a n }中，已知1a 与11a 的等差中项是15，9321=++a a a ，则9a =（） A. 24 B. 18 C. 12 D. 637.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（）． A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S38.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为n A 和n B ，且6302n n A n B n +=+，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是（） A. 2 B. 3C. 4D. 539.设数列{a n }满足31=a ，且对任意整数n ，总有1(1)(1)2n n n a a a +--=成立，则数列{a n }的前2018项的和为（） A. 588 B. 589C. 2018D. 201940.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.已知数列{ a n }的首项1133,()521n n n a a a n N a *+==∈+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111...n nS a a a =+++，若<100n S ，求最大正整数n . 42.已知在等比数列{a n }中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{b n }的前n 项和T n . 43.若{c n }是递增数列，数列{a n }满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +--…，则称{a n }是{c n }的“分隔数列”.（1）设2,1n n c n a n ==+，证明：数列{a n }是{c n }的分隔数列；（2）设4,n n c n S =-是{c n }的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{S n }是否是数列{d n }的分隔数列，并说明理由；（3）设1,n n n c aq T -=是{c n }的前n 项和，若数列{T n }是{c n }的分隔数列，求实数a ，q 的取值范围． 44..在等比数列{a n }与等差数列{b n }中，11a =，12b =-，223a b +=-，334a b +=-. （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）若n n n c a b =+，求数列{c n }的前n 项和S n . 45.已知数列{a n }各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 46.已知数列{a n }满足： 12n n n a a ++=，且111,23nn n a b a ==-⨯.（1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意*n N ∈都成立．试求t 的取值范围． 47.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设()23log 2n n nS b a -+=，求数列{b n }的前n 项和T n .48.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足55a =，410S =，0n b >，24b a =，416b a =.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令()()1211na n n n cb b +=--，求数列{c n }的前n 项和T n .49.已知数列{a n }满足11a =，11+=+n nn a a a （n N *∈）．（1）求2a ，3a ，4a 的值；（2）证明：数列{1na }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 50.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为1n．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为T n ，若4n T <244m m --对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．（3）令9()10nn nb a=⋅，问：是否存在正整数k使得k nb b≥对一切*n N∈恒成立，如存在,求出k值；如不存在，说明理由．试卷答案1.A 【分析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左端式子为3333(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++L ，两式比较可知增加的式子为()()33312(1)k k k ++++++L .故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2.B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B. 3.B 【分析】由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a =，结合数列{}n a 为递减数列确定10110,0a a ><，从而得到n S 最大时，n 的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212S a d a d a ´=+=+= 10210a S ⋅<Q 10110a a ∴⋅<等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列10110,0a a ∴><即当10n =时，n S 最大故选B 。

2020高考新课标数学最后冲刺阶段专项突破(文理通用)

__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．把函数sin ()y x x R =∈ 的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）AC2．己知关于x 的不等式22ln 2(1)2x m x mx +-+≤在(0，＋∞)上恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷3．(2019·大庆三模)若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 4．已知两随机变量6X Y +=，若()8,0.5X B ，则()E X 和()D Y 分别为（）A. 6和4B. 4和2C. 6和2.4D. 2和45．以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（） A. 1 B. 2C. 3D. 46．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是（）A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭评卷人得分二、填空题7．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________8．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O为坐标原点），则r =_____. 评卷人得分三、解答题9．已知函数()2123f x x x =+--，()1g x x x a =++-. （l ）求()1f x ≥的解集；（2）若对任意的R t ∈，R s ∈，都有()()g s f t ≥.求a 的取值范围.10．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --211C A CD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无 2．无 3．B 解析：{} B解析 ∵z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，∴z 2＝－1＋i ，∴z 1z 2＝1＋i－1＋i ＝(1＋i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i.故选B. 4．B解析：B 【解析】【分析】利用二项分布的数学期望和方差的计算公式求得()E X 和()D X ；根据方差的性质可得到()()()6D Y D X D X =-=.【详解】由()8,0.5XB 可得：()80.54E X =⨯=，()()80.510.52D X =⨯⨯-=又6X Y +=，则6Y X =-()()()()()2612D Y D X D X D X ∴=-=-==本题正确选项：B【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的求解、方差性质的应用，属于基础题.5．A解析：A 【解析】【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．6．C解析：C 【解析】【分析】设公比为q ，得到三角形三边为ba q=，c bq =，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，设公比为q ，则0q >，所以ba q=，c bq =，由余弦定理得22222cos 2b b q b qB b bq q+-=⨯⨯221112q q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭221112122q q ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1q =时等号成立，又因为B 是ABC ∆的内角，所以03B π<<，所以角B 的取位范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C .【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据题设条件，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题7．【解析】【分析】用表示，从而求出，即可求出，从而得出答案【详解】点在上，且，为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属解析：13【解析】【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++=故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题8．【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离，即，解得r=2，考点：直线与圆相交的性质解析：【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y rr +=>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离1201cos 22d r r ==，12r =，解得r=2，考点：直线与圆相交的性质三、解答题9．(1)34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；(2){3x a ≥或}5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，进一步求出参数的取值范围.试题解析：（1）∵函数()2123f x x x =+--，故()1f x ≥，等价于21231x x +--≥，令210x +=，解得12x =-，令230x -=，解得32x =，则不等式等价于：()1 221321x x x ⎧<-⎪⎨⎪----≥⎩①，或132221(32)1x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≥⎩②，或3 221(23)1x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩③，解①求得x ∈∅，解②求得33 24x ≥≥，解③求得32x >，综上可得，不等式的解集为3{|}4x x ≥.（2）若对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，∵函数()212321234f x x x x x =+--≤+-+=，∴()4max f x =，∵()111g x x x a x x a a =++-≥+-+=+，故()1min g x a =+，∴14a +≥，∴14a +≥或14a +≤-，求得3a ≥或5a ≤-，故所求的a 的范围为{|3a a ≥或5}a ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 10．（1）见解析（2）4 【解析】【分析】（1）若AA 1＝AC ，根据线面垂直的判定定理即可证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ；（2）建立坐标系，根据二面角C ﹣A 1D ﹣C 1的余弦值为24，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【详解】解：（1）证明：连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，2,60AD CD ADC =∠=，由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以3AC CD =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥，所以CD ⊥平面11A ACC ，所以1CD AC ⊥，又因为1,CD A C C ⋂= AC 1⊥平面A 1B 1CD ；（2）如图建立直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,23,0,0,0,23,0,23,23D A C A λλ()()112,0,23,2,23,23DC DA λλ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =，由111100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111202230x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得()1111,03,0,1x z y n λ==∴=设平面1A CD 的法向量为()2222,,n x y z =由22100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220230x z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()22220,,0,,1x y z n λλ==-∴=- 由1212cos 4||3n n n n θλ⋅===⋅得1λ=，所以1,AA AC = 此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝ 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练67 二项分布及其应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练专题67二项分布及其应用考点知识要点1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题.基础知识融会贯通1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P ABP A(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n ABn A.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．重点难点突破【题型一】条件概率【典型例题】某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．思维升华(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P ABP A，这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n ABn A.【题型二】相互独立事件的概率【典型例题】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A．P1P2B．1﹣P1P2C．P1（1﹣P2）D．（1﹣P1）（1﹣P2）思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；【题型三】独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率【典型例题】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．命题点2根据独立重复试验求二项分布【典型例题】设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．（1）当p＝q时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；（2）当p+q＝1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．【再练一题】一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．基础知识训练1．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（） A ．13 B ．37 C ．16 D ．122．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为（） A ．164 B ．12131344C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．21231344C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．364 3．甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（） A ．13 B ．427 C ．49 D ．1274．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.18 D ．0.12 5．设随机变量X 服从二项分布，则函数存在零点的概率是()A ．B ．C ．D ．6．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则D(η)=( ) A ． B ． C ． D ．7．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A ．12512 B ．3512 C ．274 D ．2348．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．1213B．1415C．1617D．18199．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.15B．0.105C．0.045D．0.2110．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A．6523B．5523C．6623D．562311．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.12．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占8，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计周做题时间不少于15小时419周做题时间不足15小时合计45（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P k k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82813．生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示. 质量(g )[)5,15[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55数量 6101284(1)若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.14．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?15．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．能力提升训练1．若已知随机变量，则____．2．某工厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品ξ的概率分布.ξ0 1 2P3．设随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()34D X =，则事件“2X =”的概率为_____（用数字作答） 4．如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若X 表示抽到的二等品件数，则()V X =_________.6．设随机变量(2,)B p ξ，(4,)B p η，若2()3E ξ=，则(3)P η≥=______. 7．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分）频数2 18 20 10将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）8．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为，求的分布列和数学期望．9．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：支持不支持合计男性20525女性403575合计6040100(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。

高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用课件

2
2
0恒成立.
考点二利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数 = ln , = − 2 − − 4 ∈ .
（1）求函数的极值；
1
3
（2）若对任意 ∈ 0, +∞ ，不等式 > 恒成立，求的取值范围.
解：（1）的定义域为 0, +∞ ,′ = ln + 1.
（2）证明:由（1）得，
要证 > 2ln
即证2
= −ln = (e−ln + ) + ln = 1 + 2 + ln .
3
+ ，
2
即证1 + + ln > 2ln
2
min
3
+ ，
2
1
2
− − ln > 0恒成立.
1
设 = − − ln > 0 ，
第二问
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推
理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化
与化归、函数与方程、数形结合等数学思想
方法，运算求解、推理论证等关键能力，以
及导数在研究函数性质中的应用及等差数列
等必备知识.
解：（1）的定义域为，′ = e − .
若 ≤ 0，则′ > 0，此时无最小值，故 > 0.
当 < −ln 时，′ < 0，则在 −∞, −ln 上单调递减；当 > −ln 时，
′ > 0，则在 −ln , +∞ 上单调递增.
综上,当 ≤ 0时，在上单调递减;当 > 0时，在 −∞, −ln 上单调递减,在

2020版数学高考专题突破及解析

第 2 节函数的单调性与最大( 小) 值最新考纲 1. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 2. 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1 . 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝ f ( x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1 ，x 2 ∈ A当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是增加的当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2) 单调区间的定义如果y ＝ f ( x ) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间.2 . 函数的最值前提函数y ＝ f ( x ) 的定义域为 D条件(1) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≤M ；(2) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M (3) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≥ M ；(4) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M结论M 为最大值M 为最小值[ 微点提醒]1 . 函数y ＝ f ( x )( f ( x )>0) 在公共定义域内与y ＝－ f ( x ) ，y ＝的单调性相反.2 . “ 对勾函数” y ＝x ＋( a >0) 的单调增区间为( －∞ ，－) ，( ，＋∞ ) ；单调减区间是[ －，0) ，(0 ，] .基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 对于函数 f ( x ) ，x ∈ D ，若对任意x 1 ，x 2 ∈ D ，且x 1 ≠ x 2 有( x 1 －x 2 )[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]>0 ，则函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数. ( )(2) 函数y ＝的单调递减区间是( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) . ( )(3) 对于函数y ＝ f ( x ) ，若 f (1)< f (3) ，则 f ( x ) 为增函数. ( )(4) 函数y ＝ f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1 ，＋∞ ) . ( )解析(2) 此单调区间不能用并集符号连接，取x 1 ＝－ 1 ，x 2 ＝ 1 ，则 f ( －1) ＜ f (1) ，故应说成单调递减区间为( －∞ ，0) 和(0 ，＋∞ ) .(3) 应对任意的x 1 ＜x 2 ， f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) 成立才可以.(4) 若 f ( x ) ＝x ， f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为增函数，但y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是R .答案(1) √ (2) × (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 37 例 1 改编) 下列函数中，在区间(0 ，＋∞ ) 内单调递减的是( )A . y ＝－xB . y ＝x 2 －xC . y ＝ln x －xD . y ＝ e x解析对于 A ，y 1 ＝在(0 ，＋∞ ) 内是减函数，y 2 ＝x 在(0 ，＋∞ ) 内是增函数，则y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0 ，＋∞ ) 上均不单调；选项D 中，y ＝ e x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.答案 A3 . ( 必修1P3 8 例4 改编) 函数y ＝在区间[2 ，3] 上的最大值是________ .解析函数y ＝在[2 ，3] 上是减函数，当x ＝ 2 时，y ＝取得最大值＝ 2.答案 24 . (2018·广东省际名校联考) 设函数 f ( x ) 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A . y ＝在R 上为减函数B . y ＝| f ( x )| 在R 上为增函数C . y ＝－在R 上为增函数D . y ＝－ f ( x ) 在R 上为减函数解析如 f ( x ) ＝x 3 ，则y ＝的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性， A 错；则y ＝| f ( x )| 在R 上无单调性，B 错；则y ＝－的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性，C 错.答案 D5 . (2019·西安调研) 若函数 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则 f ( m ) 与 f (1) 的大小关系是( )A . f ( m )> f (1)B . f ( m )< f (1)C . f ( m ) ≥ f (1)D . f ( m ) ≤ f (1)解析因为 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则m －1>0 ，所以m >1 ，所以 f ( m )> f (1) .答案 A6 . (2017·全国Ⅱ卷) 函数 f ( x ) ＝ln( x 2 － 2 x －8) 的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－2)B . ( －∞ ，1)C . (1 ，＋∞ )D . (4 ，＋∞ )解析由x 2 － 2 x －8>0 ，得x >4 或x < － 2.设t ＝x 2 － 2 x －8 ，则y ＝ln t 为增函数.要求函数 f ( x ) 的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间.∵ 函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) ，∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) .答案 D考点一确定函数的单调性( 区间)【例 1 】(1) (2019·东北三省四校质检) 若函数y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，则 a 的取值范围为( )A . ( －∞ ，－4) ∪ [2 ，＋∞ )B . ( － 4 ，4]C . [ － 4 ，4)D . [ － 4 ，4]解析令t ＝x 2 －ax ＋ 3 a ，则y ＝log t ( t >0) ，易知t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在上单调递减，在上单调递增.∵ y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在(2 ，＋∞ ) 上是增函数，且在(2 ，＋∞ ) 上t >0 ，∴ 2 ≥ ，且 4 － 2 a ＋ 3 a ≥ 0 ，∴ a ∈ [ － 4 ，4] .答案 D(2) 判断并证明函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋( 其中1< a <3) 在x ∈ [1 ，2] 上的单调性.解 f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增，证明如下：设 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，则 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝ax ＋－ax －＝( x 2 －x 1 ) ，由 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，得x 2 －x 1 >0 ，2< x 1 ＋x 2 <4 ，1< x 1 x 2 <4 ，－1< －< －.又因为1< a <3 ，所以2< a ( x 1 ＋x 2 )<12 ，得 a ( x 1 ＋x 2 ) －>0 ，从而 f ( x 2 ) － f ( x 1 )>0 ，即 f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，故当 a ∈ (1 ，3) 时， f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增.规律方法 1.(1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1) . (2) 单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“ 和”“ ，” 连接.2 . (1) 函数单调性的判断方法有：① 定义法；② 图像法；③ 利用已知函数的单调性；④ 导数法.(2) 函数y ＝ f [ g ( x )] 的单调性应根据外层函数y ＝ f ( t ) 和内层函数t ＝g ( x ) 的单调性判断，遵循“ 同增异减” 的原则.【训练 1 】( 一题多解) 试讨论函数 f ( x ) ＝( a ≠ 0) 在( －1 ，1) 上的单调性.解法一设－1< x 1 < x 2 <1 ，f ( x ) ＝ a ＝ a ，f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a － a ＝，由于－1< x 1 < x 2 <1 ，所以x 2 －x 1 >0 ，x 1 －1<0 ，x 2 －1<0 ，故当 a >0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )>0 ，即 f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.法二 f ′( x ) ＝＝＝－.当 a >0 时， f ′( x )<0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ′( x )>0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.考点二求函数的最值【例 2 】(1) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 在[1 ，2] 上的最大值与最小值之和为log a 2 ＋ 6 ，则 a 的值为( )A. B. C . 2 D . 4(2) 已知函数 f ( x ) ＝则 f [ f ( －3)] ＝________ ， f ( x ) 的最小值是________ .解析(1) f ( x ) ＝ a x ＋log a x 在[1 ，2] 上是单调函数，所以 f (1) ＋ f (2) ＝log a 2 ＋ 6 ，则 a ＋log a 1 ＋ a 2 ＋log a 2 ＝log a 2 ＋ 6 ，即( a －2)( a ＋3) ＝0 ，又 a >0 ，所以 a ＝ 2.(2) ∵ f ( －3) ＝lg[( －3) 2 ＋1] ＝lg 10 ＝ 1 ，∴ f [ f ( －3)] ＝ f (1) ＝0 ，当x ≥ 1 时， f ( x ) ＝x ＋－ 3 ≥ 2 － 3 ，当且仅当x ＝时，取等号，此时 f ( x ) min ＝ 2 －3<0 ；当x <1 时， f ( x ) ＝lg( x 2 ＋1) ≥ lg 1 ＝0 ，当且仅当x ＝0 时，取等号，此时 f ( x ) min ＝0.∴ f ( x ) 的最小值为 2 － 3.答案(1)C (2)0 2 － 3规律方法求函数最值的四种常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“ 一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练 2 】(1) (2019·郑州调研) 函数 f ( x ) ＝－在x ∈ [1 ，4] 上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )A. B . 2 C. D.(2) (2018·邵阳质检) 定义max{ a ， b ， c ，} 为 a ， b ， c 中的最大值，设M ＝max{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } ，则M 的最小值是( )A . 2B . 3C . 4D . 6解析(1) 易知 f ( x ) ＝－在[1 ，4] 上是增函数，∴ M ＝ f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 2 －＝，m ＝ f (1) ＝0.因此M －m ＝.(2) 画出函数M ＝{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } 的图像( 如图) ，由图可知，函数M 在 A (2 ，4) 处取得最小值 2 2 ＝ 6 － 2 ＝ 4 ，故M 的最小值为 4.答案(1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度 1 利用单调性比较大小【例 3 － 1 】已知函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后关于y 轴对称，当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]·( x 2 －x 1 )<0 恒成立，设 a＝ f ， b ＝ f (2) ， c ＝ f (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . c > a > bB . c > b > aC . a > c > bD . b > a > c解析由于函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于y 轴对称，故函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 1 对称，所以 a ＝ f ＝ f .当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]( x 2 －x 1 )<0 恒成立，等价于函数f ( x ) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 b > a > c .答案 D角度 2 求解函数不等式【例 3 － 2 】(2018·全国Ⅰ卷) 设函数 f ( x ) ＝则满足f ( x ＋1)< f (2 x ) 的x 的取值范围是( )A . ( －∞ ，－1]B . (0 ，＋∞ )C . ( － 1 ，0)D . ( －∞ ，0)解析当x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 －x 是减函数，则 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 1. 作出 f ( x ) 的大致图像如图所示，结合图像知，要使 f ( x ＋1) ＜ f (2x ) ，当且仅当或解得x < － 1 或－ 1 ≤ x <0 ，即x <0.答案 D角度 3 求参数的值或取值范围【例 3 － 3 】已知 f ( x ) ＝满足对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 成立，那么实数 a 的取值范围是________ .解析对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 ，所以y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上是增函数.所以解得≤ a <2.故实数 a 的取值范围是.答案规律方法 1. 利用单调性求参数的取值( 范围) 的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程( 组)( 不等式( 组)) 或先得到其图像的升降，再结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值.2 . (1) 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“ f ” .【训练 3 】(1) 已知奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，若 a ＝－ f ，b ＝ f (log 2 4.1) ， c ＝ f (2 0.8 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . a < b < cB . b < a < cC . c < b < aD . c < a < b(2) 若函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax 与g ( x ) ＝在区间[1 ，2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是( )A . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1)B . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1]C . (0 ，1)D . (0 ，1]解析(1) 由 f ( x ) 是奇函数，得 a ＝－ f ＝ f (log 2 5) .又log 2 5>log 2 4.1>2>2 0.8 ，且y ＝ f ( x ) 在R 上是增函数，所以 a > b >c .(2) 因为 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax ＝－( x － a ) 2 ＋ a 2 在[1 ，2] 上为减函数，所以由其图像得 a ≤ 1 ，g ( x ) ＝，g ′( x ) ＝－，要使g ( x ) 在[1 ，2] 上为减函数，需g ′( x )<0 在[1 ，2] 上恒成立，故有－ a <0 ，因此 a >0 ，综上可知0< a ≤ 1.答案(1)C (2)D[ 思维升华]1 . 利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1) 取值；(2) 作差；(3) 定号；(4) 判断.2 . 确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3 . 求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法、利用基本不等式. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“ 单峰” 函数一定存在最大值( 最小值) .[ 易错防范]1 . 区分两个概念：“ 函数的单调区间” 和“ 函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“ 最大” 的区间，后者是前者“ 最大” 区间的子集.2 . 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“ ，” 或“ 和” 连接，不要用“ ∪ ” . 例如，函数 f ( x ) 在区间( － 1 ，0) 上是减函数，在(0 ，1) 上是减函数，但在( － 1 ，0) ∪ (0 ，1) 上却不一定是减函数，如函数 f ( x ) ＝.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . 函数 f ( x ) ＝－x ＋在上的最大值是( )A. B . － C . － 2 D . 2解析易知 f ( x ) 在上是减函数，∴ f ( x ) max ＝ f ( －2) ＝ 2 －＝.答案 A2 . (2019·广州模拟) 下列函数 f ( x ) 中，满足“ 任意x 1 ，x 2 ∈ (0 ，＋∞ ) 且x 1 ≠ x 2 ，( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 ” 的是( )A . f ( x ) ＝ 2 xB . f ( x ) ＝| x －1|C . f ( x ) ＝－xD . f ( x ) ＝ln( x ＋1)解析由( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 可知， f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数， A ， D 选项中， f ( x ) 为增函数； B 中， f ( x ) ＝| x －1| 在(0 ，＋∞ ) 上不单调，对于 f ( x ) ＝－x ，因为y ＝与y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，因此 f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数. 答案 C3 . (2019·萍乡一模) 已知函数 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3)( a >0 且 a ≠ 1) ，若 f (0)<0 ，则此函数的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－1]B . [ － 1 ，＋∞ )C . [ － 1 ，1)D . ( － 3 ，－1]解析令g ( x ) ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 ，由题意知g ( x )>0 ，可得－3< x <1 ，故函数的定义域为{ x | －3< x <1} . 根据 f (0) ＝log a 3<0 ，可得0< a <1 ，又g ( x ) 在定义域( － 3 ，1) 内的减区间是[ － 1 ，1) ，∴ f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，1) .答案 C4 . 函数y ＝，x ∈ ( m ，n ] 的最小值为0 ，则m 的取值范围是( )A . (1 ，2)B . ( － 1 ，2)C . [1 ，2)D . [ － 1 ，2)解析函数y ＝＝＝－ 1 在区间( － 1 ，＋∞ ) 上是减函数，且 f (2) ＝0 ，所以n ＝ 2.根据题意，x ∈ ( m ，n ] 时，y min ＝0.∴ m 的取值范围是[ － 1 ，2) .答案 D5 . (2019·蚌埠模拟) 已知单调函数 f ( x ) ，对任意的x ∈ R 都有 f [ f ( x ) －2 x ] ＝ 6 ，则 f (2) ＝( )A . 2B . 4C . 6D . 8解析设t ＝ f ( x ) － 2 x ，则 f ( t ) ＝ 6 ，且 f ( x ) ＝ 2 x ＋t ，令x ＝t ，则 f ( t ) ＝ 2 t ＋t ＝ 6 ，∵ f ( x ) 是单调函数，且 f (2) ＝ 2 2 ＋ 2 ＝ 6 ，∴ t ＝ 2 ，即 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，则 f (2) ＝ 4 ＋ 2 ＝6.答案 C二、填空题6 . 设函数 f ( x ) ＝g ( x ) ＝x 2 f ( x －1) ，则函数g ( x ) 的递减区间是________ .解析由题意知g ( x ) ＝函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g ( x ) 的递减区间是[0 ，1) .答案[0 ，1)7 . 设函数 f ( x ) ＝在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，那么 a 的取值范围是________ .解析 f ( x ) ＝＝ a －，∵ 函数 f ( x ) 在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，∴ 即即 a ≥ 1.答案[1 ，＋∞ )8 . ( 一题多解)(2019·成都诊断) 对于任意实数 a ， b ，定义min{ a ，b } ＝设函数 f ( x ) ＝－x ＋ 3 ，g ( x ) ＝log 2 x ，则函数h ( x ) ＝min{ f ( x ) ，g ( x )} 的最大值是______ .解析法一在同一坐标系中，作函数 f ( x ) ，g ( x ) 图像，依题意，h ( x ) 的图像如图所示的实线部分.易知点 A (2 ，1) 为图像的最高点，因此h ( x ) 的最大值为h (2) ＝ 1.法二依题意，h ( x ) ＝当0< x ≤ 2 时，h ( x ) ＝log 2 x 是增函数，当x >2 时，h ( x ) ＝ 3 －x 是减函数，因此h ( x ) 在x ＝ 2 时取得最大值h (2) ＝ 1.答案 1三、解答题9 . 已知函数 f ( x ) ＝－( a >0 ，x >0) .(1) 求证： f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2) 若 f ( x ) 在上的值域是，求 a 的值.(1) 证明设x 2 > x 1 >0 ，则x 2 －x 1 >0 ，x 1 x 2 >0 ，∵ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝－＝－＝>0 ，∴ f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，∴ f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.(2) 解∵ f ( x ) 在上的值域是，又由(1) 得 f ( x ) 在上是单调增函数，∴ f ＝， f (2) ＝ 2 ，易得 a ＝.10 . 函数 f ( x ) ＝log a (1 －x ) ＋log a ( x ＋3)(0< a <1) .(1) 求方程 f ( x ) ＝0 的解.(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为－ 1 ，求 a 的值.解(1) 由得－3< x <1.∴ f ( x ) 的定义域为( － 3 ，1) .则 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3) ，x ∈ ( － 3 ，1) ，令 f ( x ) ＝0 ，得－x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 1 ，解得x ＝－1± ∈ ( － 3 ，1) .故 f ( x ) ＝0 的解为x ＝－1± .(2) 由(1) 得 f ( x ) ＝log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ，x ∈ ( － 3 ，1) ，由于0< －( x ＋1) 2 ＋ 4 ≤ 4 ，且 a ∈ (0 ，1) ，∴ log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ≥ log a 4 ，由题意可得log a 4 ＝－ 1 ，解得 a ＝，满足条件.所以 a 的值为.能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11 . (2017·全国Ⅰ卷) 已知函数 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上单调递减，且为奇函数. 若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 的x 的取值范围是( )A . [ － 2 ，2]B . [ － 1 ，1]C . [0 ，4]D . [1 ，3]解析∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) .∵ f (1) ＝－ 1 ，∴ f ( －1) ＝－ f (1) ＝ 1.故由－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 ，得 f (1) ≤ f ( x －2) ≤ f (－1) .又 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 单调递减，∴ － 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，∴ 1 ≤ x ≤ 3.答案 D12 . 已知函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，则函数g ( x ) ＝在区间(1 ，＋∞ ) 上一定( )A . 有最小值B . 有最大值C . 是减函数D . 是增函数解析因为函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a ＝( x － a ) 2 ＋ a － a 2 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，所以函数 f ( x ) 的对称轴x ＝ a 应当位于区间( －∞ ，1) 内，即 a <1 ，又g ( x ) ＝＝x ＋－ 2 a ，当 a <0 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a >0 ；当 a ＝0 时，g ( x ) ＝x 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 ：当0< a <1 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a ，g ′( x ) ＝ 1 －>1 －a >0 ，此时g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a ；综上，g ( x ) 在区间(1 ，＋∞ ) 上单调递增.答案 D13 . 已知 f ( x ) ＝不等式 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________ .解析二次函数y 1 ＝x 2 － 4 x ＋ 3 的对称轴是x ＝ 2 ，所以该函数在( －∞ ，0] 上单调递减，所以x 2 － 4 x ＋ 3 ≥ 3 ，同样可知函数y 2 ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以－x 2 － 2 x ＋3<3 ，所以 f ( x ) 在R 上单调递减，所以由 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 得到x ＋ a <2 a －x ，即 2 x < a 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，所以2( a ＋1)< a ， a < － 2 ，所以实数 a 的取值范围是( －∞ ，－2) .答案( －∞ ，－2)14 . 已知函数 f ( x ) ＝ a －.(1) 求 f (0) ；(2) 探究 f ( x ) 的单调性，并证明你的结论；(3) 若 f ( x ) 为奇函数，求满足 f ( ax )< f (2) 的x 的范围.解(1) f (0) ＝ a －＝ a － 1.(2) f ( x ) 在R 上单调递增. 证明如下：∵ f ( x ) 的定义域为R ，∴ 任取x 1 ，x 2 ∈ R 且x 1 < x 2 ，则 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a －－ a ＋＝，∵ y ＝ 2 x 在R 上单调递增且x 1 < x 2 ，∴ 0<2 x 1 <2 x 2 ，∴ 2 x 1 － 2 x 2 <0 ， 2 x 1 ＋1>0 ， 2 x 2 ＋1>0.∴ f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) .∴ f ( x ) 在R 上单调递增.(3) ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，即 a －＝－ a ＋，解得 a ＝1( 或用 f (0) ＝0 去解) .∴ f ( ax )< f (2) 即为 f ( x )< f (2) ，又∵ f ( x ) 在R 上单调递增，∴ x <2.∴ x 的取值范围是( －∞ ，2) .。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第二部分专题七第1讲数学文化

B
我国南宋数学家秦九韶发现的 “ 三斜求积术 ” 虽然与海伦公式 (S ＝ p（p－a）（p－b）（p－c），其中 p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，
它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．
[对点训练] (2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为 45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 52 m．若该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.
万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的
构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 y＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼
形图案，如图所示，其中小圆的半径均为 1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影
部分的概率为( )
A．316
B．118
C．112
D．19
第二部分高考热点分层突破
专题七数学文化及数学思想第1讲数学文化
数学
01
研考点考向
破重点难点
02
练典型习题
提数学素养
函数中的数学文化题 [典型例题]
在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，且 BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若△PBD 的面积为 f(x)，则函数 y＝f(x)的图象大致是( )

2020年高考数学专项突破50题(5)--平面向量【含答案解析】

2020年高考数学专项突破50题（5）--平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( ) A. －32B. －2C. －43D. －12.O 为△ABC 所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v ,,[)0λ∈+∞ ,则射线AP 过△ABC 的（） A. 外心 B. 内心C. 重心D. 垂心3.已知向量()()2,1,,1a b λ=--=r r ，则a r 与b r的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A. 12λ> B. 12λ<-C. 12λ>-且2λ≠ D. 无法确定 4.设O 在△ABC 的内部，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则△ABC 的面积与AOC ∆的面积之比为（） A. 3 B. 4C. 5D. 65.已知平面向量()()1,3,,3a b x ==-v v，且//a b r r ，则2a b +=r r （）A. 10C. 56.设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r与AB u u u r夹角的余弦值为（）A. 63B.3 C.1912D.419197.如图，在△ABC 中，AC AD 32=，13BP PD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的值为（）A. 1112B.34C.89D.97 8.已知：()()3,1,0,5OA OB →→=-=且//,AC OB BC AB →→→→⊥，O 为坐标原点，则点C 的坐标为 ( ) A. 293,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 293,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 293,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 293,4⎛⎫-⎪⎝⎭9.在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM BN ⋅u u u u v u u u v=( ) A. －6 B. 6C. 0D. 32-10.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB B AC Cλλ=+∈u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v ，则直线AP 必经过△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心C. 重心D. 垂心11.设x R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b r r +=（）510C. 5D. 1012.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=︒，135BCD ∠=︒，记向量,,AB a AC b ==u u u r u u u r r r 则AD u u u r= （）A. 22(1)2a b -+r rB. 22(1)2a b -++r rC. 22(1)2a b -+-r rD. 22(1)2a b +-r r13.在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=u u u r u u u r，则四边形ABCD 是（） A. 矩形 B. 菱形C. 正方形D. 梯形14.向量a r ，b r ，c r在正方形网格中的位置如图所示。

冲刺2020年高考专题全程突破数学人教B版必修第一册讲义：第2章 2.1.3 方程组的解集含答案

2.1.3 方程组的解集学习目标核心素养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养． 2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ，y )|(a ，b )，…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ，z )|(a ，b ，c )，…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是( )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4C [⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2(1－x )＝4，去括号得，x －2＋2x ＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为( )A ．{(x ，y )|(2,3)}B ．{(x ，y )|(3,2)}C ．{(x ，y )|(－2,3)}D ．{(x ，y )|(－2，－3)}A [⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{(x ，y )|(2,3)}，故选A.] 3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝5}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝( ) A ．{(x ，y )|(1,4)} B ．{(x ，y )|(2,3)} C ．{(x ，y )|(3,2)}D ．{(x ，y )|(4,1)} C [根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{(x ，y )|(3,2)}. ] 4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．－1 [两式相减可得结果x －y ＝－1.]二元一次方程组的解集【例1】求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.②(2)⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.② [解] (1)由①，得y ＝4－x .③ 把③代入②，得2x －3(4－x )＝3. 解这个方程，得x ＝3.把x ＝3代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2. 把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}．法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1. 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.1．求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.②(2)⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②[解] (1)由②，得2y ＝3x －5.③把③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16.把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559.三元一次方程组的解集【例2】求下列方程组的解集．(1)⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③(2)⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③[解] (1)法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④ ②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤联立③⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x ＋8z ＝11，④ ①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3 ③的解集．[解] ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝10，即x ＋y ＋z ＝5.④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨] 把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．[解]根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④ ③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12.因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1.二元二次方程组的解集【例4】求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②(2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.②[解] (1)由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0，解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪(3，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．[解] ∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎨⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32.方程组的实际应用【例5】某汽车在相距70 km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ，从乙地到甲地需要2.3 h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km ，平路是54 km ，下坡路是4 km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.②②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x .因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4,8,12.若x ＝4，则y ＝18，z ＝78；若x ＝8，则y ＝11，z ＝81；若x ＝12，则y ＝4，z ＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是( )A ．{(x ，y )|(1,2)}B ．{(x ，y )|(1,0)}C ．{(x ，y )|(－1,2)}D ．{(x ，y )|(1，－2)}A [由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{(x ，y )|(1,2)}．]2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对B [根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水 b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________． ⎩⎨⎧ xy ＝6x －y ＝－1[由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，故可组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x －y ＝－1(答案不唯一)．]。

2020届高三数学140分突破专题训练7

2020 届高三数学 140 分突破专题训练 7
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
1．集合 M
2
{x| x
4 |, N
2
{x|x
2x 3
0} ，那么集合 M
N =〔
〕
A． { x | x 2 }
B．{ x | x 3}
C． { x | 1 x 2 }
D．
〕
A． (x 1)2 y 2 1
B． x 2 y2 1
C． x2 ( y 1) 2 1
D． x 2 ( y 1)2 1
5．函数 y tan(2x ) 的图象过点 ( ,0) ，那么能够是〔
〕
12
A．
6
B．
6
C．
12
D．
12
6．正四棱锥的侧棱长与底面边长差不多上
1，那么侧棱与底面所成的角为〔
〕
A． 75°
B ．60°
x
7．函数 y e 的图象〔
〕
A．与 y
x
e 的图象
关于
y 轴对称
C．与 y
x
e 的图象关于
y 轴对称
C． 45°
D． 30°
B．与 y D．与 y
x
e 的图象关于坐标原点对称
x
e 的图象关于坐标原点对称
8．点 A 〔1， 2〕、 B〔 3， 1〕，那么线段 AB 的垂直平分线的方程是〔
D． 60 个
参考答案
专题训练〔 7〕 CABC ACDB DBBC
〕
A． 4x 2 y 5 B ． 4x 2y 5 C． x 2 y 5

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。

2020高考数学(理)考前专题强化突破课件3(3专题166张PPT) Word版含答案

2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设 z＝ωx＋φ，令 z＝0、π2、π、32π、2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点连线可得．
(2)图象变换
①y＝sinx向―左―平φ―移>―0|φ―或|个―向单―右位―φ→<0y＝sin(x＋φ)
横坐标变为原来的 ―纵―坐―标――不―变→
A．向左平行移动3π个单位长度 B．向右平行移动π3个单位长度 C．向左平行移动π6个单位长度 D．向右平行移动6π个单位长度
[解析] 因为 y＝sin2x－3π＝sin2x－6π，所以只需把函数 y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动6π个单位长度即可，故选 D.
• (3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图．
• 预测2020年命题热点为：
• (1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．
• (2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间．
• (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式．
核心知识整合
• 1．三角函数的图象与性质
高考数学（理）考前专题强化突破
专题7 三角函数的图象与性质
1 高考考点聚
焦
2 核心知识整
合
3 高考真题体
验
4 命题热点突
破
5 课后强化训
练
高考考点聚焦
• 备考策略
• 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
• (1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．
• (2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
3．三角函数的奇偶性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝____k_π_____ (k∈Z)，是偶函数⇔φ＝ __k_π_＋__π2____ (k∈Z)； (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝__k_π_＋__π2____ (k∈Z)，是偶函数⇔φ＝ ___k_π______ (k∈Z)； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝____k_π_____ (k∈Z)．

高考数学专题突破学生版-几何体的体积、面积和三视图与直观图(考点讲析)

专题7.1几何体的体积、面积和三视图与直观图（考点讲析）提纲挈领A.4B.8C.12D.16 【典例2】（2018年全国卷II 文）在正方体中，的中点，则异面直线所成角的正切值为（）A.C.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图．【典例3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2+ B. 12 C. 22D ．1+ 【典例4】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【典例6】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为设A.D. 2【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. 22R πB. 294R πC. 283R πD. 232R π 【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【典例13】（2019·浙江高三月考）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示则该几何体的体积为____3cm ，表面积为_____2cm .【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD 中， 483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为（）A. 5009πB. 2503πC. 10003πD. 5003π【典例15】(2019年高考天津卷理)已知四棱锥的底面是边长的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【典例16】（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【典例17】（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____．【总结提升】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2018·上海市七宝中学高二期中）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形2．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）如图所示的直观图的平面图形ABCD 中，2AB =，24AD BC ==，则原四边形的面积( )A. B. C.12 D.103．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A. B. C. D.4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是（） A.193π B.1912π C.1712π D.173π 5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（）A.4B.6C.D.6．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.7．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.8．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .9．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________10．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．11．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，11 则其中判断正确的个数是_________.12．（2018·上海市南洋模范中学高三开学考试）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为________．13．（2019·上海曹杨二中高二期末）如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.16．（2017·上海交大附中高二期中）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，延长1D D 至P ，使得1DD DP =.A C P作正方体的截面图形；（1）经过11（2）求出截面为底面D为顶点的多面体的表面积.12。

2020版数学高考专题突破试题附解析

第 4 节二次函数性质的再研究与幂函数最新考纲 1 . 理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 2 . 了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x ，y ＝的图像，了解它们的变化情况.知识梳理1. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式：一般式： f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .顶点式： f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) ，顶点坐标为( m ，n ) .零点式： f ( x ) ＝ a ( x －x 1 )( x －x 2 )( a ≠ 0) ，x 1 ，x 2 为 f ( x )的零点.(2) 二次函数的图像和性质函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a >0) y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a <0) 图像( 抛物线)定义域R值域对称轴x ＝－顶点坐标奇偶性当 b ＝0 时是偶函数，当 b≠ 0 时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数2. 幂函数(1) 幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α ，即y ＝x α ，这样的函数称为幂函数.(2) 常见的 5 种幂函数的图像(3) 幂函数的性质① 幂函数在(0 ，＋∞ ) 上都有定义；② 当α >0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) 和(0 ，0) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递增；③ 当α <0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递减.[ 微点提醒]1 . 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2 . 若 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则当时恒有 f ( x )>0 ，当时，恒有 f ( x )<0.基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 函数y ＝ 2 x 是幂函数. ( )(2) 当n >0 时，幂函数y ＝x n 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数. ( )(3) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ R ) 不可能是偶函数. ( )(4) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ [ a ， b ]) 的最值一定是.( )解析(1) 由于幂函数的解析式为 f ( x ) ＝x α ，故y ＝ 2 x 不是幂函数，(1) 错.(3) 由于当 b ＝0 时，y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ＝ax 2 ＋ c 为偶函数，故(3) 错.(4) 对称轴x ＝－，当－小于 a 或大于 b 时，最值不是，故(4) 错.答案(1) × (2) √ (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 4 9 定义改编) 已知幂函数 f ( x ) ＝k · x α 的图像过点，则k ＋α ＝( )A. B . 1 C. D . 2解析因为 f ( x ) ＝k · x α 是幂函数，所以k ＝ 1. 又 f ( x ) 的图像过点，所以＝，所以α ＝，所以k ＋α ＝ 1 ＋＝.答案 C3 . ( 必修1P 58C1 改编) 若函数 f ( x ) ＝4 x 2 －kx －8 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则实数k 的取值范围是________ .解析由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝，所以要使 f ( x ) 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则有≤ － 1 或≥ 2 ，即k ≤ －8 或k ≥ 16.答案( －∞ ，－8] ∪ [16 ，＋∞ )4 . (2016·全国Ⅲ卷) 已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝25 ，则( )A . b < a < cB . a < b < cC . b < c < aD . c < a < b解析因为 a ＝ 2 ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 又y ＝x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，所以 c > a > b .答案 A5 . (2019·衡水中学月考) 若存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，则函数 f ( x ) 可能是( )A . f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1B . f ( x ) ＝x 2 － 1C . f ( x ) ＝ 2 xD . f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1解析由存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图像的对称轴为x ＝≠ 0. 只有选项 A 中， f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1 关于x ＝ 1 对称.答案 A6 . (2018·渭南月考) 幂函数 f ( x ) ＝( m 2 － 4 m ＋4)· x m 2 － 6 m ＋8 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，则m 的值为________ .解析由题意知解得m ＝ 1.答案 1考点一幂函数的图像和性质【例 1 】(1) 幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，则幂函数y ＝ f ( x ) 的大致图像是( )(2) 若 a ＝， b ＝， c ＝，则 a ， b ， c 的大小关系是( )A . a < b < cB . c < a < bC . b < c < aD . b < a < c解析(1) 设幂函数的解析式为y ＝x α ，因为幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，所以 2 ＝ 4 α ，解得α ＝.所以y ＝，其定义域为[0 ，＋∞ ) ，且是增函数，当0< x <1 时，其图像在直线y ＝x 的上方，对照选项， C 正确.(2) 因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以 a ＝> b ＝，因为y ＝是减函数，所以 a ＝< c ＝，所以 b < a < c .答案(1)C (2)D规律方法 1. 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，y ＝x 所分区域. 根据α <0 ，0< α <1 ，α ＝ 1 ，α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2 . 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练 1 】(1) (2018·洛阳二模) 已知点在幂函数 f ( x ) ＝( a －1) x b 的图像上，则函数 f ( x ) 是( )A . 奇函数B . 偶函数C . 定义域内的减函数D . 定义域内的增函数(2) (2018·上海卷) 已知α ∈ ，. 若幂函数 f ( x ) ＝x α 为奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上递减，则α ＝______ .解析(1) 由题意得 a － 1 ＝ 1 ，且＝ a b ，因此 a ＝ 2 且 b ＝－ 1. 故 f ( x ) ＝x － 1 是奇函数，但在定义域( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) 不是单调函数.(2) 由题意知α 可取－ 1 ， 1 ， 3. 又y ＝x α 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ α <0 ，取α ＝－ 1.答案(1)A (2) － 1考点二二次函数的解析式【例 2 】( 一题多解) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( －1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是8 ，试确定该二次函数的解析式.解法一( 利用“ 一般式” 解题)设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .由题意得解得∴ 所求二次函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法二( 利用“ 顶点式” 解题)设 f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) .因为 f (2) ＝ f ( －1) ，所以抛物线的对称轴为x ＝＝，所以m ＝.又根据题意，函数有最大值8 ，所以n ＝8 ，所以y ＝ f ( x ) ＝ a ＋8.因为 f (2) ＝－ 1 ，所以 a ＋8 ＝－ 1 ，解得 a ＝－ 4 ，所以 f ( x ) ＝－ 4 ＋8 ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法三( 利用“ 零点式” 解题)由已知 f ( x ) ＋ 1 ＝0 的两根为x 1 ＝ 2 ，x 2 ＝－ 1 ，故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x －2)( x ＋1)( a ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝ax 2 －ax － 2 a － 1.又函数有最大值8 ，即＝8.解得 a ＝－ 4 或 a ＝0( 舍) .故所求函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练 2 】已知二次函数 f ( x ) 的图像经过点(4 ，3) ，它在x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意x ∈ R ，都有 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) ，则 f ( x ) ＝________ .解析因为 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) 对x ∈ R 恒成立，所以y ＝ f ( x ) 的图像关于x ＝ 2 对称.又y ＝ f ( x ) 的图像在x 轴上截得的线段长为 2 ，所以 f ( x ) ＝0 的两根为 2 －＝ 1 或 2 ＋＝ 3.所以二次函数 f ( x ) 与x 轴的两交点坐标为(1 ，0) 和(3 ，0) .因此设 f ( x ) ＝ a ( x －1)( x －3) .又点(4 ，3) 在y ＝ f ( x ) 的图像上，所以 3 a ＝ 3 ，则 a ＝ 1.故 f ( x ) ＝( x －1)( x －3) ＝x 2 － 4 x ＋ 3.答案x 2 － 4 x ＋ 3考点三二次函数的图像及应用【例 3 】(1) 对数函数y ＝log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 与二次函数y ＝( a －1) x 2 －x 在同一坐标系内的图像可能是( )(2) 设函数 f ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ a ( a >0) ，已知 f ( m )<0 ，则( )A . f ( m ＋1) ≥ 0B . f ( m ＋1) ≤ 0C . f ( m ＋1)>0D . f ( m ＋1)<0解析(1) 若0< a <1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，y ＝( a －1) x 2 －x 开口向下，其图像的对称轴在y 轴左侧，排除C ， D.若 a >1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，y ＝( a －1) x 2 －x 图像开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.(2) 因为 f ( x ) 的对称轴为x ＝－， f (0) ＝ a >0 ，所以 f ( x ) 的大致图像如图所示.由 f ( m )<0 ，得－1< m <0 ，所以m ＋1>0 ，所以 f ( m ＋1)> f (0)>0.答案(1)A (2)C规律方法 1. 研究二次函数图像应从“ 三点一线一开口” 进行分析，“ 三点” 中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“ 一线” 是指对称轴这条直线；“ 一开口” 是指抛物线的开口方向.2 . 求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关系成立的条件.【训练 3 】一次函数y ＝ax ＋ b 与二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上， A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ， b >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上，对称轴x ＝－<0 ，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下，对称轴x ＝－<0 ， C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下， D 错误.答案 C考点四二次函数的性质多维探究角度 1 二次函数的单调性与最值【例 4 － 1 】已知函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ，x ∈ [ － 4 ，6] .(1) 当 a ＝－ 2 时，求 f ( x ) 的最值；(2) 求实数 a 的取值范围，使y ＝ f ( x ) 在区间[ － 4 ，6] 上是单调函数.解(1) 当 a ＝－ 2 时， f ( x ) ＝x 2 － 4 x ＋ 3 ＝( x －2) 2 －1 ，由于x ∈ [ － 4 ，6] ，∴ f ( x ) 在[ － 4 ，2] 上单调递减，在[2 ，6] 上单调递增，∴ f ( x ) 的最小值是 f (2) ＝－ 1 ，又 f ( －4) ＝35 ， f (6) ＝15 ，故 f ( x ) 的最大值是35.(2) 由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝－ a ，所以要使 f ( x ) 在[ － 4 ，6] 上是单调函数，应有－ a ≤ － 4 或－ a ≥ 6 ，即 a ≤ － 6 或 a ≥ 4 ，故 a 的取值范围是( －∞ ，－6] ∪ [4 ，＋∞ ) .角度 2 二次函数的恒成立问题【例 4 － 2 】(2019·浙江“ 超级全能生” 模拟) 已知在( －∞ ，1] 上递减的函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 ，且对任意的x 1 ，x 2 ∈[0 ，t ＋1] ，总有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，则实数t 的取值范围是( )A . [ －，]B . [1 ，]C . [2 ，3]D . [1 ，2]解析由于 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 的图像的对称轴为x ＝t ，又y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，1] 上是减函数，所以，t ≥ 1.则在区间[0 ，t ＋1] 上， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 ，f ( x ) min ＝ f ( t ) ＝t 2 － 2 t 2 ＋ 1 ＝－t 2 ＋ 1 ，要使对任意的x 1 ，x 2 ∈ [0 ，t ＋1] ，都有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，只需 1 －( －t 2 ＋1) ≤ 2 ，解得－≤ t ≤ .又t ≥ 1 ，∴ 1 ≤ t ≤ .答案 B规律方法 1. 二次函数最值问题的解法：抓住“ 三点一轴” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2 . 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离. 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立⇔ a ≤ f ( x ) min .【训练 4 】已知二次函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ， b ∈ R 且 a ≠0) ，x ∈ R .(1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( －1) ＝0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1) 的条件下， f ( x )> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，试求k 的取值范围.解(1) 由题意知解得所以 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ，由 f ( x ) ＝( x ＋1) 2 知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，＋∞ ) ，单调递减区间为( －∞ ，－1] .(2) 由题意知，x 2 ＋ 2 x ＋1> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，即k < x 2 ＋x ＋ 1 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，令g ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ 1 ，x ∈ [ － 3 ，－1] ，由g ( x ) ＝＋知g ( x ) 在区间[ － 3 ，－1] 上是减函数，则g ( x ) min ＝g ( －1) ＝ 1 ，所以k <1 ，故k 的取值范围是( －∞ ，1) .[ 思维升华]1 . 幂函数y ＝x α 的性质和图像，由于α 的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1) α 的正负：α >0 时图像经过(0 ，0) 点和(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 上升” ；α <0 时图像不过(0 ，0) 点，经过(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 下降” ；(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α >1 时曲线下凹，0< α <1 时曲线上凸，α <0 时曲线下凹；(3) 函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2 . 求二次函数的解析式就是确定函数式 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) 中a ，b ，c 的值. 应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3 . 二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4 . 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定.[ 易错防范]1 . 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.2 . 对于函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠ 0 ，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠ 0 两种情况.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . (2019·济宁联考) 下列命题正确的是( )A . y ＝x 0 的图像是一条直线B . 幂函数的图像都经过点(0 ，0) ，(1 ，1)C . 若幂函数y ＝x α 是奇函数，则y ＝x α 是增函数D . 幂函数的图像不可能出现在第四象限解析 A 中，点(0 ，1) 不在直线上， A 错； B 中，y ＝x α ，当α <0 时，图像不过原点， B 错； C 中，当α <0 时，y ＝x α 在( －∞ ，0) ，(0 ，＋∞ ) 上为减函数， C 错. 幂函数图像一定过第一象限，一定不过第四象限， D 正确.答案 D2 . 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 的图像与x 轴的交点为(1 ，0) 和(3 ，0) ，则函数 f ( x )( )A . 在( －∞ ，2] 上递减，在[2 ，＋∞ ) 上递增B . 在( －∞ ，3) 上递增C . 在[1 ，3] 上递增D . 单调性不能确定解析由已知可得该函数图像的对称轴为x ＝ 2 ，又二次项系数为1>0 ，所以 f ( x ) 在( －∞ ，2] 上是递减的，在[2 ，＋∞ ) 上是递增的.答案 A3 . (2019·安阳模拟) 已知函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋4 x ＋ a ，x ∈ [0 ，1] ，若 f ( x ) 有最小值－ 2 ，则 f ( x ) 的最大值为( )A . 1B . 0C . － 1D . 2解析 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝－( x －2) 2 ＋ a ＋ 4 ，∴ 函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a 在[0 ，1] 上单调递增，∴ 当x ＝0 时， f ( x ) 取得最小值，当x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最大值，∴ f (0) ＝ a ＝－ 2 ， f (1) ＝ 3 ＋ a ＝ 3 － 2 ＝ 1.答案 A4 . (2018·岳阳一中质检) 已知函数y ＝ax 2 ＋bx － 1 在( －∞ ，0] 是单调函数，则y ＝ 2 ax ＋ b 的图像不可能是( )解析① 当 a ＝0 ， b ≠ 0 时，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是A ；② 当 a >0 时，－≥ 0 ⇒ b ≤ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 C ；③ 当 a <0 时，－≥ 0 ⇒ b ≥ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 D.答案 B5 . (2019·巢湖月考) 已知p ：| m ＋1|<1 ，q ：幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，则p 是q 的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件解析p ：由| m ＋1|<1 得－2< m <0 ，∵ 幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，∴ m 2 －m － 1 ＝ 1 ，且m <0 ，解得m ＝－ 1.∴ p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题6 . 已知函数 f ( x ) 为幂函数，且 f (4) ＝，则当 f ( a ) ＝ 4 f ( a ＋3) 时，实数 a 等于________ .解析设 f ( x ) ＝x α ，则 4 α ＝，所以α ＝－.因此 f ( x ) ＝x －，从而 a －＝4( a ＋3) －，解得 a ＝.答案7 . (2019·南昌质检) 若二次函数 f ( x ) ＝ax 2 －x ＋ b ( a ≠ 0) 的最小值为0 ，则 a ＋ 4 b 的取值范围是________ .解析依题意，知 a >0 ，且Δ ＝ 1 － 4 ab ＝0 ，∴ 4 ab ＝ 1 ，且b >0.故 a ＋ 4 b ≥ 2 ＝ 2 ，当且仅当 a ＝ 4 b ，即 a ＝ 1 ， b ＝时等号成立.所以 a ＋ 4 b 的取值范围是[2 ，＋∞ ) .答案[2 ，＋∞ )8 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ＋x ) ＝ f (2 －x ) ，且 f ( x ) 在[0 ，2] 上是增函数，若 f ( a ) ≥ f (0) ，则实数 a 的取值范围是________ .解析由题意可知函数 f ( x ) 的图像开口向下，对称轴为x ＝2( 如图) ，若 f ( a ) ≥ f (0) ，从图像观察可知0 ≤ a ≤ 4.答案[0 ，4]三、解答题9 . 已知奇函数y ＝ f ( x ) 定义域是R ，当x ≥ 0 时， f ( x ) ＝x (1 －x ) .(1) 求出函数y ＝ f ( x ) 的解析式；(2) 写出函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间. ( 不用证明，只需直接写出递增区间即可)解(1) 当x <0 时，－x >0 ，所以 f ( －x ) ＝－x (1 ＋x ) .又因为y ＝ f ( x ) 是奇函数，所以 f ( x ) ＝－ f ( －x ) ＝x (1 ＋x ) .综上 f ( x ) ＝(2) 函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是.10 . 已知幂函数 f ( x ) ＝( m －1) 2 xm 2 － 4 m ＋ 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，函数g ( x ) ＝ 2 x －k .(1) 求m 的值；(2) 当x ∈ [1 ，2) 时，记 f ( x ) ，g ( x ) 的值域分别为集合 A ， B ，设p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.解(1) 依题意得：( m －1) 2 ＝ 1 ⇒ m ＝0 或m ＝ 2 ，当m ＝ 2 时， f ( x ) ＝x － 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴ m ＝0.(2) 由(1) 得， f ( x ) ＝x 2 ，当x ∈ [1 ，2) 时， f ( x ) ∈ [1 ，4) ，即 A ＝[1 ，4) ，当x ∈ [1 ，2) 时，g ( x ) ∈ [2 －k ， 4 －k ) ，即 B ＝[2 －k ， 4 －k ) ，因p 是q 成立的必要条件，则 B ⊆ A ，则即得0 ≤ k ≤ 1.故实数k 的取值范围是[0 ，1] .能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11. (2019·武汉模拟) 幂函数y ＝x α ，当α 取不同的正数时，在区间[0 ，1] 上它们的图像是一组美丽的曲线( 如图) ，设点 A (1 ，0) ，B (0 ，1) ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么 a －＝( )A . 0B . 1 C. D . 2解析BM ＝MN ＝NA ，点 A (1 ，0) ， B (0 ，1) ，所以M ，N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得 a ＝log ， b ＝log，∴ a －＝log －＝0.答案 A12 . (2017·浙江卷) 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 在区间[0 ，1] 上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A . 与 a 有关，且与 b 有关B . 与 a 有关，但与 b 无关C . 与 a 无关，且与 b 无关D . 与 a 无关，但与 b 有关解析设x 1 ，x 2 分别是函数 f ( x ) 在[0 ，1] 上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1 ＋ b ，M ＝x ＋ax 2 ＋ b .∴ M －m ＝x －x ＋ a ( x 2 －x 1 ) ，显然此值与 a 有关，与 b 无关.答案 B13 . 已知函数 f ( x ) ＝mx 2 ＋(2 －m ) x ＋n ( m >0) ，当－ 1 ≤ x ≤ 1 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立，则 f ＝________ .解析当x ∈ [ － 1 ，1] 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立.∴因此n ＝－ 1 ，∴ f (0) ＝－ 1 ， f (1) ＝ 1.由 f ( x ) 的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x ＝0 ，∴ 2 －m ＝0 ，m ＝ 2 ，∴ f ( x ) ＝ 2 x 2 － 1 ，∴ f ＝－.答案－14 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，且 f (0) ＝ 1.(1) 求 f ( x ) 的解析式；(2) 当x ∈ [ － 1 ，1] 时，函数y ＝ f ( x ) 的图像恒在函数y ＝ 2 x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1) 设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ≠ 0) ，则 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，得 2 ax ＋ a ＋ b ＝ 2 x .所以， 2 a ＝ 2 且 a ＋ b ＝0 ，解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ，又 f (0) ＝ 1 ，所以 c ＝ 1.因此 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝x 2 －x ＋ 1.(2) 因为当x ∈ [ － 1 ，1] 时，y ＝ f ( x ) 的图像恒在y ＝ 2 x ＋m 的图像上方，所以在[ － 1 ，1] 上，x 2 －x ＋1>2 x ＋m 恒成立；即x 2 － 3 x ＋1> m 在区间[ － 1 ，1] 上恒成立.所以令g ( x ) ＝x 2 － 3 x ＋ 1 ＝－，因为g ( x ) 在[ － 1 ，1] 上的最小值为g (1) ＝－ 1 ，所以m < － 1. 故实数m 的取值范围为( －∞ ，－1) .。

2020版数学高考专题突破

第 3 节函数的奇偶性与周期性最新考纲 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2. 会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性； 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1 . 函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数.2 . 函数的周期性(1) 周期函数：对于函数y ＝ f ( x ) ，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有 f ( x ＋T ) ＝ f ( x ) ，就把函数 f ( x ) 称为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2) 最小正周期：如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f ( x ) 的最小正周期.[ 微点提醒]1 . (1) 如果一个奇函数 f ( x ) 在原点处有定义，即 f (0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝0.(2) 如果函数 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |) .2 . 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3 . 函数周期性常用结论对 f ( x ) 定义域内任一自变量的值x ：(1) 若 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ，则T ＝ 2 a ( a >0) .(2) 若 f ( x ＋ a ) ＝，则T ＝ 2 a ( a >0) .(3) 若 f ( x ＋ a ) ＝－，则T ＝ 2 a ( a >0) .4 . 对称性的三个常用结论(1) 若函数y ＝ f ( x ＋ a ) 是偶函数，则函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ a 对称.(2) 若对于R 上的任意x 都有 f (2 a －x ) ＝ f ( x ) 或 f ( －x ) ＝ f (2 a ＋x ) ，则y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ a 对称.(3) 若函数y ＝ f ( x ＋ b ) 是奇函数，则函数y ＝ f ( x ) 的图像关于点( b ，0) 中心对称.基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 函数y ＝x 2 在x ∈ (0 ，＋∞ ) 时是偶函数. ( )(2) 若函数 f ( x ) 为奇函数，则一定有 f (0) ＝0.( )(3) 若T 是函数的一个周期，则nT ( n ∈ Z ，n ≠ 0) 也是函数的周期. ( )(4) 若函数y ＝ f ( x ＋ b ) 是奇函数，则函数y ＝ f ( x ) 的图像关于点( b ，0) 中心对称. ( )解析(1) 由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2 在(0 ，＋∞ ) 上不具有奇偶性，(1) 错.(2) 由奇函数定义可知，若 f ( x ) 为奇函数，其在x ＝0 处有意义时才满足 f (0) ＝0 ，(2) 错.(3) 由周期函数的定义，(3) 正确.(4) 由于y ＝ f ( x ＋ b ) 的图像关于(0 ，0) 对称，根据图像平移变换，知y ＝ f ( x ) 的图像关于( b ，0) 对称，正确.答案(1) × (2) × (3) √ (4) √2 . ( 必修1P 50 练习改编) 下列函数中为偶函数的是( )A . y ＝x 2 sin xB . y ＝x 2 cos xC . y ＝|ln x |D . y ＝ 2 －x解析根据偶函数的定义知偶函数满足 f ( －x ) ＝ f ( x ) 且定义域关于原点对称， A 选项为奇函数； B 选项为偶函数； C 选项定义域为(0 ，＋∞ ) ，不具有奇偶性； D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案 B3 . ( 必修 1 P 28 练习引申改编) 设 f ( x ) 是定义在R 上的周期为 2 的函数，当x ∈ [ － 1 ，1) 时， f ( x ) ＝则 f ＝________ .解析由题意得， f ＝ f ＝－ 4 × ＋ 2 ＝ 1.答案 14 . (2019·汉中模拟) 下列函数既是偶函数又在区间(0 ，＋∞ ) 上单调递增的是( )A . y ＝x 3B . y ＝xC . y ＝| x |D . y ＝|tan x |解析对于 A ，y ＝x 3 为奇函数，不符合题意；对于 B ，y ＝x 是非奇非偶函数，不符合题意；对于 D ，y ＝|tan x | 是偶函数，但在区间(0 ，＋∞ ) 上不单调递增. 答案 C5 . (2017·全国Ⅱ卷) 已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ∈ ( －∞ ，0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋x 2 ，则 f (2) ＝________ .解析∵ x ∈ ( －∞ ，0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋x 2 ，且 f ( x ) 在R 上为奇函数，∴ f (2) ＝－ f ( －2) ＝－[2 × ( －2) 3 ＋( －2) 2 ] ＝12.答案126 . (2019·上海崇明二模) 设 f ( x ) 是定义在R 上以 2 为周期的偶函数，当x ∈ [0 ，1] 时， f ( x ) ＝log 2 ( x ＋1) ，则当x ∈ [1 ，2] 时， f ( x ) ＝________ .解析当x ∈ [1 ，2] 时，x － 2 ∈ [ － 1 ，0] ， 2 －x ∈ [0 ，1] ，又 f ( x ) 在R 上是以 2 为周期的偶函数，∴ f ( x ) ＝ f ( x －2) ＝ f (2 －x ) ＝log 2 (2 －x ＋1) ＝log 2 (3 －x ) .答案log 2 (3 －x )考点一判断函数的奇偶性【例 1 】判断下列函数的奇偶性：(1) f ( x ) ＝＋；(2) f ( x ) ＝；(3) f ( x ) ＝解(1) 由得x 2 ＝ 3 ，解得x ＝± ，即函数 f ( x ) 的定义域为{ －，} ，从而 f ( x ) ＝＋＝0.因此 f ( －x ) ＝－ f ( x ) 且 f ( －x ) ＝ f ( x ) ，∴ 函数 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数.(2) 由得定义域为( － 1 ，0) ∪ (0 ，1) ，关于原点对称.∴ x －2<0 ，∴ | x －2| － 2 ＝－x ，∴ f ( x ) ＝.又∵ f ( －x ) ＝＝－＝－ f ( x ) ，∴ 函数 f ( x ) 为奇函数.(3) 显然函数 f ( x ) 的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，关于原点对称.∵ 当x <0 时，－x >0 ，则 f ( －x ) ＝－( －x ) 2 －x ＝－x 2 －x ＝－ f ( x ) ；当x >0 时，－x <0 ，则 f ( －x ) ＝( －x ) 2 －x ＝x 2 －x ＝－ f ( x ) ；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有 f ( －x ) ＝－ f ( x ) 成立，∴ 函数 f ( x ) 为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2) 判断 f ( x ) 与 f ( －x ) 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式( f ( x ) ＋ f ( －x ) ＝0( 奇函数) 或f ( x ) － f ( －x ) ＝0( 偶函数)) 是否成立.【训练 1 】(1) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A . y ＝x ＋sin 2 xB . y ＝x 2 －cos xC . y ＝ 2 x ＋D . y ＝x 2 ＋sin x(2) 已知 f ( x ) ＝，g ( x ) ＝，则下列结论正确的是( )A . f ( x ) ＋g ( x ) 是偶函数B . f ( x ) ＋g ( x ) 是奇函数C . f ( x ) g ( x ) 是奇函数D . f ( x ) g ( x ) 是偶函数解析(1) 对于 A ，定义域为R ， f ( －x ) ＝－x ＋sin 2( －x ) ＝－( x ＋sin 2 x ) ＝－ f ( x ) ，为奇函数；对于 B ，定义域为R ， f ( －x ) ＝( －x ) 2 －cos( －x ) ＝x 2 －cos x ＝ f ( x ) ，为偶函数；对于 C ，定义域为R ， f ( －x ) ＝ 2 －x ＋＝ 2 x ＋＝ f( x ) ，为偶函数；对于 D ，y ＝x 2 ＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2) 令h ( x ) ＝ f ( x ) ＋g ( x ) ，因为 f ( x ) ＝，g ( x ) ＝，所以h ( x ) ＝＋＝，定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) .因为h ( －x ) ＝＝＝h ( x ) ，所以h ( x ) ＝ f ( x ) ＋g ( x ) 是偶函数，令 F ( x ) ＝ f ( x ) g ( x ) ＝，定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) .所以 F ( －x ) ＝＝，因为 F ( －x ) ≠ F ( x ) 且 F ( －x ) ≠ － F ( x ) ，所以 F ( x ) ＝g ( x ) f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数.答案(1)D (2)A考点二函数的周期性及其应用【例 2 】(1) ( 一题多解)(2018·全国Ⅱ卷) 已知 f ( x ) 是定义域为( －∞ ，＋∞ ) 的奇函数，满足 f (1 －x ) ＝ f (1 ＋x ) . 若 f (1) ＝2 ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋… ＋ f (50) ＝( )A . －50B . 0C . 2D . 50(2) 已知 f ( x ) 是R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当0 ≤ x <2 时， f ( x ) ＝x 3 －x ，则函数y ＝ f ( x ) 的图像在区间[0 ，6] 上与x 轴的交点个数为________ .解析(1) 法一∵ f ( x ) 在R 上是奇函数，且 f (1 －x ) ＝ f (1 ＋x ) . ∴ f ( x ＋1) ＝－ f ( x －1) ，即 f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) .因此 f ( x ＋4) ＝ f ( x ) ，则函数 f ( x ) 是周期为 4 的函数，由于 f (1 －x ) ＝ f (1 ＋x ) ， f (1) ＝ 2 ，故令x ＝ 1 ，得 f (0) ＝ f (2) ＝0令x ＝ 2 ，得 f (3) ＝ f ( －1) ＝－ f (1) ＝－ 2 ，令x ＝ 3 ，得 f (4) ＝ f ( －2) ＝－ f (2) ＝0 ，故 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＝ 2 ＋0 － 2 ＋0 ＝0 ，所以 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋… ＋ f (50) ＝12 × 0 ＋ f (1) ＋ f (2) ＝2.法二取一个符合题意的函数 f ( x ) ＝2sin ，则结合该函数的图像易知数列{ f ( n )}( n ∈ N + ) 是以 4 为周期的周期数列.故 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋… ＋ f (50) ＝12 × [ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋f (4)] ＋ f (1) ＋ f (2) ＝12 × [2 ＋0 ＋( －2) ＋0] ＋ 2 ＋0 ＝ 2.(2) 因为当0 ≤ x <2 时， f ( x ) ＝x 3 －x . 又 f ( x ) 是R 上最小正周期为2 的周期函数，且 f (0) ＝0 ，则 f (6) ＝ f (4) ＝ f (2) ＝ f (0) ＝0.又 f (1) ＝0 ，∴ f (3) ＝ f (5) ＝ f (1) ＝0 ，故函数y ＝ f ( x ) 的图像在区间[0 ，6] 上与x 轴的交点有7 个.答案(1)C (2)7规律方法 1. 根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2 . 若 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x )( a 是常数，且 a ≠ 0) ，则 2 a 为函数 f ( x ) 的一个周期. 第(1) 题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程. 【训练 2 】(1) (2018·南充二模) 设 f ( x ) 是周期为 4 的奇函数，当0 ≤x ≤ 1 时， f ( x ) ＝x (1 ＋x ) ，则 f ＝( )A . －B . － C. D.(2) 已知 f ( x ) 是定义在R 上的偶函数，且 f ( x ＋4) ＝ f ( x －2) . 若当x ∈ [ － 3 ，0] 时， f ( x ) ＝ 6 －x ，则 f (919) ＝________ .解析(1) ∵ f ( x ) 是周期为 4 的奇函数，∴ f ＝－ f ＝－ f ，又0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝x (1 ＋x ) ，故 f ＝－ f ＝－＝－.(2) ∵ f ( x ＋4) ＝ f ( x －2) ，∴ f [( x ＋2) ＋4] ＝ f [( x ＋2) －2] ，即 f ( x ＋6) ＝ f ( x ) ，∴ f (919) ＝ f (153 × 6 ＋1) ＝ f (1) ，又 f ( x ) 在R 上是偶函数，∴ f (1) ＝ f ( －1) ＝ 6 －( －1) ＝ 6 ，即 f (919) ＝ 6.答案(1)A (2)6考点三函数性质的综合运用多维探究角度 1 函数单调性与奇偶性【例 3 － 1 】(2019·南昌模拟) 设 f ( x ) 是定义在[ － 2 b ， 3 ＋ b ] 上的偶函数，且在[ － 2 b ，0] 上为增函数，则 f ( x －1) ≥ f (3)的解集为( )A . [ － 3 ，3]B . [ － 2 ，4]C . [ － 1 ，5]D . [0 ，6] 解析因为 f ( x ) 是定义在[ － 2 b ， 3 ＋ b ] 上的偶函数，所以有－ 2 b ＋ 3 ＋ b ＝0 ，解得 b ＝ 3 ，由函数 f ( x ) 在[ － 6 ，0] 上为增函数，得 f ( x ) 在(0 ，6] 上为减函数. 故 f ( x －1) ≥ f (3) ⇒ f (| x －1|) ≥ f (3) ⇒ | x －1| ≤ 3 ，故－ 2 ≤ x ≤ 4.答案 B规律方法 1. 函数单调性与奇偶性结合. 注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.2 . 本题充分利用偶函数的性质 f ( x ) ＝ f (| x |) ，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度 2 函数的奇偶性与周期性【例 3 － 2 】(1) 已知定义在R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋5) ＝ f ( x ) ，且当x ∈ 时， f ( x ) ＝x 3 － 3 x ，则 f (2 018) ＝( )A . 2B . －18C . 18D . － 2(2) (2018·洛阳模拟) 已知函数y ＝ f ( x ) 满足y ＝ f ( －x ) 和y ＝ f ( x ＋2) 是偶函数，且 f (1) ＝，设 F ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ( －x ) ，则 F (3) ＝( )A. B. C . π D.解析(1) ∵ f ( x ) 满足 f ( x ＋5) ＝ f ( x ) ，∴ f ( x ) 是周期为 5 的函数，∴ f (2 018) ＝ f (403 × 5 ＋3) ＝ f (3) ＝ f (5 －2) ＝ f ( －2) ，∵ f ( x ) 是奇函数，且当x ∈ 时， f ( x ) ＝x 3 － 3 x ，∴ f ( －2) ＝－ f (2) ＝－(2 3 － 3 × 2) ＝－ 2 ，故 f (2 018) ＝－ 2. (2) 由y ＝ f ( －x ) 和y ＝ f ( x ＋2) 是偶函数知 f ( －x ) ＝ f( x ) ，且 f ( x ＋2) ＝ f ( －x ＋2) ，则 f ( x ＋2) ＝ f ( x －2) .∴ f ( x ＋4) ＝ f ( x ) ，则y ＝ f ( x ) 的周期为 4.所以 F (3) ＝ f (3) ＋ f ( －3) ＝ 2 f (3) ＝ 2 f ( －1) ＝ 2 f (1) ＝. 答案(1)D (2)B规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 周期性、奇偶性与单调性结合. 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练 3 】(1) (2019·重庆九校模拟) 已知奇函数 f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 3 对称，当x ∈ [0 ，3] 时， f ( x ) ＝－x ，则 f ( －16) ＝________ .(2) 若函数 f ( x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0 ，＋∞ ) 上是单调递增函数. 如果实数t 满足 f (ln t ) ＋ f ≤ 2 f (1) ，那么t 的取值范围是________ .解析(1) 根据题意，函数 f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 3 对称，则有 f ( x ) ＝ f (6 －x ) ，又由函数为奇函数，则 f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，则有 f ( x ) ＝－ f (6 －x ) ＝ f ( x －12) ，则 f ( x ) 的最小正周期是12 ，故 f ( －16) ＝ f ( －4) ＝－ f (4) ＝－ f (2) ＝－( －2) ＝ 2. (2) 由于函数 f ( x ) 是定义在R 上的偶函数，所以 f (ln t ) ＝ f ，由 f (ln t ) ＋ f ≤ 2 f (1) ，得 f (ln t ) ≤ f (1) .又函数 f ( x ) 在区间[0 ，＋∞ ) 上是单调递增函数，所以|ln t | ≤ 1 ，即－ 1 ≤ ln t ≤ 1 ，故≤ t ≤ e.答案(1)2 (2)[ 思维升华]1 . 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称. 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2 . 利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1) 求函数值；(2) 求解析式；(3) 求函数解析式中参数的值；(4) 画函数图像，确定函数单调性.3 . 在解决具体问题时，要注意结论“ 若T 是函数的周期，则kT ( k ∈ Z 且k ≠ 0) 也是函数的周期” 的应用.[ 易错防范]1 . f (0) ＝0 既不是 f ( x ) 是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2 . 函数 f ( x ) 满足的关系 f ( a ＋x ) ＝ f ( b －x ) 表明的是函数图像的对称性，函数 f ( x ) 满足的关系 f ( a ＋x ) ＝ f ( b ＋x )( a ≠ b ) 表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.数学运算——活用函数性质中“ 三个二级” 结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展. 通过常见的“ 二维结论” 解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.类型 1 奇函数的最值性质已知函数 f ( x ) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的x ∈ D ，都有 f ( x ) ＋ f ( －x ) ＝0. 特别地，若奇函数 f ( x ) 在 D 上有最值，则 f ( x ) max＋ f ( x ) min ＝0 ，且若0 ∈ D ，则 f (0) ＝0.【例 1 】设函数 f ( x ) ＝的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________ .解析显然函数 f ( x ) 的定义域为R ，f ( x ) ＝＝ 1 ＋，设g ( x ) ＝，则g ( －x ) ＝－g ( x ) ，∴ g ( x ) 为奇函数，由奇函数图像的对称性知g ( x ) max ＋g ( x ) min ＝0 ，∴ M ＋m ＝[ g ( x ) ＋1] max ＋[ g ( x ) ＋1] min ＝ 2 ＋g ( x ) max ＋g ( x ) min ＝ 2.答案 2类型 2 抽象函数的周期性(1) 如果 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x )( a ≠ 0) ，那么 f ( x ) 是周期函数，其中一个周期T ＝ 2 a .(2) 如果 f ( x ＋ a ) ＝( a ≠ 0) ，那么 f ( x ) 是周期函数，其中的一个周期T ＝ 2 a .(3) 如果 f ( x ＋ a ) ＋ f ( x ) ＝ c ( a ≠ 0) ，那么 f ( x ) 是周期函数，其中的一个周期T ＝ 2 a .【例 2 】已知函数 f ( x ) 为定义在R 上的奇函数，当x ≥ 0 时，有 f ( x ＋3) ＝－ f ( x ) ，且当x ∈ (0 ，3) 时， f ( x ) ＝x ＋ 1 ，则 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝( )A . 3B . 2C . 1D . 0解析因为函数 f ( x ) 为定义在R 上的奇函数，所以 f ( － 2 017) ＝－ f (2 017) ，因为当x ≥ 0 时，有 f ( x ＋3) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋6) ＝－ f ( x ＋3) ＝ f ( x ) ，即当x ≥ 0 时，自变量的值每增加 6 ，对应函数值重复出现一次.又当x ∈ (0 ，3) 时， f ( x ) ＝x ＋ 1 ，∴ f (2 017) ＝ f (336 × 6 ＋1) ＝ f (1) ＝ 2 ，f (2 018) ＝ f (336 × 6 ＋2) ＝ f (2) ＝ 3.故 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝－ f (2 017) ＋ 3 ＝ 1.答案 C类型 3 抽象函数的对称性已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的函数.(1) 若 f ( a ＋x ) ＝ f ( b －x ) 恒成立，则y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝对称，特别地，若 f ( a ＋x ) ＝ f ( a －x ) 恒成立，则y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ a 对称.(2) 若函数y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋x ) ＋ f ( a －x ) ＝0 ，即 f ( x ) ＝－ f (2 a －x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点( a ，0) 对称.【例 3 】( 2018·日照调研) 函数y ＝ f ( x ) 对任意x ∈ R 都有 f ( x ＋2) ＝ f ( －x ) 成立，且函数y ＝ f ( x －1) 的图像关于点(1 ，0) 对称， f (1) ＝ 4 ，则 f (2 016) ＋ f (2 017) ＋ f (2 018) 的值为________ . 解析因为函数y ＝ f ( x －1) 的图像关于点(1 ，0) 对称，所以函数y ＝ f ( x ) 的图像关于原点对称，所以 f ( x ) 是R 上的奇函数，f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋4) ＝－ f ( x ＋2) ＝ f ( x ) ，故 f ( x ) 的周期为 4.所以 f (2 017) ＝ f (504 × 4 ＋1) ＝ f (1) ＝ 4 ，所以 f (2 016) ＋ f (2 018) ＝－ f (2 014) ＋ f (2 014 ＋4) ＝－ f (2 014) ＋ f (2 014) ＝0 ，所以 f (2 016) ＋ f (2 017) ＋ f (2 018) ＝ 4.答案 4基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . 下列函数中，既是偶函数，又在(0 ，1) 上单调递增的函数是( )A . y ＝|log 3 x |B . y ＝x 3C . y ＝ e | x |D . y ＝cos | x |解析对于 A 选项，函数定义域是(0 ，＋∞ ) ，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3 是奇函数.对于 C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈ (0 ，＋∞ ) 时，函数是增函数，故在(0 ，1) 上单调递增，正确.对于 D 选项，y ＝cos | x | 在(0 ，1) 上单调递减.答案 C2 . ( 一题多解)(2019·河北“ 五个一” 名校联盟二模) 设函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，且 f ( x ) ＝则g ( －8) ＝( ) A . － 2 B . － 3 C . 2 D . 3解析法一当x <0 时，－x >0 ，且 f ( x ) 为奇函数，则 f ( －x ) ＝log 3 (1 －x ) ，所以 f ( x ) ＝－log 3 (1 －x ) .因此g ( x ) ＝－log 3 (1 －x ) ，x <0 ，故g ( －8) ＝－log 3 9 ＝－ 2.法二由题意知，g ( －8) ＝ f ( －8) ＝－ f (8) ＝－log 3 9 ＝－ 2.答案 A3 . 已知 f ( x ) 在R 上是奇函数，且满足 f ( x ＋4) ＝ f ( x ) ，当x ∈ ( －2 ，0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 2 ，则 f (2 019) 等于( )A . － 2B . 2C . －98D . 98解析由 f ( x ＋4) ＝ f ( x ) 知， f ( x ) 是周期为 4 的函数，f (2 019) ＝ f (504 × 4 ＋3) ＝ f (3) ，又 f ( x ＋4) ＝ f ( x ) ，∴ f (3) ＝ f ( －1) ，由－ 1 ∈ ( － 2 ，0) 得 f ( －1) ＝ 2 ，∴ f (2 019) ＝ 2.答案 B4 . ( 一题多解) 已知奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，g ( x ) ＝xf ( x ) . 若a ＝g ( －log 2 5.1) ，b ＝g (2 0.8 ) ，c ＝g (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . a < b < cB . c < b < aC . b < a < cD . b < c < a解析法一易知g ( x ) ＝xf ( x ) 在R 上为偶函数，∵ 奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，且 f (0) ＝0.∴ g ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.又3>log 2 5.1>2>2 0.8 ，且 a ＝g ( －log 2 5.1) ＝g (log 2 5.1) ，∴ g (3)> g (log 2 5.1)> g (2 0.8 ) ，则 c > a > b .法二( 特殊化) 取 f ( x ) ＝x ，则g ( x ) ＝x 2 为偶函数且在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，又3>log 2 5.1>2 0.8 ，从而可得 c > a > b .答案 C5 . (2019·山东、湖北部分重点中学模拟) 已知定义在R 上的函数 f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上单调递减，且 f ( x ＋1) 是偶函数，不等式 f ( m ＋2) ≥ f ( x －1) 对任意的x ∈ [ － 1 ，0] 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A . [ － 3 ，1] B . [ － 4 ，2]C . ( －∞ ，－3] ∪ [1 ，＋∞ )D . ( －∞ ，－4] ∪ [2 ，＋∞ )解析因为 f ( x ＋1) 是偶函数，所以 f ( －x ＋1) ＝ f ( x ＋1) ，所以 f ( x ) 的图像关于x ＝ 1 对称，由 f ( m ＋2) ≥ f ( x －1) 得|( m＋2) －1| ≤ |( x －1) －1| ，即| m ＋1| ≤ | x －2| 在x ∈ [ － 1 ，0] 恒成立，所以| m ＋1| ≤ | x －2| min ，所以| m ＋1| ≤ 2 ，解得－ 3 ≤ m ≤ 1.答案 A二、填空题6 . 若函数 f ( x ) ＝x ln( x ＋) 为偶函数，则 a ＝________ .解析 f ( x ) 为偶函数，则y ＝ln( x ＋) 为奇函数，所以ln( x ＋) ＋ln( －x ＋) ＝0 ，则ln( a ＋x 2 －x 2 ) ＝0 ，∴ a ＝ 1.答案 17 . 若函数 f ( x ) 是定义在R 上的周期为 2 的奇函数，当0< x <1 时， f ( x ) ＝ 4 x ，则 f ＋ f (2) ＝________ .解析∵ f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，∴ f (0) ＝0 ，又 f ( x ) 在R 上的周期为 2 ，∴ f (2) ＝ f (0) ＝0.又 f ＝ f ＝－ f ＝－ 4 ＝－ 2 ，∴ f ＋ f (2) ＝－ 2.答案－ 28 . 设函数 f ( x ) ＝ln(1 ＋| x |) －，则使得 f ( x ) ＞ f (2 x －1) 成立的x 的取值范围是________ .解析由 f ( x ) ＝ln(1 ＋| x |) －，知 f ( x ) 为R 上的偶函数，于是 f ( x ) ＞ f (2 x －1) 即为 f (| x |) ＞ f (|2 x －1|) .当x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ln(1 ＋x ) －，所以 f ( x ) 为[0 ，＋∞ ) 上的增函数，则由 f (| x |) ＞ f (|2 x －1|) 得| x | ＞|2 x －1| ，两边平方得3 x 2 －4 x ＋ 1 ＜0 ，解得＜x ＜ 1.答案三、解答题9 . 已知函数 f ( x ) ＝是奇函数.(1) 求实数m 的值；(2) 若函数 f ( x ) 在区间[ － 1 ， a －2] 上单调递增，求实数 a 的取值范围.解(1) 设x <0 ，则－x >0 ，所以 f ( －x ) ＝－( －x ) 2 ＋2( －x ) ＝－x 2 － 2 x .又 f ( x ) 为奇函数，所以 f ( －x ) ＝－ f ( x ) .于是x <0 时， f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 x ＝x 2 ＋mx ，所以m ＝ 2.(2) 要使 f ( x ) 在[ － 1 ， a －2] 上单调递增，结合 f ( x ) 的图像知所以1< a ≤ 3 ，故实数 a 的取值范围是(1 ，3] .10 . 设函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有 f ＝－ f成立.(1) 证明y ＝ f ( x ) 是周期函数，并指出其周期；(2) 若 f (1) ＝ 2 ，求 f (2) ＋ f (3) 的值；(3) 若g ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ 3 ，且y ＝| f ( x )|· g ( x ) 是偶函数，求实数a 的值.解(1) 由 f ＝－ f ，且 f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，知 f (3 ＋x ) ＝ f ＝－ f ＝－ f ( －x ) ＝ f ( x ) ，所以y ＝ f ( x ) 是周期函数，且T ＝ 3 是其一个周期.(2) 因为 f ( x ) 为定义在R 上的奇函数，所以 f (0) ＝0 ，且 f ( －1) ＝－ f (1) ＝－ 2 ，又T ＝ 3 是y ＝ f ( x ) 的一个周期，所以 f (2) ＋ f (3) ＝ f ( －1) ＋ f (0) ＝－ 2 ＋0 ＝－ 2.(3) 因为y ＝| f ( x )|· g ( x ) 是偶函数，且| f ( －x )| ＝| － f ( x )| ＝| f ( x )| ，所以| f ( x )| 为偶函数.故g ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ 3 为偶函数，即g ( －x ) ＝g ( x ) 恒成立，于是( －x ) 2 ＋ a ( －x ) ＋ 3 ＝x 2 ＋ax ＋ 3 恒成立.于是 2 ax ＝0 恒成立，所以 a ＝0.能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11 . (2019·石家庄模拟) 已知奇函数 f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，且f (1) ＝0 ，若 f ( x －1)>0 ，则x 的取值范围为( )A . { x |0< x <1 或x >2}B . { x | x <0 或x >2}C . { x | x <0 或x >3}D . { x | x < － 1 或x >1}解析由题意知函数 f ( x ) 在( －∞ ，0) 上单调递增，且 f ( －1) ＝0 ，不等式 f ( x －1)>0 ⇔ f ( x －1)> f (1) 或 f ( x －1)> f ( －1) .∴ x －1>1 或0> x －1> － 1 ，解之得x >2 或0< x <1.答案 A12 . (2018·合肥调研) 定义在R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) ，且在[0 ，1] 上是减函数，则有( )A . f < f < fB . f < f < fC . f < f < fD . f < f < f解析由题设知： f ( x ) ＝－ f ( x －2) ＝ f (2 －x ) ，所以函数 f ( x )的图像关于直线x ＝ 1 对称；函数 f ( x ) 是奇函数，其图像关于坐标原点对称，由于函数 f ( x ) 在[0 ，1] 上是减函数，所以 f ( x ) 在[ － 1 ，0] 上也是减函数，综上函数 f ( x ) 在[ － 1 ，1] 上是减函数；又 f = f = f ，－< < ，∴ f < f < f ，即 f < f < f .答案 C13 . 设函数 f ( x ) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈ R 恒有 f ( x ＋1) ＝ f ( x －1) ，已知当x ∈ [0 ，1] 时， f ( x ) ＝ 2 x ，则有① 2 是函数 f ( x ) 的周期；② 函数 f ( x ) 在(1 ，2) 上是减函数，在(2 ，3) 上是增函数；③ 函数 f ( x ) 的最大值是 1 ，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________ .解析在 f ( x ＋1) ＝ f ( x －1) 中，令x － 1 ＝t ，则有 f ( t ＋2) ＝ f ( t ) ，因此 2 是函数 f ( x ) 的周期，故① 正确；当x ∈ [0 ，1] 时， f ( x ) ＝ 2 x 是增函数，根据函数的奇偶性知， f ( x ) 在[ － 1 ，0] 上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f ( x ) 在(1 ，2) 上是减函数，在(2 ，3) 上是增函数，故②正确；由② 知， f ( x ) 在[0 ，2] 上的最大值 f ( x ) max ＝ f (1) ＝ 2 ， f ( x ) 的最小值 f ( x ) min ＝ f (0) ＝ f (2) ＝ 2 0 ＝ 1 且 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数，∴ f ( x ) 的最大值是 2 ，最小值是 1 ，故③ 错误.答案①②14 . 设 f ( x ) 是( －∞ ，＋∞ ) 上的奇函数， f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) ，当0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝x .(1) 求 f (π) 的值；(2) 当－ 4 ≤ x ≤ 4 时，求 f ( x ) 的图像与x 轴所围成图形的面积.解(1) 由 f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) 得，f ( x ＋4) ＝ f [( x ＋2) ＋2] ＝－ f ( x ＋2) ＝ f ( x ) ，所以 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数，所以 f (π) ＝ f ( － 1 × 4 ＋π) ＝ f (π －4) ＝－ f (4 －π) ＝－(4 －π) ＝π － 4.(2) 由 f ( x ) 是奇函数且 f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) ，得 f [( x －1) ＋2] ＝－ f ( x －1) ＝ f [ －( x －1)] ，即 f (1 ＋x ) ＝ f (1 －x ) .故知函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 1 对称.又当0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝x ，且 f ( x ) 的图像关于原点成中心对称，则f ( x ) 的图像如下图所示.当－ 4 ≤ x ≤ 4 时， f ( x ) 的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝ 4 S △ OAB ＝ 4 × ＝ 4.。

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第9节离散型随机变量的均值与方差最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1，2，…，r).(1)均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r，EX刻画的是X取值的“中心位置”.(2)方差DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).[微点提醒]1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nM N.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(选修2－3P58例1改编)已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73 B.4 C.－1 D.1解析E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.答案 A3.(选修2－3P62A2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.答案04.(2018·浙江卷)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在(0，1)内增大时()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小解析由题可得E(ξ)＝12＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫p－122＋12，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.答案 D5.(2019·合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技术好.答案乙6.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.答案 1.96考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为p 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为p 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124；P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14；P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512；P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14；P (ξ＝160)＝14×16＝124. ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )的应用.【训练1】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点二二项分布的均值与方差【例2】 (2019·吉安一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值. 解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5[0.2＋(0.2＋d )×2＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.1×3]＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w ＝2.5＋0.8－0.70.3≈2.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，X～B(3，0.7)，P(X＝0)＝C03×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C13×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝C23×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343，∴X的分布列为∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.规律方法二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).【训练2】(2019·湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为140(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝28.5(g)，所以购进500 kg 生蚝，其数量为500 000÷28.5≈17 544(只).(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25)间的概率为25，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×81625＋216625×3＋96625×3＋16625×4＝85. 考点三均值与方差在决策问题中的应用【例3】某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解若按“项目一”投资，设获利为X 1万元.则X 1的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解 (1)依题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2， p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.[思维升华]1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)，D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.[易错防范]1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32 B.2 C.52 D.3解析由数学期望公式可得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案 C3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N+)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝()A.1B.2C.3D.4解析由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，∴p＝12，E(X)＝4p＝4×12＝2.答案 B4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.6解析由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25. 答案 B5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( ) A.24181B.26681C.27481D.670243解析依题意，知X 的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681. 答案 B 二、填空题6.已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)＝________. 解析由分布列性质，得x ＋y ＝0.5. 又E (ξ)＝158，得2x ＋3y ＝118，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝38.D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.答案55 647.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________.解析记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤1 4.故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为1 4.答案p 1 48.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.解析随机变量X的取值为0，1，2，4，则P(X＝0)＝C13C13＋C13C13＋C13C13C16C16＝34，P(X＝1)＝C12C12C16C16＝19，P(X＝2)＝C12C11＋C11C12C16C16＝19，P(X＝4)＝C12C12C16C16＝136，因此E(X)＝4 9.答案4 9三、解答题9.(2019·淮北模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X 的分布列与数学期望.解(1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.由题意，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C03C24C27＝27，P(X＝1)＝C13C14C27＝47，P(X＝2)＝C23C04C27＝17，则X的分布列为E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.10.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85B.65C.45D.25解析由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.答案 B12.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( ) A.3B.83C.2D.53解析在一轮投篮中，甲通过的概率为p ＝89，通不过的概率为19. 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的取值分别为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫193＝1729； P (X ＝1)＝C 13×89×⎝ ⎛⎭⎪⎫192＝24729； P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫892×19＝192729；P (X ＝3)＝512729.∴随机变量X 的分布列为：数学期望E (X )＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83，或由二项分布的期望公式可得E (X )＝83. 答案 B13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望E (Y )>74，则p 的取值范围是________. 解析由已知得P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ， P (Y ＝3)＝(1－p )2，则E (Y )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 14.(2019·西安模拟)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关？(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，则“课外体育不达标”人数为150， ∴列联表如下：∴χ2＝200×（60×20－30×90）290×110×150×50＝20033≈6.061>3.841.∴有95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝656＝328；P (ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝3056＝1528；P (ξ＝3)＝C 36C 38＝2056＝514；故ξ的分布列为故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×328＋2×1528＋3×514＝94.。