几何体外接球精美讲义
空间几何体外接球问题精品课件(共27张ppt)全
合作探究一：
（3）已知正四面体A-BCD，所有棱长都相等，点 A，B，C ，D都在球O 的表面上，如何求这个球的半径？
合作探究一：
（4）已知三棱锥 A-BCD，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，则三棱锥 A-BCD 外接球的半径?
合作探究二：
（5）已知正三棱锥 P-ABC，点 P，A，B，C 都在球 O 的表面上，顶点 P 到面 ABC 的距离为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
合作探究二：
（6）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1，所有顶点都在球 O 的表面上，直三棱柱的高为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
O''
针对训练二： 1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ） A. B.16π C.9π D. 2. 正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则该三棱柱的外接球半径为__________.
空间几何体外接球问题
几何体与球的组合问题，一种是内切球，一种是外接球。纵观高考题，这种位置关系在高考中既是考查的热点，也是考查的难点，这是因为与球有关的几何体能很好地考察学生的空间想象能力以及化归能力。下面就常见几何体的外接球问题进行分析，找出规律，以便同学们更好地迎接高考。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c且它的8个顶点都在球面上，求这个球的半径？
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
复习回顾：
几何体的外接球
几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
几何体外接球精美讲义
第二讲几何体的外接球和内切球问题※基础知识:1.常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：］外接圆半径：-33a三角形面积：、芦正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
■■ I ■ I —2.球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球•，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面• 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球o或L O .概念2:半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体.■ . X ' I -°叫做球体，简称球。
3.球的截面:用一平面:去截一个球0，设00,是平面〉的垂线段，O 为垂足，且00 =d，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r二R2-d2为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆4 .空间几何体外接球、内切球的概念:定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球正方体的内切球5.外接球和内切球性质：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合。
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
(4)基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
(5)体积分割是求内切球半径的通用做法。
____________________________________________________________________________________________________ / ! f、L 3" h J ” _；____________________________________________________________________________2 4 36.公式：球的表面积公式：S=4「：R ;球的体积公式： 7 =H R312,2 2长方体的外接球半径公式：R「a b C，其中a,b,c分别为长方体共顶点的3条棱2长2正棱锥的外接球半径公式：R = a，侧棱2=2R外h正棱锥，其中a为侧棱长，h为正棱锥的2h高正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。
几何体的外接球精彩讲义
例 已知三棱锥 A − BCD 中，AB=AD=CD=1，BC⊥CD， BD = 2 , ,则该三棱锥的外接球的半径
为
．
A
解：如图所示，△ABC，△BCD 均为直角三角形，O 为 BC 的中点，
易知，O 为外接球球心， R = 1 BC = 2 。
2
2
B
C
O
D
结论 6：一般棱锥外接球球心的找法
寻找底面多边形的外接圆的圆心 M 过 M 作底面的垂线 l 任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与 l 的交点即为外接圆的圆心
中， AB ⊥ BC, BC ⊥ CD ，平面BCD ⊥ 平面ABC ，BC=BD=AB=2,则该三
棱锥的外接球的半径为
．
解：如图，可知 R = 3
注：含有三个直角三形的三棱锥一般均可以补成长方体： 例：已知在三棱锥 P-ABC 中，已知 AB=1，PA=2，AC=3，其外接球的半径为 R (1)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，则 R= (2)若 PA⊥AB，PA⊥PC，AB⊥BC,则 R= (3)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，则 R=
注：实际使用中，通常在垂线 上任设一点 O ，然后利用 O 到各点的距离相等，从而确定外接球球心的
半径 （二）补形法 构造正方体或长方体确定球心
方法一：补成棱柱
有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱
例：已知在三棱锥 A-BCD 中，底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形，且 AC = AD = 13 ，若 AB=2，
例：已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注
水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水 8
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
高考二轮复习《专题三：简单几何体的外接球》课件
AC BD 7,则此四面体的外接球的表面积为 55 .
6
A
7
5
7
B 6
a
D
c
5
b
C
a2 b2 36
a2
c2
49
b2 c2 25
R 1 a2 b2 c2
2
1 55 2
课程小结
关键
几何体的外接球
确定球心
棱锥的外接球
交点
棱柱的外接球
过外心的 面的垂线
棱的中垂 面
.
A
B
C
自主探究
6.在三棱锥 A BCD中，BC CD 2, BC CD, AB 平
面 BCD, AB 4 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 24 .
A
D
B
C
B
C
自主探究
6.在三棱锥 A BCD中，BC CD 2, BC CD, AB 平
面 BCD, AB 4 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 24 .
体的外接球的表面积为 28 .
AMC 120o,OMC 60o
A
MM1
1 CM 3
1，
O
D
OM1
3，Q
M1C
2 CM 3
2
M
M1
B
R OC 7
C
巩固训练
2.已知正三棱锥 A BCD ，底面边长为2 ，侧棱长为 2 则该正
三棱锥的外接球的表面积为 6 . A
O RD
B
M
C
巩固训练
3.已知四面体 A BCD中，AB CD 5 , AD BC 6,
自主探究
1.棱长为 a的正方体的外接球的半径为
3a 2
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
数学精讲精练讲义-空间几何体外接球13讲学生版
第1讲长方体模型一、解题技巧归纳总结1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P A B C 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等．．．．．．，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4二、典型例题例1.）A ．π83B ．π2C ．π4D ．π43例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为2cm ．例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．例4.已知三棱锥P A B C -的顶点都在同一个球面上（球)O ，且2P A =，P B P C ==当三棱锥P A B C -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是．三、玩转练习1．张衡(78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为()A ．30B ．1010C ．1210D ．362．棱长为2的正方体的外接球的体积为()A ．8B ．8πC ．43πD ．823π3．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为()A ．433B ．163C ．643D ．324．已知正方体的外接球的体积是323π，则这个正方体的体积是()A ．6427B 6439C ．649D 643275．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为()A ．116πB ．106πC ．56πD ．53π6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的外接球的表面积为()A ．8πB ．82πC ．16πD ．2π7．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，12AA =，则该长方体的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π8．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积12V =，2AB =，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为()A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π9．若正方体的外接球的体积为43π，则此正方体的棱长为．10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为．11．已知正方体的外接球的体积为43π，则该正方体的体积为．12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则此正方体的外接球的体积为．13．将一个长宽分别a ，(0)b a b <<的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围为．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，其中AB a =，AD b =，1AA c =外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b+的最小值为94，则A ，C 两点的球面距离为．15．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．第2讲正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体A B C D 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R =⋅=，即正四面体外接球半径为R =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）．A．22B．32C．2D．3例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为.三、玩转练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为()A．64B．34C．1D．332．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如图所示，在正四面体A BCD-中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A6πB．6πC．3632D．3 2π4．表面积为83()A．43πB．12πC．8πD．46π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为()A．6πB．8πC．6πD．11π6．2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为22，则两圆的公共弦长是()A．34B．34C．1D．127．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球表面积是()A．12πB．32πC．8πD．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是()A．24πB．18πC．12πD．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是()A．4πB．6πC．12πD．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD∆的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥M BCD-的外接球的表面积为()A．πB．32πC．64D6811．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度463，则这个四面体的棱长为．12．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球的体积是．第3讲对棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．对棱相等模型四面体A B C D 中，A B C D m ==，A C B D n ==，A D B C t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222b c m a c n a b t ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，三式相加可得222a b c ++=222,2m n t ++而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R +=+，所以2228m n t R ++=.二、典型例题例1．三棱锥A B C D -中，已知5A B C D ==，6A D B C ==7A C B D ==，那么该三棱锥外接球的表面积为()A ．6πB ．7πC ．9πD ．12π例2．如图所示三棱锥A B C D -，其中5A B C D ==，6A C B D ==，7A D B C ==，则该三棱锥外接球的表面积为．三、玩转练习1．四面体P ABC -的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为()A ．294πB ．28πC ．29296πD ．29π2．在四面体ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为34，41，5则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为()A ．52B ．5C ．522D ．43．如图，在三棱锥P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，5PC AB ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积为()A 2πB 3πC ．6πD ．6π4．在三棱锥PABC 中，4PA BC ==，5PB AC ==，11PC AB ==，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为()A ．26πB ．12πC ．8πD ．24π5．在四面体ABCD 34,41,5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为．6．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =．7．已知四面体A BCD -中三组对棱分别相等，且长分别为257A BCD -的外接球的半径为．8．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，即1AB CD ==，AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是．9．在四面体ABCD 中，三组对棱两两相等，分别为，则该四面体外接球的表面积为．10．在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==，则该四面体外接球的体积为．11．三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为．12．在三棱锥P ABC -中，若5PA PB BC AC ====，PC AB ==，则其的外接球的表面积为．13．在三棱锥P ABC -中，4PA BC ==，5PB AC ==，PC AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是A B C ∆的外心，则1O O ⊥平面A B C ；第二步：算出小圆1O 的半径1A O r =，111122O O A A h ==（1A A h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222()2h R r =+⇒R =，解出R 二、典型例题例1.正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．例2.直三棱柱-111A B C A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12A B A C A A ，∠=︒120B A C ，则此球的表面积等于．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120︒的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A ．20πB 2053C ．25πD ．255π2．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为()A ．624B ．576C ．672D ．7203．在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为23，3AB BC CA ===()A ．1B 3C ．2D ．44．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为()A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π5．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，3AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为()A ．1623πB ．642πC ．32πD ．8π6．在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，90ACB ∠=︒，11CC =，则该三棱柱外接球的体积()A ．12πB ．4πC ．92πD ．8π7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．323π8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A ．πB ．2πC ．4πD ．6π9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为()A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π10．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．24a πB ．25a πC ．28a πD ．210a π11．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π13．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为()A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A ．5003πB ．500πC ．40003πD ．4000π15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．18．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AC CC ==，则AB =19．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，60,C AB =︒=，则此直三棱柱的外接球的表面积为．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，AC =，12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．23．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为，BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为；24．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为16，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为．25．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则正四棱柱的外接球的表面积为．26．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．27．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边长，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为．28．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为．29．已知六棱柱A BCD 1EF A -111B C D 11E F 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．31．正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则它的外接球的表面积为．32．已知矩形A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为．第5讲直棱锥模型一、解题技巧归纳总结1．直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，P A ⊥平面A B C ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将A B C ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A D ，连接P D ，则P D 必过球心O ；第二步：1O 为A B C ∆的外心，所以1O O ⊥平面A B C ，算出小圆1O 的半径1O D r =(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2si n si n si n a b c r A B C ===)，112O O P A =；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)R P A r =+⇔2R =；②2221R r O O =+⇔221R r O O =+.二、典型例题例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M A B C D -为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且2M A B C A B ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．例2.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，⊥P A 平面A B C D ，四边形A B C D 是边长为23正方形．若=26P A ，则∆O A B 的面积为．例3.已知球O 面上的四点,,,,A B C D D A ⊥平面,,3A B C A B B C D A A B B C ⊥===，则球O 的体积等于.三、玩转练习1．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAB ，若1AB BC ==，2PA =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．24πB ．8πC ．6πD ．83π2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P ABCD -为阳马，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4AD =，二面角P BC A --为60︒，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为()A ．16πB ．20πC ．643πD ．32π3．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA =，底面ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()A ．19πB ．28πC ．43πD ．76π4．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2PA =，ABC ∆3表面积为()A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π5．三棱锥P ABC -中，AB BC ==6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为()A ．253πB ．252πC ．833πD ．832π6．在三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥平面ABC ，SA BC ⊥，1SC =，2AC =，3BC =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．14πB ．12πC ．10πD ．8π7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60,2BAC AB AC PA ∠=︒===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，1AC =，2BC =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．9πB ．36πC ．92πD ．94π9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，设D 为BC 中点，且直线PD与平面ABC ，则该三棱锥外接球的表面积为．10．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，4PA =．若三棱锥P ABC -外接球的半径为PC 与平面ABC 所成角的正切值为．11．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π．记点M 的轨迹长度为α，则tan α=；当三棱锥P ABM-的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为．12．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为．13．已知四面体P ABC -中，4PA PB ==，2PC =，AC =PB ⊥平面PAC ，则四面体P ABC -外接球的表面积为．14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为．15．已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB AC PA ===，且在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为．16．矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB AC ==，又3cos 5BAC ∠=-，则该三棱锥外接球的表面积为．18．中国古代数学经典<<九章算术>>中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi ēnào )．若三棱锥P ABC -为鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为．19．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==1AB =，60ABC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥平面ABCD ，4PA =，AB =，1AD =，则该“阳马”外接球的表面积为．。
常见几何体的外接球ppt课件
S
C
A
B
又称“鳖臑”
评
找茬
鳖臑”和“阳马”都是我国古代数学家创造的立体几何名 称，出自《九章算术·商功》。该文中这么写道：斜解（剖 开）立方，得两“壍堵”。斜解“壍堵”，其一为“阳
数 马”，一为“鳖臑”。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
学
文
体积比
化
阳马
鳖臑
拓展探究：
如果将上题中的三角形ABC改成一般三角形，只知道三边的
评
模型三
S
S C
A
B
C
A
B
观察两个锥体有什么共同特征？
作图：
S
A
C
B
启示3：
对于寻找侧棱垂直底面的锥体的外接球心的方法：
1.补型（补成柱体） 2.利用底面外心直接找出球心。
思 路 整 合
已知S.A.B.C是球O表面上的点，SA 平面ABC, AB BC, SA AB 1, BC 2，求球O的表面积。
学习目标：
直观想象：增强空间想象力，熟悉常见几何体的外接球。
数学建模：从常见模型出发，由特殊到一般，会找常见 几何体的外接球球心。
逻辑推理：有效利用条件，合理分析问题，不走弯路。 数学运算：计算几何体外接球半径长度、表面积和体积。
几何体外接球问题是高考的高频考点，重点考察学生的 空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心.
2.椎体的外接球模型
①对棱相等的②侧棱垂直底面的
初期可以通过补型来解决.
当然，下一节我们将讲述其他锥体外接球的其他类型，使你 对球的认识更深一步，也将给你带来更大的挑战。
四、作业：
一.整理本节内容，做好笔记，由各组组长检查。 二.各组的1、2、3号必做活页P36的能力测评部分，
空间几何体外接球专题讲解
专题 外接球一、知识衔接——外接圆 1.平面几何图形，如三角形、正方形、长方形等，存 在外接圆；当然，并不是所有的平面几何图形均有 接圆;在四边形中，若不满足对角互补，则该四边形 便不存在外接圆.B 的外接圆.外接圆的圆心到各个顶点的距离相等，均 代表外接圆的半径.反之，若一个点到各个顶点的距 离相等，则该点即为外接圆的圆心.外接圆的圆心可 能在平面几何图形的内部或外部或边上. 3.圆的问题多围绕圆的半径展开.外接圆多以三角形 的外接圆居多.求三角形外接圆的半径有两大思路： ①确定圆心再求半径；②直接利用正弦定理求半径. 二、类比推新——外接球 1.存在外接球；当然，不是所有的空间几何体都有外接球. S2.定义：经过空间几何体所有顶点的球称为该空间 几何体的外接球.外接球的球心到各个顶点的距离 相等，均为外接球的半径.反之，若空间中有一个点 到各个顶点的距离相等，则该点即为外接球的球心. 3.外接球的问题多涉及外接球的半径，而求半径需 先确定外接球的球心.可以说，外接球问题的本质就 是球心位置的确定. 三、常见空间几何体的外接球 1.直三棱柱： A 1 B 2 O 2 C 1OA B O 1 C在直三棱柱中，上下两个地面三角形外心连线的中 点即为直三棱柱外接球的球心. 2.正三棱锥(正四棱锥) SO` A B O 1 C 正三棱锥(正四棱锥)外接球的球心在正三棱锥(正四 棱锥)的高上，为高上的某一点，不见得必为高的中 点，需结合已知条件求解.3.正方体(长方体)D 1 C 1A 1 B1 OD CA B正方体(长方体)体对角线的中点即为正方体(长方体) 外接球的球心. 四、填补图形求外接球 对于有些空间几何体，可将其补充为直三棱柱、正 方体、长方体等；补充后的几何体与原几何体共外 接球，从而可转化为求直三棱柱、正方体、长方体 等的外接球. S S M N ⟹A AB C B C在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC .可将三棱锥S −ABC 补充为直三棱柱SMN −ABC ，二者共外接球，求三棱锥外接球即求直三棱柱外接球. S S O ⟹ M A A D B D B C C在四棱锥S −ABCD 中，侧棱SA ⊥平面ABC .在上述情况下，可将四棱锥补充为直四棱柱(正方体 或长方体)，且二者共外接球.求四棱锥的外接球等价 于求直四棱柱(正方体、长方体)的外接球.五、切面圆求外接球在圆中： 取弦AB ，则弦AB 平分线n 必过圆心.再取弦CD ，则弦CD 的 垂直平分线m 也必过圆 心，要求两弦不平行. 则两弦垂直平分线的交点即为圆的圆心，可以以此 确定圆心位置.同样地，在球中：对球切割，切面均为圆；当切面不经过球心O 时，所得 O 切面圆称为小圆；将球心O与小圆圆心连接，所得连线 O 1必与小圆所在平面垂直.据此，在球上任取两个不平行的切面圆，过两圆的 圆心作两圆所在平面的垂线，则两面的垂线必相交 且交点即为外接球的球心. 由上述可知，确定外接球的球心只需确定小圆圆心 与垂线. 在实际操作中，确定外接球的球心，即确定空间几 何体某个面的外接圆的圆心与过圆心的垂线.原因 在于对空间几何体的外接球切割时，可以就地取材 沿着空间几何体的某个面切割，所得切面圆即为该 面的外接圆，圆心即为该面对应多边形的外心.【例1】三棱锥D−ABC中，AB=CD=√6，其余四条棱长均为2，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为（）A.7πB.14πC.21πD.28π解析：[法一填补几何体]结合三棱锥D−ABC的棱长，可将其填补为一个底面为棱长√3的正方形，高为1的长方体，如下图所示:A其中，AD111三棱锥D−ABC与长方体AD1BC1−FCED共外接球. 对于长方体而言，体对角线C1D的中点即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径长.∴2R=√DD12+D1A2+BD12=√7即R=√72故外接球的表面积S=4πR2=7π.[法二切面圆求外接球]DECH OA GM B在∆ACB与∆ADB中，∵AD=BD=AC=BC=2且AB为两三角形的公共边∴∆ADB≅∆ACB且为等腰三角形.取AB的中点M，连接MD，MC，则MD⊥AB，MC⊥AB；结合外接圆的性质及三角形的形状，可知∆ABD与∆ABC外接圆的圆心在底边上的高MD，MC 上，不妨设为G，H，分别过G，H作平面ABC，平面ABD的垂线，两垂线的交点设为O，即为外接球的球心. ⋯⋯外接球球心位置的确定在Rt∆BMC中，∵BC=2，BM=√62∴MC=√102且sinB=MCBC =√104由正弦定理可知：∆ABC的外接圆的半径满足2r=AC sinB =4√105即CG=r=2√105MG=MC−GC=√1010∵∆ABD与∆ABC全等∴DM=MC=√102DH=CG=2√105MH=MG=√1010连接MO并延长交CD于E.∵OH⊥平面ABD，OG⊥平面ABC∴∆MHO与∆MGO为全等的直角三角形，故MO为∠GMH的角平分线，又因为∆DMC是以MD=MC=√102为两腰的等腰三角形，故E为底边DC的中点在Rt∆MEC中，MC=√102，EC=√62∴ME=1tan∠CME=ECME=√62在Rt∆MGO中，tan∠OMG=OGMG=√62∴OG=√1510在Rt∆OGC中，OG=2+GC2=√72即为外接球半径故表面积S=4πR2=7π ⋯⋯算半径答案：A【例2】已知四棱锥P−ABCD的外接球为球O，底面ABCD为矩形，面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为________.解析：[法一填补几何体求外接球]根据四棱锥P−ABCD的结构特征，可将该四棱锥填补为正三棱柱：P1BDORP AO1rD四棱锥P−ABCD与正三棱柱PAD−P1BD共外接球对于正三棱柱PAD−P1BD而言，外接球球心为上下两个全等三角形外心连线的中点，如图中O，O1为底面正三角形的外心.在等边∆PAD中，外接圆半径r满足2r=PDsinA=4√33∴r=2√33在Rt∆OO1A中，OO1=12AB=2∴OA =R =√OO 12+r 2=4√33故球O 的表面积为S =4πR 2=64π3[法二 切面圆求外接球]C BO 1 O D M O 2A P 由已知条件可知：该四棱锥有两个面上的多边形较 特殊，即∆PAD 为正三角形，四边形ABCD 为长方形； 沿着平面PAD 与平面ABCD 切割外接球，所得切面圆为二者的外接圆，圆心为二者的外心. 对于正∆PAD ，其外心为高的三等分点；对于长方形ABCD ，其外心为两条对角线的交点. 取棱AD 的中点M ，取长方形ABCD 对角线AC 的中点O 1连接O 1M ，MP ，则MP ⊥AD ，O 1M ⊥AD在MP 上取靠近M 的三等分点O 2，则O 2即为∆PAD 的外心. ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴MP ⊥平面ABCD ，O 1M ⊥平面PAD 过O 2作OO 2//O 1M ，过O 1作O 1O//MP ，则O 1O ⊥平 面ABCD ，O 2O ⊥平面PAD ，交点O 为外接球的球心. 在四边形MO 2OO 1，∵ O 1M//O 2O ，O 2M//O 1O 且O 1M ⊥O 2M ∴ 四边形MO 2OO 1为长方形 ∴OO 2=12AB =2在Rt∆OO 2P 中，O 2P =23MP =2√33外接球半径R =OP =√OO 12+O 2P 2=4√33所以外接球的表面积为S =4πR 2=64π3[]x取AD 的中点O ，连接OP ，取BC 的中点O 1，连接OO 1则OP ⊥AD ，OO 1⊥AD .∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABC =AD ∴OP ⊥平面ABCD ，OO 1⊥平面PAD 即直线OA ， OP ，OO 1两两垂直，以OA ，OP ，OO 1所在直线为x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A(1，0，0)，D(−1，0，0)，P(0，√3，0)与 B(1，0，4).设外接球球心M(x ，y ，z)，半径为R ，则有：{√(x −1)2+y 2+z 2=R √(x +1)2+y 2+z 2=R √x 2+(y −√3)2+z 2=R√(x −1)2+y 2+(z −4)2=R解得：x =0，y =√33，z =2 R =4√33故外接球的表面积S =4πR 2=64π3答案：64π3【模拟练习】 1.已知侧棱长为√2的正四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心O 在地面正方形上， 则球O 的表面积为（ ）A.4πB.3πC.2πD.π 2.已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上 且AB =BC =√2，AC =2，DC =2√3，则这个四面体的体积为（ ） A.23B.5√33C.4√33D.2√333.已知空间四边形ABCD ，∠BAC =2π3，AB =AC =2√3，BD =CD =6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空 间四边形ABCD 的外接球的表面积为_________.4.[湖南师大附中2018届高三模拟]三棱锥P −ABC 中， PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，M 是线段BC 上一个动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值 的最大值为√62，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面 积为（ ）A.2πB.4πC.8πD.16π5.已知四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面AB6.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC CD,其中ABCD为正方形，∆PAD为等腰直角三角⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积形且PA=PD=√2，则四棱锥P−ABCD外接球为（）的表面积为（） A.25π3B.25π2C.83π3D.83π2A.10πB.4πC.16πD.8π8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°且AP=√2，AB=2，M是线段BC上一个动点，线段7.空间四点A、B、C、D都在球心为O的球面上且PM长度最小值为√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表AD⊥平面ABC，AD=2，AB=BC=AC=2则面积为（）球O的表面积为（） A.9π2B.40πC.9√2πD.18πA.32π3B.28π3C.16π3D.4π。
专题11 立体几何 11.2外接球和内切球 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题十一 《立体几何》讲义11.2 外接球与内切球题型一. 长方体模型1．已知球O 面上的四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC =√3，则球O 的体积等于（ ） A ．4√3πB ．16√2π3C ．4π3D ．9π22．四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝2√34，AD ＝BC ＝2√41，则四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为 ．3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为√3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．题型二. 柱体模型1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π42．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于 ．3．若三棱锥P ﹣ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120°，P A ＝AB ＝AC ＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．10√3π B ．18πC ．20πD ．9√3π题型三. 正棱锥模型1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π42．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．3√34B ．√33C ．√34D ．√3123．如图ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S ﹣ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．916π B ．2516π C ．4916π D ．8116π题型四. 一般锥的外接球1．已知三棱锥D ﹣ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB =BC =√2，AC ＝2，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为 ．2．四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．64πB ．65πC ．66πD ．128π3．在菱形ABCD 中，A ＝60°，AB =√3，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，若二面角P ﹣BD ﹣C 的大小为2π3，则三棱锥P ﹣BCD 的外接球体积为（ ）A ．43πB ．√32π C ．7√76π D ．7√72π4．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为2的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝4，则此棱锥的体积为（ ） A ．4√23B ．4√33C ．8√23D ．4√2题型五. 内切球1．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A ．√2π3B ．√3π3C ．4π3D ．2π2．正三棱锥P ﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A ．1：3B ．1：(3+√3)C ．(√3+1)：3D ．(√3−1)：33．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（ ）A ．8π3B ．4π3C ．8√6π27D ．4√6π27课后作业. 外接球与内切球1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD =π3，则三棱锥P ﹣AOB 的外接球的体积是 ．2．已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．74πB ．2πC ．94πD ．3π3．（2018·全国3）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9√3，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．12√3B ．18√3C ．24√3D ．54√34．已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．20π3B ．6πC ．22π3D ．8π5．（2011·辽宁）已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =√3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为（ ） A ．3√3B ．2√3C ．√3D ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP ＝3，AB ＝2√3，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ；则三棱锥P ﹣ABC 的内切球的半径为 ．。
空间几何体的外接球 说课课件 张富
设计意图：球心是决定球的位置关键点，利用球心到正三棱锥 四个顶点的距离相等且为球半径，找到球心在高线上 ，以球心 的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方 法．
变式1：正四棱锥S-ABC的底面边长2,侧棱长都 为 ，点S、A、B、C都在同一球面上，求此球 的体积.
设计意图：选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的 球心，本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通 法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，把空 间问题转化成平面问题，这种等价转化的数学思想方法值得我 们学习.
第四环节: 深入探究，加强理解
变式2:三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形， 侧棱垂直底面，侧棱长为3，求该三棱柱的外 接球半径. 变式3:若是正五棱柱、正六棱柱如何确定外接 球球心的位置？
设计意图: 设计意图：让学生学会直棱柱的外接球可 利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为 上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理 求球的半径.变式练习由易到难,循序渐进, 考察对方法 的灵活应用，找到通法.
第七环节 布置作业
1.已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD= ， AC= ，BC⊥AD，求三棱锥的外接球的表面积.
2.在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直， △ABC，△ACD，△ADB的面积分别为 ， ， ， 求该三棱椎外接球的表面积.
3.四面体PABC中PA=BC=2,AB=PC=4,,AC=PB= ，求其 外接球的体积.
由于学生没有完整的学习完空间点、线、面的位 置关系，只是对一些空间几何体有了初步的认识，这 对这节课学生的探索发现有所影响.
三. 教学目标分析
1.知识与技能目标 熟练球的性质，掌握求空间几何体外接球半径的
人教A版高中数学必修二《简单几何体的外接球》PPT
那如何找球心或求出半径？
●
先找到两个底面的外心。。。
●
● ●
同学们来算算
重心特点 正弦定理
小结： 求简单多面体的外接球常用方法
一招搞定简单多面体外接球问题
正方体???
找载体
长方体???
直三棱柱???
强化训练、已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2 3，BC=6， PA⊥面ABC，求此三棱锥的外接球半径？
C
对角面 A
B
O
C1
A1
B1
C
2R 3a O
2a
C1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长。
长方体的外接球
对角面
2R a2 b2 c2
a2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c 长方体外接球的直径等于长方体体对角线长
例1. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD， AB 2, BD BC 1, BD BC,则球O的体积为34
b a
体对角线长 a2 b2 c2
c2 b2 25 外接球半径 29
2
表面积
29
3
思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
1、三条侧棱两两垂直的三棱锥
2、一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥
3、正四面体
4、对棱相等的三棱锥
我的作用很大吧！
如果都不是呢？
例4、四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥面BCD， △BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，求球O的表面积？
a2 b2 c2
方法总结 找载体
直径等于对角线长 A
C
B
D
例2. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的半径。
考点28 空间几何体外接球 ——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点28 空间几何体的外接球【思维导图】【常见考法】考法一 汉堡模型1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．16π12π10π8π2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC ．D ．π考法二 墙角模型1．（2020·天津高考真题）若棱长为 ） A ．B ．C ．D ．12π24π36π144π2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，,,,A B C D ,,AB AC AD 4AB AC AD ===则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．803π32π42π48π3．（2020·兴化市板桥高级中学）棱长为的8个顶点在同一个球面上，1111ABCD A B C D -则这个球的体积与表面积的比值为________考法三 斗笠模型1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为6，则该正三S ABC -棱锥外接球的表面积是________.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．814π16π9π274π考法四 怀表模型1．（2020·广东省高三）在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A BD C --A ．7πB ．8πC ．D ．163π283π2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） 23πA ．π B ．π C ．π D ．3π7313343考法五 矩形模型1．（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体ABCD AB =1DA DB CA CB ====的外接球的表面积为( )ABCD A ．B ．C ．D ．π2π3π4π2．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，SABC AC BC ⊥SA ⊥ABC SA =，，则该四面体外接球的表面积为（ ）AC =BC =A ．B ．C ．D ．323π163π16π32π考法六 L 模型1．（2020·黑龙江省铁人中学高三）在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是A BCDE -ABC BCDE 正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（ ）ABC ⊥BCDEA ．B ．C ．D ．84π2．已知三棱锥中，，，，且平面平面P ABC -23APB ∠=πPA PB ==5AC =4BC =PAB ⊥，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCA ．B ．C ．D ．16π28π24π32π考点七 麻花模型1．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，ABCD AB CD ==2==AC BD，则四面体的外接球的表面积为（ ）AD BC ==ABCD A ．B ．C ．D ．2π4π6π8π考点八 最值问题1．（2020·河南省高三三模）已知三棱锥的底面是等边三角形，且S ABC -SA SB SC ===三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） S ABC -A ． B ．C ．D ． 9π12π18π27π2．已知点，，，均在球的球面上，，体积的A B C D O 1AB BC ==AC =D ABC -最大值是，则球的表面积为__________ 13O解析附后。
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第二讲 几何体的外接球和内切球问题
※
基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径：6a
外接圆半径：3a 三角形面积：24a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：
概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径； 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或O ．
概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
3．球的截面：
用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面
α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 径的一个圆，截面是一个圆面.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.
4．空间几何体外接球、内切球的概念：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球
正方体的内切球
5．外接球和内切球性质：
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
长方体的外接球半径公式：22
22
c b a R ++=，其中,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长
正棱锥的外接球半径公式：2
,2a R h = 2侧棱=2R h ⋅外正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥
的高
正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。
※典型例题：
题型一：球的概念
例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________
（2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________
（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________
（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________ 例2.（1）（2012年新课标文科）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α
）
A B ． C ． D ．
（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.
（3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______．
（4）（2013年高考新课标1（理））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）
A ．35003cm π
B ．38663cm π
C ．313723cm π
D ．320483
cm π 题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题
例3.（1），则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π
D ．π34 （2）已知正方体外接球的体积是π3
32，那么正方体的棱长等于（ ）
A ．
B ．332
C ．324
D ．3
34 例4.（1）（2010年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．23a π
B ．26a π
C ．212a π
D ．224a π
（2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．
（3）（2013年辽宁数学（理））已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）
A B ． C ．132 D ．题型三：与正锥体有关的外接球问题
例5．（1）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．4
B ．3
C ．4
D ．12
（2）（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
例6．（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O —ABCD 的体积为2
，底面边
O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，
则此正六棱锥的侧面积是________．
题型四：其他柱体、锥体的外接球问题
例7．（1）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．
（2）四棱锥S ABCD -的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，SD ⊥平面ABCD ，且SD AB =，则其外接球的体积为 ．
（3）（2015年新课标2文科）已知B A ,是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．π36
B ．π64
C ．π144
D ．π256
题型五：柱体、锥体的内切球问题
例8.（1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
A ．1:
B ．1:3
C ．
D ．1:9
（2）正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
※拓展练习：
2．四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．
D ．6π
3．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
7．（2012辽宁文）已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形
ABCD 是边长为PA =OAB ∆的面积为__________．
8．球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．。