几何体外接球精美讲义

第二讲 几何体的外接球和内切球问题

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基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆

长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；

正三角形的内切圆半径：6a

外接圆半径：3a 三角形面积：24a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。

2．球的概念：

概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径； 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或O ．

概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

3．球的截面：

用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面

α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 径的一个圆，截面是一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.

4．空间几何体外接球、内切球的概念：

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

长方体的外接球

正方体的内切球

5．外接球和内切球性质：

（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。

（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。

长方体的外接球半径公式：22

22

c b a R ++=，其中,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长

正棱锥的外接球半径公式：2

,2a R h = 2侧棱=2R h ⋅外正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥

的高

正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。

※典型例题：

题型一：球的概念

例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________

（2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________

（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________

（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________ 例2.（1）（2012年新课标文科）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α

）

A B ． C ． D ．

（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.

（3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______．

（4）（2013年高考新课标1（理））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）

A ．35003cm π

B ．38663cm π

C ．313723cm π

D ．320483

cm π 题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题

例3.（1），则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π

D ．π34 （2）已知正方体外接球的体积是π3

32，那么正方体的棱长等于（ ）

A ．

B ．332

C ．324

D ．3

34 例4.（1）（2010年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．23a π

B ．26a π

C ．212a π

D ．224a π

（2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．

（3）（2013年辽宁数学（理））已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）

A B ． C ．132 D ．题型三：与正锥体有关的外接球问题

例5．（1）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．4

B ．3

C ．4

D ．12

（2）（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．

例6．（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O —ABCD 的体积为2

，底面边

O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．

（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，

则此正六棱锥的侧面积是________．

题型四：其他柱体、锥体的外接球问题

例7．（1）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．

（2）四棱锥S ABCD -的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，SD ⊥平面ABCD ，且SD AB =，则其外接球的体积为 ．

（3）（2015年新课标2文科）已知B A ,是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）

A ．π36

B ．π64

C ．π144

D ．π256

题型五：柱体、锥体的内切球问题

例8.（1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）

A ．1:

B ．1:3

C ．

D ．1:9

（2）正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

※拓展练习：

2．四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）

A ．3π

B ．4π

C ．

D ．6π

3．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．32π

7．（2012辽宁文）已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形

ABCD 是边长为PA =OAB ∆的面积为__________．

8．球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．