高三数学10月联考试题文.doc

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2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值（2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--，所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，，故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥，由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬，所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =，即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤，解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−，即至少需要自然降解31年，故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++，则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+，当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立，所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤，即m 的最大值为3，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称；则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对；对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=，所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对；对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ，可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ，作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈；当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈；当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点，即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<，且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==，即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−，设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈，则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增，则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<，所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=，即()321x f x +>，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−，又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<，易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >，则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<，则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<，当0x <时，[]0x <，则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−，此时[]x 不存在，综上所述1011,33x∈，故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长；（2）求角C 的正弦值．【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ；（2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠，又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠，即2π3AOB ∠=，又5OA = 则5202OB =，即8OB =，216BC OB ==；【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠，即212564258492AC =+−×××=，则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列；（2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠），上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−，因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列，所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=，所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−，因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =，所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >，当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<，当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>；当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值．【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值；（2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈．（1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值（3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解，（3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−，当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增，【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=，故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=，由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==，故()121120x x x x − ⇒−−=，当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =，记()h x =()e 2x h x x ==′，当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增，当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减，故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=，且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+，故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=．（1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明．【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆，有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ，则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个，由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个，故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集，其中元素t 在1A 、2A 、、12n A −中都有，假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次，则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ，其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ，则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ，也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠，由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−，即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <，两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

四川省绵阳市南山中学集团学校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题含答案

2024年10月绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学试卷命题人:李沙桐何先俊审题人:冯新凯邓燕莉一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1.已知集合A ={x |x 2−3x −4≤0},B ={x|−2<x <2},则A ∩∁R B =( )A. {x |−1<x <2}B. {x |−1≤x ≤2}C. {x |2<x <4}D. {x |2≤x ≤4} 2.下列函数是偶函数的是( )A. f (x )=ln(√x 2+1+x)B. f (x )=xln x+1x−1 C. f (x )=tanx D. f (x )=12x −13.由一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到经验回归方程a x b yˆˆˆ+=,那么下列说法正确的是( ) A.若相关系数r 越小,则两组变量的相关性越弱B.若b̂越大,则两组变量的相关性越强 C.经验回归方程a x b yˆˆˆ+=至少经过样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个 D.在经验回归方程a x b yˆˆˆ+=中,当解释变量x 每增加1个单位时,相应的观测值y 约增加b ̂个单位 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且acosB +bcosA =b ,则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D. 直角三角形 5.函数f (x )=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象如下,则其解析式可能是( )A.f (x )=2cos (2x −2π3) B.f (x )=2cos (2x −π3) C. f (x )=2cos (2x +π3) D.f (x )=2cos(2x +2π3)6.研究发现一种鸟类迁徒的飞行速度v (单位:m/s )与其耗氧量Q 之间的关系式为:v 1==a +blog 3Q110(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v (单位:m/s ),耗氧量单位数为Q 2,统计发现:v 2与 log 3Q2100成正比.当v 2=1 m/s 时,Q 2=900.若这种鸟类与鲑鱼的速度v 1与v 2相同时,则Q 1与Q 2的关系是( )A.Q 22=9Q 1B.Q 12=9Q 2C.Q 22=3Q 1D.Q 12=3Q 27.已知(x 1,y 1),(x 2,y 2)是函数y =log 2x 图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( ) ①x 1+x 22<2y 1+y 22;②x 1+x 22>2y 1+y 22;③log 22x1+x 2<−y 1+y 22;④log 22x1+x 2>−y 1+y 22O xy-1A.①③B.②③C.①④D.②④8.设函数f(x)=a (x +1)2−1,g (x )=cosx +2ax ,当x ∈(−1,1)时,曲线y =f(x)与y =g(x)交点个数的情况有( )种. A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.下列叙述正确的是( )A.若等差数列{a n }的公差d >0,则数列{a n }为递增数列B.若等比数列{b n }的公比q >1,则数列{b n }为递增数列C.若b 2=ac ,则a 、b 、c 成等比数列D.若S 2n−1是等比数列{c n }的前2n -1项和,则S 2n−1=0无解10.设函数f(x)=(−x +a )ln (x +b ),若f(x)≤0,则a 2+b 2的最值情况是( ) A.有最大值 B.无最大值 C.有最小值 D.无最小值 11.定义在R 上的函数f (x )的导函数为g (x ),且满足下列条件: f (2x )+f (−2−2x )=0,g (2x )=−g(2−2x),且f (1)=1. 则下列正确的是( )A.函数y =g (x )的周期为8B.函数y =g (2x )的图象关于点(1,0)对称C.函数y =f (x )的图象关于点(−1,0)对称D.∑f(i)2024i=1=0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)12.若数列{a n }的通项公式是a n =2n ,且等比数列{b n }满足b 2=a 1,b 5=a 8,则b n =_____. 13.设函数f(x)=|sinωx |(ω>0),已知f(x 1)=1,f(x 2)=0,且|x 1−x 2|的最小值为π2,则ω=_____.14.在如下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.,400,:(1)若从样本内喜欢奥数的人中用分层抽样方法随机抽取人则应在组、B 组各抽取多少人？ (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c ∈R )的两根为x 1,x 2,则ax 2+bx +c =a(x −x 1)(x −x 2), 展开得: ax 2+bx +c =ax 2−a (x 1+x 2)x +ax 1x 2,比较系数得: b =−a (x 1+x 2),c = ax 1x 2, 于是x 1+x 2=−ba ,x 1x 2=ca .(1)已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0,a,b,c,d ∈R )的三个根为x 1,x 2,x 3,类比于上述推导过程,求x 1x 2x 3;(2)已知f (x )=x 3−6x 2+9x +1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得f (m )=f (n )=f (t ),求mnt 的取值范围.17.(15分)如图所示,l 1与l 2之间的距离为2,l 2与l 3之间的距离为1,且点A 、B 、C 分别在l 1、l 2、l 3上运动,∠CAB =π3,令∠CAF =α.(1)判断△ABC 能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由; (2)求△ABC 面积的最小值.Fl 1l 3l 2ACBα18.(17分)已知函数f (x )=12ax 2+4x −lnx(a ∈R).(1)若函数y =f (x )在(0,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围;(2)“若函数y =f (x )在(0,1)上只有一个极值点,求实数a 取值的集合”,某同学给出了如下解法: 由f ′(x )=24ax +4−1x=24ax 2+4x−1x=0在(0,1)上只有一个实数根,所以△=16+96a =0,得a =−16,此时x =12∈(0,1).所以,实数a 取值的集合为{−16}.上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答; (3)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,证明:f (x 1)+f (x 2)>3+2ln 2.19.(17分)设函数f (x )=e x .(1)设g(x)=f (x )−ax −1,讨论g(x)的单调区间;(2)设曲线y =f (x )在点(n,f (n ))(n ≥2,n ∈N)处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ,令c n =Snn 2,求∑lnc n n i=2;(3)若0x ∀≥,f (ax )≥sinx −cosx +2,求实数a 的取值范围.绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.) D B D A A B B C二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD 10.BC 11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2n−113.1 14.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取3215020240⨯=人,应在B组抽取329012240⨯=人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x−x1)(x−x2)(x−x3),展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x−ax1x2x3,比较系数得d=−ax1x2x3,即x1x2x3=−da.(2)令f(m)=f(n)=f(t)=s,则m,n,t是方程f(x)−s=0的三根,即为x3−6x2+9x+1−s=0的三个不等根,由上知mnt=s−1.f′(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1),于是f(x)在(−∞,1)上递增,在(1,3)上递减,在(3,+∞)上递增,且f(0)=f(3)=1,f(1)=f(4)=5,函数f(x)的大致图象如下:为使得y=f(x)与y=s有三个不同的交点,则s∈(1,5),故mnt=s−1∈(0,4).17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以0<α<2π3,∠BAE=2π3−α.在△ACD中,AC=3sinα,在△ABE中,AB=2sin(2π3−α).(1)由△ABC是正三角形,则AC=AB,即3sinα=2sin(2π3−α),3sin(2π3−α)=2sinα,3√3 2cosα=12sinα,得tanα=3√3,于是sinα=√32√7所以边长AC=3sinα=2√213.y5s1431xOEDαBCAl2l3l1F(2)由上知,S△ABC=12AB∙AC∙sinπ3=3√32∙1sinαsin(2π3−α)=3√32√32sinαcosα+12sin.而√32sinαcosα+12sin2α=√34sin2α−14cos2α+14=12sin (2α−π6)+14.因为0<α<2π3,所以−π6<2α−π6<7π6,所以当2α−π6=π2,即α=π3时,√3 2sinαcosα+12sin2α取最大值34.从而α=π3时,S△ABC取最小值3√32∙43=2√3,故S△ABC的最小值为2√3.18.(1)f′(x)=24ax+4−1x =24ax2+4x−1x,由条件知f′(x)≤0(x>0)恒成立,即24ax2+4x−1≤0⇒24a≤(1x )2−4×1x=(1x−2)2−4,因为=(1x−2)2−4≥−4,所以24a≤−4,则a≤−16.(2)上述解答不正确.由条件知,g(x)=24ax2+4x−1在(0,1)上只有一个变号零点.当a=0时,g(x)=0得x=14∈(0,1),且f(x)在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当a>0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a>0g(1)≥0,解得a>0;当a<0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a<0g(1)≥0,解得−18≤a<0.综上,实数a取值的集合是[−18,+∞).(3)因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以g(x)=24ax2+4x−1=0在(0,+∞)上的两个不等实根为x1,x2,于是{△=16+96a>0−112a>0⇒−16<a<0,且x1+x2=−16a,x1x2=−124a.所以f(x1)+f(x2)=12ax12+4x1−lnx1+12ax22+4x2−lnx2=12a(x12+x22)+4(x1+x2)−ln(x1x2)=12a[(x1+x2)2−2x1x2]+4(x1+x2)−lnx1x2=12a[136a2+112a]−23a−ln(−124a)=1−13a−ln(−124a).令−124a =t,则t>14,于是f(x1)+f(x2)=1+8t−ln t.令ℎ(t)=1+8t−ln t(t>14), ℎ′(t)=8−1t=8t−1t>0,所以ℎ(t)=1+8t−ln t在(14,+∞)上是增函数,所以ℎ(t)>ℎ(14)=3+2ln2,即f(x1)+f(x2)>3+2ln2.19.(1)g(x)=e x−ax−1,则g′(x)=e x−a。

2024-2025学年福建省部分优质高中高三(上)联考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年福建省部分优质高中高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ={x|−1≤x <5}，N ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩N =( )A. {x|−1≤x ≤2}B. {x|−1≤x <5}C. {−1,0,1,2}D. {0,1,2}2.已知复数z 在复平面内对应的点为(2,−2)，则复数z 的虚部为( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3.若双曲线x 29−y 211=1的右支上一点P 到右焦点的距离为9，则P 到左焦点的距离为( )A. 3B. 12C. 15D. 3或154.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为23，则该圆台的体积为( )A. 63πB. 1433πC. 73πD. 283π5.函数f(x)=lg10−2x 2的值域为( )A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,12]D. (−∞,12]6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的1.013650.99365=(1.010.99)365≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过( )天(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．A. 15B. 11C. 7D. 37.函数f(x)=x 2log 42+x2−x 的大致图象是( )A. B. C. D.8.已知函数f(x)的定义域为R ，则“f(x +1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考(全国卷)文科数学试题及参考答案

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（全国卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()0sin ,0<∈∃θπθ，：p ，则p ⌝为（）A .()0sin ,0≥∈∃θπθ，B .()0sin ,0<∉∃θπθ，C .()0sin ,0<∉∀θπθ，D .()0sin ,0≥∈∀θπθ，2.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则()=B A C R （）A .{}31≤≤-x xB .{}31≤<-x xC .{}31<≤-x x D .{}31<<-x x 3.已知()m P ,1是角θ的终边上一点，2tan -=θ，则=θsin （）A .552-B .55-C .55D .5524.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b aλ=”是“b a 与共线”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中θ=∠AOB ,D C ,分别在OB OA ,上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇面ABDC 的面积为（）A .()2θ-l m B .()2m l m θ-C .()22θ-l m D .()22m l m θ-6.已知6.023-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，41log 31=b ，9.032⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（）A .ac b >>B .ba c >>C .ca b >>D .bc a >>7.已知316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πα（）A .322B .32C .922D .978.已知函数()12++-=ax x x f 在[]2,1上的最大值也是其在[]2,1上的极大值，则a 的取值范围是（）A .[)∞+，2B .[)∞+，4C .[]4,2D .()4,29.已知函数()21sin cos sin 32-+=x x x x f ，若将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A .12πB .6πC .3πD .2π10.如图，已知两个单位向量OB OA ,和向量OC ，2=OC .OA 与OC 的夹角为θ，且102cos =θ，OB 与OC 的夹角为4π，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=-y x （）A .1-B .21-C .21D .111.在ABC ∆中，D 为BC 上一点，CAD BAD ∠=∠，若221===AB AD AC ，则=BC （）A .22B .32C .23D .5212.已知函数()x f 的定义域为R ，若R x ∈∀，()()04=-++x f x f ，且()1+x f 为偶函数，()11-=f ，则()=2023f （）A .1B .1-C .2D .2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()xa x x f 21log ++=（0>a ，且1≠a ）的图象过定点.14.已知向量b a ,满足4,5==b a，b a 与的夹角为120°，若()()b a b a k +⊥-2，则=k .15.已知函数()xe x xf 1-=，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.16.函数xx xx y cos sin 2cos sin --=的值域为.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()x x a sin ,cos 22= ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π127=+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()x m x f x-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.（1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()0333321≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-a xx x f 在R 上有解，求实数a 的最大整数值.19.（12分）已知αsin 是方程06752=--x x 的根.（1）求()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin πβα的值.20.（12分）已知函数()()R a x x a x f ∈-=ln .（1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上有2个零点，求a 的取值范围.21.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ,不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,,连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.22.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且()222c b S a -+=.（1）求A tan 的值；（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .参考答案一、选择题1.D 解析：由含有量词的命题的否定的特点知p ⌝为()0sin ,0≥∈∀θπθ，.2.B解析：由题意得{}3>=x x A ，{}31>-≤=x x x B A 或，则()=B A C R {}31≤<-x x .3.A解析：由三角函数的定义知2tan -==m θ，∴55252sin -=-=θ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b aλ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b aλ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b aλ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.5.D解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θlOA =，则m lOC -=θ，∴该折扇的扇面的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅22121m l l l θθθ()22m l m θ-.6.C 解析：9.06.06.00323223231⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 41log 331>=，∴c a b >>.7.D解析：976sin 2162cos 262sin 62sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+παπαππαπα.8.D解析：()x a x f 2-='，令()0='x f ，得2a x =，由题意得()2,12∈a，∴()4,2∈a .9.A解析：∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+=62sin 2cos 212sin 2321sin cos sin 32πx x x x x x x f ，将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象关于原点对称，∴()Z k k ∈=-ππϕ62，即()Z k k ∈+=212ππϕ，由于0>ϕ，当0=k 时，ϕ取得最小值12π.10.B 解析：由[]πθθ，，0102cos ∈=，得10271021sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θ，∴534cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，由题意得14cos21=⨯=⋅πOC OB ，51cos 21=⨯=⋅θOC OA ，53-=⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得5153=-=⋅y x OC OA ，153=+-=⋅y x OC OB ，两式联立并解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4745y x ，∴21-=-y x .11.C 解析：设θ=∠BAC ，由CAD BAD ABC S S S +=∆∆，得2sin 212sin 21sin 21θθθAD AC AD AB AC AB ⋅+⋅=⋅，即2sin 2sin 2sin 2θθθ+=，∴2sin 32cos 2sin 4θθθ=，∵()πθ，0∈，∴02sin ≠θ，∴432cos =θ.∴811cos 2cos 2=-=θθ，∴1881242416cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅-+=θAC AB AC AB BC ，∴23=BC .12.A ∵()1+x f 为偶函数，即()()11+=+-x f x f ，∴()()x f x f -=2，又由()()04=-++x f x f ，∴()()()x f x f x f -=--=+22，∴()()x f x f =+4，故()x f 为周期函数且4是一个周期，∴()()()1132023=-==f f f .二、填空题13.()1,0解析：当0=x 时，a 在()()∞+，11,0 上无论取何值，()x f 的值总为1，故函数()x f 的图象过定点()1,0.14.54解析：由题意可得102145120cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅b a b a .由()()b a b a k+⊥-2，得()()()()02101622522222=--⨯-=⋅-+-=+⋅-k k b a k b ak b a b a k，解得54=k .15.012=--y x 解析：()()()x x xx exe e x e xf -=--='212，∴()20='f ，又()10-=f ，故所求切线方程为()()021-=--x y ，即012=--y x .16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-522522，解析：令x x t cos sin -=，则()2221cos sin 2≤≤--=t t x x ，∴232tty +=()22≤≤-t ，当0=t 时，0=y ，当22≤≤-t ，且0≠t 时，tt y 32+=，令tt u 3+=，已知u 的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，522522 ，∴tt y 32+=的取值范围为⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-52200522，， .综上所述，所求函数的值域为⎦⎤⎢⎣⎡-522522，.三、解答题17.解：（1）由题意得()2162sin 2sin 232cos 2121cos sin 3cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x x f ，∴()x f 的最小正周期ππ==22T ,令()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，解得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ326，∴()x f 的单调递减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ326，.（2）由（1）知()12162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ,∴2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又()π，0∈A ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+613662πππ，A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .∵π127=+B A ，∴4π=B ，由正弦定理得ABCB AC sin sin =，∴22232232sin sin =⨯==A B BC AC .18.解：（1）∵()x f 为偶函数，∴()()x f x f -=对任意的R x ∈恒成立，即()()x m x m x x-+=++-1log 1log 33对任意的R x ∈恒成立，又()()()m x m m m mm mxx x xx x333333log 1log log 1log 1log 1log -+=-+=+=+-，∴()()x m x m x m xx-+=+-+1log log 1log 333对任意的R x ∈恒成立，即()02log 3=-m x 对任意的R x ∈恒成立，必须02log 3=-m ，即9=m ，故9=m .（2）由（1）知，()()x x f x-+=19log 3，故()()x x x x f x 3133319log 3+==-+.设()()()233≥+=-t t x x ，则23132++=x x t ，即23132-=+t x x ，∴圆原问题等价于关于t 的不等式013212≤-+-a t t 在[)∞+，2上有解，∴max21321⎪⎭⎫⎝⎛--≤t t a ，又()[)+∞∈+--=--=,2,211321132122t t t t y ，∴当3=t 时，211max =y ，∴211≤a ，故实数a 的最大整数值为5.19.解：（1）由αsin 是方程06752=--x x 的根，得53sin -=α或2sin =α（舍），原式()()αααααππαsin sin tan cos 23cos 23sin -⋅-⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()()αααααααααααcos sin cos sin cos cos sin tan cos sin cos 2-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=---=.由53sin -=α，∴α是第三象限或第四象限角，若α是第三象限角，则54cos -=α，此时54cos =-α；若α是第四象限角，则54cos =α，此时54cos -=-α.故所求式子的值为54或54-.（2）由（1）知，当α是第四象限角时，53sin -=α，54cos =α，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，得13126cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin cos 6cos sin 6sin 6sin πβαπβαπβαπβα655613554131253-=⨯-⨯-=.20.解：（1）函数()x f 的的定义域为()+∞,0，且()()01>-=-='x xxa x a x f .当0≤a 时，()0<'x f 在()+∞,0上恒成立，故()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，令()()00>>'x x f ，得a x <<0，令()0<'x f ，得a x >，∴()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.综上所述，当0≤a 时，()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.（2）若0=a ，()x x f -=，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上无零点，不合题意；若0≠a ，由()0=x f ，得xxa ln 1=，令()x x x g ln =，则直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，()2ln 1x x x g -='，当e x e <<1时，()0>'x g ，当2e x e <<时，()0<'x g ，∴()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递增，在[]2,e e 上单调递减.∴()()ee g x g 1max==，又()2221e eg e e g =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，，∴要使直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，则e a e 1122<≤，∴22e a e ≤<，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛22e e ，.21.解：（1）由题意知θ=∠P AB ，40πθ<<，AB OC ⊥,100==OB OA ,则θcos 100==PB P A ，θtan 100=PO ，∴θtan 100100-=PC ，∴()200tan 100100cos 200+-+=+++=θθθAB PC PB P A f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=403cos sin 2100πθθθ.（2）建造栈道的费用()()⎪⎭⎫⎝⎛+-==3cos sin 25005θθθθf F ，()θθθ2cos 1sin 2500-⨯='F ，令()0='θF ，得21sin =θ，又40πθ<<，∴6πθ=.当60πθ<<时，()0<'θF ，当46πθπ<<时，()0>'θF ，∴()θF 在⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛46ππ，上单调递增，∴()()335006min +=⎪⎭⎫⎝⎛=πθF F ，此时331001006tan 100100-=-=πPC ，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33100100米时，建造费用()33500+万元.22.解：（1）∵ABC ∆的面积为A bc S sin 21=，()222c b a S --=，∴bc c b a A bc 2sin 222+--=，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-=--,∴A bc bc A bc cos 22sin --，∵0≠bc ，∴2cos 2sin =+A A ，11又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，A ，1cos sin 22=+A A ，∴2sin 12sin 2=-+A A ，化简得0sin 4sin 52=-A A ，解得54sin =A 或0sin =A （不合题意，舍去）.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，∴53sin 1cos 2=-=A A ，34cos sin tan ==A A A .（2）证明：由正弦定理，得10548sin sin sin ====A a C c B b ，∴()B A C c B b +===sin 10sin 10sin 10，，∴()()ϕ+=+=++=+B B B B A B c b sin 58cos 8sin 16sin 10sin 10，其中ϕ为锐角，且552cos 55sin ==ϕϕ，.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πϕ，，∴22πϕπ<-<-A ，又ϕsin sin >A ，∴ϕ>A ，∴20πϕ<-<A ，∴220πϕπ<+-<A ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππB C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<--<2020πππB B A ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-202πππB A B A ，∴22ππ<<-B A .∴ϕπϕϕπ+<+<+-22B A ，∵函数x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上单调递减，且()A A A A sin sin cos cos cos 2sin ϕϕϕϕπ+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-552545553552=⨯+⨯=552cos 2sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕπ，∴()58sin 585258≤+<⨯ϕB ，即5816≤+<c b .。

山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题(含答案)

山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|y =2x−1}，B ={y|y =2x +1,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. {x|x ≥1}B. {x|x <12}C. {x|12≤x ≤1}D. {x|0<x ≤12}2.在等差数列{a n }中，已知a 1=−9，a 3+a 5=−9，a 2n−1=9，则n =( )A. 7B. 8C. 9D. 103.“a ≥1”是“函数f(x)={ax−sin x,x⩽0,x 2+ax−a +2,x >0在R 上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的各棱长均为6，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB =60∘，则|AC 1|=( )A. 66B. 65C. 63D. 625.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，其中|q|<1，其前n 项和为S n ，下列条件中，能使得3S n <2a 11−q (n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1=1，q =12 B. a 1=12，q =13C. a 1=−1，q =−12D. a 1=−12，q =136.已知函数f(x)=x +1x ，若正数a ，b 满足a +b =1，则f(a)f(b)的最小值是( )A. 2B. 174C. 4D. 2547.在直四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =π3，AB =AD =AA 1=2，点Q 在侧面DCC 1D 1内，且A 1Q =7，则点Q 轨迹的长度为( )A. π6 B. π3C. 2π3D. 4π38.若过点(1,m)可以作y =(x +1)e x 的三条切线，则实数m 的取值范围是( )A. (−4e −2,0)B. (−6e −3,0)C. (−6e −3,2e)D. (e,2e)二、多选题：本题共3小题，共18分。

江西省部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题数学含解析

高三数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回．4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知全集U=AvB={0,1,2,3,4,5},A^（见B)= {1,3,5}，则集合B =(）A.{1,3,5}B.{0,2,4}C.0D.{0,1,2,3,4,5}25兀25冗2.sin" �-cos —= （）1212 1-2A 五2B1-2c石D.－—3已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-f(x -y)=2f(y)，则/(0)=()A.0B.IC.2D.-14已知x>O,y>O,且－＋2y =l.则2x ＋一的最小值为（）yA.2B.4C.6 D .85设函数f(x)=ln 伬＋l)+sin.x+1,则曲线y =f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A -B . -C .－D22 3636把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是0“C ，空气的温度是0。

'C,则mun 后该物体的温度0°C 满足0=0。

+（O '飞）e 了若O 。

,0'不变，在t 1m i n ,t 2min 后该物体的温度分别为O1°C,02°C ，且O.＞仇，则下列结论正确的是（）22t t ＞＜ l l t t A BC若0'＞0。

，则t.>片若0'＜0。

，则t1< t2D若0'＞0o，则t.＜片若0'＜0o，则t1> t27已知log.,m> l(m, n > 0且m*l,n* l),m+n= e2,则（）A.(m-n，十l)e<lB.(m-n+l)">lC.lm-nl e<lD.lm-nl e>I8在c,.ABC中，AB=4,BC=6，乙ABC=90°,点P在c,.AB C内部，且乙BPC=90°,AP =2,记乙ABP=a,则tan2a=()3 24 3A.2B.3C.3D.4二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知命题p玉eR,x-l xl>x2，命题q如aE（沪），cos(¾-a)=s in（千叶，则（）A.P是真命题B勹D是真命题c.q是真命题 D ---q是真命题10已知函数f(x)=c o s(x+：），则（）A.f(x)为偶函数B.f(x)的最大值为cos2c.J(x)在(1,2)上单调递减D.f(x)在(1,20)上有6个零点11已知函数f(x)=�x, +bx'+ex,下列结论正确的是()A若x=X。

2024-2025学年贵州省金太阳联考高三上学期10月考数学试题及答案

高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。

2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题

2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）{}{}0,3A x x B x x =≥=≤()R A B =I ðA.B.C.D.()0,∞+[)0,+∞(],3-∞()3,+∞2. 已知，则（）21i z =-2z =A. B. C. D. 2i22i+23i+3i3. 已知，则（）0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===A. B. C. D. b a c >>c b a>>a c b >>a b c>>4.已知，则（）()2tan 3tan 6αβα+==tan β=A. B. C. D. 233517125. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，ABC V D BC C E AD 若，则（）(),ED EB EC λμλμ=+∈RA. B. C. D.1λμ+=2μλ=3μλ=13λμ-=-6. 设等比数列的前项和为，且，则（）{}n a n n S 573103,9a aa a ==105S S =A. 243B. 244C. 81D. 827. 在四面体中，，且四面体的各ABCD 2,AB BC AC BD AD CD======ABCD 个顶点均在球的表面上，则球的体积为（）O OD.8. 设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分:C x =)l C ,A B AB 线分别交直线于点，若，则的斜率可以为（）x =l,MN AB MN =l C. 2D. 22+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知曲线，则（）22:2312C x y +=A.的焦点在轴上B. 的短半轴长为C y C 2C. 的右焦点坐标为D. C )C 10. 已知正数满足，则（）,x y 111x y x y -+=-A.B. C. D.()lg 10y x -+>cos cos y x>20251y x->22y x ->-11. 已知定义在上且不恒为的函数对任意，有，R 0()f x ,x y ()()()2f xy f x xf y +=+且的图象是一条连续不断的曲线，则（）()f x A.的图象存在对称轴B.的图象有且仅有一个对称中心()f x ()f xC.是单调函数 D.为一次函数且表达式不唯一()f x ()f x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 样本数据的极差和第75百分位数分别为______．90,80,79,85,72,74,82,7713. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 小正周期的最小值为______．14. 已知数列中，，则______．{a n }111,n n a a na +==1111112k k k a a a =-=∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y （单位：cm ），与其根茎长度x （单位：cm ）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号i1234根茎长度ix 10121416植株高度iy 6286112132参考数据：．()()44221120,59.1iii i x x y y ==-=-=≈∑∑（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若r y x ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；0.75r >（2）求关于的线性回归方程.y x 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 计公式，相关系数的公式分别为r．()()()121,,nniii ni i x x y y x y bay bx r x x==--==-=-∑∑ 16. 已知中，角的对边分别为，且．ABC V ,,A B C ,,a b c 222cos sin2sin2ab C a B b A =+（1）求；C （2）若，求面积的最大值．2c =ABC V 17. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，．ABCDMN ABCD 41MN =（1）证明：；//AB MN （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线G CD M ABCD BG 与平面，求直线与平面所成角的正弦值．MG ABCD AN ADM 18. 已知函数．()e e ln 2a a f x x a x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）当时，求零点的个数；0a <()f x （3）当时，，求的取值范围．1x ≥()()e 1f x x ≥-a 19. 现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集M ,a b M ∈[]2,3ab ∉M 合．（1）证明：是可分比集合；{}1,4,6,7（2）设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值；,A B {}1,2,,A B n = n （3）探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使k n 12,,,k M M M得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．{}121,2,,k M M M n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ k。

2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷(含解析)

2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A .B.{}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,42. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A .B. 1D. 22-3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）()224xy +=αcos α=A. B. D. 35455. 二项式的展开式中的常数项为（）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480B. 240C. 120D. 156. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D. 127. 函数在区间上的所有零点之和为（）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A .B. C. D. 4π2π3π8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A. B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =13. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x 就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b ab -=>>A⎫⎪⎭(0,B有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC（1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A. B. {}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,4【正确答案】C【分析】先求出集合A ，后根据交集概念计算即可.【详解】因为，{15}A x x =-<<∣{}2,0,2,4,10B =-所以．{}0,2,4A B ⋂=故选：C ．2. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A. B. 1D. 22-【正确答案】A【分析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为．()()()21i 1i 1i (i)12z -=---=--=-故选：A ．3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为，为非零向量，ab 若，则，则，a b a b+=-()()22a ba b+=- 222222aa b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，所以，故充分性成立；40a b ⋅= a b ⊥若，则，所以，a b ⊥ 0a b ⋅= 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，则，故必要性成立；()()22a ba b+=- a b a b+=- 所以“”是“向量”的充要条件.a b a b+=-a b ⊥故选：C ．4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）()224xy+=αcos α=A. B.D. 3545【正确答案】A【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余()d sin=2rd α弦公式计算即可求解.【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为，()()0,0d =2r =所以，于是．sin 2r d α===223cos 12sin 1225αα=-=-=故选：A ．5. 二项式的展开式中的常数项为（）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480 B. 240C. 120D. 15【正确答案】B【分析】运用通项公式计算即可.【详解】因为得到常数项，则．()621231662C C 2,rrrr r rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭4r =.246C 21516240=⨯=故选:B．6. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D.12【正确答案】C.【详解】作出轴截面，如图所示，由题意可得：，可知分别为的中点，4,2AB DE ==,D E ,SA SB 则分别为的中点，则，,M N ,OAOB 12DM SO ==可得；2πS ==圆柱侧面积π248πS =⨯⨯=圆锥侧面积故选：C ．7. 函数在区间上的所有零点之和为（）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A. B. C. D. 4π2π3π【正确答案】B【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =【详解】由得，即，()0f x =sin 5πcos cos 24x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的零点即方程的根，()f x 5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象，如图，5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．()f x ()π,2π-2π故选：B ．8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅【正确答案】D【分析】使用特值法可排除A,B,C,据，的取值可分类讨论证明D 正确.a b 【详解】当时，，，12a b ==()()=1=0f a b f +()11==44f ab f⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()11==()22f a f b f =所以，，故排除B 、C ；()()()f a b f a f b +<⋅()()()f ab f a f b <⋅当，时，，，，18a =38b =()11==22f a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()11==88f a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31==88f b f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故排除A ．()()()f a b f a f b +>+下面证明D 的正确性：当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．a b 当，都是真分数时，不妨设，，a b n a m =q b p =则不等式右边为，显然有左边大于或等于．1mp 1mp 所以不等式成立．故选：D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A .B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤【正确答案】ABC【分析】根据正态分布的性质和二项分布的性质计算即可.【详解】对A ，因为，根据对称性，知道，故A 正确；()2E X =对B ，因为，故B 正确；()()()()440411100C (()441622P Y P Y P Y P Y ≤=======≥对C ，因为，故C 正确；()()2,40.52E X E Y ==⨯=对D ，因为，，()122P X ≤=()004113222444111111112C (()C ()()C (()22222216P Y ≤=++=故D 错误.故选：ABC ．10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 【正确答案】AB【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.【详解】由图可知直线和直线异面，AC 11B D 则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A 正确；又易知与，都相交，且点在上，1DD AC 11B D M 1DD 所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B 正确；M AC 11B D 连接交于，易知，所以，BD AC O MA MC =MO AC ⊥可知到的距离大于，且，M AC DO 1AB A DO ==又到的距离小于，结合所以三角形面积不可能相等，故C 错误；M 11B D 1AA 11AC B D =由正四棱柱易得：平面，又平面，AC ⊥11MB D AC ⊂MAC 所以对任意恒有平面平面，故D 错误.M MAC ⊥11MB D 故选：AB.11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4【正确答案】ACD【分析】将，替换为，计算即可判断A ；取，可判断有三个交点即可判断x y x -y -0x =B ；利用函数的单调性来得出的取值范围，再结合的单调性3y x x =-300y y -()3f x x x =+进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A 33x y y x +=-x y x -y -正确；B ．取，可以求得，，均可，故B 错误；0x =0y =1y =1y =-C ．由，，函数，故，330000x x y y +=-[]01,1y ∈-3y x x =-213y x '=-令，解得：，在，时，，函数单调2130y x '=-=1x =1,x ⎡∈-⎢⎣⎤⎥⎦0'<y 递减，在时，，函数单调递增，所以，x ⎛∈ ⎝0'>y 300y y ⎡-∈⎢⎣又因为是增函数，，所以有，故C 正确；()3f x x x =+1528f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭012x <D ．当时，，又，[]00,1y ∈3300000x x y y +=-≥320002x x x +≥，所以．32000022y y y y -≤-22000x y y ≤-曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，22x y y =-y C 则曲线与轴围成图形的面积小于，故D 正确．C y π4故选：ACD ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =【正确答案】##32 1.5【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果.P 1x =P 【详解】因为椭圆，则，所以，，22143xy +=2,1a b c ===()11,0F -()21,0F 因为,212PF F F ⊥所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．P 1x =32±232PF =故3213. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．【正确答案】2【分析】根据是曲线在处的切线求出的方程，再求出与曲线相l e xy =1x =l l ln y a x =+切的切点即可求解.【详解】由得，又切点为，故，切线为，e x y =e xy '=(1,e)e =k l e y x =设与曲线的切点为，，所以，解得切点为，l ln y a x =+()00,e x x 1y x '=01e x =1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，解得．1ln 11e a a +=-=2a =故2.14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．【正确答案】()(),21,-∞-+∞ 【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可.()23f x x =-+()32xg x =--【详解】由题意构造，，()23f x x =-+()32x g x =--则有，，，．()()43f f x x =-()()9f g x x =+()()92g f x x =-()()342x g g x =-因为，恒成立，()()f g x x>()()g f x x<又的概率为0.5，20x x >所以必有或者解得．43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩()(),21,x ∈-∞-⋃+∞故()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 【正确答案】（1），2π3C =π4B =（2【分析】（1）根据余弦定理求出，再将化简为2π3C =()sin cos C B A -=，从而求出即可；2ππsin sin 36B B ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4B =（2）根据边求出，，利用求解即可.BC 2b =c =1sin 2S bc A =【小问1详解】由余弦定理知，故．2221cos 22a b c C ab +-==-2π3C =因为，所以，()sin cos C B A -=2πππsin cos sin 336B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故．π03B <<2ππ36B B -=+π4B =【小问2详解】因为边上的高，解得，，BC sin sin h b C c B ===2b=c =又，()sin sin sin cos sin cos A B C BC C B =+=+=所以的面积．ABC V 1sin 2S bc A ==16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ⎫⎪⎭(0,B 有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠【正确答案】（1），；:AB y =-2215y x -=（2）证明见解析【分析】（1）由离心率求出关系，并化简双曲线方程，再求出直线方程代入双曲线方程,a b 中，利用求解即可；Δ0=（2）求出点坐标，可进一步证明，进而证明.T 122F F T TF M ∽△△21MTF TF A ∠=∠【小问1详解】因为双曲线的离心率，e =所以，解得，2226a b a +=b =设双曲线方程.222215x y a a -=直线过点，，AB A ⎫⎪⎪⎭(0,B 所以直线，即，AB 1=:AB y =代入双曲线方程，得，22255x y a -=22220x a -+--=由题意，，解得()2Δ24820a =-+=21a =所以双曲线的方程：．C 2215y x -=【小问2详解】因为，于是即，21a =22220xa -+--=2230x -+=所以，代入x=y=y =则，又，所以，T 2F 224TF =因为为线段的中点，所以，M 2AF M ⎫⎪⎪⎭所以．222124F M F F F T ⋅===又，所以，故．122F F T TF M ∠=∠122F F T TF M ∽△△21MTF TF A∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC （1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取与中点，．连接，，，，证明四边形AD PB O N PO OB ON MN 是平行四边形．得到线面垂直，再用性质即可.ODMN （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，再用向量夹角计算公式计算PAB n即可.【小问1详解】证明：分别取与中点，．连接，，，，AD PB O N PO OB ON MN 则运用中位线性质知且,则11//,22NM BC NM BC =11//,22OD BC OD BC =，//,OD MN OD MN =则四边形是平行四边形．ODMN 侧面是正三角形，易知，.PAD AD OP ⊥底面是菱形，，则底面是正三角形，则.ABCD 60BAD ∠=BAD AD OB ⊥平面，平面，,,OP OB O OP OB =⊂ POB AD ∴⊥POB 平面，.ON ⊂ POB AD ON ∴⊥由于四边形是平行四边形．，．ODMN DM ON ∥AD DM ∴⊥【小问2详解】由（1）知为二面角的平面角，即，前面知道，POB ∠P AD B --60POB ∠=AD OB ⊥则过O 做AD 的垂线Oz ，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系O ,,OA OB Oz 如图，O xyz -设，则，，，，，2AB =A (1,0,0)()1,0,0D-()C-()B 32P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，34M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭34DM ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭()AB =-32PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量为，PAB n =(x,y,z )则，进而求得一个法向量为．030x z ⎧-+=⎪-=()n = 设直线与平面所成角为，DM PAB α则．sin DM n DM n α⋅=== 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，(),1-∞()1,+∞()1e f =-无最大值．（2），证明见解析()12e e a ag x x +=--（3）．22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解单调区间，再结合单调性求解最值即可；（2）根据导数的几何意义求出；令12()e e a ag x x +=--，利用导数求出最小值为即()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++()u x ()10u -=可；（3）因为函数在上有两个极值点，所以()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫⎪⎝⎭在上有两个变号零点，分离参数得，求解直线()()e 21x h x x t x -'=-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭121e x x t x -=与函数在上的图象有两个交点即可.1y t =()21e x x H x x -=1,22⎛⎫⎪⎝⎭【小问1详解】因为，所以，定义域为，求导得，2a =()()2e x f x x =-R ()()1e xf x x -'=故当时，；当时，，(),1x ∞∈-f '(x )<0x ∈(1,+∞)f '(x )>0所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，()f x (),1∞-(1,+∞)所以最小值为，无最大值．()1ef =-【小问2详解】，所以，又，()()1exf x x a =-+'()1e a f '-=-()11e af +-=-所以，即；()()11e e a ag x x +=-+-12()e e a a g x x +=--令，()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++则，，这里表示的导函数．()()1e e x au x x a =-++'()()2e xu x x a =-+''()u x ''()u x '令，则，()0u x ''=2=-x a 当变化时，与的变化情况如下表：x ()u x ''()u x 'x(),2a ∞--2a -()2,a ∞-+()u x ''-+()u x '单调递减2e ea a --+单调递增所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值，2=-x a ()u x '2e e a a--+因为当时，无限趋向于，所以当时，，x →-∞()u x '0e a ≤2x a <-()0u x '<又，此时，在上单调递减，在上单调递增，()10u '-=()u x (),1∞--()1,∞-+所以，即不等式恒成立．()()10u x u ≥-=g (x )≤f (x )【小问3详解】因为函数在上有两个极值点，()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上有两个变号零点，()h x '1,22⎛⎫⎪⎝⎭因为，令，即，()()e 21x h x x t x -'=-()0h x '=()e 210x x t x --=因为不是的根，所以，0x =()e 210xx t x --=121e x x t x -=令，则，()2112e 2x x H x x x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭()()()()()()222e 121e 121e e x xxxx x x x x H x x x -+--+==-'当时，；当时，，112x <<()0H x '>12x <<()0H x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()H x (12,1)()1,2又，，，作出函数在上的图象，102H ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11e H =()2322e H =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当，即时，直线与函数在上的图象有两个交点，23112e e t <<22e e 3t <<1y t =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭设两个交点的横坐标分别为，且，12,x x 12x x <由图可知，当或时，，此时，112x x <<22x x <<121e x x t x ->()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=>⎪⎭当时，，此时，12x x x <<121e x x t x -<()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=<⎪⎭所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，ℎ(x )11,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12,x x ()2,2x 此时，函数有两个极值点，合乎题意．()f x 因此，实数的取值范围为．t 22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 【正确答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型k {}:1,3,5,7,9n a 间隔数列”；（2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由k k，则有，代入通项计算即可；1212n n b b b c c c +++=+++ 1291016a a k a a ++=+（3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ，化简即可．()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- 【小问1详解】数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或{}:1,3,5,7,9n a 1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由，可得，12101210b b b c c c +++=+++ 239239b b b c c c +++=+++ 即，即，128341088a a a k a a a k ++++=+++- 1291016a a k a a ++=+即，所以．16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯80k =【小问3详解】当时，由，可知．{}2,3,,1i n ∈- 144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣又因为对任意，都有，{},2,3,,1i j n ∈- i j i ja b b a +≠+即当时，两两不相等．{}2,3,,1i n ∈- i i b a -因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ．()382n n -=+所以的最小值函数．n a ()()382n n f n -=+另外，当数列的通项{a n }()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列的通项时也符合题意．{b n }(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

2025届江苏南京六校联合体高三10月联考数学试题+答案

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝ A ．510 B ．102 C ．22D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为 A ．()－∞，－1 B ．(]－∞，－1 C ．[)－4，－1 D ．[]－4，－16．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为2C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为22D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－22三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级，将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ，若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，AB ⊥AD ，P A ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分）已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△MA 1G 和△NA 2G 的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆，求证：线段MN 的长度不大于14．高三2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分（2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=−=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O − 则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A −,)4,4,0(),4,0,3(−−=−=PD PC ，)4,4,2(−=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00 =⋅=⋅PD n PC n 得=+=−0043z y z x ，令,3=z 则3,4−==y x ，所以)3,3,4(−=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b Ac =−，所以2sin cos 2sin B A C A =−2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分（2）由1sin cos −=C A ，得1sin -65cos −=C C ）（π， 1sin sin 65sincos 65cos−=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅−+==)21(43216922−⋅⋅−+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ，所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增；所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分 (2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, ∃x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分 (3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分 19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3，解得a ＝2，b ＝ 3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2=32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x ,……………………………………6分由 y ＝－32x ，x 24＋y23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立 y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－8mk4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分 y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0．所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3，所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。

2025届高三上学期10月联考数学试题[含答案]

2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，集合，则（）(){}ln 10A x x =-≥{}230B x x x =-<A B ⋃=A ．B ．C ．D ．(]0,2[)2,3()0,∞+[)2,+∞2．已知为虚数单位，复数满足，则的值为（）iz |1||i |z z +=+=||z A ．1B ．C ．D ．1或3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则()2,0a = b λ⎛= ⎝ b a 1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭ （）b=A ．B ．C ．D ．14．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，()f x ()(2)f x f x =-[1,)+∞(ln1.1)a f =-，，则（）()0.42b f =()2log 5c f =A ．B ．a b c >>b c a >>C ．D ．c b a >>b a c>>5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（）A ．B ．C ．D．R 12R 13R 6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）()f x (1)()0x f x '+<A ．B ．C ．1(,1),22∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,1)(3,)-+∞ D ．1,(2,)2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭7．若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是{}n a ()2*12n n n a a n +=∈N {}n a 4S （）A ．B ．C ．D ．6+8．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，35恰好命中两次的概率是（）A ．B ．C ．D ．36625925144625216625二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在直三棱柱中，，，，侧面111-ABC A B C 12AA =1AB BC ==120ABC ︒∠=的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ 11AA C C O E 1BB）A．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥的体积与点的位置无关1E AA O -E D ．的最小值为1AE EC+10．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的有ABC （）A ．若，则22tan tan a B b A =a b=B ．若，则此三角形为直角三角形2cos 22A b c c +=C ．若，则解此三角形必有两解3,4,6a b B π===D ．若是锐角三角形，则ABC sin sin cos cos A B A B++＞11．已知数列的首项为，且，数列，数列，{}n a 11a =1194n n n n a a a a ++=-1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}14+n n n a a 数列的前项和分别为，则（）13n n na a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n ,,n n n S R T A ． B ．C ．D ．115n na a +<1443n n S +<-13n R <14194n n n T ++<-三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，且，则的最小值是．1x >0y >22x y +=11y x +-13．已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值()()sin 2π(0)f x x ωω=>[]0,18ω范围是．14．设函数给出下列四个结论： (),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩①当时，函数在上单调递减；0m =()f x (),-∞+∞②若函数有且仅有两个零点，则；()f x 0m >③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；0m <,a b ()()f a f b =a b -()2,+∞④已知点，函数的图象上存在两点，(),0P m -()f x ()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若12,Q Q O ()f x 12PQ PQ +=．1m =其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知等比数列的前项和为，，数列满足{}n a n n S 510622046S S ==，{}n b ．()()1214126n n n n b b nb +-++⋯+=(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b (2)令，求的前项和．()12n n n a b c +={}n c n n T 16．如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，-P ABC 1A 1B1C PA PB PC ，平面.AB BC ⊥1A C ⊥11BB C C (1)求证：平面平面；11A B C ⊥111A B C (2)如果，，求二面角的余弦值.11A C B C =4AB BC ==11A BB C --17．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体,A B 育锻炼.(1)该校学生甲,乙,丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若,A B 甲,乙,丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有A 112,,233一人选择健身中心健身的概率；A(2)该校学生丁每周六,日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，A 12A 则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身A 14B A 中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；23B (3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规[]()0,10k k ∈定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一k 人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学k 生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.n n 参考数据：.2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈18．已知椭圆的离心率为的直线交椭圆2222:1(10)x y C a b a b +=>>>()1,0M l于点，且当轴时，.C ,A B l x ⊥AB =(1)求椭圆的方程；C (2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的C F ,,F A B y l 斜率.19．对于四个正数m 、n 、p 、q ，若满足，则称有序数对是的“下mq np <(),m n (),p q 位序列”．(1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；()3,11()2,7(2)设a 、b 、c 、d 均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、(),a b (),c d a b cd 之间的大小关系；a cb d ++(3)设正整数n 满足条件：对集合内的每个m ，总存在正整数{}02024,N m m m <<∈k ，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，(),2024m (),k n (),k n ()1,2025m +求正整数n 的最小值．参考答案1．【答案】C 【详解】由可得：，所以，()ln 10x -≥2x ≥[)2,A ∞=+由可得：，所以，230x x -<03x <<()0,3B =所以.A B ⋃=()0,∞+故选：C.2．【答案】C【详解】设，则，，i z a b =+()11iz a b +=++()i 1iz a b +=++因为，|1||i |z z +=+=所以，或()()22221515a b a b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩⇒11a b =⎧⎨=⎩22a b =-⎧⎨=-⎩当；当时，.1ab ==2a b ==-z =故选：C 3．【答案】D【详解】解：由已知可得，在上的投影向量为，b a()2,0222a b a a a aa λλλ⋅⋅===⨯又在上的投影向量，所以.b a1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭ 12λ=所以，D正确．1b === 故选：D.4．【答案】D【详解】由，得到对称轴为，则，()(2)f x f x =-1x =(ln1.1)(2ln1.1)a f f =-=+而，又在上单调递减，0.4222122ln1.12log 1.1log 4.4log 5<<+<+=<()f x [1,)+∞则，得.()0.42(2ln1.1)f f >+>()2log 5f b a c >>故选：D 5．【答案】B【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，r h 222r h R +=可得，()222,0,r R h h R =-∈则圆锥的体积，则，()()()22223111πππ333V h r h R h h R h h ==-=-()221π33V R h '=-当时，；当时，；0h <<()0V h '>h R <<()0V h '<则在上单调递增，在内单调递减，()Vh ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,R ⎫⎪⎪⎭可知当，即时，圆锥的体积取到最大值.h=r =故选：B.6．【答案】A【详解】由函数的图象可得：()f x 当时，函数单调递增，则，1(,)2x ∈-∞()0f x '>当时，函数单调递减，则．1(,2)2x ∈()0f x '<当时，函数单调递增，则，()2,x ∈+∞()0f x '>由①或②()0(1)()010f x x f x x >⎧+<⇔+<''⎨⎩()010f x x +'<⎧⎨>⎩解①得，，解②得，，1x <-122x <<综上，不等式的解集为.(1)()0x f x '+<1(,1),22∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭故选：A ．7．【答案】A【详解】设正项等比数列的公比为，{}n a 0q >因为，所以，2*12()n n n a a n +=∈N 2(1)21221242n n n n n n a a q a a ++++===解得，所以，2q =2222(0)nn n a a ⨯=>所以，所以2122n n a -=21212a-=所以，4S =所以数列的前4项的和的值为{}n a 4S 故选A8．【答案】D【分析】利用二项分布的概率即可得解．【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次，3525故概率.222432216C 55625P ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D.9．【答案】ACD【分析】首先计算长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算AC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；ABC △根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断 D.【详解】A.中，，ABC△AC ==所以直棱柱的侧面积为，故A正确；(1124+⨯=+B.外接圆的半径，ABC △12sin120ACr == 所以直棱柱外接圆的半径，R ==则直三棱柱外接球的表面积，故B 错误；24π8πS R ==C.因为，且平面，平面，所以平面，11BB AA 1BB ⊄11AA C C 1AA ⊂11AA C C 1BB 11AA C C 点在上，所以点到平面的距离相等，为等腰三角形底边的高为E 1BB E 11AA C C ABC ，12且的面积为1AAO△122⨯=则三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C 正确；1EAA O -1132=E D.将侧面展开为如图长方形，连结,交于点，1AC 1BB E此时最小，最小值为D 正确.1AE EC +=故选ACD.【关键点拨】本题D 选项解决的关键是将平面与展开到同一个面，利用两11AA B B 11CC B B点之间距离最短即可得解.10．【答案】BD【详解】对于A ：因为，由正弦定理可得，22tan tan a B b A =22sin tan sin tan =A B B A 则,22sin sin sin sin cos cos A B B AB A =又，则，，，(),0,A B π∈sin 0A ≠sin 0B ≠()2,20,2A B π∈可得，整理得，sin sin cos cos A BB A =sin 2sin 2A B =又因为，()0,A B π+∈可得或，即或，22A B =22A B π+=A B =2A B π+=所以或，故A 错误；a b =222a b c +=对于B ：因为，则，1cos sin sin 222sin A b c B Cc C +++==2sin 2cos sin 2sin 2sin C A C B C +=+所以，()()cos sin sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C A Cπ⎡⎤==-+=+=+⎣⎦所以，sin cos 0A C =在三角形中，，所以，所以，sin 0A ＞cos 0C =2C π=则此三角形为直角三角形，故B 正确；对于C ：因为，所以，所以，3,4,6a b B π===3sin 2a B =sin a B a b ＜＜则解此三角形只有一解，故C 错误；对于D ：因为是锐角三角形，ABC 所以，所以，02Cπ＜＜2A B ππ+＜＜所以，所以，即，022B Aππ-＜＜＜sin sin 2B A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜cos sin B A ＜同理，cos sin A B ＜则，故D 正确．sin sin cos cos A B A B ++＞故选：BD.11．【答案】BCD 【详解】若数列中存在某项，由可推得，{}n a 0k a =1194n n n n a a a a ++=-110k k a a -+==进而所有项均为0，与矛盾，故数列均为非零项．{}n a 11a ={}n a 由两边同时除以，可得，1194n n n n a a a a ++=-1n n a a +1149n n a a +=-所以，11111343,340n n a a a +⎛⎫+=++=≠ ⎪⎝⎭故数列是以4为首项，公比为4的等比数列，13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭所以，即.134n n a +=143n na =-对于A ，因为，可得，矛盾，所以A 错误；143n na =-323211131,,1361615a a a a ===>对于B ，因为()()()()1124444343434133333n nn n S n n+=-+-++-=--=-- ，所以成立，所以B 正确；114413433n n ++<--=-1443n n S +<-对于C ，因为，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭所以，2231111111111111343434343433433n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以C 正确；对于D ，因为，则，23123,1344444n n n n n na n n T a ==+++++ 2341112344444n n n T +=++++ 错位相减得，23413111114444444n n n n T +=++++- 11111441114334414nn n n n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=--⨯-则成立，所以D 正确．11144144141933449444494n n n nn n n n n T ++++⎛⎫⎛⎫=-⨯+<-⨯+=- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭故选BCD ．12．【答案】3+【详解】由，得，22x y +=211x y -+=因为，，1x >0y >所以，10,0x y ->>所以，121213(1)3311(1)y x y x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+≥+=+ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，2(1)(1)x y x y -=-x=2y =+所以的最小值是．11y x +-3+13．【答案】15936ω≤<【详解】因为，所以函数的最小正周期．()()sin 2πf x x ω=()f x 2π1(0)2πT ωωω==>因为在区间上有5个零点，()f x []0,18所以，即，52182T T ≤<25182ωω≤<可得；15936ω≤<故答案为：.15936ω≤<14．【答案】②③④【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误；0m =0x ≥()0f x =(),-∞+∞对于②，当显然不成立，故，0m =0m ≠当时，令，即，得，，要使0x ≥()0f x=0=0x =0,0x x m x m <+=⇒=-有且仅有两个零点，则，故，②正确，()f x 0m -<0m >对于③, 当时,,此时在单调递减，在0m <(),0,0.x m x f x x --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩()f x (),0-∞单调递增，如图：[0,+∞）若，由，故，所以的取值范围为()()f a f b =2m x -=⇒=2a b ->a b -；③正确()2,∞+对于④,由①③可知：时，显然不成立,故，0m ≤0m >要使，关于坐标原点的对称点也在函数()()()11122212,,,0Q x y Q x yx x <<12,Q Q O 的图象上，()f x 则只需要的图象与0,x y x m>=--()0,x fx ≥=故，120x m x <-<<，))12122132PQ PQ m m x x m x x +=-+=++=⇒-=由对称可得，()111f x x m x m -==---=+化简可得，故10x m +=20m ==，化简得()222f x x m x m-==---=--2m =所以=由于均大于0，所以12,x x --==因此222221x x -=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==由于，为单调递增函数，且，0m >()43142f m m m =+()0,+∞()912f =此时，因此，④正确.2132x x -==1m =故答案为：②③④15．【答案】(1)2,21n n n a b n ==-(2)()1122n n +-⋅+【详解】（1）由题意知，，即，510622046S S =⎧⎨=⎩51101(1)621(1)20461a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得，所以；122a q =⎧⎨=⎩112n nn a a q -==由，121(1)(41)2(1)6n n n n n b b n b nb -+-+++-+= ①得，121(1)(45)2(1)(2)6n n n n b b n b n ---+++-=≥ ②①-②两式相减得：，(1)(41)(1)(45)(21)66n n n n n n n nb n n +---=-=-所以，21n b n =-当时，满足上式，1n =11b =故.21n b n =-（2）由（1）知，，，所以，2nn a =21n b n =-(1)2(2)222n n n n n a b n c n +⋅===⋅，1231122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ③，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ④③-④两式相减得：，1231112(12)222222(1)2212n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 所以.1(1)22n n T n +=-⋅+16．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为，，分别是侧棱，，的中点，1A 1B 1C PA PB PC 所以，1111//,//A B AB B C BC 因为，所以，AB BC ⊥1111A B B C ⊥因为平面，平面，1A C ⊥11BB C C 11B C ⊂11BB C C 所以，111A C B C ⊥又平面，1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂11A B C 所以平面，11B C ⊥11A B C 又因为平面，11B C ⊂111A B C 所以平面平面；11A B C ⊥111A B C （2）因为平面，平面，1A C ⊥11BB C C 1,BC B C ⊂11BB C C 所以，111,A C B C A C BC ⊥⊥因为，所以，4AB BC ==11112A B B C ==所以，11A C B C ==因为平面，，11B C ⊥11A B C 11//B C BC 所以平面，BC ⊥11A B C 又平面，所以，1B C ⊂11A B C 1BC B C ⊥所以两两垂直，11,,CA CB CB 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，C则，()()(()114,0,0,0,0,0,,B C A B故，((111,4,0,A B A B ==设平面的法向量为，11A BB (),,n x y z =则有，可取，111040n A B n A B x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩(1,n = 因为平面，1A C ⊥11BB C C 所以即为平面的一条法向量，(1CA =11BB C C 故，111cos ,n CA n CA n CA ⋅===所以二面角的余弦值11A BBC --17．【答案】(1)718(2)1324(3)30【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率A .112112112711111123323323318P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记事件：丁周六选择健身中心，C A 事件：丁周日选择健身中心，D B 则，()()11321()(),1,124433P C P C P D C P D C ===-==-=由全概率公式得，()()131113()()()242324P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=故丁周日选择健身中心健身的概率为.B 1324（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，p 则，0.02p =设抽取次数为，则的分布列为X X X123 1-n nPp()1p p-2(1)p p -2(1)n p p--1(1)n p --故，()()()22112(1)3(1)1(1)n n E X p p p p p p p n p n--=+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ 又，()()()()23111(1)2(1)3(1)1(1)n n p E X p p p p p p p p n p n --=-+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ 两式相减得，()()()()()2211111n n pE X p p p p p p p p p--=+-+-++-+- 所以()()()()()22111111n n E X p p p p --=+-+-++-+- ，()()()111110.98110.02nnnp p p p-----===--所以在时单调递增，()10.980.02nE X -=∈n *N 可知当时，；29n =()2910.9810.55722.150.020.02E X --=≈=当时，；30n =()3010.9810.54522.750.020.02E X --=≈=当时，.31n =()3110.9810.53523.250.020.02E X --=≈=若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30.n 【关键点拨】(1)利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行计算；(2)利用全概率公式进行求解；()()()()(=+P D P C P D C P C P D C (3)设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，X X ()10.980.02nE X -=由函数单调递增，得出在时单调递增，结合题目给出的参考数据求0.98=-x y ()E X ∈n *N 得答案,18．【答案】(1)2214x y +=(2)k =【详解】（1）椭圆的方程为，C 22221x y a b +=当轴时，在椭圆上，l x⊥AB =1,⎛ ⎝依题意，解得，，222221314c e a a b c b a ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩1b =2a =c =所以椭圆的方程为；C 2214x y +=（2）设圆心,),),,()0,P m A(x 1,y 1B(x 2,y 2()F 显然直线的斜率存在，设，l :(1)l y k x =-由，则，222||||||PA PB PF ==()222113x y m m +-=+又，代入得到：，()221141x y =-2113210ymy +-=同理可得，2223210y my +-=则分别是的两个根，12,y y 23210y my +-=由韦达定理可得，1213y y =-又联立与，:(1)l y k x =-2214x y +=得，2222(41)8440k x k x k +-+-=因为，22121222844,4141k k x x x x k k -+==++所以()22222121212222448311,414141k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤--⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦故解得2231413k k -+=-k =直线的斜率为l k =19．【答案】(1)是，理由见解析(2)a a c c b b d d +<<+(3)4049【详解】（1），37112⨯<⨯ 是的"下位序列"；(3,11)∴(2,7)（2）是的“下位序列”，(),a b (),c d ，ad bc ∴<，，，均为正数，a b c d 故，0()a c a bc adb d b b d b +--=>++即，0a c ab d b +->+，ac ab d b +∴>+同理，a c cb d d +<+综上所述：；a a c cb b d d +<<+（3）由已知得，2024(1)2025mn km n k <⎧⎨+>⎩因为为整数， ,,m n k 故，1202412025mn k mn n k +≤⎧⎨+-≥⎩，2024(1)202420252025(1)mn n k mn ∴+-≥⨯≥+，40492024n m ∴≥-该式对集合内的每一个的每个正整数都成立，{}02024m m <<N m *∈m ，4049404920242023n ∴≥=-所以正整数的最小值为.n 4049。

福建省部分优质高中2025届高三上学期10月联考数学试题

福建省部分优质高中2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．设集合{15},{N |||2}M x x N x x =-≤<=∈≤∣，则M N = （）A ．{}12xx -≤≤∣B ．{15}xx -≤<∣C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．已知复数z 在复平面内对应的点为()2,2-，则复数z 的虚部为（）A ．2-B ．2i-C ．2D ．2i3．若双曲线221911x y -=的右支上一点P 到右焦点的距离为9，则P 到左焦点的距离为（）A ．3B ．12C ．15D ．3或154．已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为）A ．B ．143π3C ．D ．28π35．函数()f x =的值域为（）A ．(],1-∞B ．(]0,1C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是365365(11%) 1.01;+=如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是365365(11%)0.99.-=一年后“进步”的是“落后”的3653653651.01 1.0114810.990.99⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过(参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771)≈（）A ．15天B ．11天C ．7天D ．3天7．函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件二、多选题9．已知椭圆M ：22126y x +=，则（）A ．M 的焦点在x 轴上B ．M 的焦距为10C ．MD ．M 的长轴长是短轴长的5倍10．设函数()()*π2sin 2N 3n f x x n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正零点为n a ，则（）A ．()f x 的图象过定点(0,B ．()f x 的最小正周期为1π2n +C ．{}n a 是等比数列D ．{}n a 的前10项和为341π102411．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,B C BB 的中点，G 为线段1A D 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥1F EGB -的体积为定值B ．存在点G ，使平面EFG ∥平面1ACDC ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为3D ．平面DEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为三、填空题12．已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为．13．已知n *∈N ，()2nx -的展开式中2x 的系数为80，则展开式中3x 的系数为.（用数字作答）14．在四面体ABCD 中，ABD △是边长为BC CD ⊥，BC CD =，AC =E 在棱BD 上，且4BD BE =，过点E 作四面体ABCD 的外接球O 的截面，则所得截面圆的面积最小值与球O 的表面积之比为．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C b a A +-=-．(1)求C ；(2)若ABC Vc =a b +．16．已知直三棱柱中111ABC A B C -中，ABC V 为正三角形，E 为AB 的中点，二面角1E A C A--的大小为π4.(1)求证：1BC //平面1A EC ；(2)求直线BC 与平面1A EC 所成角的正弦值.17．贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且()()961060.7,94960.1P M P M ≤≤=≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101,102,100,103,99,98,100,99,97,101，这10个贵妃杏的平均质量恰等于μ克．(1)求μ．(2)求()100104P M <≤．(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．18．已知函数()1e ln xf x x =.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：1x =不是函数()2y x f x a=+的极值点；(3)设u ，v 为正数，证明：()()11e e e 0vu uv f u f v f uv ---⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.19．定义：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，把圆222222a b x y a b +=+称为该椭圆的协同圆.设椭圆22:142x y C +=的协同圆为圆O (O 为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆O 的方程；（2）设直线l 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于,A B 两点，求OA OB ⋅的值；（3）设,M N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥，过点O 作OH MN ⊥，交直线MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.。

连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题(解析版)

1，将 f x 的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 g x 的图象，则下列结论正确的是（）
A.
f
x
2cos
π 4
x
π 4
B. f x 在区间 6,9 上单调递增
C. g x 为奇函数 D. 若 g x 在区间1, a 上的值域为 2, 2 ，则 a 3 ．
【答案】BD 【解析】
A B 0, 2，故 D 错误.
故选：C.
3. 若 f x x a 1ln x 1 为偶函数，则 a （
x 1
A. 1
B. 0
【答案】D
） C. 1
2
D. 1
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
【详解】由 x 1 0 ，得 x 1或 x 1， x 1
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【分析】对于 A，根据余弦型函数的图象与性质进行判断；对于 B，由余弦型函数增区间公式得出结果；对
于 C，根据图象平移变换及函数奇偶性定义进行判断；对于 D，根据余弦型函数的定义域、值域的关系以及
图像与性质得出结果．
【详解】设 f x 的最小正周期为 T，由题意， T 1 1 2 ，得T 8 2 ，所以 π ，
【详解】解：由 f x 2 f x ，得 f x 2 f x 0，故 f x 的图象关于点 1, 0 对称．
因为 x1， x2 1, ， x1
x2 ，
f
x1 f x2
x1 x2
0．
所以 f x 在 1, 上单调递增，故 f x 在 , 上单调递增，
因为 f 2 x a f ln x 1 0 ，
，
当 S2 1时， S2, S4 S2, S6 S4, S8 S6 ，即为 1, 4, 16, S8 21，

江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含解析)

江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．在复数范围内，方程的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4．若，，，则（）A．B ．C ．D ．5．函数的最小值为（）A ．B ．C ．0D ．6．已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（）AB ．CD ．7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．1200{1,2,3}A ={},B x y x A y A =+∈∈A B = {2}{3}{2,3}{1,2,3}49x =22:1y C x m-=m (3,)+∞)+∞(0,3)220m n -≠cos()2m αβ-=cos()2n αβ+=tan tan αβ=m n m n-+m n m n+-2m n m n-+2m n m n+-2()(31)e xf x x =-433e--133e 2--24e --,,a b c1a = 2b = 3c = π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉= a b + c143c 76c8．已知函数满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，，则（）A ．与的值域相同B ．与的最小正周期相同C ．曲线与有相同的对称轴D ．曲线与有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为BC ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为D11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A ，B 两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（）A ．的最小值为0B ．当为等腰三角形时，点C ．当的重心在轴上时，()f x ()()()22x yf x y f x f y +=+++(1)1f =(1000)f =99922995+99922996+100022995+100022996+()sin 2f x x =2()cos 2g x x =()f x ()g x ()f x ()g x ()y f x =()y g x =()y f x =()y g x =353185πcm 32:4E y x =F F E A P E AP BP ⋅PAB △P PAB △x PAB △D ．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若是定义在上的奇函数，当时，，则______．13．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，则点到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若，，均为正数，且，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面平面．（1）证明：平面平面PAB ．（2）若，，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．PAB △P ,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x R 0x >()2f x x x =-+(2)f -=A B C D O A B C AB =π3ACB ∠=D x y z 2(2)1x x y z +=83x yz 321()43f x x ax x =+-1a =-()y f x =(3,(3))f a ()f x []1,a a M ()2,N μσ(96106)0.7P M ≤≤=(9496)0.1P M ≤≤=μμ(100104)P M <≤X X P ABCD -PA ⊥,ABCD BC ∥,PAD BC AB ⊥PAD ⊥AD AB =PA BC =3218．（17分）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为．（1）判断与圆的位置关系并说明理由．（2）若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围．（3）若直线与交于C ，D 两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在个数码1，2，…，构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，．（1）比较与的大小；（2）设数列满足，，求的通项公式；（3）设排列满足，，，，证明：．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得，则．()11,0F -2(1,0)F M 12123MF MF F F +=M E E 22:8O x y +=P E P x (0,1)d ∈12PF F △:(1)l y k x =-E 1A 2A E 1AC ()110k k ≠2A D ()220k k ≠122212k k k k +n (,2)n n n ∈≥N 12n j j j ()12n j j j τ (12)0τ=(4132)4τ=()613245τ(15432)τ{}n a ()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+12a ={}n a 122(,5)n j j j n n ∈≥N ()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ()11,12,,210n i j i i ==- ()122n n b j j j τ= 21020n n b c +=56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-{2,3,4,5,6}B ={2,3}A B =2．D 由，得，得或3．A 由题意得，解得．4．A 因为，，所以，，所以．5．B ，令，得，令，得，所以的最小值为．6．C 因为，，，，所以在方向上的投影向量为．7．B 将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为．8．D 令，得，则，则，将以上各式相加得，所以．9．ABC ，，则与的值域相同，A 正确．与的最小正周期均为，B 正确．曲线与的对称轴方程均为，C 正确．曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D 错误．49x =()()22330x x+-=x =x =2m >>3m >cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=cos cos m n αβ=+sin sin m n αβ=-sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+2()(61)e xf x x '=+()0f x '<16x <-()0f x '>16x >-2()(31)e x f x x =-11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a = 2b = 3c = π,3a b 〈〉=a b +=== a b + c ()||||a b c c c c +⋅⋅= 2π||||cos 3||a b c c c +== 22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭1y =(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++(1)()23xf x f x +-=+2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+()sin 2[0,1]f x x =∈1cos 4()[0,1]2xg x +=∈()f x ()g x ()f x ()g x 2ππ42=()y f x =()y g x =π()4k x k =∈Z ()y f x =()y g x =10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．因为，，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D 正确．11．AC 依题意可得，直线AB 的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，．的准线方程为，设，则，，所以，A 正确．当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，B 错误．的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得的面积为C 正确．当，，三点共线时，，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，得或，当为钝角三角形时，3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭cm h 31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭h =15103252⨯=155104252+⨯=π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=cm H 233π31546πcm 3V =⨯⨯+=346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭15H ===(1,0)F 1)y x =-24y x =y 22520x x -+=12x =212x =A (2,A 1,2B ⎛ ⎝E 1x =-(1,)P m -(3,AP m =-- 3,2BP m ⎛=- ⎝ 229402AP BP m m ⎛⋅=+--=≥ ⎝ PAB △P AB AP =1222++=m >m =PAB △12123⎛+- ⎝⎭12⎛ ⎝PAB △x 0=m PAB =△11122⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭A B P m =-0AP BP ⋅≥APB ∠ABP ∠BAP ∠0AB BP ⋅= 0AB AP ⋅= m =m =PAB △点的纵坐标的取值范围为，D 错误．12．－2 因为，所以．13．4；设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面ABC 的距离的最大值为4，球的表面积为．14．（方法一）由，得，不妨令，，，，则，且，所以．令，则，令，得，令，得，所以，即的最大值为．（方法二）由，得．由，得则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．15．解：（1）当时，，则，所以，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即（或）．（2）假设存在实数，使得在上单调递增，则对恒成立，即对恒成立．P (,⎛-∞-- ⎝ ⎫+∞⎪⎪⎭(2)02022f =+=+=(2)(2)2f f -=-=-64πO R 28sin ABR ACB==∠4R =D O 24π64πR =1272(2)1x x y z +=3221x z x yz +=32a x z =2b x yz =0a >0b >2834a b x yz =1a b +=283(1)4a a x yz -=2(1)()(01)4a a f a a -=<<(23)()4a a f a -'=()0f a '>20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f a '<2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭max 21()327f a f ⎛⎫==⎪⎝⎭83x yz 1272(2)1x x y z +=3321x z x z x yz ++=,,0)3a b c a b c ++≥>1≥83127x yz ≤32x z x yz =x y =83x yz 1271a =-321()43f x x x x =--2()24f x x x '=--(3)1f '=-(3)12f =-()y f x =(3,(3))f 12(3)y x +=--9y x =--90x y ++=a ()f x []1,a 2()240f x x ax '=+-≥[1,]x a ∈22xa x ≥-[1,]x a ∈当时，为增函数，则，所以，又，所以的取值范围为．16．解：（1）．（2）因为，所以，所以．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则，，．依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以．17．（1）证明：底面，．，，平面PAB .平面PAD ，平面平面，，平面PAB ．又平面平面平面PAB .（2）解：，直线PD 与直线BC 所成的角为．底面ABCD ，，即．设AD 为2个单位长度，以为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[1,]x a ∈22x y x =-max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭32a ≥1a >a 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1011021001039998100999710110010μ+++++++++==100μ=(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=0.70.1(100104)0.32P M -<≤==Y (0)0.5P Y ==(1)0.3P Y ==(2)0.2P Y ==X (0)0.50.50.25P X ==⨯=(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=X X P()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=PA ⊥ ABCD PA BC ∴⊥BC AB ⊥ PA AB A = BC ∴⊥BC ∥ PAD ABCD AD =BC AD ∴∥AD ∴⊥AD ⊂,PAD ∴PAD ⊥BC AD ∥ ∴PDA ∠PA ⊥ 3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==PA =32AD A x y z (0,0,0),(0,2,0)A D (2,3,0)C (0,0,3)P (2,1,0)CD ∴=-- (0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为，则取，则，得．易知平面PAB 的一个法向量为，则．故平面PAB 与平面PCD．18．解：（1）因为，所以是以，为焦点，且长轴长为6的椭圆．设的方程为，则，可得，又，所以，联立与，得，，所以与圆相切．（2）的周长，的面积，所以内切圆的半径，故内切圆的半径的取值范围为．（3）联立得，(,,)n x y z = 20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩3x =-6,4y z ==(3,6,4)n =-(0,2,0)AD =cos ,AD 〈 ||||AD n n AD n ⋅〉===12121236MF MF F F F F +==>E 1F 2F E 22221(0)x y a b a b +=>>26a =3a =1c =2228b a c =-=22198x y +=228x y +=0x =y =±E 22:8O x y +=12PF F △1212628l PF PF F F =++=+=12PF F △121(0,1)2S F F d d =⋅=∈12PF F △2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭12PF F △10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()()22228918980k x k x k +-+-=易知，且，．设，则，所以．（方法一）由，，得，所以．（方法二）因为，所以．所以，故为定值，且定值为．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以．故．（2）解：由（1）知，所以，即0∆>21221889k x x k +=+()21229889k x x k -=+()()1122,,C x y D x y 121212,33y yk k x x ==+-()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-21221889k x x k +=+()21229889k x x k-=+()121259x x x x =+-()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++1222121221125k k k k k k k k ==++122212k k k k +25(613245)516τ=+=(15432)3216τ=++=(613245)(15432)ττ=()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++．因为，所以数列是首项为1，公差为6的等差数列，所以，则．（3）证明：因为，所以在排列中，排在前面的10个数依次为，，，…，，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以所以，则．设函数，则，当时，，当时，，所以，所以，当且仅当时，等号成立．取，则，即所以，即．116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅12a =2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭16(1)652n n a n n n =+-=-⋅()2652n n a n n =-⋅()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- 122n j j j 2n 21n -22n -29n -()()1222122210(9810)n n n n j j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++个()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- 210220n n n b c +==3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==3264x ≤<()0f x '<64x >()0f x '>min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-38404ln 12424ln 2x x x+-≥-64x =2(5)n x n =≥384024ln 212424ln 22n n n +-≥-384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++-- ⎪⎝⎭515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-。

2024届高三10月大联考(全国乙卷)文科数学含答案解析

2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解；当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ；又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号）所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。

湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三上学期10月联考试题数学含答案

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题（答案在最后）命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}3390,lg 3A x x x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.8D.162.若复数z 满足1i34i z-=+，则z =（）A.5B.25C.5D.23.在ABC V 中，G 为ABC V 的重心，设,BA a BC b == ，则CG =（）A.1233a b - B.2133a b-+C.1233a b -+D.2133a b - 4.已知集合()(){}210,21102x A xB x x a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.3a ≤-或1a ≥B.3a ≤-或1a >C.3a <-或1a ≥ D.3a <-或1a >5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.4mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg20.3010≈）A.5B.4C.3D.26.已知实数(),1,0a b ∈-，且满足cos πcos πa b >，则下列一定正确的是（）A.sin sin a b <B.3355ab-->C.sin sin a a b b->- D.4433a b<7.已知函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，则下列一定正确的是（）A.()20221f =B.()()2f x f x =+C.()3f x +为奇函数D.()2024f x +为奇函数8.在ABC V 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222c a b ab =++，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，且12CD =，则49a b +的最小值为（）A.252B.25C.254D.24二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量)(),0,1a m b ==，则下列说法正确的是（）A.若2= a ，则1a b ⋅= B.不存在实数m ，使得a∥bC.若向量()4a a b ⊥-，则1m =或3m =D.若向量a 在b 向量上的投影向量为b - ，则,a b的夹角为2π310.已知函数()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B.()f x 图像关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在[]0,π上值域为[]1,1-D.若()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则2cos275α=11.已知函数()ln ,()e ln x f x x x g x a x a =-=-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 有极大值为1-B.()0g x ≥对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是12[e ,)-+∞C.当1a =时，过原点与曲线()()1y g x f x =--相切的直线有2条D.若关于x 的方程()()f x g x =有两个不等实根，则实数a 的取值范围是1(0,)e三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()sin2g x x =，若()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭为偶函数，则实数a =__________.13.已知ABC V 的外心为O ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且::5:6:5a b c =.若7BA BC ⋅=，则BO BA ⋅=__________.14.定义：如果集合A 存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2m A A A m m ∈≥N ，且12m A A A A ⋃⋃⋃= ，那么称无序子集组12,,,m A A A 构成集合A 的一个m 划分.若使函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点的ω的取值集合为A ，则集合A 的所有划分的个数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量,a b，定义新运算：2a b a b b ⋅⊕= .（1）若向量()()1,5,3,4a b =-=，求()2a b b -⊕ ；（2）若两个单位向量,a b 满足()()5323a b a b +⊕-=- ，求a b + 与b夹角的余弦值.16.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；17.已知函数()2ln f x x ax a =-+.（1）若1x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若存在()1,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数a 的取值范围.18.已知函数()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠在1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，集合()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣.（1）求a 的值，并用区间的形式表示集合A ；（2）若()()221xx x x g x a a m a a --=+-++，对1x A ∀∈，都[]20,1x ∃∈，使得()12x g x =，求实数m 的值.19.（1）当[]0,πx ∈时，求证：（i ）sin x x ≥；（ii ）21e 12xx x ≥++（2）已知函数()e sin 1xf x mx x x =+--.（i ）当1m =时，求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ii ）讨论函数()y f x =在[]0,π上的零点个数.湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】252【14题答案】【答案】14四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）925（2）10【16题答案】【答案】（1）23π（2）334【17题答案】【答案】（1）12a =，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【18题答案】【答案】（1）2，[]2,4A =（2）12.【19题答案】【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；（2）（i ）0y =；（ii ）答案见解析。

新课标2025届高三数学上学期10月大联考试卷及答案解析

2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（）A. ()1,2- B. (]1,2-C. (]2,3- D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合2{|4}(,2)(2,)B x x =>=-∞-+∞ ，则R [2,2]B =-ð，而{|13}A x x =-<≤，所以R ()(1,2]A B =- ð.故选：B 2. 使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（）A. ()(),12,-∞-+∞ B. (](),12,-∞-+∞ C. ()[),12,-∞-⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用分式不等式化简可得2x ≥或1x <-，即可根据真子集关系求解.【详解】由312x ≤-可得()()120320220x x x x x ⎧+-≤-+≤⇒⎨--≠⎩，解得x >2或1x ≤-，设不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件构成的集合是A ,则(](),12,∞∞--⋃+是A 的一个真子集，结合选项可知A 可以为(][),12,-∞-⋃+∞，故选：D3. 已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A. 6B. 6- C. 5D. 5-【答案】A 【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】11lg 2100100f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,()()313310g -=-⨯-=,故()()()()()13210132lg106100g f f g g f ⎛⎫⎛⎫--=--=-⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A. 15b r B. 125b C. bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b 上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r r r rr .故选：B.5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得3cos 5α==-，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知3cos 5α==-，π3sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选：A6. 已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. 2 B. 1 C.12D.14【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数32()22ln f x x x x =--，求导得22()62f x x x x'=--，则(1)2f '=，而(1)1f =，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-，该切线交x 轴于点1(,0)2，交y 轴于点(0,1)-，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=.故选：D7. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数y =f (x )在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数y =f (x )在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知y =f (x )在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.8. 已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,)23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（）A. 25[,34B. 1(0,2C. 25811[,][,3434D. 15(0,][,2]23【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出ϕ，再利用单调递增区间求出ω范围.【详解】依题意，1(0)cos 2f ϕ==，而0πϕ<<，则π3ϕ=，π()cos(23f x x ω=+，由对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，得函数()f x 在π2π(,23上单调递增，当2(,)2π3πx ∈时，ππ4ππ2(π,)3333x ωωω+∈++，而余弦函数cos y x =的递增区间为：[]()2ππ,2πk k k -∈Z ，则[]()π4πππ,2ππ,2π333k k k ωω⎛⎫++⊆-∈ ⎪⎝⎭Z ，于是ππ2ππ3,4ππ2π33k k k ωω⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤⎪⎩Z ，解得423,3124k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤-⎪⎩Z ，显然32k−14>02k−43<32k−14，即11366k <<，而k ∈Z ，因此1k =或2k =，所以ω的取值范围是2534ω≤∈或81134ω≤∈.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知01d c a b <<<<<，则（）A. a d b c +<+ B. ac bd <C. b a a b < D.2b aa b+>【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ；举例说明判断B ；利用指数函数、幂函数单调性判断C ；作差变形判断D.【详解】对于A ，由,d c a b <<，得a d b c +<+，A 正确；对于B ，取114,1,,32d c a b =-=-==，满足01d c a b <<<<<，而123ac bd =->-=，B 错误；对于C ，由01a b <<<，得函数x y a =在R 上递减，a y x =在(0,)+∞上递增，则b a a a a b <<，C 正确；对于D ，由01a b <<<，得220b a a b +-=>，D 正确.故选：ACD10. 已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =->的最小值为，则（）A. 直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C. 将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D. 当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则t 的取值范围为π[,π]3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出a ，进而求出()f x ，再逐项分析判断即可.【详解】函数33()cos sin sin ()22f x a x x x x a x x ϕ=+=+=+，其中ϕ由tan ϕ=确定，依题意，=20a -=，而0a >，解得a =3π()sin )26f x x x x ==+，对于A ，πππ3(2262f =+=≠，即直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，A 错误；对于B ，当π4π(,23x ∈时，2π3π(,32π6x ∈+，而正弦函数sin y x =在2π3π(,32上递减，因此()f x 在区间π4π(,23上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(336f x x x +=++=是偶函数，C 错误；对于D ，当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则当πππ[,]666x t ++∈-时，1πsin()126x -≤+≤，因此ππ7π266t ≤+≤，解得ππ3t ≤≤，D 正确.故选：BD11. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（）A. (0)0f = B. (2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D. 对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1,(1)1f f =-=-，对于A ，令0x y ==，得(0)(0)(1)(0)(1)2(0)f f f f f f =+=，则(0)0f =，A 正确；对于B ，令,1x y ∈=-R ，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f f x f x -=+-+=-+，因此(2)()f x f x +=-，B 正确；对于C ，由(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此202410(1)(2)(3)(4)]()506[n f n f f f f =+++==∑，C 错误；对于D ，由(2)()f x f x +=-，得(2)(4)(0)0f f f =-=-=，又()f x 是周期为4的周期函数，因此对任意*n ∈N ，都有(42)(4)0f n f n +==，即(2)0f n =，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量a，b 满足2= a ，3b =，且a b += ，则a b -= ______.【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得..【详解】依题意，2222||||2||2||a b a a b b ++=+- ，而2= a ，3b = ，且a b += ，则29|23|242a b +=⨯-+⨯ ，所以a b -= .13. 已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##0.25-【解析】cos sin αα=-，即可利用辅助角公式求解.【详解】由πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得)()()()22sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin αααααααα+=-=+-，由于α为锐角，所以sin cos 0αα+>cos sin αα=-，()πcos sin sin cos 4ααααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，故π1sin 44α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故答案为：14-14. 已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3a >【解析】【分析】原不等式可化为()()24ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，利用()2e x f x x =+为R 上的增函数可得2ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，结合参变分离可求a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()242e82ln e 2xxaxx x x x ax +++<++，也就是()()24ln 2e24ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，因为2,e x y x y ==均为R 上的增函数，故()2e xf x x =+为R 上的增函数，故原不等式即为()()24ln f x x f x ax +<+，故24ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，故a >4−x +lnx x对任意0x >恒成立，设s (x )=4−x +lnx x,x >0，则()221ln x xs x x '--=，设()21ln v x x x =--，则()120v x x x'=--<，故()21ln v x x x =--在(0,+∞)上为减函数，而()10v =，故当x ∈(0,1)时，()0v x >即()0s x '>，故()s x 在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()0v x <即()0s x '<，故()s x 在(1,+∞)上减函数，故()()max 13s x s ==，故3a >，故答案为：3a >.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】为由()(ln sin cos f x x x =++可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；ππ2π44x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()ππ2πln 2πln 44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可知()f x 是以2π为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得π4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭易知π04y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭恒成立，可得函数()f x 的定义域为R ；因此只需πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈；即()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.16. 在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中由余弦定理求出3AC =，然后利用勾股定理求解即可；（2）在BCM 与ADM △中，由余弦定理分别求出BM 与AM ，然后在AMB 中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形ABC 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，所以由余弦定理得：22212cos 332392AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以3AC =，又AC =，所以CD =，又AC CD ⊥，所以AD ==.【小问2详解】在三角形ABC 中，120ABC ∠=︒，所以30BAC ACB ∠=∠=︒，所以3090120BCD ∠=︒+︒=︒，所以在BCM 中，M 为CD 的中点，所以MC =，BC =，120BCM ∠=︒，所以由余弦定理得：22231212cos 3424BM BC CM BC CM BCM =+-⋅∠=++=，所以BM =，在ADM △中，60ADC ∠=︒，AD =DM =，所以由余弦定理得：22231392cos 122424AM AD DM AD DM ADM =+-⋅∠=+-⨯=所以AM =，所以在AMB中，由余弦定理得：222cos 2AM BM AB AMB AM BM +-∠===⋅17. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥ ，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；【答案】（1）ABC V 等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由m n ⊥ ，得到cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在ABC V 中，由正弦定理求出b 与c ，设2AE AC AB =+ ，则13ABD ABE S S =求解即可.【小问1详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅= ，所以cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理角化边得22cos cos 0b C c B -=，由余弦定理得：22222222022a b c a c b b c ab ac +-+-⋅-⋅=，所以整理得：()()2222220b a b c c ac b +--+-=，所以()()22220b c a b c bc -+++=，所以0b c -=，所以b c =，故ABC V 是等腰三角形.【小问2详解】是在ABC V中，由正弦定理得：sin sin b a B A ===，所以12b ==，c =，当2λ=时，32AD AC AB =+ ，如图2AE AC AB =+ ，所以在ABE 中，60ABE ∠=，AB =BE =所以11111sin 33232ABD ABE S S AB BE ABE ==⨯⋅∠=⨯⨯= 18. 已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)x x x >-.【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数()e ,0x h x x x =->，利用导数证得e 1x x >+，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数()()e 1x f x x a =++的定义域为R ，01()e x x a x f ≥--≥⇔，令1(e )x g x x -=-，依题意，()a g x ≥恒成立，1()1ex g x -+'=，当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==-，于是1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【小问2详解】当0x >时，令()e x h x x =-，求导得()e 10x h x '=->，函数()h x (0,)+∞上单调递增，在则()(0)1h x h >=，即e 1x x >+，因此e 1e e x x +>，e 1e e xx x x +>，令()e e 1,0x x x x x ϕ=-+>，求导得()e 0x x x ϕ=>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即e e 1x x x >-，于是1e e(e 1)x x x +>-，所以e e e(e 1)x x x >-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19. 阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥≥（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）1,3m n ==-，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数()0x x ϕ=>，证明()ϕx 是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得(1)0f ''=，结合(1)1f =求出,m n ；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数()(2)(),01h x g x g x x =-+<<，利用导数探讨单调性可得(2)()2g x g x -+<，再结合给定条件及函数()g x 的单调性推理即得.【小问1详解】当0a =或0b =≥成立，令函数()0x x ϕ=>，121()2x x ϕ-'=，321()04x x ϕ-''=-<，因此函数()x ϕ=是上凸函数，则对任意0,0a b >>，1212()333))(3(a b a b ϕϕϕ+≥+≥，所以对任意0a ≥，0b ≥≥恒成立.【小问2详解】函数32()69f x mx nx x =+-+，则2()326f x mx nx '=+-，()62f x mx n ''=+，由点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，得当1x <时()f x ''值与当1x >时()f x ''值符号相反，因此(1)620f m n ''=+=，又(1)31f m n =++=，解得1,3m n ==-；32()369f x x x x =--+，3322(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)]6[(1)(1)]18f x f x x x x x x x ++-=++--++--++-+22263(22)12182x x =+-+-+=，所以()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称.【小问3详解】函数2()2ln 33g x x x x =+-+的定义域为(0,)+∞，则2()23g x x x '=+-，22()2g x x''=-+，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，依题意，01x =，0()(1)1g x g ==，当12012x x <<<<时，12()()2+=g x g x ，即21()2()g x g x =-，令22()(2)()(2)(23)2ln 332ln (2)3h x g x g x x x x x x x +-++-+--+=--+=2(2)2l 2ln 4n 42x x x x =+-+-+，01x <<，求导得32(1)2444(1)()444402(2)(2)x x h x x x x x x x x x ⋅---'=+-+=+-=>---，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)2x h x h ∀∈<=，即(2)()2g x g x -+<，而101x <<，则11(2)()2g x g x -+<，即11(2)2()g x g x -<-，因此12(2)()g x g x -<，当0x >时，2()23310g x x x '=+-≥-=>，当且仅当1x =时取等号，于是函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又121x ->，因此122x x -<，即122x x +>，所以1202x x x +>.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.在。

2024-2025学年高三10月大联考(新高考卷)数学试题及答案

2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A. (](),11,∞∞--⋃+ B. R C. ()(),11,∞∞-⋃+ D. ∅2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44上四分位数为（）D. 42A. 30B. 32C. 403. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b 上的投影向量为（）A. 15b r B. 125b C. bD. 1125b 4. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A. 5-B. 5C. 52- D. 525. 函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A. π,04k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. π,02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z C. ()π,0k ，k ∈Z D. ()2π,0k ，k ∈Z 的的6. ()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A. 10 B. 20 C. 10- D. 20-7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A. π2 B. π3 C. π4 D. π68. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A. 若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B. 若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C. 若关于x 方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D. 若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A. 若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B. 若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4的C. 若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D. 若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB⊥11. 已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为f ′(x )，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A. ()00f =B. f ′(x )为奇函数C. π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D. 20240ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim 12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13. 已知椭圆221x b =（0a b >>）的长轴长为4.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14. 已知不等式()2e 21x x a +--a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，BD =b .16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α010.050.010.001x α 2.706 3.841 6.63510.82817. 如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18. 在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q.的两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19. 一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r ，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .。