《鲁棒控制》-3-H无穷控制理论

⎤ ⎥⎦
+
⎡−W1P⎤
⎢ ⎣
W2 P
⎥ ⎦
K
⎡⎣1
−
(
−P
)
K
⎤⎦ −1
*1
= Fl (G, K )
G
=
⎡ ⎢ ⎢
⎡W1
⎢ ⎣
0
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣ 1
⎡ ⎢ ⎣
−W1P W2 P
⎤ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥
−P ⎥⎦
G ω
W1
z1
−W2
z2
u
−P
y
d y
K
3.3 状态反馈 H∞ 控制
ω
z
u
G
K
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
ω
ω
若 P 和 K 均为真的，其一为严格真的，则
0<η ≤1
若以开环系统的 Nyquist 曲线到点 (−1, j0) 的距离为稳定裕度，则为得到最
大的稳定裕度，应使η 最大，这等价于：
sup
ω
1
+
P
(
1
jω ) K (
jω )
→ min
即
1 → min 1+ PK ∞ 问题：求 K 使系统内稳定，且
问题：
( ) min
K内稳G
Tzw
∞
= min K内稳 P
1+ PK −1
∞
2、鲁棒镇定问题 ⇒ 标准问题
Δ
+
−
P0
K
Δ ≤γ ∞
或
Δ ( jω ) ≤ r ( jω )
G
ω
z
r
u
− P0
y
K
求 K ,内稳 P0 ,且
rK (1+ ) P0K −1 ∞ < 1
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⎡ A B1 B2 ⎤
G = ⎢⎢C1
D11
D12
⎥ ⎥
⎢⎣ I 0 0 ⎥⎦
x = Ax + B1ω + B2u z = C1x + D11ω + D12u y=x
⎫
⎪ ⎬
(∗)
⎪⎭
x ∈ Rn ,ω ∈ Rm1 , u ∈ Rm2 , z ∈ R p1
假设 ( A1 ) ( A, B2 ) 可镇定。
ω∈R
问题：求 K 使标称系统内稳定，且：
r (s) K (s) ⎡⎣1+ P0 (s) K (s)⎤⎦−1 < 1 ∞
-- H∞ 次优问题
说明：1） 上述条件也是必要的； 2） 可对应有 MIMO 系统的结果：1 → I ；
3） Δ (s) 可以是不稳定的，只要 P0 (s) 和 P (s) 具有相同数目的不稳定极点。
T = P (s) K (s) ⎡⎣1+ P (s) K (s)⎤⎦−1
其中
⎡W1S ⎣⎢W2T
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
W1 (1+ PK )−1
⎣⎢W2PK (1+ PK )−1
⎤ ⎥ ⎦⎥
=
⎡⎢W1 ⎡⎣1− PK (1
⎢ ⎣
W2PK (1+
+ PK )−1 PK )−1
⎤⎤ ⎦⎥ ⎥ ⎦
=
⎡W1 ⎢⎣ 0
1、干扰抑制问题 ⇒ 标准问题
d
y
K
P
−
G
ωd
y
z
u
−P
y
K
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min (1+ PK )−1
K内稳P
∞
z = d − Pu y = d − Pu u = ky w= d
G
⎡ ⎢⎣
z y
⎤ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣1
−P⎤ ⎡w⎤ −P⎥⎦ ⎢⎣u ⎥⎦
Tzw = 1+ (−P) K ⎡⎣1− (−P) K ⎤⎦−1 ⋅1 = (1+ PK )−1
考虑不确定系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
其中： A = A0 + ΔA ； B = B0 + ΔB
[ΔA ΔB] = DΩ[E1 E2 ] = DΩE
ΩT Ω ≤ I
问题：求状态反馈 u = Kx, s.t.
( E1 + E2 K ) ( sI − A0 − ) B0 K −1 D ∞ < 1
定义为
Fl (G, K ) = G11 + G12K ( I − G22K )−1 G21
H∞ 控制的标准问题：求一真实有理控制器 K ,使得闭环系统为内稳定，且使得Tzw
的 H∞ 范数极小，即
min
K内稳G
Tzw
∞
或使得闭环系统内稳定，且使得
Tzw ∞ < γ 其中 γ 是一给定正实数。
- H∞ 最优控制 - H∞ 次优控制
1 min
K 1+ PK ∞
-- H∞ 最优问题
（3） 频域鲁棒镇定问题
Δ
+
−
P0
K
} G = {P P = P0 + Δ, Δ 稳定，且 Δ ( jω ) ≤ r ( jω ) ,∀ω ∈ R
其中： P0 为标称对象； r ( s) 是已知的稳定的实有理函数。
• 鲁棒镇定： K 镇定 G ，即对 ∀P ∈G, K 使闭环系统内稳定。
其中
Y = Tyd ( jω0 ) ⋅ A , ε (t ) → 0,t → ∞ 。
可见
Tyd ( jω0 ) 小 ⇒ Y小
当 d 的频率成分很宽时，则要求：
sup Tyd ( jω ) → min ω
当 d 的频率成分分布在某一频带内时，则要求：
sup W1 ( jω )Tyd ( jω ) → min ω
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
r
=
Tzr r
性能指标等价为：
∫ min ∞ zT z dt = min z 2
0
2
设
{ } r ∈
r
r = Wd, d ∈ H2 ,
d
≤1
2
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-- H∞ 次优问题
问题：求 C1 和 C2 使系统内稳定，且：
⎡
min ⎢ sup ⎣ C1 ,C2 d∈H2 , d 2 ≤1
状态反馈 H∞ 控制问题
对于给定常数γ > 0 ，求一常数矩阵 F ，使得状态反馈 u = Fx ，满足如下条 件（称之为 SF 条件）：
A + B2F 为渐近稳定阵且 Tzω ∞ < γ
其中 Tzω ( s) = (C1 + D12F ) ( sI − A − B2F )−1 B1 + D11
设 rank ( D12 ) = i (≤ p1 ) ，U 和 Σ 是满足下式的任意矩阵：
1
( ) CF
=
⎡ ⎢⎣
I
+
D11
γ 2 I − D1T1D11
−1
D1T1
⎤ ⎥⎦
2
C1
( ) DF
= B1
γ 2I − D1T1D11
−1 2
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1
( ) FF
= ⎡⎢⎣I + D11
γ 2I − D1T1D11
−1
D1T1
⎤ ⎥⎦
2
D12
定理：对于满足假设 ( A1 ) 的系统 (*) ,满足 SF 条件的状态反馈矩阵 F 存在的充要
D12 = U Σ, U ∈ R p1×i , Σ ∈ Ri×m2 , rankU = rankΣ = i 选择矩阵 ΦF ∈ R(m2 −i)×m2 使其满足
ΦF ΣT = 0, ΦF ΦTF = I 当 i = m2 时，即 D12 为列满秩时，令 ΦF = 0 。 当 D12 = 0 时，令 ΦF = I , HF = 0 。
Δ ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1,∀ω ∈ R
那么， K 内镇定 G 中任意 P 的充分条件是：
r ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1,∀ω ∈ R
等价于
sup r ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1
G
⎡ ⎢⎣
z⎤ y ⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣1
r ⎤ ⎡w⎤
−
P0
⎥ ⎦
⎢⎣
u
⎥⎦
Tzw = 0 + rK (1+ P0K )−1
问题：求, K 使 G 内稳定，且 Tzw ∞ < 1。
3、跟踪问题 ⇒ 标准问题
r
u
y
C1 +
P
C2
求 C1,C2 ，使得系统内稳定，且
min
⎡⎢1 ⎢
−
1
C1P − C2P
⎡G11 ⎢⎣G21
G12 ⎤ ⎡w⎤
G22
⎥ ⎦
⎢⎣
u
⎥⎦
( ) z = ⎡⎣G11 + G12K
I − G22K
−1
G21
⎤ ⎦
w
= Fl (G, K ) w
= Tzww
ω
z
u
G
y
K
Fl (G, K )
其中 G 称为广义受控对象；Fl (G, K ) 为关于 G 和 K 的（下）线性分式变换(LFT)，