变结构控制

由图可见，系统状态的代表点由任何初始位置出发，总会 碰到直线s =0，约定把进到直线s =0叫做进入直线s =0，在这
条直线的领域，两结构的轨迹指向相对，故往后系统的运动
将是沿着 s=0 这条直线的滑动模态，如图中 s=0 上的锯齿线所 示。 直线 s=0是控制产生切换的边界线，由于控制切换，直线 s=0常被称为切换线；在x1=0上(相当于Y轴)，虽然ψ发生切换， 但控制不切换，因为u=–ψx1，所以，x1=0一般不叫切换线。
结构。“结构”是一种定性的概念，它应能定性地反映 控制系统的内在性质。 控制系统的许多定性性质都可在系统的相轨迹中反映 出来，如系统的稳定性、渐近特性、跟踪快速性、振荡 特性及系统行为的鲁棒性等。所以，相轨迹描绘了系统 的内在特性。
7.3 变结构控制与开关控制
一、变结构系统的基本概念
1.变结构系统的定义
统的状态方程，故有： 此关系式为一阶微分方程，它被用来作为描述滑动运动的方程， 叫滑动模态方程或滑动方程。显然，此方程的解为：
式中，t0为进入滑模线上的初始状态。当C>0时，此解稳定，
故变结构系统是稳定的。
由此例可见，两种都不稳定的变结构系统，若正确选择切换 线，引入滑动模态之后，系统可以是稳定的。
而且在切换面上系统会沿着固定的轨迹产生滑动运动。这类
特殊的变结构系统，叫滑动模态变结构控制系统，简称为滑 模变结构控制系统。以后提到变结构系统，或变结构控制，
除非有特殊说明，都是指的这一类有滑动模态的变结构系统。
滑动模态的概念
设系统状态方程为：
式中，x1 ， x2为系统的状态变量，a1 ，a2为固定参数，u为
第7章 变结构控制
7.1 相平面基础 7.2 结构的定义 7.3 变结构控制与开关控制 7.4 变结构控制系统中的滑动模态 7.5 滑模变结构控制 7.6 永磁同步电动机的离散时间趋近率控制
7.1 相平面基础
1)稳定焦点：不管初始状态如何，经过一些衰减振荡，最后趋于平衡状态， 奇点附近的相轨迹最终收敛于它的对数螺旋线，如图71所示。 2)不稳定焦点：相轨迹也是一族对数螺旋线，但运动过程是振荡发散的，如 图72所示。 3)稳定节点：相轨迹非周期地趋向于平衡状态的过程，这种奇点称为稳定节 点，如图73所示。 4)不稳定节点：相轨迹非周期地趋向于发散，这种奇点称为不稳定节点，如 图74所示。
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中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。
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中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。
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中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。
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7.2 结构的定义
它不指控制系统的物理结构，也不指系统框图形式的
当ψ=-α时，得到另外一种系统结构:
在这种情况下，系统的特征根是一正一负实根，此时，系 统的奇点为不稳定的鞍点。 若x二阶导数和x 前的系 数异号，其相轨迹呈鞍形， 这种奇点为鞍点。
由上面分析可知，如果选择其中一种情况做为系统的控制
律，原系统都无法达到稳定。即原点要么是不稳定的焦点， 那么是不稳定的鞍点。 针对上面控制器存在的问题，选择一个滑模函数s，且此
在上例中，我们注意到a是根据x1 x2的符号来切换的，它 并不维持不变，但只在间断的时刻切换，它的切换也并不只 决定于x1或x2。 这个系统，满足广义变结构系统的定义，但是，像这样一 些广义的变结构系统还很多，这种变结构系统是一般意义下 的转换控制系统。
2. 滑动模态变结构的概念和定义
一类变结构系统，其特殊之处在于，系统的控制有切换，
直线s =0为切换线；而x1=0一般不叫切换线？
如：当系统从(Ⅱ区)进入(Ⅰ区)时，在此阶段，s>0一直不变， 而x1<0变成x1>0，则ψ发生切换，但控制的变换是从u=αx1变 换成u=-αx1，显然，在 x1的这个变换过程中，控制力的符号 没有发生改变。事实上，控制力可表达为：
若系统的运动一旦进入滑动模态，则Cx1 + x2＝0，又根据系
控制函数，其中，a1 >0，a2<0。
用x1构造一个控制作用： 当ψ=α时，得到一种系统结构，其中α>a1为常数。
当ψ = α 时，得到一种系统结构，其中α >a1为常数。
从上式可知道，在这种情况下，系统的特征根是正实部复 根，此时，系统的奇点为不稳定的焦点。
-1<ξ<0，其相轨迹于奇点螺旋发散，称这种奇点为不稳定焦 点。
函数选择为：s=Cx1 + x2，并当s=0时，选择参数C，使Cx1
+x2=0(C>0)位于x1轴和ψ=–α时的双曲线轨迹的渐进线之间。
其结构改变的规律具有如下形式：
注意：当x1>0，s>0(Ⅰ区)和x1<0，s<0(Ⅲ区)时，相轨迹为
不稳定焦点的轨迹；当x1<0，s>0(Ⅱ区)和x1>0，s<0(Ⅳ区) 时，相轨迹为鞍点的轨迹。
广义地说，在控制过程（瞬态过程）中，系统结构（模
型）可发生变化的系统，叫变结构系统。
如设有系统：
则此系统的特征方程为： 若a保持不变，则不论a取什么值，此系统都不会渐近稳定。
对此系统取如下Lyapunov函数：
若x1 x2>0时，取a<-2；若x1x2<0，取a>-2。则可保证V(x)函
数的导数总为负，于是系统渐近稳定。
滑动模态变结构的定义
一非线性控制系统：
确定切换函数向量为： 其具有的维数，一般等于控制的维数，寻求变结构控制：
变结构控制系统设计的问题
设计的2个问题
A. 选择切换函数，或者说确定切换面si=0； B. 求取控制ui(x)
切换函数的选择
在开始的例子中，切换函数是 s=Cx1+x2 ，这时，控制在 s=Cx1+x2=0 上进行切换，这个系统为单输入控制系统，切换 函数只有1个。确定了切换函数，也就确定了滑动模态方程为， 其稳定性与品质是线性系统中的一个简单问题。
5)鞍点：相轨迹是一族“双曲线”，属于不稳定平衡状态，如图75所示。
6)中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如图。
中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。
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中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。
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中心：奇点附近的相轨迹是一族封闭曲线，这种奇点称为中心，如 图。