第9章 振动信号的处理和分析(22页)

第9章振动信号的处理和分析

飞行器的振动现象，表现为结构振动量的时间和空间的函数。人们希望通过对飞行器结构振动信号的测量和分析，来了解飞行器结构本身的物理特性，建立适宜的数学模型，从而预测飞行器在工作条件或所处环境中的运行行为及其对结构的强度、刚度，以及运行安全乃至相关人员的舒适性的影响。简言之，飞行器结构的振动特性是通过振动信号的测量、处理和分析确定的。在确定结构动特性时，数据采集应归于测量，而出于分析的需要，将信号进行数据离散（变换）、截断（加窗）、滤波等则可狭义地归为处理。传统地看法将变换视为分析，其实这也是一种处理。但广义地说，处理也是一种分析手段。因此，本章内容在阐述时并不严格地区分哪些是处理，哪些是分析，而是把处于处理和分析的每一个环节都作为一种方法来阐述。

§9.1 振动信号的分类

不同类型的信号将有不同的分析方法和选定不同的分析参数，按照信号本身的特性，最基本的分类可概括为稳态信号和非稳态信号两类，如图9.1.1所示。

图 9.1.1 振动信号的类型

稳态信号是其统计特性不随时间而变化的信号，它可以分为稳态确定性信号和稳态随机信号。其中稳态随机信号可认为是一种其平均特性不随时间变化，因而可以用任意一条样本记录来决定的随机信号。这也是所谓稳态的一般含义，无论对于确定性信号或是对于随机性信号皆是如此。但对于随机信号来说，稳态不是理解为从不同的记录样本所得到的结果都必须完全一样，而只意味着它们是等价的。

稳态确定性信号对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。而对于稳态随机信号，只能确知其统计特性，如平均值、方差等。

非稳态信号可粗略地分为连续性非稳态信号和瞬态信号，语言信号是典型的连续性非稳态信号。两者最基本的区别是，瞬态信号可以作整体处理，而连续非稳态信号一般可分成若干短时信号段来处理，每一段常常可以看成是拟稳态的。

稳态确定性信号是完全由具有离散频率成分的正弦信号组成的信号，又可分为周期性信号和拟周期性信号。对于周期信号来说，所有离散频率成分均表现为某种基频的倍数。而所谓拟周期信号，其不同频率成分的频率之间不具有谐和关系。极端地说，在这些频率成分中，

这样的无理数。但在实际上，拟周期信号的典型情况是由互相独立的两组或两组以上谐和信号复合而成的，如双转子轴流式发动机的高低压转子系统所产生的合成信号，即可认为是拟周期信号。

§9.2 傅里叶变换

信号处理和分析的目的在于从测量信号中提取尽可能多的适于应用的信息。时域信号是信号的时间历程，如果我们要了解信号的频率组成，则应将时域信号变换成频域描述，变换处理时分析有用参数的一种常用方法。

傅里叶变换（简称傅氏变换，FT ）是一种能够将信号从时域到频域、从频域到时域来回变换的传统方法，也是信号处理的一种主要方法。

§9.2.1 傅氏级数及其复数表达法

傅氏级数是分析周期信号频率成分的方法。

对于任意时间域的周期信号()()x t x t T =+，一般总可表示为级数的形式，即

01

()(cos sin )2k k k k k a x t a t b t ωω∞

==++∑

(9.2.1)

式中

/20/2/2/2

/2/202()d 2()cos d 2()sin d 2πT T T k k

T T k k T k a x t t T a x t t t

T b x t t t

T k k T

ωωωω---⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪==⎩⎰⎰⎰ (9.2.2)

其中，k a 和k b 为傅氏级数第k 阶分量的系数，可用图9.2.1表示。k ω为第k 阶圆频率，而

02π

T

ω=

则称为基频，或第1阶圆频率。 式(9.2.1)和(9.2.2)实际上是完成了一种信号变换。其正变换为式(9.2.2)，从时域信号变为频域信号；反变换则为式(9.2.1)，从频域信号变为时域信号。

根据欧拉公式cos sin ix

e x i x =+，可得

图 9.2.1 傅里叶系数示意图

000000

1cos ()2

1sin (),1

2

jk t jk t

jk t jk t k t e e k t e e j ωωωωωω--⎧=+⎪⎪⎨

⎪=-=-⎪⎩ (9.2.3)

令00c a =，1()2k k k c a jb =

-，1

()2

k k k c a jb -=+，便可得傅氏级数的复指数函数形式为

正变换：

0/2/21()d T jk t

k T c x t e t T

ω--=

⎰ (9.2.4)

反变换：

0(),0,1,2,

jk t

k

k x t c e

k ω+∞

=-∞

=

=±±∑ (9.2.5)

图9.2.2在三维图上画出k c 和k c -的复矢图。k c 和k c -是式(9.2.5)的一对复共轭系数。图中k c -对应于k ω-，引入负频率纯属数学处理技巧，并非负频率真实存在。

图 9.2.2 k c 和k c -复矢图

§9.2.2 傅氏积分变换

傅氏积分是傅氏级数的拓广，以用于分析周期为无限长的函数。

在傅氏级数中，当T →∞时，2πd T ωω=→，0k ωω→，1d 2πT ω

→，+∞+∞-∞-∞

→∑⎰，于是式(9.2.4)变为

d 1()d ()d d ()d 2π2πj t j t

k c x t e t x t e t X ωωωωωω+∞+∞---∞-∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦

⎰⎰ (9.2.6)

由此变得到傅氏积分变换

正变换：

1()()d 2πj t

X x t e t ωω+∞--∞

=

⎰

(9.2.7)

反变换：

()()d j t x t X e ωωω+∞

-∞

=⎰

(9.2.8)

在有些著作或应用中，人们习惯采用频率f 而不是圆频率ω，根据2πf ω=，

d 2πd f ω=，于是有

2π2π1()d 2πd ()d d 2πj ft j ft k c x t e t f x t e t f +∞+∞---∞-∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰⎰ (9.2.9)

因此傅氏积分变换对变为 正变换：

2π()()d j ft X f x t e t +∞

--∞

=⎰

(9.2.10)

反变换：

2π()()d j ft x t X f e f +∞

-∞

=⎰

(9.2.11)

§9.2.3 傅氏级数与傅氏积分变换间的关系

分析§9.2.1和§9.2.2中傅氏级数与傅氏积分变换的变换对不难理解，对于傅氏级数

来说，k a 、k b 以及k c 的量纲就是x 的量纲。而对于傅氏积分变换，()X ω或()X f 的量纲与/x f 的量纲相同。因此，k c 是一种离散的幅值谱，而()X f 应称之为幅值的频率谱密度。 另外，傅氏级数适用于周期函数的变换，傅氏积分变换适用于瞬态函数的变换，也就是说，而傅氏积分可看作傅氏级数的推广，是非周期函数在无限区间上的分解。因此，变换的结果，傅氏级数得到的为离散的幅值谱，傅氏积分变换得到的连续的密度谱。