理论力学14动能定理1

[例3] 如图，质量为 m、长为 l 的匀质杆绕定轴 O 摆动，已知摆动
方程为 = 0 sinbt，其中 0、b 为常数，试计算该杆在任一瞬时的
动能。
解：杆件对轴O 的转动惯量
JO
1 ml 2 3
角速度
d
dt
0bcosbt
故得该杆在任一瞬时的动能
O
l
T
1 2
J O 2
1 6
ml 202b2cos2bt
vC
C R
C
圆柱体 C 作平面运动，其质心速度
vC v ，角速度
C
vC
R
v
R
B
BR
Av
重物 A 的动能 滑轮 B 的动能
TA
1 2
m2v2
TB
1 2
J
2
BB
1 2
1 2
m1R2
v R
2
1 4
m1v2
vC
C R
C
B
BR
Av
圆柱体 C 的动能
TC
1 2
m1vC2
1 2
JCC2
1 2
m1v2
1 2
[例4] 如图，定滑轮B（可视为匀质圆盘）和匀质圆柱体 C 的质量
均为 m1、半径均为 R，重物 A 的质量为m2，圆柱体 C 沿倾角为
的斜面作纯滚动，已知重物 A 的速度为v。假设绳与轮间无相对滑 动，并不计绳的质量，试求系统的动能。
解： 重物 A 平移，速度为v
滑轮B 绕定轴转动，角速度为
B
v R
T
1 2
mi
vi
2
三、刚体的动能 1. 平移刚体
T 1 mv2 2
2. 绕定轴转动刚体
T
1 2
J z 2
式中，Jz 为刚体对转轴 z 的转动惯量
3. 平面运动刚体
T
1 2
JP2
或者
T
1 2
JC 2
1 2
mvC2
式中，JP 为刚体对速度瞬心轴 P 的转动惯量 JC 为刚体对质心轴 C 的转动惯量 vC 为刚体的质心 C 的速度
W Mz F 2 1
z
d
r ds
F
[例1] 如图，两等长的杆 AC、BC 在 C 处铰接，并悬挂质量为 m 的 物块D。一刚度系数为 k 的弹簧连于两杆的中点，弹簧的自然长度 l0 = AC/2，且 AC ＝ BC 。若不计两杆自重，试求当 ∠CAB 由 60°变为 30°时，作用与系统上的所有力所作的总功。
式中，k 称为弹簧的刚度系数。 弹性力的功
O
x
x0
O
x0
F x
x
W
1k 2
12 22
式中，1 = x1－x0 、 2 = x2－x0 ，分别为弹簧的初、末变形量。
说明： 弹性力的功为状态参量，与路径无关。
3. 绕定轴转动刚体上力（力偶）的功
W
M 2
1
z
F d
若 Mz F Const，则有
第十四章 动能定理
从能量的角度来分析和处理质点与质点系的动力学问题，主要用于 求解速度（角速度）和加速度（角加速度）。
第一节 力的功
一、常力在直线运动中的功
定义 W F r Fs cos
M1
为常力 F 在路程 s 上作的功
其中， 为力F 与位移 r 正方向之间的夹角
说明 （1）功为代数量 （2）功的单位为 J（焦耳），1 J = 1 N·m
z
M1 x1, y1, z1
三、几种常见力的功 1. 重力的功
W mg z1 z2 mgh
式中，h 为重心的高度差
h
mg
M 2 x2 , y2 , z2
y
x
说明 （1）重心下降作正功，上升作负功。 （2）重力的功为状态参量，与路径无关。
2. 弹性力的功
弹性力 F k x x0 i
作用一力偶，力偶矩按 M = 4 的规律变化（M 以 N·m 计， 以 rad
计）。设绳与盘之间无相对滑动，试求转角由 0 到 2 时，作用于系
统上的所有力所作的总功。
解：1）物块的重力的功
W1 mAg r mB g r 9.8π J
M
O
2）力偶的功
W2
2π
M d
0
2π
4 d
8π2
J
0
弹性力的功
W2
1 2
k
12
2 2
2
3 1
2
k l02
C
60 30
故得作用于系统上的所有力所作的总功
W W1 W2 mg
3 1 l0
2
3 1
2
k l02
[例2] 如图，圆盘的半径 r = 0.5 m，可绕水平轴 O 转动。在绕过圆
盘的绳上悬挂两物块 A、B，质量 mA = 3 kg、mB = 2 kg。在圆盘上
解：1）物块 D 的重力的功 物块 D 下降的高度差
z1 z2 2l0 sin60 sin30
3 1 l0
故得物块 D 的重力的功
W1 mg z1 z2 mg 3 1 l0
C
60 30
2）弹性力的功 弹簧的初变形量
1 0
弹簧的末变形量
2 2l0cos30 l0 3 1 l0
1 2
m1R2
v
2
R
3 4
m1v2
故系统的动能
T
TA
TB
TC
1 2
m2
2m1 v2
B
故得作用于系统上的所有力所作的总功
A
W W1 W2 9.8π J 8π2 J 110 J
mA g
mB g
第二节 动能
一、质点的动能 定义： 1 mv2
2 单位： J（焦耳）， 1 kg m2 s2 1 N m 1 J
二、质点系的动能 质点系的动能定义为质点系中所有质点动能的总和，记作 T，即
F
r
s
M2
二、变力的功
1. 自然坐标形式
元功 总功
δW F dr F cos ds
W s2 F cos ds s1
M1 M ds dr M M 2
r
r F
2. 直角坐标形式
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元功
δW F dr Fxdx Fydy Fzdz
总功
W
M2 M1
Fxdx Fydy Fzdz
式中，Fx、Fy、Fz 分别为力 F 在 x、y、z 轴上的投影