几何基础与非欧几何简介

• 希尔伯特于1899年出版了《几何基础》这 一世界公认的公理化方法的经典不朽之作， 在前人研究成果的基础上建立起了一个相 对更加和谐、独立和完备的新的几何公理 体系——希尔伯特公理体系。它是欧几里 得“公理体系”的继承发展和升华。
• 希尔伯特公理体系包括三个原始概念：点、 线、面；三个不定义关系：在……之间、 在……之上、合同于；五个基本关系：两 个结合关系（点与直线结合、点与平面结 合）；一个顺序关系（一点在另两点之 间）；一个合同关系（线段与线段合同、 角与角合同）；以及以下五类（结合公理、 顺序公理、合同公理、平行公理、连续公 理）共二十条公理的公理体系。
• 最后一个公理是德国数学家帕须 （Pasch,1843-1930年）首先提出来的， 也叫截割公理。
• 同样，如果只是建立平面几何学体系，可 以去掉最后一个公理。
• 第三类公理
合同公理
• 有了“在……之间”的概念和顺序公理， 就可以得出以下定义： • 线段：介于A、B两点之间，有无限多个 点。这些点的全体叫做线段。
• 现在我们认定线段与线段之间、角与角之 间具有一种相互关系，这个关系我们用 “合同”或“相等”一词表示。有时也用 “＝”来标记。
• 这组公理有5个： Ⅲ1 设A，B是直线a上两个不同的点，A’是 同一或另一直线上a’的点，那么在a’和A’的 指定一侧恒有点B’，使线段AB和线段A’B’ 合同(相等或全合),记为AB= A’B’ 。 Ⅲ2 如果两个线段（相同或是不同的）都与 第三个线段合同，那么这两个线段合同 （相等）。简言之，若AB= A’B’ ， AB A '' B '' 则 A ' B ' A '' B ''
无序两点A和B的集合叫做线段，记为AB或 BA．A和B之间的点叫线段AB内部的点或内点或线 段AB上的点．点A和B都称为线段AB的端点．在直 线AB上, 除去点A、B和线段AB的内点外, 其它的点 叫做线段AB外部的点或外点． 点A和B之间的一切 点的集叫做线段AB的内部或开线段，记为(AB)．
Ⅱ3 在同一条直线上任意三个不同的点中， 至多有一个点在其它两个点之间。 Ⅱ4 （帕须公理）设A，B，C三点不在同一 条直线上，而直线在平面ABC上，但不通过 A，B，C中任何一点，如果上有一点在A和B 之间，则必还有一点在A和C或B和C之间。
• 由Ⅰ4 、Ⅰ5 也可得到如下我们熟悉的一个 推论： 推论3：任意不在同一直线上的三个点确定唯 一的通过它们的平面。（“不在同一直线 的三点确定唯一平面”）
• 另外，如果只是建立平面几何学体系，可 以去掉后五个公理。当然，在《标准》意 义下，我们主张作为教师还是要全面理解
整个体系并能与现行中小学教材中所采用
Ⅰ6 如果一直线有不同两点在某一平面上， 那么直线全在平面上。 Ⅰ7 如果两个平面有一个公共点，那么至少 还有另一个公共点。 Ⅰ8 至少有四个点不在同一平面上。 • 显然，由Ⅰ1 、Ⅰ2 可以得到我们熟悉的 两个推理： 推论1：任意不同的两个点确定唯一通过它们 的直线。（“不同两点确定唯一直线”） 推论2：不同两条直线至多有一公共点。
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第五，利用图形移动不变性，用重合来证明 全等，此法至少有两点不足： 一是移动、重合概念没有逻辑依据， 二是为什么会有图形的移动不变性？ • 哪些几何性质在图形移动中不变都没有交 代清楚，也不可能交代清楚等。
• 为了克服以上缺陷，后来者，从多方面展 开了研究。从公元三世纪的帕善朗到后来 的法国数学家达朗贝尔于1757年首次对 《几何原本》提出批判意见、勒让德于 1794年编写新几何教材对《几何原本》也 提出了的批判。最后，集大成者应该是德 国数学家希尔伯特。
• 第一类公理 结合公理（也称为关联公理或从属 公理） Ⅰ1 对于两个不同的点，必有一条直线通过这两 点。 Ⅰ2 对于两个不同的点，至多有一条直线通过这两 个点。 Ⅰ3 每条直线上至少有两个不同的点，至少有三个 点不在同一直线上。 Ⅰ4 对于不在一条直线上的三个点，恒有一个平面 通过其中每一个点，每个平面上至少有一个点。 Ⅰ5 对于不在同一直线上的三个点，至多有一个平 面通过其中每一个点。
几何基础是研究几何学的理论基 础，以及相关问题的一门学科。 ——题 记
提 纲
一、希尔伯特公理体系 二、非欧几何
一、希尔伯特(Hilbert，David)公理体系
• 在人类认识的长河中，无论怎 样高明的前辈和名家，都不可 能把问题全部解决。欧几里得 的“几何公理体系”也并不另 外。有人就曾经列举过《几何 原本》至少存在的以下五个方 面的不足：
第一，定义含糊不清，有时无法理解，所用 的都是一些日常用语，而不是精准的数学 语言，如“点是没有部分的”，“线是有 长度但是没有宽度的”等等。 第二，证明过程常常依赖直观，这样可能由 于作图的不精准或直观错觉，导致得出不 正确的结论。
第三，公理系不完备，缺少顺序公理、合同 公理和连续公理（事实上欧几里得在逻辑 推理中曾经使用了“连续”的概念，但是 在《几何原本》中从未提到过这个概念）。 第四，有些公理不独立，例如第四公设“所 有直角都相等”，很容易从其它公理推导 出来。
的“局部公理化体系”意义下的几何发生
关联。
• 第二类公理 顺序公理（也称为介于公理） • 设有同在一直线上的三点，则我们由经验 上知道有一个点介于两点之间。“介 于……之间”或“在……之间”这个概念 乃表示三点的“顺序关系”，希尔伯特采 用它作为原始概念或称元谊。 • 本组公理有四条： Ⅱ1 如果点B在点A和点C之间，那么A，B，C 是同一直线上的不同的三个点，而且点B也 在点A和点C之间。 Ⅱ2 对于任意不同的两个点A和点B，至少有 一点C，使得点B在点A与点C之间。
• 射线：设O和A是直线上两点。则除这两点 外，在直线上还有无限个点X，使得O不介 于A和X之间，又有无限个点Y，使得O不介 于A和Y之间。所有一切X点连同A点组成的 总体，以及一切Y点合成的全体，各叫做一 条半线或射线。记着射线OX及0Y.点0叫端 点或原点。
• 角：一点0及由这点发出的两条射线0X与 0Y合起来叫做一个角。