湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试卷 含答案
湖北省2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考数学试题 - 含答案
错．误．的是（ ）
A．从正方形
ABCD
开始，连续
3
个正方形的面积之和为
129 4
图（1）
B． an 4
10 n1 4
C．使得不等式
bn
1 2
成立的
n
的最大值为
4
D．数列bn 的前 n 项和 Sn 4
图（2）
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
以 O 点为坐标原点，分别以 OC, OE, OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的
3
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 3 ，角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D ，求 ABD 面积的取值范围．
22．（本小题 12 分）已知函数 f (x) 1 ax2 (a 1)x+ ln x a 0 ．
2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1 时，判断函数 g(x) f (x) (x 1) ln x x 1 的零点个数．
l : y kx m(km 0) 与双曲线 C 相交于不同的两点 M , N ，若 BM BN ，求实数 m 的
取值范围．
20．（本小题 12 分）在锐角三角形 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
c sin B 3 b cos( A B) 3 b ．
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 5页
2020-2021学年湖北省某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1. 若{1, 2, a}∪{2, a2}={1, 2, a}，则a的取值集合为（）A.{0, −1}B.{0, ±1}C.{0, 1 }D.{−1, 1}2. 已知全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}，集合N={y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于（）A.{x|x>1}B.{x|x<−2或x≥0}C.RD.{x|x<−1或1<x≤3}3. 已知a>c，b>d，则下列结论正确的是（）A.ab+cd−ad−bc>0B.(a+b)2>(c+d)2C.a−b>c−dD.ab>cd4. 直角梯形OABC中AB // OC、AB=1、OC=BC=2，直线l:x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.5. 已知函数f(x)=(x−2)(mx+n)为偶函数且在(−∞, 0)上单调递增，则使f(x+1)<0成立的x的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(−3, 1)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)6. 设p“两个一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同”，q“∃k≠0，使a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2”，那么p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1x2−4x+3，x≥1的值域为R，则a的取值范围是（）A.[−2,12) B.(−1,12) C.(−2,12) D.[−1,12)8. 使函数f(x)＝{mx−1，x>1−x+1,x≤1满足：对任意的x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)的充分不必要条件为（）A.−1<m<12B.m<0或m>1C.−12<m<12D.0<m<1二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）集合M={x|x=2k−1, k∈Z}，P={y|y=3n+1, n∈Z}，S={z|z=6m+1, m∈Z}之间的关系表述正确的有（）A.S⊆MB.S⊆PC.P⊆SD.M⊆S设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是（）A.a2>2a−1B.(a+b)(1a+1b)≥4 C.a2+b2a+b≥√ab D.a2b+b2a≥a+b如果对定义在R上的奇函数y=f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数y=f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A.f(x)=−x3B.f(x)＝x+1xC.f(x)=x|x|D.f(x)＝x13已知函数f(x)＝|x|x+1，则（）A.f(x)在[0, +∞)上单调递增B.f(x)是奇函数C.方程f(x)+x 2−1=0有两个实数根D.函数f(x)的值域是(−∞, −1)∪[0, +∞) 三．填空题（本大题共4小题，共20分）已知幂函数f(x)=x m+2过点(2, 8)，且f(k 2+1)+f(2k −4)<0，则实数k 的取值范围是________．函数y =1−√−x 2+6x 的单调递增区间是________．已知函数f(x)的定义域为[1, 3]，则函数f(2x +1)的定义域为________．若正实数a ，b 满足a +2b =4，则2a+2+1b 的最小值是________．四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1）求函数y ＝x +2√2−x 的值域； （2）若函数y ＝=√kx 2+2kx+21的定义域为R ，求实数k 的取值范围．已知集合A ={x|62+x ≥1}，B ={x|x 2−(m +4)x +m +7<0}． （1）若m =3时，求A ∩(∁R B)；（2）若A ∪B =A ，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)是定义在(−3, 3)上的奇函数，当−3<x <0时，f(x)=x 2+2x −1．（1）求函数f(x)在(−3, 3)上的解析式．（2）画出函数f(x)的图象并根据图象写出函数的单调区间和值域．（3）解不等式xf(x)>0．2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x 台的总收益满足函数R(x)＝{480x −12x 2，0≤x ≤500115000,x >500，其中x 是仪器的月产量． （1）将月利润f(x)表示为月产量的x 的函数．（总收益=总成本+利润）（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？设函数f(x)＝ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(1)=1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断f(x)在(−1, 1)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f(t −1)+f(t 2)<f(0)．已知函数f(x)=x|a −x|+2x ，a ∈R ．（1）若函数f(x)在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ∈[−4, 6]，使得关于x 的方程f(x)−tf(a)=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数模型较选溴与应用函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．填空题（本大题共4小题，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组对象不能构成集合的是（）A.中国古代四大发明B.所有无理数C.2024年高考数学难题D.小于π的正整数【答案】C 【解析】【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【详解】对于A ，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A 能构成集合；对于B ，所有无理数定义明确，即B 能构成集合;对于C ，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C 构不成集合；对于D ，小于π的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D 能构成集合.故选：C2.已知集合103x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = （）A.{}13x x -<< B.{}13x x <<C.{}13x x ≤≤ D.{}13x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，1{|0}{|13}3x A x x x x +=≤=-≤<-，而{}1B x x =≥，所以{}13A B x x ⋂=≤<.故选：D3.已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A.2B.1- C.4D.2或1-【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m 值，再由单调性验证即得.【详解】因函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,+∞)上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,+∞)上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B4.已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，且()()113f x f x -<-，则x 的取值范围是（）A.12,23⎛⎤⎥⎝⎦B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及单调性可得1x -，13x -满足的条件，由此即可解得x 的范围．【详解】由题意，函数()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，因为()()113f x f x -<-，得1311131111x x x x -<-⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得1223x <≤，所以x 的取值范围是12,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.5.若0a >，0b >，23a b +=，则12a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【详解】根据题意可得()12112122121453;333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当22a bb a=即1,1a b ==时，等号成立，此时最小值为3.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A.()11f x x =-B.()11f x x =-C.()311f x x =+ D.()211f x x =+【答案】B 【解析】【分析】首先由函数的定义域排除CD ，再由01x <<时，()0f x <排除A ，即可得答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞，因为()311f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以排除C ，因为()211f x x =+的定义域为R ，所以排除D ，因为当01x <<时，()101f x x =<-，所以排除A ，故选：B7.已知函数22()24f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A.(),8-∞- B.[]8,6-- C.(],6∞-- D.(),6-∞-【答案】C 【解析】【分析】令()t f x =，求出不等式()0<f t 的解，再代入判断列式求解.【详解】函数2()()44f x x a =--≥-，设()t f x =，不等式(())0f f x <为()0<f t ，即2()40t a --<，解得22a t a -<<+，依题意，22()42a x a a -<--<+无解，即不等式22()6a x a a +<-<+无解，因此60a +≤，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-.故选：C8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数()[]f x x =称为高斯函数，其中x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]21.1-=-，[]2.52=，则方程][[21]4x x x ++=的所有大于零的解之和为（）A.12 B.34C.32D.74【答案】D 【解析】【分析】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，可得122k kx -≤<，2242k x k -≤<，分类讨论k 为奇数和偶数的情况，求出k 的值，再代入求解即可.【详解】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，则[21]x k +=，于是122k kx -≤<，2242k x k -≤<，若k 为奇数，则12k -∈Z ，1[]2k x -=，1[21]42[]k x k x x -++=+=，则312222k k k --≤<，解得13k -<≤，1k =或3k =，当1k =时，102x ≤<，[]0x =，[21]1x +=，104x +=，解得11[0,42x =∈，当3k =时，312x ≤<，[]1x =，[21]3x +=，314x +=，解得31[1,2x =∈；若k 为偶数，则2k ∈Z ，则[]12kx =-，[21]14[]2k x k x x ++=+-=，则322122kk k -≤-<，解得2k -2<≤，0k =或2k =，当0k =时，102x -≤<，[]1x =-，[21]0x +=，104x -+=，解得11[,0)42x =-∈-，当2k =时，112x ≤<，[]0x =，[21]2x +=，024x +=，解得11[,1)22x =∈，所以所有大于零的解之和为1171424++=.故选：D【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有下列四种说法，正确的说法有（）A.奇函数图象不一定过坐标原点B.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ，210x x ++<”C.若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()y f x =在R 上是增函数【答案】AD 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B ，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C ，举反例0b =即可；对D ，根据单调性的定义即可判断.【详解】对于A ，奇函数的图象不一定过坐标原点，如()()10f x x x=≠是奇函数，它的图象不过原点，所以A 正确；对于B ，命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“2R,10x x x ∃∈++≤”，B 错误；对于C ，若0b =，则由a c >不能推出²²ab cb >，故“a c >”不是“²²”ab cb >的充要条件，故C 错误；对于D ，根据题意知，a b >时，()()f a f b >，a b <时，()()f a f b <，由单调性的定义知，=在R 上是增函数，D 正确.故选：AD.10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a > B.0ax c +>的解集为{}6x x <C.8430a b c ++>D.20cx bx a ++<的解集为11{|}23x x -<<【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，可得6,,0c a b a a =-=-<，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得.【详解】由不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，得0a <且2,3-是方程²0ax bx c ++=的两个根，则3(2),3(2)c ba a⨯-=+-=-，即6,c a b a =-=-，对于A ，0a <，A 错误；对于B ，不等式0ax c +>为60ax a ->，而0a <，解得6x <，B 正确；对于C ，843843(6)140a b c a a a a ++=-+-=->，C 正确；对于D ，不等式²0cx bx a ++<为260ax ax a --+<，即2610x x +-<，解得1123x -<<，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+，且()10f =.当0x >时，()1f x <.则下列选项正确的是（）A.()01f =B.()21f =-C.()1f x -为奇函数 D.()f x 为R 上的增函数【答案】ABC 【解析】【分析】对A 直接赋值0x y ==即可；对B ，赋值2,1x y ==即可；对C ，利用奇偶性定义判断即可；对D ，根据单调性的判断方法判断即可.【详解】对于A ，由题可知()()()0001f f f =-+，故()01f =，故A 正确；对于B ，由题可知()()()()()()21211122111f f f f f f -=-+==-=-，，故B 正确；对于C ，()()()()0012f x f f x f x -=-+=-，故()()()111f x f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，为奇函数，故C 正确；对于D ，当12x x >时，()()()12121f x f x f x x -=--，∵1>2,∴1−2>0,∴1−2−1<0∴是R 上的减函数，故D 错误.故选：ABC.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()()01f x x =++的定义域为______.【答案】()(],11,3-∞-- 【解析】【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量x 的取值范围，再求交集即可.【详解】因为()()01f x x =+，所以3010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≤且1x ≠-，所以函数的定义域为(()(],11,3∞--⋃-.故答案为：()(],11,3∞--⋃-.13.已知集合,,1y A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B x x y =+，若A B =，则2x y +=_________.【答案】2-【解析】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知0x ≠，由于A B =可知0y =，此时{},0,1A x =，{}2,,0B x x =所以21x =，解得1x =-或1x =(舍去)即22x y +=-.故答案为：2-14.设函数22,2()26,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则123223x x x ++的取值范围是_________.【答案】29[13,2【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到122x x +=，37[3,2x ∈，求出答案.【详解】画出函数()f x 的图象，观察图形知，仅当10a -<≤时，方程()f x a =有三个不等实根，分别对应直线y a =与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设123x x x <<，显然12,x x 关于1x =对称，则122x x +=，另一个交点位于直线26y x =-+上，在26y x =-+中，当10y -<≤时，732x ≤<，即37[3,2x ∈，因此12321224,3[9,)2x x x +=∈，所以12329223[13,2x x x ++∈.故答案为：29[13,2三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤.15.设全集U =R ，已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1B x m x m =≤≤+.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|0m m <或3}m >（2）{|12}m m ≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A ，然后结合集合的交集运算即可求解；（2）由题意得B A ⊆，然后结合集合的包含关系即可求解．【小问1详解】由²430x x -+≤，解得13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤．因为A B =∅ ，且B ≠∅，所以11m +<或3m >，得0m <或3m >，所以实数m 的取值范围是{|0m m <或3}m >；【小问2详解】因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，所以B A ⊆，所以113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，所以实数m 的取值范围是{|12}m m ≤≤．16.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.【答案】等腰三角形腰长为20m ，所用篱笆长度的最小值为60m .【解析】【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解.【详解】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点B ，C 作下底的垂线，垂足分别为E ，F ，则2BE a=，2a AE DF ==，则下底22a a AD b a b =++=+，该等腰梯形的面积()()2224b a b S a a b a ++=⋅=+=，所以()21200a b a +=，则6002a b a =-，所用篱笆长为6006003226022a a l a b a a a =+=+-=+≥=，当且仅当60032aa =即()20m a =，()20mb =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为20m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m .17.函数()f x 的定义域为{}0D x x =∈≠R ，且满足对于任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当1x >时，()0f x >.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）如果()41f =，解不等式()23f x -<.【答案】（1）证明见解析（2）(62,2)(2,66)-⋃【解析】【分析】（1）令12,1x x x ==-，121x x ==-从而得到()()f x f x -=，即可证明；（2）通过赋值代换得(|2|)(64)f x f -<，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可.【小问1详解】因对定义域内的任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12,1x x x ==-，则有()()(1)f x f x f -=+-，又令121x x ==-，得2(1)(1)f f -=，再令121x x ==，得(1)0f =，从而(1)0f -=，于是有()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.【小问2详解】由于(4)1f =，所以3111(4)(4)(4)(444)(64)f f f f f =++=++=⨯⨯=，于是不等式(2)3f x -<可化为(2)(64)f x f -<，由（1）可知函数()f x 是偶函数，则不等式可化为(|2|)(64)f x f -<，设120x x <<，则()()()()()222121111111x x x f x f x f x f x f x f x f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于120x x <<，所以211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以可得26420x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得62662x x -<<⎧⎨≠⎩，所以不等式(2)3f x -<的解集为(62,2)(2,66)-⋃.18.已知函数()322x ax b f x x --=+为R 上的奇函数，且()21f -=.（1）求实数,a b 的值；（2）试判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并说明理由；（3）求函数()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦（其中33x -≤≤）的值域.【答案】（1）7a =，0b =；（2）函数()f x 在区间()1,+∞单调递增，理由见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果；（2）利用单调性定义按照步骤即可证明()f x 在区间1,+∞单调递增；（3）由换元法得出函数()g x 的表达式，再由（2）中的结论得出其在33x -≤≤上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果.【小问1详解】根据题意可得()00f =，即()02b f x =-=，可得0b =；再由()21f -=可得()82142a f x -+==+，解得7a =；当7a =，0b =可得()3272x x f x x -=+，经检验此时()f x 满足()()3272x x f x f x x -+-==-+，为奇函数，所以7a =，0b =【小问2详解】取任意()12,1,x x ∞∈+，且12x x <，则()()()()()()()()323233112221112112222212124242442222x x x x x x x x x x f x f x x x x x -+--+---=-=++++()()()()22221212121222129221422x x x x x x x x x x -+++-=++;由()12,1,x x ∞∈+，12x x <可得120x x -<，2222121212922140x x x x x x +++->；所以()()120f x f x -<，即可得()()12f x f x <，即函数()f x 在区间1,+∞的单调递增；【小问3详解】由()()()()6612,12,3,31111f f f f =--==-=-，由(2)得当[]12,0,1x x ∈时，2222121212210,092214x x x x x x x x <+++<-<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在0,1上单调递减；因此函数()f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，又函数()f x 为上的奇函数，所以函数()f x 的减区间为[]1,1-，递增区间为()(),11,∞∞--⋃+,当33x -≤≤时，()22f x -≤≤,令()()22f x t t =-≤≤，有()2221124m m g x t mt t ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，①当22m ≤-时，即4m ≤-，()()()()223,232g x g m g x g m ≥-=+≤=-,此时函数()g x 的值域为[]23,32m m +-;②当202m -<≤时，即40m -<≤时，可得()()()2minmax 1,23224m m g x g g x g m ⎛⎫==--==- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦③当022m <<时，即04m <<时，()()()2minmax 1,22324m m g x g g x g m ⎛⎫==--=-=+ ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,23;4m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦④当22m ≥时，即4≥m ，()()()()223,232g x g m g x g m ≤-=+≥=-，此时函数()g x 的值域为[]32,23m m -+，综上所述，4m ≤-时，其值域为[]23,32m m +-;当40m -<≤时，值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦当04m <<时，值域为21,234m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；当4≥m 时，值域为[]32,23m m -+【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数()g x 的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数()g x 的值域.19.已知n 为正整数，集合(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i M x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于n M 中任意两个元素()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅和()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ-=--⋅⋅⋅-；()1122,n nd a b a b a b αβ=-+-+⋅⋅⋅+-（1）当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，写出αβ-，并计算(),d αβ；（2）若集合S 满足3S M ⊆，且,S αβ∀∈，(),2d αβ=，求集合S 中元素个数的最大值，写出此时的集合S ，并证明你的结论；（3）若,n M αβ∈，且(),d k αβ=，任取n M γ∈，求(),d αγβγ--的值.【答案】（1）()0,1,1αβ-=，(),2d αβ=（2）最大值是4，证明见解析（3）(),d kαγβγ--=【解析】【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．【小问1详解】当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，则()0,1,1αβ-=，所以(),0112d αβ=++=；【小问2详解】最大值是4．理由如下：此时()()()(){}0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0S =或()()()(){}0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1S =．若还有第5个元素，则必有()()1,0,0,0,1,1和()()0,0,1,1,1,0和()()0,1,0,1,0,1和()()1,1,1,0,0,0之一出现，其对应的(,)3d αβ=，不符合题意．【小问3详解】设()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，()12,,,n c c c γ=⋅⋅⋅，所以{},,0,1i i i a b c ∈，{}0,1i i a b -∈，(1i =，2，3，)n ，从而()1122,,,n n n a b a b a b M αβ-=--⋅⋅⋅-∈，又()11112222,n n n n d a c b c a c b c a c b c αγβγ--=---+---+⋅⋅⋅+---，当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-，所以()(),,d d αγβγαβ--=，所以(),d k αγβγ--=．。
湖北省部分重点中学2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题
17．在边长为 的正方形 的边上有动点 ，从点 开始沿折线 向点 运动，设点 的运动的路程为 ， 的面积为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求 的值．
18．（1）已知 ， ，若 ，求 的值；
（2）设 ， ，求 （用 、 表示）．
19．定义集合 ，且 ．
（，且 ，求 的取值范围．
【详解】
由于全集 ，且 ，则当 时，它的子集最多，且子集个数为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查集合子集个数的计算，解题的关键就是确定出集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
将指数式化为对数式，然后利用换底公式的推论计算可得出 的值.
【详解】
，则 且 ， ， ，同理可得 ，
，解得 .
故选：A.
【详解】
当x＞0时，f（x）=ln x，f（ ）=ln （ ）=﹣2，
又函数f（x）是奇函数，所以f（﹣2）=﹣f（2）=﹣ln 2，
故选D．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了对数函数的性质，是一道基础题．
7．B
【解析】
【详解】
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， ；
所以选B.
8．C
【分析】
设这种元素 克 年后剩余的质量为 克，根据题意计算出 的值，即可得出 年后剩下的质量.
【详解】
由题意可知， 且 ，则内层函数 在区间 上为减函数，
函数 在区间 上是减函数，则外层函数 为增函数， ，
且有 ，解得 ，所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用复合型对数函数的单调性求参数，在分析出内层函数和外层函数的单调性外，还应注意真数要恒大于零，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【数学】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020届高三上学期期中考试试题(文)(解析版)
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020届高三上学期期中考试数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z 满足12i1i z-=+，则z =( )A.B.2C.D.【答案】C 【解析】因为12i1i z-=+, 所以12i1iz -=+,所以12i |12i |||||1i |1i |z --=====++ 故选:C2.若函数()f x =与()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则MN =（ ）A. {}11x x -<<B. {}11x x -≤< C. {}11x x -<≤ D. {}11x x -≤≤【答案】A【解析】函数()f x ={}|1M x x =< 函数()ln(1)g x x =+的定义域{}|1N x x =>- 故{}|11MN x x =-<<故选：A ．3.已知0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 0.2b =，b c a =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B【解析】由题意可知：()0.210,13a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，113313log 0.2log 1b =>=， 因为0.213b bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，()0,1a ∈，1b >，所以c a <， 即c a b <<， 故选:B.4.已知等差数列{}n a 的前3项和为30，后3项和为90，且前n 项和为200，则n =（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】依题意，12330a a a ++=，2190n n n a a a --++=， 所以1232113()120n n n n a a a a a a a a --+++++=+=， 所以140n a a +=， 所以1200202nn a a S n n +==⨯=，解得10n =． 故选：B ． 5.函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】函数()1ln 1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<， 排除B 和C ；当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D.6.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则2020S =（ ）A. 1009B.50485C. 1010D.50545【答案】C【解析】由已知得：1234543124,,,, (55555)a a a a a =====4T =， 2020S =1234505()50521010a a a a ⨯+++=⨯=.故选：C.7.已知()0,απ∈，且3sin 5α=，则tan 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 17-B. 7C. 17-或－7 D.17或7 【答案】D【解析】已知()0,α∈π，且3sin 5α=，当0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosα＝45，则sin 3tan cos 4ααα==，∴3tan tan144tan 7341tan tan 1144αααπ++π⎛⎫+=== ⎪π⎝⎭--⨯； 当,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，∴cosα＝＝45-，则sin 3tan cos 4ααα==-， ∴3tan tan1144tan 3471tan tan 1144αααπ+-+π⎛⎫+=== ⎪π⎝⎭-+⨯；综上：tan 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭17或7 故选：D8.若非零向量a 、b 满足a b =且()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】设a 与b 的夹角为θ，由已知得：()2a b b +⊥，()20a b b +=，则220a b b ⋅+=，a b =，2cos 10θ∴+=，1cos 2θ=-，解得23θπ=.故选：C.9.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为（ ）A.43B.32C. 2D.83【答案】B【解析】设球的半径为R ， 则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， 2322V R R R ππ∴=⨯=圆柱，343V R =π球．∴3323423V R V R ππ==圆柱球． 故选：B ．10.已知O 、A 、B 为平面内三点，满足5OA OB ==，点C 在直线AB 上，且min 3OC =，则()tOA OB t +∈R 的最小值为（ ） A.245B. 4C.165D.125【答案】A【解析】因为5OA OB ==，所以OAB 为等腰三角形， 当OC AB ⊥时，OC 取得最小值3， 此时，3cos 5AOC ∠=，27cos cos 22cos 125AOB AOC AOC ∠=∠=∠-=-， 2222227225225()2525142525tOA OB t OA tOA OB OB t t t t +=+⋅+=+⨯⨯-+=-+， 当725t =时，2tOA OB +取得最小值57625， 所以tOA OB +的最小值为245. 故选：A.11.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b cB B a+=，3b =，点D 是ABC ∆的重心，AD =ABC ∆的外接圆半径为（ ）A.B. 3C.D.【答案】A【解析】由已知得：cos b cB B a+=，利用正弦定理可得sin (cos )sin sin A B B B C =+，sin sin cos sin A B B A B ，又sin 0B ≠cos 1A A -=，1sin ,623A A ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，点D 是ABC ∆的重心，∴()13AD AB AC =+()2221239AD AB AC AB AC ⇒=++⋅=， 化简得23180AB AB +-=，解得3AB =，所以ABC 是等边三角形，则ABC ∆的外接圆半径为2R ==，R 故选：A. 12.已知函数212y x =的图象在点2001,2x x ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为直线l ，若直线l 与函数ln y x =，()0,1x ∈的图象相切，则0x 必满足条件（ ）A. 001x <<B. 01x <C.0x <<D.02x <【答案】D 【解析】函数212y x =的图像在点2001,2x x ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率0k x =，所以切线方程：()20002x y x x x =-+即2002x x x y -=；ln y x =，()0,1x ∈设切点为()ln m m ，，切线的斜率1k m=； 所以切线方程：()1ln y m x m m -=-，即1ln 1y x m m=+-，()0,1m ∈ 若直线l 与函数ln y x =，()0,1x ∈的图像相切，则方程组0201ln 12x m x m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩有解，所以200ln 102x x --=有解， 构造函数2()ln 12x f x x =--，()1x >，显然2()ln 12x f x x =--()1,+∞上单调递增，且3102f =-<；(2)2ln 210f =-->；所以)02x ∈.故选：D.二、填空题：13.曲线()2e 0x y x --=在点()0,2-处的切线方程为________. 【答案】20x y ++=【解析】()2e xy x =-，(1)e x y x '=-，令x =0，1y '=-，切线斜率为-1，所以曲线在点()0,2-处的切线方程为20x y ++=. 故答案为：20x y ++=14.若函数()2ln f x mx x x =+-在定义域内有递减区间，则实数m 的取值范围是________． 【答案】18m <【解析】根据题意，函数2()ln f x mx x x =+-，其导数1()21f x mx x'=-+，(0)x > 若函数2()ln f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间， 则1()210f x mx x'=-+<在(0,)+∞上有解； 若1()210f x mx x '=-+<，变形可得221111111()()2228m x x x <-=--+， 则21111()228m x <--+在(0,)+∞上能成立，设1t x=，则0t >，则2211111111()()2282288t x --+=--+，则必有18m <， 故m 的取值范围为18m <； 故答案为：18m <． 15.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∀∈R 恒成立，且()π2f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________． 【答案】2,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】由()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤对x R ∀∈恒成立可得，2sin 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则232k ϕππ+=+π，即()6k k Z πϕπ=-+∈，又()π2f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即5sin()sin 66k k ππππ⎛⎫+<-+ ⎪⎝⎭，易得k 为奇数，则52()6k k Z πϕπ''=+∈， 所以()()sin 2f x x ϕ=+=5sin(2)6x π+ 令5222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得2()36k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单增区间是2,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦.16.若m 、n 表示直线，α、β、γ表示不同平面，下列四个命题： ①m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，则αβ⊥；②m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥； ③m αγ=，n βγ=，m n ，则αβ∥；④m αβ=，n 与α、β所成的角相等，则m n ⊥.其中真命题的有________.（请填入编号） 【答案】② 【解析】①若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，如图，则α与β不一定垂直，①错误；②若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，②正确； ③三棱柱的三个侧面分别记为α、β、γ，m αγ=，n βγ=，m n ，但α与β相交，③错误；④当直线m 与n 平行时，直线m 与两平面α、β所成的角也相等均为0，④错误. 【点睛】本题考查空间中线面、线线关系和面面关系，要证明一个结论是错误的只需举出反例即可，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，每个试题考生都必须作答. 17.设命题p ：不等式2515x x a a ++->-对x R ∀∈恒成立；命题q ：方程2680ax x a -+-=有两个不同的正根.当命题p 和命题q 不都为假命题时，求实数a 的取值范围.解：∵516x x ++-≥，∴2560a a --<，解得16a -<<；∵方程2680ax x a -+-=有两不同正根，∴0a ≠，利用判别式和韦达定理可得： ()1212364806080a a x x a a x x a ⎧-->⎪⎪⎪+=>⎨⎪⎪-⋅=>⎪⎩解得89a <<， ∵p q ∨为真，∴()()1,68,9a ∈-⋃.18.已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 前n 项和n T ．解：（1）数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >，25349a a a a +=+=，又3420a a =，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+；2n n S c =-⋯①当1n =时，12b c =-， 当2n ≥时，112n n S c --=-⋯② ①-②即可得12n nb -=，2n ≥，又{}n b 为等比数列，01212b c ∴===-，即可得1c=，12n n b -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+，0112232(1)2n n T n -=++⋯++，⋯③ 112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++，⋯④③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--．2n n T n ∴=．19.在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且)3sin sin 2B B B +=． （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．解：（123cos sin 2B B B +=12cos 212B B -=， ∴sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可得262B ππ-=，∴3B π=；（2）∵b =3B π=，由余弦定理得2231cos 22a c B ac +-==即可得22323a c ac ac ac +≥∴=≤+ ，∴11sin 322ABC S ac B =≤⋅=△当a c ==. 20.如图，已知四棱锥P ABCD-底面为菱形，且π3ABC ∠=，E 是DP 中点．（1）证明：PB 平面ACE ；（2）若AP PB =2AB PC ==，求三棱锥C PAE -的体积．（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF∵四边形ABCD 为菱形，∴F 为AC 中点，那么EF ∥PB又∵EF ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ∴PB ∥平面ACE ；（2）解：由勾股定理易知AP ⊥BP 且△ABC 为正三角形，∵E 为DP 中点，∴12C PAE P ACD V V --=，取AB 中点M ，连接PM 、CM ，由几何性质可知PM ＝1，CM =， 又∵PC ＝2，∴PC 2＝PM 2＋MC 2，即PM ⊥MC ，∵PM ⊥AB ，∴PM ⊥平面ABCD ，∴111232P ACD V -=⋅⋅⋅，∴12C PAE P ACD V V --== 21.为庆祝建国70周年，某高中准备设计一副宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面高与宽的比为()1a a <，画的上下部分各留出5cm 的空白，左右部分各留出8cm 的空白.（1）当25a =时，该宣传画的高和宽分别为多少？（2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时a 的值. 解：（1）设画面的高为2 x cm ，宽5 x cm ，由题意得2104840x =，解得22x =， ∴该画的高为：441054 cm +=，宽为：11016126 cm +=；（2）设画面的高为 x cm ，则宽为4840cm x ，根据题意得()48401016S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4840050001650006760x x =++≥+= 当且仅当484016x x =即55x =时等号成立，此时宽为484088x=， ∴555888a ==. 22.设函数()sin ,(0,),2f x ax x x a π=-∈为常数 （1）若函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求a 的取值范围； （2）当1a ≤时，证明31()6f x x ≤. 解：（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x =-'，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，符合题意； 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数，符合题意； 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =， 则存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos x a =. 当00x x <<时，()00f x '<，当02x x π<<时，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是不是单调函数，不符合题意. 综上，a 的取值范围是][(),01,-∞⋃+∞.（2）由（1）知当1a =时，()()sin 00f x x x f =->=， 即sin x x <，故22sin 22x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 令()()3311sin ,0,662g x f x x ax x x x π⎛⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭， 则()22222111cos 12sin 12122222x x g x a x x a x a x a ⎛⎫=--=-+-<-+-'=- ⎪⎝⎭， 当1a ≤时，()10g x a -'=≤，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数， 从而()()00g x g <=，即()316f x x ≤.。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}12．已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,45．在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE = ，则BF =（）A ．1126BA BC+B ．13BA BC+C ．2133BA BC+D ．1123BA BC+6．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A ．45.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m7．已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A ．11603B ．5803C ．5603D ．28038．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A ．()20240f =B ．()7102f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭C ．()()232log 48f f >D ．()14sin1ln 9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭二、多选题9．设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A ．1z 与2z 互为共轭复数B ．点3Z 在第二象限C ．复数12z z 的虚部是35-D ．14OZ OZ ⊥10．已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A ．11a b -=-B ．224a b +≥C ．1lg lga b≥D ．241b a -<-11．已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a的值可以为（）A ．3227-B ．1627-C ．2-D ．1-三、填空题12．已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为.13．已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.(1)求n a 和n S ；(2)若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .16．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.(1)求ABC V 的面积；(2)若2sin sin 3A C =，求b 17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点1,1，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点2,2，()12f x x α=-，()12g x x α=⋅.(1)若π[0,]2α∈，求()f α的取值范围；(2)在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.18．已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.(1)求c 的值；(2)设函数()e xkxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.19．已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N (1)若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.(2)若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A 具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若{1,2，a}∪{2，a2}={1，2，a}，则a的取值集合为()A. {0,±1}B. {0,−1}C. {−1,1}D. {0,1 }2.已知全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}，集合N={y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于()A. {x|x<−2或x≥0}B. {x|x>1}C. {x|x<−1或1<x≤3}D. R3.已知a>c，b>d，则下列结论正确的是()A. (a+b)2>(c+d)2B. ab+cd−ad−bc>0C. ab>cdD. a−b>c−d4.直角梯形OABC中AB//OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f(t)的图象大致为()A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=(x −2)(mx +n)为偶函数且在(−∞,0)上单调递增，则使f(x +1)<0成立的x 的取值范围是( )A. (−3,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−3)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)6. 设p “两个一元二次不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0与a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集相同”，q “∃k ≠0，使a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2”，那么p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件7. 若函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <1x 2−4x +3,x ≥1的值域为R ，则a 的取值范围是( )A. (−1,12)B. [−2,12)C. [−1,12)D. (−2,12)8. 使函数f(x)={mx −1,x >1−x +1,x ≤1满足：对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)的充分不必要条件为( )A. m <0或m >1B. −1<m <12 C. 0<m <1D. −12<m <12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 集合M ={x|x =2k −1,k ∈Z}，P ={y|y =3n +1,n ∈Z}，S ={z|z =6m +1,m ∈Z}之间的关系表述正确的有( )A. S ⊆PB. S ⊆MC. M ⊆SD. P ⊆S10. 设a >0，b >0，则下列不等式恒成立的是( )A. (a +b)(1a +1b )≥4B. a 2>2a −1C. a 2b +b2a≥a +b D. a 2+b2a+b ≥√ab11. 如果对定义在R 上的奇函数y =f(x)，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数y =f(x)为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( )A. f(x)=x +1xB. f(x)=−x 3 C. f(x)=x 13D. f(x)=x|x|12. 已知函数f(x)=|x|x+1，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)在[0,+∞)上单调递增C. 函数f(x)的值域是(−∞,−1)∪[0，+∞)D. 方程f(x)+x2−1=0有两个实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数f(x)=x m+2过点(2,8)，且f(k2+1)+f(2k−4)<0，则实数k的取值范围是．14.函数y=1−√−x2+6x的单调递增区间是．15.已知函数f(x)的定义域为[1,3]，则函数f(2x+1)的定义域为．16.若正实数a，b满足a+2b=4，则2a+2+1b的最小值是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求函数y=x+2√2−x的值域；(2)若函数y=√kx2+2kx+2的定义域为R，求实数k的取值范围．18.已知集合A={x|62+x≥1}，B={x|x2−(m+4)x+m+7<0}．(1)若m=3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，当−3<x<0时，f(x)=x2+2x−1．(1)求函数f(x)在(−3,3)上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象并根据图象写出函数的单调区间和值域； (3)解不等式xf(x)>0．20. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元(如房租、水电等成本)，每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x 台的总收益满足函数R(x)={480x −12x 2,0≤x ≤500115000,x >500，其中x 是仪器的月产量．(1)将月利润f(x)表示为月产量的x 的函数．(总收益=总成本+利润) (2)当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？21.设函数f(x)=ax+b是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(1)=1．1+x2(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(−1,1)上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式f(t−1)+f(t2)<f(0)．22.已知函数f(x)=x|a−x|+2x，a∈R．(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若存在实数a∈[−4,6]，使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了并集的定义及运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．根据条件即可得出a=a2或a2=1，然后求出a，并验证是否满足题意，从而可得出a 的取值的集合．【解答】解：∵{1,2，a}∪{2，a2}={1，2，a}，∴a=a2，或a2=1，解得a=±1或0，a=1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，∴a=−1或0，∴a的取值集合为：{0,−1}．故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查补集、并集的求法，考查运算求解能力，是基础题．求出集合M，集合N，从而求出∁U M，由此能求出(∁U M)∪N．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，集合N={y|y=√3−x}={y|y≥0}，∴∁U M={x|x<−2或x>1}，(∁U M)∪N={x|x<−2或x≥0}．故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质和不等式大小的比较，属基础题． 根据a >c ，b >d ，取a =b =0，c =d =−1，则可排除错误选项． 【解答】解：根据a >c ，b >d ，取a =b =0，c =d =−1，则可排除ACD ． 因为a >c ，b >d ，所以a −c >0,b −d >0，即可得(a −c )(b −d )>0，整理可得ab +cd −ad −bc >0，故B 正确; 故选：B ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l 的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：f(t)={t 2,0<t ≤12t −1,1<t ≤2然后分情况即可获得问题的解答． 【解答】解：由题意可知：当0<t ≤1时，f(t)=12⋅t ⋅2t =t 2， 当1<t ≤2时，f(t)=1×2×12+(t −1)⋅2=2t −1； 所以f(t)={t 2,0<t ≤12t −1,1<t ≤2．结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合． 故选：C ．5.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 根据函数是偶函数，求出m ，n 的关系，结合单调性确定m 的符号，即可得到结论． 【解答】解：∵f(x)=(x −2)(mx +n)=mx 2+(n −2m)x −2n 为偶函数， ∴n −2m =0，即n =2m ，则f(x)=(x −2)(mx +2m)=m(x −2)(x +2)=mx 2−4m ， ∵在(−∞,0)单调递增，∴m <0，则由f(x +1)=m(x −1)(x +3)<0，得(x −1)(x +3)>0， 解得x <−3或x >1，故不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)． 故选：D ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查充分、必要条件，同时考查二次不等式的解集问题，属于基础题． 通过举两个反例，即可判断结果． 【解答】解：通过举反例a 1=b 1=c 1=1，a 2=b 2=c 2=−1，可知p 是q 的不必要条件， 由不等式(x −1)2+1>0和(x −1)2+2>0的解集都是R ，但不等式整理成标准形式后它们的同类项系数之比不相等，可知p 是q 的不充分条件； 故选：C ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．先求出当x ≥1时f(x)≥−1，因为函数f(x)的值域为R ，所以当x <1时，需满足{1−2a >0(1−2a)×1+3a ≥−1，从而求出a 的取值范围． 【解答】解：当x ≥1时，f(x)=x 2−4x +3=(x −2)2−1≥−1， ∵函数f(x)的值域为R ，∴当x <1时，{1−2a >0(1−2a)×1+3a ≥−1，解得：−2≤a <12， 故选：B ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键 根据条件先求出命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可． 【解答】解：当m >1时，g(x)=m x−1在(1,+∞)上递减，ℎ(x)=−x +1在(−∞,1]递减，g(x)<m −1，ℎ(x)⩾ℎ(1)=0，由m >1得m −1>0，显然不满足任意x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)， ∵当0<m ≤1时，g(x)=m x−1在(1,+∞)上递减，ℎ(x)=−x +1在(−∞,1]递减，且g(x)≤ℎ(1)，∴f(x)在(−∞,+∞)上递减，若m =0，，g(x)=0，显然不合题意； 若m <0，g(x)在(1,+∞)上递增，ℎ(x)在(−∞,1]上递减，g(x)<0，ℎ(x)≥0， ∴任意x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，即对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)的等价条件是0<m ≤1或m <0， 则对应的充分不必要条件是0<m <1， 故选：C ．9.【答案】AB【解析】 【分析】本题考查了集合间的关系，属于基础题．根据题意判断集合M ，P ，S 表示的意义，进行判断．【解答】解：M={x|x=2k−1,k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；P={y|y=3n+1,n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；S={z|z=6m+1,m∈Z}={z|z=3×(2m)+1,m∈Z}={z|z=2×(3m)+1,m∈Z}，表示被6整除余1的集合；故S⫋P，S⫋M.故S⊆P，S⊆M，正确，即AB正确．故选：AB．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的综合应用，属于中档题．由已知结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为a>0，b>0，所以(a+b)(1a +1b)=2+ba+ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ab =ba即a=b时取等号，A正确；∵a2−2a+1=(a−1)2≥0，当a=1时等号成立，∴a2≥2a−1，B错误；a2 b +b+b2a+a≥2√a2b⋅b+2√b2a⋅a=2a+2b，当且仅当a=b时取等号，C正确；∵a2+b2a+b−√ab=a2+b2−a√ab−b√aba+b=a√a(√a−√b)+b√b(√b−√a)a+b=(√a−√b)(a√a−b√b)a+b≥0，D正确．故选：ACD．11.【答案】CD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意分析“H 函数”的单调性，属于中档题． 根据题意，分析可得若函数y =f(x)为“H 函数”，则函数f(x)是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，据此分析选项中函数的定义域和奇偶性、单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)恒成立，变形可得(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数， 若函数y =f(x)为“H 函数”，则函数f(x)是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数， 对于A ，f(x)=x +1x ，其定义域不是R ，不符合题意，对于B ，f(x)=−x 3，其定义域为R ，是奇函数，但在其定义域上为减函数，不符合题意，对于C ，f(x)=x 13=√x 3，是幂函数，是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，符合题意，对于D ，f(x)=x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，符合题意，故选：CD ．12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题． 根据函数的奇偶性判断A ，根据函数的单调性判断B ，结合图象判断C ，D 即可．【解答】解：对于A ：f(−x)=|−x|−x+1≠−f(x)，f(x)不是奇函数，故A 错误；对于B ：x ≥0时，f(x)=x x+1=1−1x+1在[0,+∞)递增，故B 正确；对于C ，D ，画出函数f(x)和y =1−x 2的图象，如图示：，显然函数f(x)的值域是(−∞,−1)∪[0，+∞)，故C正确，f(x)和y=1−x2的图象有3个交点，故D错误；故选：BC．13.【答案】(−3,1)【解析】【分析】本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．由题意利用幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性，求出k的取值范围．【解答】解：∵幂函数f(x)=x m+2过点(2,8)，∴2m+2=8，求得m=1，幂函数f(x)=x3，显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增，∵f(k2+1)+f(2k−4)<0，即f(k2+1)<−f(2k−4)=f(4−2k)，∴k2+1<4−2k，解得：−3<k<1，故答案为：(−3,1)．14.【答案】[3,6]【解析】【分析】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于中档题．由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数二次函数的减区间，即可得到原函数的增区间．【解答】解：由−x2+6x≥0，得x2−6x≤0，解得0≤x≤6．∴函数y=1−√−x2+6x的定义域为[0,6]，令t=−x2+6x，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=3．该函数在[3,6]上是减函数，则函数y=1−√−x2+6x的单调递增区间是[3,6]．故答案为：[3,6]．15.【答案】[0,1]【解析】【分析】本题主要考查抽象函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属基础题．函数f(2x+1)的定义域即为x的取值范围，原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为[1,3]，∴1≤2x+1≤3，即{2x+1≥12x+1≤3，解得0≤x≤1，∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]．故答案为：[0,1]．16.【答案】43【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等．由题意知a+2+2b=6，再利用乘“1”法，2a+2+1b=16(4+a+2b+4ba+2)，根据基本不等式即可求出．【解答】解：正实数a，b满足a+2b=4，则a+2+2b=6，则2a+2+1b=16(a+2+2b)(2a+2+1b)=16(4+a+2b+4ba+2)≥16(4+4)=43，当且仅当a+2b =4ba+2，即a=1，b=32时取等号，故2a+2+1b的最小值是43，故答案为：43．17.【答案】解：(1)令√2−x=t,t≥0,x=2−t2，那么y=−t2+2t+2(t≥0)，即y=−(t−1)2+3，当t=1时，函数y max=3时，当t→+∞时，可知y→−∞，∴值域为(−∞,3]，(2)由题意kx2+2kx+2>0对一切实数恒成立，①当k=0时，可得2>0成立，②当k≠0时，需满足{k>0Δ=4k2−8k<0，解得0<k<2，综上由①②得：0≤k<2，即实数k的取值范围是[0,2)．【解析】本题考查了函数值域的求法．(1)利用换元法，转化为二次函数问题即可求解值域；(2)根据定义域为R，即分母恒为正对一切实数成立，结合二次函数的性质可得实数k 的取值范围．18.【答案】解：(1)集合A={x|62+x≥1}={x|−2<x≤4}，m=3时，B={x|2<x<5}，∴C R B={x|x≤2或x≥5}，A∩(C R B)={x|−2<x≤2}．(2)∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，①当B =⌀时，Δ=(m +4)2−4(m +7)≤0，解得−6≤m ≤2，②当B ≠⌀时，记f(x)=x 2−(m +4)x +m +7，{Δ>0−2<m+42<4f(−2)≥0f(4)≥0，即{ m <−6或m >2−8<m <4m ≥−193m ≤73， 解得−193≤m <−6或2<m ≤73， 综合①②得m 的范围是[−193,73]．【解析】本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)求出集合A ，当m =3时，求出集合B ，进而求出C R B ，由此能求出A ∩(C R B)．(2)由A ∪B =A ，得B ⊆A ，当B =⌀时，Δ=(m +4)2−4(m +7)≤0，解得−6≤m ≤2；当B ≠⌀时，记f(x)=x 2−(m +4)x +m +7，列出不等式组，解得−193≤m <−6或2<m ≤73，由此能求出m 的取值范围．19.【答案】解：(1)函数f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，所以当f(0)=0，由−3<x <0时，f(x)=x 2+2x −1，设0<x <3，则−3<−x <0时，f(−x)=x 2−2x −1=−f(x)，∴f(x)=−x 2+2x +1∴f(x)={x 2+2x −1,−3<x <00,x =0−x 2+2x +1,0<x <3；(2)函数图象如下所示由图象可得单调递增区间是(−1,1)，单调减区间是(−3,−1)，(1,3)，值域是[−2,2]；(3)由x 2+2x −1=0，(−3<x <0)得x 1=−1−√2由对称性得x 2=1+√2，由xf(x)>0得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0， 由图得到不等式的解集是(−1−√2,0)∪(0,1+√2)．【解析】本题考查了函数的奇偶性和函数图象，以及不等式的解集，属于中档题．(1)根据函数为奇函数，即可求出函数的解析式；(2)画出函数的图象，由图象可得函数的单调区间和值域；(3)结合图象可得不等式的解集．20.【答案】解：(1)月产量为x 台，则总成本为20000+80x ，那么f(x)=R(x)−(20000+80x)={480x −12x 2−20000−80x,0≤x ≤500115000−20000−80x,x >500， 整理得f(x)={−12x 2+400x −20000,0≤x ≤50095000−80x,x >500； (2)当0≤x ≤500时，f(x)=−12(x −400)2+60000，∴当x =400时，f(x)最大值为60000；当x >500时，f(x)是减函数，且f(x)<95000−80×500=55000，∴当x =400时，函数的最大值为60000，即当月产量为400台时，所获得利润最大，最大利润为60000元．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及函数的单调性求最值，是中档题．(1)写出总成本，由利润=总收益−总成本可得月利润f(x)关于月产量的x的函数；(2)分段求出函数的最值，取最大值中的最大者得结论．21.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f(0)=b=0，∴f(x)=ax1+x2，而f(1)=1解得a=2，∴f(x)=2x1+x2，x∈(−1,1)；(2)函数f(x)=2x1+x2在(−1,1)上为增函数；证明如下：任取x1，x2∈(−1,1)且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x11+x12−2x21+x22=2(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)因为x1<x2，所以x1−x2<0，又因为x1，x2∈(−1,1)，所以1−x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)由题意，不等式f(t−1)+f(t2)<f(0)，可化为f(t−1)+f(t2)<0，即解不等式f(t2)<−f(t−1)，所以f(t2)<f(1−t)，所以{−1<t2<1−1<1−t<1 t2<1−t，解得0<t<√5−12，所以该不等式的解集为(0,√5−12).【解析】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档试题．(1)由奇函数性质可知f(0)=0，然后结合f(1)=1代入可求；(2)结合函数单调性的定义任意取x1，x2∈(−1,1)且x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x 2)的大小，即可判断；(3)结合函数单调性即可直接求解．22.【答案】解：(1)f(x)={x 2−(a −2)x,x ≥a −x 2+(a +2)x,x <a， 当x ≥a 时，对称轴x =a 2−1，x <a 时对称轴为x =a 2+1，f(x)在R 上是单调函数的充要条件是{a 2−1≤a a 2+1≥a ，∴−2≤a ≤2．(2)f(x)−tf(a)=0有3个不等根，∴f(x)=2at 有三个不等根，∴y =f(x)与y =2at 有三个公共点．①由(1)知当−2≤a ≤2时，f(x)为单调增函数，关于x 的方程f(x)=2at 不可能有3个不等实根．②当2<a ≤6时，a 2−1<a 2+1<a ，f(x)在(−∞,a 2+1)递增，在(a 2+1,a)递减，在(a,+∞)递增．且f(a 2+1)=(a+2)24=a 24+a +1，f(a)=2a ，有三个根时2a <2at <f(a 2+1)=a 24+a +1， ∴1<t <18(a +4a )+12.∃a ∈(2,6]不等式成立．设ℎ(a)=18(a +4a )+12，ℎ(a)在(2,6]上递增，ℎmax (a)=ℎ(6)=43，∴1<t <43， ③当−4≤a <−2时，a <a 2−1<a 2+1f(x)在(−∞,a)递增，在(a,a 2−1)递减，在(a 2−1,+∞)递增，所以f(a 2−1)<2at <f(a)即−a 24+a −1<2at <2a ， ∃a ∈[−4,−2)使不等式成立，∴1<t <−18(a +4a )+12．k(a)=−18(a +4a )+12在[−4,−2)是减函数．k max (a)=k(−4)=98，∴1<t <98，综合①②③由于存在性，取并集，∴t ∈(1,43)．【解析】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，是难题．(1)化简函数的解析式f(x)={x 2−(a −2)x,x ≥a −x 2+(a +2)x,x <a，通过x 与a 的大小比较，利用函数的单调性的充要条件求解即可．(2)f(x)−tf(a)=0有3个不等根，转化f(x)=2at 有三个不等根，y =f(x)与y =2at 有三个公共点．通过a 的范围，利用函数的最值，结合二次函数的性质，推出结果即可．。
湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 图片版含答案
2020年湖北省新高考联考协作体高一上学期期中考试高一数学答案一、二、选择题（共12小题）13.31-（，）14. [3,6]或写成开区间也可15. [0,1] 16.43四．解答题（共6小题）17．（12,0,2t t x t =≥=-222y t t =-++ (0)t ≥ 2(1)3y t =--+1t =时，max 3y =时， t →+∞时，y →-∞∴值域为(],3-∞………………………………5分（2）2220kx kx ++>恒成立 ①当0k =时成立 ②2480k k k >⎧⎨∆=-<⎩解得02k <<综合①②得02k ≤<……………………………………10分 18．解：（1）A ＝{x |﹣2＜x ≤4}，m ＝3时，B ＝{x | 2＜x ＜5}，∴C R B ＝{x |x ≤ 2或x ≥5}，A ∩（C R B ）＝{x |﹣2< x ≤2}；……………………4分 （2）∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，……………………5分①当B φ=时2=4)4(7)0m m ∆+-+≤（解得62m -≤≤ ……………………6分②当B φ≠时，记2)(4)7f x x m x m =-+++（4242(2)0(4)0m f f ∆>⎧⎪+⎪-<<⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩ ……………………8分628419373m m m m m <->⎧⎪-<<⎪⎪⎨≥-⎪⎪≤⎪⎩或即 解得1976233m m -≤<-<≤或 综合①②得m 的范围是197[,]33- ……………………12分 19．解：（1）函数f （x ）是定义在(3,3)-上的奇函数，所以当f （0）=0,由30x -<<时，f （x ）＝x 2+2x —1得03x <<时f （x ）＝﹣x 2+2x +1所以2221,30()0,021,03x x x f x x x x x ⎧+--<<⎪==⎨⎪-++<<⎩……………………4分（2）如图单调递增区间是11-（，），单调减区间（-3，-1），（1,3） 值域是 []2,2- ，图像2分，单调区间和值域3分 ……………………9分（3） 由2210,(30)x x x +-=-<< 得112x =-- 由对称性得212x =+由()0xf x >得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩由图得到不等式的解集是(12,0)(0,12)--+……………………12分20．解：（1）月产量为x 台，则总成本为20 000+80x那么2140020000,0500()29500080,500x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩ ………………6分（2）当0500x ≤≤时，21()400)600002f x x =--+（，所以当=400x 时，()f x 最大值为60000；当500x >时，()f x 是减函数，且()950008050055000f x <-⨯=，所以当=400x 时，函数的最大值为60000，即当月产量为400台时，所获得利润最大，最大利润为60000元. …………………………12分 21.解：（1）函数f （x ）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数， ∴f （0）＝b ＝0，∴f （x ）＝，而f （1）＝1 解得a ＝2，∴f （x ）＝221xx+，x ∈（﹣1，1） …………………………4分 （2）函数f （x ）＝221xx +在（﹣1，1）上为增函数；证明如下：任意x 1，x 2∈（﹣1，1）且x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）＝1212122222121222)(1)=11(1)(1)x x x x x x x x x x ---++++2（ 因为x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，又因为x 1，x 2∈（﹣1，1），所以1﹣x 1x 2＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数； …………………………8分 （3）由题意，不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＜f （0）可化为 f （t ﹣1）+f （t 2）＜0，即解不等式f （t 2）＜﹣f （t ﹣1）， 所以f （t 2）＜f （1﹣t ），所以22111111t t t t ⎧-<<⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得0＜t ＜，所以该不等式的解集为（0，）． …………………………12分22．解：（1）22(2),()(2),x a x x af x x a x x a ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ……………………2分当x a ≥时，对称轴=12a x x a -<时对称轴为=12ax +，()f x 在R 上是单调函数的充要条件是122212aa a a a ⎧-≤⎪⎪∴-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩ ……………………4分（2）()()0f x tf a -=有3个不等根()2f x at ∴=有三个不等根()y f x ∴=与2y at =有三个公共点.①由（1）知当22a -≤≤时，()f x 为单调增函数，关于x 的方程()2f x at =不可能有3个不等实根.…………………………………………………………5分 ②当26a <≤时，11,()(,1)222a a a a f x -<+<-∞+在递增在1,)2aa +（递减在,)a +∞（递增.有三个根时222(1)124a a a at f a <<+=++，1411().(2,6]82t a a a ∴<<++∃∈不等式成立. 设141()(),()82h a a h a a =++在(2,6]上递增，max 44()(6)133h a h t ==∴<<…8分 ③当421122a aa a -≤<-<-<+时，())f x a ∞在(-，递增,在1)2a a -(，递减,在1)2a-+∞(，递增所以(1)222af at a -<< 即2122[4,2)4a a at a a -+-<<∃∈--使不等式成立 1411()82t a a ∴<<-++.141()()[4,2)82h a a a =-++--在是减函数.max 9()(4)8h a h =-= 918t ∴<< …………………………10分综合①②③由于存在性，取并集413t ∴∈（，）…………………………12分。
高一湖北鄂东南答案
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分．
9.【答案】AC
【解析】A.命题“ x R ， x2 1 ”的否定是“ x R ， x2 1”，故 A 错误；
B. x2 y2 x y ，而 x y 不能推出 x y ， x y 也不能推出 x y ，
过点 M 作直线 MI //AB 交 PB 于点 I，在平面 ABC 内过点 N 作 NQ//AB 交 BC 于 Q，连接 IQ.
则 MN、NQ、QI、IM 为截面与木块各表面的交线. ……3 分
证明：∵ MI //AB ， NQ//AB
∴ MI //NQ ，∴ M、N、Q、I 四点共面.
∵ AB 平面MNQI , NQ 平面MNQI
必要不充分条件，故 D 正确.
10.【答案】CD
【解析】R＝2，T＝12＝
2
，∴ω＝
6
，当
t＝0
时，y＝f(t)＝
3 ，且
，∴φ＝－ ，所
2
3
以
f
(t )
2 sin(
t
)
，故
A
错误；
63
当 t [0, 6] 时， t [ , 2 ] ，所以函数 y f (t) 在[0, 6] 不是单调递增的，故 B 错误； 6 3 33
由 ln x1 ln x2 ，即 x1x2 =1，x3x4 =(4 x1)(4 x2 ) ，且1 x2 2 ，
不等式 kx3x4
x12
x22
ห้องสมุดไป่ตู้
k
2 恒成立，则 k
2021届湖北省鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考数学试题(解析版)
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2）没有 以上的把握认为教师､学生对该食堂的评价有差异.
【分析】（1）设教师对食堂服务满意为事件A，学生对食堂服务满意为事件B，即可求得 ，再得出抽取人员中学生人数 的取值为 ，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.
13．已知向量 ，若 ，则 在 方向上的投影为___________.
【答案】
【分析】先利用 求出 ，再利用 可得 在 方向上的投影.
【详解】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 在 方向上的投影为 .
故答案为： .
14．有8个座位连成一排，现有5人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有___________(用数字作答).
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】AB
【分析】化简得到 ，根据 三点共线，得到 ，即 ，计算 ，依次判断每个选项得到答案．
【详解】由 得
因为 三点共线，所以 ，则
又 ，所以 是以4为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，故 ．
则 ， ，
所以AB正确，CD错误．
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运用平面向量共线定理的推论来解题，即由 三点共线，得到 ．
选条件②：由 ，可得 ，结合分组求和法，即可求解；
选条件③：由 ，可得 ，结合乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】（1）由题意，等差数列 中 且 ，
可得 ，解得 ，所以 .
（2）选条件①： ，
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1．（5分）满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个2．（5分）不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）3．（5分）已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列关系式错误的是（）A．＜B．＜C．ac2＞bd2D．ac＞bd4．（5分）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．∅5．（5分）函数y＝+1的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2或m＝﹣1 D．﹣3≤m≤﹣17．（5分）函数f（x）＝x3+x，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣3） D．（﹣1，3）8．（5分）已知f（x）＝，方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝1﹣x}，则A∩B＝（）A．{1，0} B．（1，0）C．{（1，0）} D．{（x，y）|}10．（5分）下列四组函数中表示同一函数的组数是（）A．f（x）＝|x|与g（x）＝B．f（x）＝|x|与g（x）＝C．f（x）＝（）3与g（x）＝（）2D．f（x）＝与g（x）＝11．（5分）当x∈R，x≠0，下列不等式成立的是（）A．|x+|≥2 B．0＜≤C．x+≥2 D．x+≤﹣212．（5分）判断一下说法正确的是（）A．“ab＝0”的一个必要非充分条件是“a2+b2＝0”B．如果2f（x）+f（）＝x，那么f（x）＝﹣（x≠0）C．函数y＝+的最小值为2D．函数f（x）＝x的任意自变量x1、x2满足f（）＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如果全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x＜8}，（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，那么用列举法表示A＝．14．（5分）已知g（x）＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，则f（﹣1）＝．15．（5分）两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝，设车辆限速不超过60m/s，那么两车都通过的最短时间为s．16．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，则不等式（x+1）f（x+1）＞0的解集为．三、解答题（共70分）17．（10分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C＝{x|a＜x＜a+1}，已知C∩B＝C，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）求函数y＝x0+的定义域；（2）求函数y＝的值域．19．（12分）定义域为R的奇函数F（x），当x＜0时，F（x）＝x2+4x．（1）求F（x）解析式，并写出它的单调区间；（2）解不等式F（x2）＞3．20．（12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（1）若f（x）是偶函数，当b＞0时，用定义证明：f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）若f（x）是奇函数，且f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22．（12分）函数f（x）对定义域D上任意x、y满足：f（x）+f（y）＝f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]．（1）求f（0）的值；（2）设D关于原点对称，判断并证明f（x）的奇偶性；（3）当x∈（﹣a，0）时，f（x）＜0，证明：f（x）在（0，a）上是增函数．参考答案一、选择题（1-8单选每题5分；9-12多选，每题全对5分，部分对3分，选错0分；共60分）1．（5分）满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个解：满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．共6个，∴满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有6个．故选：B．2．（5分）不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）解：根据题意，≤2⇒﹣2≤0⇒≤0⇒（x﹣2）（x﹣1）≥0且x﹣1≠0，解可得：x≥2或x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故选：D．3．（5分）已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列关系式错误的是（）A．＜B．＜C．ac2＞bd2D．ac＞bd解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∴a﹣c＞b﹣d＞0，﹣ac＞bd，故ac＜bd，故D错误；∴＜，故A正确；由﹣＝＜0，故＜，故B正确；由c2＞d2，故ac2＞bd2，故C正确；故选：D．4．（5分）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．∅解：若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0成立”为真命题，则△＞0，解得a＞2或a＜﹣2，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：B．5．（5分）函数y＝+1的大致图象是（）A．B．C．D．解：当x＝3时，函数y＝+1＝＞0，排除选项C，D；当x＝1时，函数y＝+1＝＝＞0，排除选项A；故选：B．6．（5分）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2或m＝﹣1 D．﹣3≤m≤﹣1解：由题意，m2+3m+3＝1∴m2+3m+2＝0∴m＝﹣1或m＝﹣2当m＝﹣1时，幂函数为y＝x﹣4，图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意；当m＝﹣2时，幂函数为y＝x﹣3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；故选：A．7．（5分）函数f（x）＝x3+x，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣3） D．（﹣1，3）解：因为f（x）＝x3+x为单调递增的奇函数，由f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0可得f（2﹣x2）＞﹣f（2x+1）＝f（﹣2x﹣1），所以2﹣x2＞﹣2x﹣1，整理可得，x2﹣2x﹣3＜0，解得，﹣1＜x＜3．故选：D．8．（5分）已知f（x）＝，方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：f（x）＝的图象如图：方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0，可得f（x）＝﹣1，或f（x）＝，由函数的图象可知：f（x）＝﹣1，有2个x的值，f（x）＝，有一个x的值，所以方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是3．故选：C．9．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝1﹣x}，则A∩B＝（）A．{1，0} B．（1，0）C．{（1，0）} D．{（x，y）|}解：由得，∴A∩B＝{（1，0）}或．故选：CD．10．（5分）下列四组函数中表示同一函数的组数是（）A．f（x）＝|x|与g（x）＝B．f（x）＝|x|与g（x）＝C．f（x）＝（）3与g（x）＝（）2D．f（x）＝与g（x）＝解：对于A，f（x）＝|x|，x∈R，g（x）＝＝|x|，x∈R；两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）＝|x|，x∈R，g（x）＝＝x，x∈R；两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝＝x，x∈R，g（x）＝＝x，x∈[0，+∞）；两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝，x∈[0，+∞），g（x）＝＝，x∈[0，+∞）；两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：AD．11．（5分）当x∈R，x≠0，下列不等式成立的是（）A．|x+|≥2 B．0＜≤C．x+≥2 D．x+≤﹣2解：对于A，当x＞0时，x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，当x＜0时，x+＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣1时取等号，故|x+|≥2，故A正确，CD不正确，对于B，＝≤＝，当且仅当x＝±1时取等号，故B正确．故选：AB．12．（5分）判断一下说法正确的是（）A．“ab＝0”的一个必要非充分条件是“a2+b2＝0”B．如果2f（x）+f（）＝x，那么f（x）＝﹣（x≠0）C．函数y＝+的最小值为2D．函数f（x）＝x的任意自变量x1、x2满足f（）＞解：对于A，a2+b2＝0时，a＝b＝0，所以ab＝0，所以“a2+b2＝0”是“ab＝0”的一个充分条件，选项A错误；对于B，由2f（x）+f（）＝x，…①得2f（）+f（x）＝，…②①②得f（x）＝﹣（x≠0），选项B正确；对于C，函数y＝+≥2•＝2，当且仅当＝1时取等号，此时x的值不存在，所以等号不成立；即函数的最小值不是2，是+＝，选项C错误；对于D，画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：由图象知，当0＜x1＜x2时，[f（x1）+f（x2）]＜f（）；对任意自变量x1、x2满足f（）≥，选项D错误．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如果全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x＜8}，（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，那么用列举法表示A＝{0，2，4，6} ．解：因为N代表自然数集，所以A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，而（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，所以1，3，5，7不是集合A的元素，都是集合B的元素，因此A＝{0，2，4，6}．故填：{0，2，4，6}14．（5分）已知g（x）＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，则f（﹣1）＝﹣3 ．解：∵y＝g（x）＝f（x）+x2是奇函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），即f（﹣x）+x2＝﹣f（x）﹣x2，即f（﹣1）+1＝﹣f（1）﹣1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）﹣2，∵f（1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝，设车辆限速不超过60m/s，那么两车都通过的最短时间为 4 s．解：设车速为v，则两车安全间距L＝，第二辆车走过的路程为100+，则两车都通过的时间t＝（0＜v≤60）．∴t＝，当且仅当，即v＝50时等号成立．∴两车都通过的最短时间为4s．故答案为：4．16．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，则不等式（x+1）f（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣2）＝0，由（x+1）f（x+1）＞0可得或，即或，解得，x＞1或x＜﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题（共70分）17．（10分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C＝{x|a＜x＜a+1}，已知C∩B＝C，求实数a的取值范围．解：（1）因为A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}，所以A∩B＝[3，6），而∁R B＝（﹣∞，2]∪[9，+∞），所以（∁R B）∪A＝（﹣∞，2]∪[3，6）∪[9，+∞），（2）因为C∩B＝C，所以C⊆B，即，解得2≤a≤8，故实数a的取值范围为[2，8]．18．（12分）（1）求函数y＝x0+的定义域；（2）求函数y＝的值域．解：（1）要使函数有意义，则有，解得x＞﹣1且x≠0且x≠1，所以函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．（2）函数y＝＝2++，令t＝≠0，则y＝t2+2t+2＝（t+1）2+1，所以函数的值域为[1，2）∪（2，+∞）．19．（12分）定义域为R的奇函数F（x），当x＜0时，F（x）＝x2+4x．（1）求F（x）解析式，并写出它的单调区间；（2）解不等式F（x2）＞3．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，∴F（﹣x）＝x2﹣4x，∵F（x）为奇函数，∴F（﹣x）＝﹣F（x），F（0）＝0∴F（x）＝﹣x2+4x，∴F（x）＝，函数在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）为减区间，在（﹣2，2）上为增区间．（2）∵F（x2）＞3，∴﹣x4+4x2＞3，∴1＜x2＜3，解得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜，故不等式的解集为（﹣，﹣1）∪（1，）．20．（12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（1）若f（x）是偶函数，当b＞0时，用定义证明：f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）若f（x）是奇函数，且f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．解：（1）证明：f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），所以＝，即﹣ax+b＝ax+b，可得a＝0，所以f（x）＝，b＞0，设x1＞x2≥0，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由x1＞x2≥0，b＞0，可得x2﹣x1＜0，x1+x2＞0，则＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即为b＝0，由f（x）＝≥﹣1恒成立，即为x2+ax+1≥0恒成立，可得△＝a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，所以a的取值范围是[﹣2，2]．21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：（1）当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60﹣（x﹣100）×0.02＝62﹣0.02x．∴p＝（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x﹣40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝（62﹣0.02x）x﹣40x＝22x﹣0.02x2．∴y＝当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；当100＜x≤600时，y＝22x﹣0.02x2＝﹣0.02（x﹣550）2+6 050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050．显然6050＞2000．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．22．（12分）函数f（x）对定义域D上任意x、y满足：f（x）+f（y）＝f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]．（1）求f（0）的值；（2）设D关于原点对称，判断并证明f（x）的奇偶性；（3）当x∈（﹣a，0）时，f（x）＜0，证明：f（x）在（0，a）上是增函数．解：（1）令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0）[1﹣f2（0）]，所以2f（0）＝f（0）﹣f3（0），所以f3（0）+f（0）＝0，所以f（0）＝0；（2）令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）[1﹣f（x）f（﹣x）]，所以f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）为D上的奇函数；（3）证明：设0＜x1＜x2＜a，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2）[1﹣f（x1）f（﹣x2）]，因为﹣a＜﹣x2＜﹣x1＜0，﹣a＜﹣x1＜0，﹣a＜x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＜0，f（﹣x2）＜0，f（﹣x1）＜0，所以f（x1﹣x2）[1+f（﹣x1）f（﹣x2）]＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，a）上递增．。
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知全集1,2,3U =,集合{}1,2A =,那么UA 等于（ ）A.{}1B.{}2C.{}3D.{}1,22.如果幂函数y x α=的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么α等于（ ） A.-2B.2C.12-D.123.已知集合{}1,2,3A =，非空集合B 满足{}1,2,3A B =，则集合B 有（ ）个A.3B.6C.7D.84.下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为（ ） A.1y x=B.2y x =-C.||y x =-D.||1y x =+5.设x ∈R ，则“2x >”是“24x >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()1=-f x x 的图象是（ ）A. B.C. D.7.若1x >，则141x x +-的最小值等于（ ） A.6B.9C.4D.88.已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A.5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦[)2,⋃+∞ B.5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C.5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D.5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题9.命题“0031>”的否定是__________. 10.已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=________. 11.已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为三、新添加的题型） A.a b b c ->- B.ab bc > C.22a b >D.b a a b< 13.已知命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A.[1,1]a ∈-B.(4,4)a ∈-C.[4,4]a ∈-D.{}0a ∈14.设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）A.11a b+有最小值4 有最小值12D.22a b +有最小值1215.已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（ ）A.(3)(4)>-f fB.若(1)(2)-<f m f ，则(,3)∈-∞mC.若()0f x x>，(1,0)(1,)x ∈-+∞ D.x R ∀∈，∃∈M R ，使得()f x M ≥16.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设00a b ＞，＞，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b ，线段___________的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________．四、解答题17.已知}37A x x =-≤<，{}210B x x =<<； 求：（1）A B（2）()R A B ．18.已知0a b <<，0m >，求证：a a mb b m+<+. 19.已知0m >,0n >,不等式2120x mx +-<的解集为()6,n -. （1）求实数m ,n 的值；（2）正实数a ,b 满足22na mb +=,求11a b+的最小值. 20.已知f （x ）为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ．（1）求f （x ）的表达式； （2）判断函数g(x)=f(x)x在（0，+∞）上的单调性，并证明．21.某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？参考答案1.C【解析】1.根据补集的定义求解即可.解: 因为全集{}1,2,3U =,集合{}1,2A =, 所以{}3UA =.故选:C 2.A【解析】2.直接将点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入表达式即可求解 由题可知，124α=，解得2α=-， 故选：A 3.C【解析】3.由已知可得B ≠∅，且B A ⊆，根据子集定义即可求解.{1,2,3},⋃==∴⊆A B A B A ，故{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}=B 共7个， 故选:C 4.D【解析】4.先确定奇偶性，再确定单调性．四个函数中偶函数的有B 、C 、D ，在(,0)-∞上B 、C 都是递增，只有D 是递减． 故选：D ． 5.A【解析】5.结合范围大小直接判断充分条件与必要条件即可由题可知，“2x >”⇒“24x >”，但“24x >”“2x >”，故“2x >”是“24x >”的充分不必要条件. 故选：A 6.B【解析】6.根据函数特殊位置进行排除即可. 当0x =时，10y =≠，排除C ; 当12x =时，112y =＜，排除A ; 当12x =-时，312y =＞，排除D ; 故选：B. 7.D【解析】7. 由11444411x x x x +=-++--，根据基本不等式，即可求出结果. 因为1x >，所以10x ->， 因此1144444811x x x x +=-++≥=--， 当且仅当1441x x -=-，即32x =时，等号成立. 故选：D. 8.C【解析】8.设()21f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.设()21f x x mx =++，则二次函数()21f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，由题意()()2400220102250m m f f m ⎧∆=-≥⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-.因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：C.9.,231x R x ∀∈-≤【解析】9.根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为：“,231x R x ∀∈-≤” 故答案为：,231x R x ∀∈-≤ 10.2【解析】10.得出()()6f x f x +-=即可 因为3()3cf x ax bx x--=--+ 所以()()6f x f x +-=即()()6f t f t +-=，因为()4f t =，所以()2f t -= 故答案为：211.(,0)(4,)-∞+∞【解析】11.试题分析：把原不等式看成是关于a 的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在a 轴上方即可，设关于a 的函数44)2(24)4(x f(x )y 22+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴x 的取值范围是{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．12.BCD【解析】12.令4,3,c=2a b ==，可得a b b c -=-，可排除A ；根据不等式的基本性质，对B,C,D 选项依次加以论证，可得其均正确.对于A ，令4,3,c=2a b ==，可得a b b c -=-，可排除A ； 对于B ，0b >，由a c >可得ab bc >，故B 正确； 对于C ，0a b >>，两边平方得22a b >，故C 正确；对于D ，0a b >>，可得01b aa b<<<，故D 正确. 故选：BCD. 13.AD【解析】13.首先求得命题p 的等价条件，由此求得命题p 成立的充分不必要条件. 依题意命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，所以2160a ∆=-<， 解得44a -<<.即命题p 的等价条件是()4,4a ∈-，命题p 成立的一个充分不必要条件是()4,4-的真子集， 所以AD 选项符合，BC 选项不符合. 故选：AD 14.ACD【解析】14.根据基本不等式及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项.A ．()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，取等号时12a b ==，故正确；B 1=22a b +≤，取等号时12a b ==12，故错误；C ．212a b =++=+≤≤，取等号时12a b ==，故正确； D ．()22211=2121242a b ab ab a b +-=-≥-⨯+=，取等号时12a b ==，故正确，故选：ACD. 15.CD【解析】15.由条件可得()f x 是偶函数且()f x 在(0,)+∞上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在(0,)+∞上单调递增 所以(3)(4)(4)f f f <=-，故A 错若(1)(2)-<f m f ，则12m -<，得13m -<<，故B 错若()0f x x >则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，因为(1)(1)0f f -== 所以1x >或01x <<，故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上单调递增 所以min ()(0)f x f =，所以对x R ∀∈，只需(0)M f ≤即可，故D 正确 故选：CD16.DE 22ab a ba b +≤≤+【解析】16.利用射影定理判断出调和平均数对应的线段，根据图象判断算术平均数、几何平均数与调和平均数的关系.依题意三角形ABD 是直角三角形，CD AB ⊥； 在直角三角形OCD 中，CD OC ⊥.由射影定理得2CD AC CB ab CD =⋅=⇒=由射影定理得2CD DE OD =⋅，即22a b abab DE DE a b+=⋅⇒=+， 所以线段DE 的长度是,a b 的调和平均数2ab a b+.在Rt OCD △中，DE CD OD <<，即22ab a ba b +<<+，当a b =时，,,DE CD OD 重合，即22ab a b a b +==+，所以22ab a ba b +≤≤+.故答案为：DE ；22ab a ba b +≤≤+ 17.（1）{}310A B x x =-≤<，（2）{}()710R A B x x =≤<【解析】17.（1）由集合{}37A x x =-≤<，{}210B x x =<<可直接得出A B（2）先得到{3RA x x =<-或}7x ≥，然后即可得到答案.（1）因为{}37A x x =-≤<，{}210B x x =<< 所以{}310AB x x =-≤<（2）由{}37A x x =-≤<可得{3RA x x =<-或}7x ≥所以{}()710R A B x x =≤<18.证明见解析【解析】18. 采用作差法即可求证 证明：()()a a m a a m ab m b b m b b m b b m ++--=-=+++， 又因为0a b <<，0m >，所以0a b -<，()0m a b -<，()0b b m +>，所以()0()a b mb b m -<+， 即证a a mb b m+<+. 19.（1）4,2.m n =⎧⎨=⎩（2）最小值为9.【解析】19. （1）根据韦达定理6,612.n m n -+=-⎧⎨-=-⎩解方程组即可.（2）由题意将282a b +=化为41a b +=.利用”乘1法则”和基本不等式114559b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭,最后验证4b a a b =的情况即可. 解：（1）由题意可知：6-和n 是方程2120x mx +-=的两个根,∴6,612.n m n -+=-⎧⎨-=-⎩解得4,2.m n =⎧⎨=⎩（2）由题意和（1）可得：282a b +=,即41a b +=.∴()1111445b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵0a >,0b >,∴40b a>,0a b >.∴114559b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当4b a a b =,即13a =,16b =时等号成立. ∴11a b+的最小值为9. 20.（1）f （x ）=x 2﹣2x ﹣1；（2）增函数，证明见解析．【解析】20. （1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果； （2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果. （1）设f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），由条件得：a （x+1）2+b （x+1）+c+a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=2x 2﹣4x ，从而， 解得：， 所以f （x ）=x 2﹣2x ﹣1；（2）函数g （x ）=在（0，+∞）上单调递增． 理由如下：g （x ）==，设设任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=﹣（）=（x 1﹣x 2）（1+）， ∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，1+＞0，∴g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）=在（0，+∞）上单调递增．21.（1）()250115,36,368115,620,x x x Z f x x x x x Z -≤≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩； （2）当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【解析】21.（1）写出当x 取值范围内，自行车的总收入，并减去管理费可得出()y f x =的解析式，注意实际问题中自变量取值范围；（2）利用一次函数、二次函数的单调性求出分段函数()y f x =在每段定义域上的最大值，两者进行比较得出函数()y f x =的最大值.（1）当6x ≤时，50115y x =-，令501150x ->，解得 2.3x >， x 是整数，36x ∴≤≤，x ∈Z ；当6x >时，()25036115368115y x x x x =--⋅-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令23681150x x -+->，有23681150x x -+<，结合x 为整数得620x <≤，x ∈Z .()250115,36,368115,620,x x x Z f x x x x x Z -≤≤∈⎧∴=⎨-+-<≤∈⎩； （2）对于()5011536,y x x x Z =-≤≤∈，显然当6x =时，max 185y =； 对于()22348113681153620,33y x x x x x Z ⎛⎫=-+-=--+<≤∈ ⎪⎝⎭， 当11x =时，max 270y =. 270185>，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【方法突破】（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；（3）分段函数的最值是各段的最大（最小）值的最大（最小）者.。