人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()32639a a =C ．2225420a a a ⋅=D ．444235a a a +=2．若多项式294x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．12B ．12±C ．6D ．6±3．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a 的代数式2A a a =+，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个①当2a =-时，2A =；①存在实数a ，使得104A +<； ①若10A -=，则2213a a +=；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=22218A B C AB AC BC ++---=．A ．4B ．3C ．2D ．14．阅读材料：我们把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+，2(2)2x x -+，2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（ ） ①2(2)2x x +-和2(31)x ++都是224x x ++不同形式的配方①22(1)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为3 ①23534b b +-有最小值，最小值为2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、填空题7．若m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，则代数式m 2+n 2-2mn ＝_____．8．若x ＝3是关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝3的解，则代数式10﹣3m ＋n 的值是___．9．如果用公式222()2a b a ab b +=++计算2()a b c ++，那么第一步应该写成2()a b c ++=________．三、解答题10．已知xy (1)求代数式2x 2+2y 2﹣ x y 的值；(2)2x y 的值．11．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++①()220y +≥①()2244y ++≥①代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?12．图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式2()m n +，2()m n -，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．参考答案：1．D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、()326327a a =，故B 不符合题意； C 、2245420a a a =，故C 不符合题意；D 、444235a a a +=，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．2．B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：①9x 2-mx +4是一个完全平方式，①-m =±12，①m =±12．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．B【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断①，利用公式变形，整体代入求值可判断①，根据A B -=B C -=A C -=222A B C AB AC BC ++---配方得出(222111222++，然后代入求值可判断①． 【详解】解①当2a =-时，()2222A =--=，故①正确； ①存在实数a ，使得221110442A a a a ⎛⎫+=++=+≥ ⎪⎝⎭，故①不正确； ①若10A -=，①21a a +=，当0,01a =≠，①0a ≠， ①11a a-=-， 则2221123a a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭； 故①正确；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=①()()A C A B B C -=-+-=则222A B C AB AC BC ++--- =()22212222222A B C AB AC BC ++---=()()()222111222A B B C A C -+-+-=(222111222++ =18；故①正确，①正确的个数有3个，故选B ．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．4．C【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；①利用完全平方公式的结构特征判断即可；①原式配方后，求出最小值，即可作出判断．【详解】解：①①(x +2)2-2x= x 2+2x +4，(x +1)2+3= x 2+2x +4，①(x +2)2-2x 和(x +1)2+3都是x 2+2x +4不同形式的配方，符合题意；①x 2-2(k -1)x +4是完全平方式，则k -1=2或k -1=-2，即k =3或-1，不符合题意；①原式=34(b 2-4b +4)+2=34(b -2)2+2，当b =2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC ＝8m ，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，在Rt①ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，即x 2+82＝（x +2）2，解得x ＝15，故AB ＝15m ，即旗杆的高为15m ．故选：C ．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．6．C【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可．【详解】解：把x ＝2代入得：2÷2＝1，把x ＝1代入得：1+5＝6，把x ＝6代入得：6÷2＝3，把x ＝3代入得：3+5＝8，把x ＝8代入得：8÷2＝4，把x ＝4代入得：4÷2＝2，把x ＝2代入得：2÷2＝1，……以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：61n +对应1；62n +对应6；63n +对应3；64n +对应8；65n +对应4；6n +6对应2；①202163365=⨯+，①经过2021次输出的结果是4．故选：C ．【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键．7．21【分析】先根据根与系数的关系得到m +n ＝3，m n ＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：①m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，①m +n ＝3，m n ＝﹣3，①m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a =． 8．7【分析】根据题意得到﹣3m +n ＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m ＋n 求解即可．【详解】解：由题意得：3m ﹣n ＝3，①﹣3m +n ＝﹣3，①原式＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．9．22()2()a b c a b c ++++【分析】利用完全平方公式即可得．【详解】[]2222()()()2()a b c a b c a b c a b c ++=++=++++，故答案为：22()2()a b c a b c ++++．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．10．(1)27；(2)【分析】（1）求得x +y 和x y 的值，再利用完全平方公式变形求值即可；（2）根据x ＜1，先分母开方，约分，再代入求值即可；(1)解：原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣5xy ＝2（x +y ）2﹣5xy ，①2x =2y ==，①x +y ＝24，(221xy ==，①原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27；(2)解：①x ＝21，①x yx yx y ＝x y＝1 ＝﹣1＝ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．11．(1)−3； (2)13； (3)当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子变形为()213x --，再根据非负数的性质得出最小值； （2）根据阅读材料将所求的式子变形为()23|1|0a b -++=，再根据非负数的性质求出a 、b ，代入b a 计算即可；（3）先根据矩形的面积公式列出式子，再根据阅读材料将式子变形，求出最值即可．（1）解：()222213x x x --=--，①()210x -≥，①()2133x --≥-，①代数式222x x --的最小值为−3；（2）①()2269|1|3|1|0a a b a b -+++=-++=，①a −3＝0，b ＋1＝0，①a ＝3，b ＝−1， ①1133b a -==， 故答案为：13； （3）设()m AB x =，由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ①()2250x --≤，①当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（1）m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-，方法①：2()4m n mn +-；（3）22()()4m n m n mn -=+-；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图b 中小正方形的边长为m n -；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为2()m n -；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为2()4m n mn +-；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到22()()4a b a b ab -=+-．【详解】解：（1）图b 中小正方形的边长为m n -．故答案为m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-；方法①：2()4m n mn +-；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以22()()4m n m n mn -=+-；（4）由（3）得：22()()4a b a b ab -=+-，7a b +=，5ab =，2()a b ∴-222a ab b =-+2()4a b ab =+-2745=-⨯4920=-29=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．。
人教版八年级上册数学 14.2.2完全平方公式 同步习题(含解析)
14.2.2完全平方公式同步习题一．选择题（共10小题）1．计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y22．若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（）A．13B．19C．25D．313．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定4．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy6．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．18．下列等式成立的是（）A．（a+1）2＝（a﹣1）2B．（﹣a﹣1）2＝（a+1）2C．（﹣a+1）2＝（a+1）2D．（﹣a﹣1）2＝（a﹣1）29．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误10．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6二．填空题（共5小题）11．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．12．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．13．已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝．14．用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．拓展应用：（a﹣b）4＝．三．解答题（共3小题）16．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．17．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．参考答案1．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．2．解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，故选：D．3．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．4．解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．5．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2＝12xy．故选：A．6．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．8．解：A、（a+1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣1）2＝（a+1）2，原等式成立，故此选项符合题意；C、（﹣a+1）2≠（a+1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；D、（﹣a﹣1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；故选：B．9．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．10．解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故选：C．11．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．12．解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．13．解：∵（2020+x）（2018+x）＝55，∴（2020+x）2+（2018+x）2＝[（2020+x）﹣（2018+x）]2+2（2020+x）（2018+x）＝22+2×55＝114．故答案为114．14．解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．15．解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：1 5 10 10 5 1，a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．16．解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．17．解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．。
人教版八年级数学上册完全平方公式(1)
3.已知
求下列式子的值：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
3、公式的逆向使用；a2 +2ab+b2 = (a+b)2 4、解题时常用结论：a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
5、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
深入探索----算一算
1． 计算：4x(x－1)2＋x(2x＋5)·(5－2x) 2. 当x＝2，y＝-1时。求代数式 (x＋y)(x－y)＋(x－y)2－(x2－3xy)的值。
3.用简便的方法计算:
1.23452+0.76552+2.469×0.7655
八年级 数学
第十五章 整式的乘法
例1 运用完全平方公式计算：
感受新知----看一看
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2 =x2 +4xy +4y2
人教版八年级数学上册14.2.2《完全平方公式》同步训练习题
人教版八年级数学上册14.2.2《完全平方公式》同步训练习题（学生版）一．选择题（共8 小题）1．（2015•遵义）下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣4 2．（2015•诏安县校级模拟）若x2+ax+9=（x+3）2，则a 的值为（）A．3 B．±3 C．6 D．±63．（2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2015 春•灵璧县校级期末）设（5a+3b）2=（5a﹣3b）2+A，则A=（）A．30ab B．60ab C．15ab D．12ab5．（2015 春•澧县期末）若a﹣b=1，ab=2，则（a+b）2 的值为（）A．﹣9 B．9 C．±9 D．36．（2015 春•栾城县期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（）A．12 B．﹣12 C．12 或﹣12 D．367．（2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z 满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+ （2z﹣x）2 的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36二．填空题（共6 小题）9．（2015•太原一模）计算（a﹣2）2 的结果是．10．（2015•南充一模）若x﹣= ，则x2﹣= ．11．（2015•东营模拟）已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c 的值为．12．（2015 春•江都市期末）若m=2n+3，则m2﹣4mn+4n2 的值是．13．（2015 春•扬州校级期末）已知a＞b，ab=2 且a2+b2=5，则a﹣b= ．14．（2015 春•金堂县期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5= ，并说出第7 排的第三个数是．三．解答题（共4 小题）15．（2015 春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．16．（2015 春•乐平市期中）思考：“两个相邻整数的平均数的平方”与“两个相邻整数的平方数的平均数”是否相等？如果不相等，那么他们又相差多少呢？17．（2014 秋•蓟县期末）已知a，b 是有理数，试说明a2+b2﹣2a﹣4b+8 的值是正数．18．（2015 春•苏州期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段，探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为．探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x m，宽为y m，（1）用含x、y 的代数式表示正方形的边长为；（2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由．人教版八年级数学上册14.2.2《完全平方公式》同步训练习题（教师版）一．选择题（共8 小题）1．（2015•遵义）下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣4选D2．（2015•诏安县校级模拟）若x2+ax+9=（x+3）2，则a 的值为（）A．3 B．±3 C．6 D．±6考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意可知：将（x+3）2 展开，再根据对应项系数相等求解．解答：解：∵x2+ax+9=（x+3）2，而（x+3）2=x2+6x+9；即x2+ax+9=x2+6x+9，∴a=6．故选C．点评：本题主要考查完全平方公式的应用，利用对应项系数相等求解是解题的关键．3．（2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．解答：解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．4．（2015 春•灵璧县校级期末）设（5a+3b）2=（5a﹣3b）2+A，则A=（）A．30ab B．60ab C．15ab D．12ab考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：已知等式两边利用完全平方公式展开，移项合并即可确定出A．解答：解：∵（5a+3b）2=（5a﹣3b）2+A∴A=（5a+3b）2﹣（5a﹣3b）2=（5a+3b+5a﹣3b）（5a+3b﹣5a+3b）=60ab．故选B点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2015 春•澧县期末）若a﹣b=1，ab=2，则（a+b）2 的值为（）A．﹣9 B．9 C．±9 D．3考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：先根据完全平方公式得到（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，然后利用整体代入的方法进行计算．解答：解：∵a﹣b=1，ab=2，∴（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=12+4×2=9．故选B．点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．6．（2015 春•栾城县期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（）A．12 B．﹣12 C．12 或﹣12 D．36考点：完全平方公式．分析：运用完全平方公式求出（2a±3b）2 对照求解即可．解答：解：由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2，∴染黑的部分为±12．故选：C．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．7．（2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．解答：解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D．点评：本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2 倍是利用完全平方公式的关键．8．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z 满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+ （2z﹣x）2 的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36考点：完全平方公式；代数式求值．专题：计算题．分析：由题意实数x、y、z 满足x2+y2+z2=4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2 和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．解答：解：∵实数x、y、z 满足x2+y2+z2=4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z=0 时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2 的最大值是28．故选C．点评：此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．二．填空题（共6 小题）9．（2015•太原一模）计算（a﹣2）2 的结果是a2﹣4a+4 ．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式计算即可．解答：解：（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故答案为：a2﹣4a+4点评：此题考查完全平方公式，关键是完全平方公式的形式计算．10．（2015•南充一模）若x﹣=，则x2﹣= ±．考点：完全平方公式；平方差公式．分析：根据完全平方公式，先将原式两边平方，求出x+，再根据平方差公式把要求的式子进行变形，代入计算即可．点评：本题考查的是完全平方公式和平方差公式的应用，正确把代数式应用完全平方公式和平方差公式进行变形是具体点关键．11．（2015•东营模拟）已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c 的值为 0 ．考点：完全平方公式．分析：将x=1 代入已知等式中计算即可求出a+b+c 的值．解答：解：将x=1 代入得：（1﹣1）2=a+b+c=0，则a+b+c=0．故答案为：0．点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2015 春•江都市期末）若m=2n+3，则m2﹣4mn+4n2 的值是 9 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式分解后，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵m=2n+3，即m﹣2n=3，∴原式=（m﹣2n）2=9．故答案为：9点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．13．（2015 春•扬州校级期末）已知a＞b，ab=2 且a2+b2=5，则a﹣b= 1 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：由a 大于b，得到a﹣b 大于0，利用完全平方公式化简（a﹣b）2，把各自的值代入计算，开方即可求出值．解答：解：∵a＞b，即a﹣b＞0，ab=2 且a2+b2=5，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=5﹣4=1，则a﹣b=1，故答案为：1点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．（2015 春•金堂县期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ，并说出第7 排的第三个数是21 ．考点：完全平方公式；规律型：数字的变化类．分析：观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1 组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．解答：解：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7 排的第三个数是21，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；21点评：考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．三．解答题（共4 小题）15．（2015 春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，﹣∴原式=x 2y 2﹣（x 2+y 2）+1=64﹣25+1=40．点评： 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（2015 春•乐平市期中）思考：“两个相邻整数的平均数的平方”与“两个相邻整数的平方 数的平均数”是否相等？如果不相等，那么他们又相差多少呢？考点： 完全平方公式．分析： 设这两个整数分别为 a 、a+1，则依据题意得到代数式，通过作差来比较它们的大 小．解答： 解：设这两个整数分别为 a 、a+1，则（ ）2﹣[ ]= ]2=﹣ ．即它们不相等，且它们又相差﹣ ．=﹣[点评： 本题考查了完全平方公式．根据题中的信息列出代数式是解题的关键．17．（2014 秋•蓟县期末）已知 a ，b 是有理数，试说明 a 2+b 2﹣2a ﹣4b+8 的值是正数． 考点： 完全平方公式；非负数的性质：偶次方．分析： 先把常数项 8 拆为 1+4+3，在分组凑成完全平方式，从而判断它的非负性． 解答： 证明：原式=a 2+b 2﹣2a ﹣4b+1+4+3=a 2﹣2a+1+b 2﹣4b+4+3=（a ﹣1）2+（b ﹣2）2+3，∵（a ﹣1）2≥0；（b ﹣2）2≥0；∴（a ﹣1）2+（b ﹣2）2+3≥3．∴a2+b2﹣2a﹣4b+8 的值是正数．点评：主要考查了完全平方式的运用，解题的关键要利用完全平方式的非负性来判断，并通过添项凑完全平方式．18．（2015 春•苏州期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段，探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为2cm ．探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x m，宽为y m，（1）用含x、y 的代数式表示正方形的边长为；（2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由．考点：完全平方公式．分析：探究一：根据平方差公式进行解答；探究二：（1）根据正方形周长与边长的关系，即可解答；（2）作差进行比较，即可解答．解答：解：探究1：设两个正方形的边长分别为a，b，则a+b=20，a2﹣b2=40（a+b）（a﹣b）=4020（a﹣﹣b）=40，a﹣b=2（cm），故答案为：2cm．点评：本题考查了平方差公式和完全平分公式，解决本题的关键是熟记公式．。
人教版八年级数学上《完全平方公式》拔高练习
《完全平方公式》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数，等等．有如下三个结论：①当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1．②当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1③当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，a的值是﹣2或﹣4．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A．①②B．②C．③D．②③2．（5分）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为（）A．22B．16C．10D．43．（5分）已知x+y＝﹣4，xy＝2，则x2+y2的值（）A．10B．11C．12D．134．（5分）若a＝2017×2018﹣1，b＝20172﹣2017×2018+20182，则下列判断结果正确的是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法判断5．（5分）利用乘法公式计算（3a+b）2等于（）A．3a2+b2B．9a2+b2C．9a2+3ab+b2D．9a2+6ab+b2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝15，则xy＝．7．（5分）已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝．8．（5分）若a+b＝5，ab＝3，则3a2+3b2＝．9．（5分）计算1012＝．10．（5分）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x2+y2＝19，x﹣y＝5，求下列各式的值．（1）xy；（2）x+y．12．（10分）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．请你根据上述解题思路解答下面问题：（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）•c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．13．（10分）阅读下列计算过程：99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104（1）计算：999×999+1999＝＝＝＝；9999×9999+19999＝＝＝＝（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程．14．（10分）若x+y＝5，xy＝4．（1）求x2+y2的值；（2）求x﹣y的值．15．（10分）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．《完全平方公式》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数，等等．有如下三个结论：①当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1．②当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1③当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，a的值是﹣2或﹣4．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A．①②B．②C．③D．②③【分析】依据（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，即可代入a，b的值，得到代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值．【解答】解：∵（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是16，故①错误；当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1，故②正确；当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，（a+3）4＝1，∴a的值是﹣2或﹣4，故③正确．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式，（a+b）n展开后各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．2．（5分）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为（）A．22B．16C．10D．4【分析】根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，代入求出即可．【解答】解：∵x+y＝4，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×3＝10．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．3．（5分）已知x+y＝﹣4，xy＝2，则x2+y2的值（）A．10B．11C．12D．13【分析】先根据完全平方公式进行变形，再整体代入求出即可．【解答】解：∵x+y＝﹣4，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣4）2﹣2×2＝12，故选：C．【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．4．（5分）若a＝2017×2018﹣1，b＝20172﹣2017×2018+20182，则下列判断结果正确的是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法判断【分析】根据完全平方公式得到b＝20172﹣2017×2018+20182＝（2017﹣2018）2+2017×2018＝1+2017×2018，再与a＝2017×2018﹣1比较大小即可求解．【解答】解：∵a＝2017×2018﹣1，b＝20172﹣2017×2018+20182＝（2017﹣2018）2+2017×2018＝1+2017×2018，∴2017×2018﹣1＜1+2017×2018，∴a＜b．故选：A．【点评】考查了完全平方公式，解决本题的关键是利用完全平方公式计算b得到b＝1+2017×2018．5．（5分）利用乘法公式计算（3a+b）2等于（）A．3a2+b2B．9a2+b2C．9a2+3ab+b2D．9a2+6ab+b2【分析】依据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：原式＝（3a）2+2•3a•b＝b2＝9a2+6ab＝b2．故选：D．【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝15，则xy＝5．【分析】把第一个等式左边利用完全平方公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求．【解答】解：把（x+y）2＝25，化简得：x2+y2+2xy＝25，将x2+y2＝15代入得：15+2xy＝25，解得：xy＝5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（5分）已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝12．【分析】先把a+b＝6两边乘方，再把ab＝3代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝36，∵ab＝3，∴a2+2×3+b2＝36，解得a2+b2＝36﹣6＝30．所以：，故答案为：12．【点评】本题是对完全平方公式的考查，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错．8．（5分）若a+b＝5，ab＝3，则3a2+3b2＝57．【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab 的值整体代入计算．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，∴3a2+3b2＝3（a+b）2﹣6ab，＝3×52+6×3，＝57．【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解此题的关键是要了解a2+b2与（a﹣b）2之间的联系．9．（5分）计算1012＝10201．【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：1012＝（100+1）2＝10000+200+1＝10201，故答案为：10201．【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式解答．10．（5分）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝17．【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出所求．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9②，∴①+②得：2（x2+y2）＝34，则x2+y2＝17，故答案为：17【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x2+y2＝19，x﹣y＝5，求下列各式的值．（1）xy；（2）x+y．【分析】（1）根据完全平方公式，即可解答．（2）根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（1）x﹣y＝5，（x﹣y）2＝52x2﹣2xy+y2＝252xy＝（x2+y2）﹣252xy＝19﹣252xy＝﹣6xy＝﹣3．（2）（x+y）2＝x2+2xy+y2＝19+2×（﹣3）＝13，x+y＝±．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．12．（10分）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．请你根据上述解题思路解答下面问题：（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）•c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；（2）根据完全平分公式，即可解答．【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）＝[（a﹣b）2+4ab]（a﹣b）＝[（﹣3）2+4×（﹣2）]×（﹣3）＝﹣3．（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c＝（﹣10）2+2×（﹣12）＝76．【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．13．（10分）阅读下列计算过程：99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104（1）计算：999×999+1999＝9992+2×999+1＝＝（999+1）2＝10002＝106；9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝100002＝108（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程．【分析】（1）根据99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104所示规律，通过变形，将999×999+1999和9999×9999+19999化为完全平方的形式，即可轻松计算；（2）根据（1）总结的规律，列出完全平方式计算．【解答】解：（1）根据99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104所示规律，得999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝10002＝106；9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝100002＝108．（2）根据（1）中规律，9999999999×9999999999+19999999999＝（9999999999+1）2＝100000000002＝1020．【点评】此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．14．（10分）若x+y＝5，xy＝4．（1）求x2+y2的值；（2）求x﹣y的值．【分析】（1）先依据完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后代入计算即可；（2）先求得（x﹣y）2的值，然后，再利用平方根的定义求解即可．【解答】解：（1）当x+y＝5，xy＝4时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝25﹣8＝17．（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9，∴x﹣y＝±3．【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，利用完全平方公式对所求代数式进行适当的变形是解题的关键．15．（10分）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．【解答】解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝34，则x2+y2＝17；两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝﹣16，则xy＝﹣4．【点评】此题主要考查了完全平方公式的运用，正确将已知条件变形是解题的关键．。
八年级数学上册完全平方公式同步练习含解析
完全平方公式一、单选题(共12小题）1．已知x+=6,则x2+=（）A.38B.36 C。
34 D。
32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得:（x+）2=x2++2=36，则x2+=34，故选：C．【名师点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．2．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（) A．2005B．2006C．2007D．2008【答案】A【解析】p=a2+2b2+2a+4b+2008，=(a2+2a+1)+（2b2+4b+2）+2005,=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当(a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．3．已知(m－n)2＝36,（m＋n）2＝4000，则m2＋n2的值为( ）A.2016 B.2017 C.2018 D。
4036【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴。
故选C.4．若有理数a，b满足a2+b2=5，(a+b)2=9，则－4ab的值为（）A．2B．－2C．8D．－8【答案】D【解析】（a+b）²=9，即a²+b²+2ab=9，又a²+b²=5，则2ab=9—5=4，所以—4ab=4×（—2)=-8.故选：D。
5．将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0。
5+0。
52D．9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【详解】9。
52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0。
5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【名师点睛】本题考查的是完全平方公式,完全平方公式:（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为:“首平方，末平方，首末两倍中间放”．6．已知实数a、b满足a+b=2,ab=，则a﹣b=（）A．1 B．﹣C．±1 D．±【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b)2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a—b）2=a2-2ab+b2=1，∴a—b=±1，故选:C．7．(2019·耒阳市冠湘中学初二月考)已知，则的值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】∵a+b=2，∴a2—b2+4b=(a—b)(a+b）+4b，=2(a-b）+4b，=2a—2b+4b,=2（a+b），=2×2,=4．故选C．本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．8．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（)A．16B．﹣16C．4D．﹣4【答案】D【解析】已知等式整理得:x2+ax+19=（x-5)2—b=x2—10x+25-b,可得a=—10，b=6,则a+b=—10+6=-4，故选：D．9．若x+y+3=0，则x（x+4y）-y（2x—y）的值为A．3B．9C．6D．—9【答案】B【详解】∵x+y+3=0，∴x+y=﹣3,∴x(x+4y)﹣y(2x﹣y）=x2+4xy﹣2xy+y2=(x+y)2=9．故选B.【名师点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．10．如图,边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为（)A。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。
八年级数学上册第14章知识专题3_完全平方公式的变形(人教版)
《小专题完全平方公式的变形》
——教材P112习题T7的变式与应用教材母题：（教材P112习题T7）已知，求的值.
【变式1】（淄博中考）若，则=（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
【变式2】（乐山中考）已知实数满足，则=（）
A.1
B.-
C.
D.
【变式3】已知，则_________.
【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式
，通过配方可对进行适当的变形，如
或.
（1，则的值为_________.
（2）已知，求的值.
针对训练
1.已知都是正数，，则（）
A.-3
B.3
C. 3
D.9
2.已知.
（1）求的值.
（2）若，求的值.
3.已知，求的值.
4.（1）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式：
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①若m+n=8，mn=12，求m-n的值：
②已知，请利用上述等式求mn.
参考答案
教材母题
解：即
【变式1】B.
【变式2】C
【变式3】25
【变式4】解：(1)
.
针对训练
1.B
2.解：(1) .
.
3.解：
.
4.解：（2）①m-n=4或-4.②mn= 1.。
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
例例12 运用完全平方公式计算： （1）1022； （2）1972 .
分析：把1022和1972改写成(a b)2 还是(a - b)2？
a、b怎样确定？
解：（1）102 2
（2）197 2
=(100+2) 2
= (200-3)2
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
观察下列计算过程，判断其是否正确，若不正确，请改正． (1)(2a－3b)2＝4a2－9b2； (2)(－2m－3n)2＝4m2－12mn＋9n2.
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
证明：(a - b)2 = [a + (-b)]2 = a2 +2a (-b)+(-b)2 = a2 -2ab + b2 .
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
初识完全平方公式：(a - b)2 =a2 -2ab + b2 .
1.结构特征：左边是二项式（两数和或差）的平方；右边是两数的 平方和加（或减）这两数乘积的2倍.
人教版八年级数学上册： 1. 完全平方公式
3.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原型的两 边，做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2. 4.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完 全平方公式的条件，即为“两数和（或差）的平方 ”，然后运用公式计算. 5.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
（3）(3x - 2)2 = __9_x_2_-_12_x_+_4___；
2022年人教版八年级上册《运用完全平方公式因式分解》同步练习(附答案)
第2课时 完全平方公式一．填空1．〔 〕2+=+22520y xy 〔 〕2． 2．=+⨯-227987981600800〔 --2)= ．3．3=+y x ，那么222121y xy x ++= ．4．0106222=++-+y x y x那么=+y x ．5．假设4)3(2+-+x m x 是完全平方式，那么数m 的值是 ．6．158-能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ．二．把以下各式分解因式：7．32231212x x y xy -+8．442444)(y x y x -+9．22248)4(3ax x a -+10．2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-〔11〕．2222224)(b a c b a --+〔12〕．22222)(624n m n m +-〔13〕．115105-++-m m m x x x三．利用因式分解进行计算：〔14〕．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯〔15〕．2298196202202+⨯+〔16〕．225.15315.1845.184+⨯+四．〔17〕．将多项式1362+x 加上一个单项式，使它成为一个整式的平方．五．〔18〕．212=-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．〔19〕．n b a m b a =-=+22)(,)(，用含有m ，n 的式子表示：〔1〕a 与b 的平方和；〔2〕a 与b 的积；〔3〕ba ab +．【课外拓展】〔20〕．△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++222求证：此三角形为等边三角形．〔21〕．c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．（22）．求证：不管为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．一、填空1．2,25x x y +2．800,798,43．924．-2 5．7或-16． 26、24 二．把以下各式分解因式：7．【解】32231212x x y xy -+=232x(x y )-8．【解】442444)(y x y x -+=42244224(2)(2)x x y y x x y y ++-+=22222()()()x y x y x y ++-9．【解】22248)4(3ax x a -+=2223[(4)16]a x x +-=2223[(4)16]a x x +-=223(2)(2)a x x +-10．【解】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-=2[3()2()]a b a b -++=2(5)a b -〔11〕．【解】2222224)(b a c b a --+=22222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++--=222222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+-- 〔12〕．【解】22222)(624n m n m +-=222226[()4]m n m n -+-=226()()m n m n -+-〔13〕．【解】115105-++-m m m x x x=125(21)m x x x --+=125(1)m x x --三．利用因式分解进行计算：〔14〕．【解】419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ =1(25.378.6 3.9)4+-=1(25.378.6 3.9)4+-=25 〔15〕．【解】2298196202202+⨯+=2(20298)+=90000〔16〕．【解】225.15315.1845.184+⨯+=2(184.515.5)+=40000四．〔17〕．【解】12x ±五．〔18〕．【解】42332444b a b a b a -+-=2222(44)a b a ab b --+=222(2)a b a b --而212=-b a ，2=ab .所以42332444b a b a b a -+-=222(2)a b a b -- =-144⨯=-1. （19）．【解】〔1〕因为n b a m b a =-=+22)(,)(，所以22222,2a ab b m a ab b n ++=-+=.即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为m n +.〔2〕由〔1〕可知：1()4ab m n =- 所以a 与b 的积为1()4m n - 〔3〕由〔1〕〔2〕可知，22.a b m n +=+1()4ab m n =- 所以b a a b +=22a b ab +=1()4m n m n +- 44m n m n+=- 【课外拓展】〔20〕．证明：因为ca bc ab c b a ++=++222，所以222222222a b c ab bc ca ++=++. 即222()()()0a b b c c a -+-+-=.所以0,0,0a b b c c a -=-=-=所以a=b=c.此三角形为等边三角形．〔21〕．【解】△ABC 是等边三角形．理由是：∵0)(22222=+-++c a b c b a∴2222220a b c ba bc ++--=∴22()()0a b b c -+-=所以0,0,a b b c -=-=所以a=b=c.∴△ABC 是等边三角形．〔22〕．证明：5422+-xy y x =2(2)110xy -+≥>.即不管为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．《一元二次方程的应用》 综合练习【知能点分类训练】知能点1 面积问题1．有一个三角形的面积为25cm 2，其中一边比这一边上的高的3倍多5cm ，那么这一边的长是________，高是_________．2．要用一条铁丝围成一个面积为120cm 2的长方形，并使长比宽多2cm ，那么长方形的长是______cm ．3．有一间长为18m ，宽为7.5m 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的12，四周未铺地毯处的宽度相同，那么所留宽度为_______m ． 4．在一块长16m ，宽12m 的矩形空地上，要建造四个花园，•中间用互相垂直且宽度相同的两条甬路隔开，并使花园所占面积为空地面积的，求甬路宽．知能点2 增长〔降低〕率问题5．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．•设每年的平均增长率为x ，列方程为_______，增长率为_________．6．某粮食大户2005年产粮30万kg ，方案在2007年产粮到达36.3万kg ，假设每年粮食增长的百分数相同，求平均每年增长的百分数．7．某厂一月分的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x ，那么可列方程为〔 〕．A ．95=15〔1+x 〕2B ．15〔1+x 〕3=95C ．15〔1+x 〕+15〔1+x 〕2=95D ．15+15〔1+x 〕+15〔1+x 〕2=958．某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，•那么平均每次降价的百分率为〔 〕．A ．9%B ．9.5%C ．8.5%D ．10%9．某班将2005年暑假勤工俭学挣得的班费2000元按一年定期存入银行．2006•年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待2007年毕业后全部捐给母校．假设2007年到期后可取人民币〔本息和〕1069元，•问银行一年定期存款的年利率是多少．〔假定不交利息税〕【综合应用提高】10．用24cm 长的铁丝：〔1〕能不能折成一个面积为48cm 2的矩形？〔2〕•能不能折成面积是32cm 2的矩形？假设能，求出边长；假设不能，请说明理由．11．如果一个正方体的长增加3cm，宽减少4cm，高增加2cm，•所得的长方体的体积比原正方体的体积增加251cm3，求原正方体的边长．12．某厂方案在两年后总产值要翻两番，那么，•这两年产值的平均增长率应为多少？【开放探索创新】13．某农户种植花生，原种植的花生亩产量为200kg，出油率为50%．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，•其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．【中考真题实战】14．〔陕西中考〕在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如下图，如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，•那么x满足的方程为〔〕．A．x2+130x－1400=0 B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=015．〔遵义中考〕某商店将一件商品的进价提价20%后又降价20%，以96元的价格出售，•那么该商店卖出这种商品的盈亏情况是〔〕．A．不亏不赚 B．亏4元 C．赚6元 D．亏24元16．〔大连中考〕某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率．17．〔新疆中考〕在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．〔1〕你认为小明的结果对吗？请说明理由．〔2〕请你帮助小颖求出图中的x〔精确到0．1m〕．〔3〕你还有其他的设计方案吗？请在以下图中画出你的设计草图，并加以说明．18．〔兰州中考〕某地2004年外贸收入为2．5亿元，2006年外贸收入到到达4亿元．•假设平均每年的增长率为x，那么可以列出方程为〔〕．A．2.5〔1+x〕2=4 B．〔2.5+x%〕2=4C．2.5〔1+x〕〔1+2x〕2=4 D．2.5〔1+x%〕2=4参考答案1．15cm 103cm2．12 点拨：根据题意，可设长为xcm，宽为〔x－2〕cm，可列方程为〔x－2〕x=120．3．1.5 点拨：根据题意，设所留宽度为x，可列方程〔18－2x〕〔7.5－2x〕=12×18×7.5．4．设甬路宽为xm，根据题意可列方程为〔16－x〕〔12－x〕=×16×12，解得x1=2，x2=26〔不符合题意，舍去〕．5．〔1+x〕2=〔1+44%〕 20%6．设平均每年增长的百分数为x，根据题意得30〔1+x〕2=36.3，解得x1=0.1，x2=－2.1〔不符合题意，舍去〕．故平均每年的增长率为10%．7．D 点拨：一个季度的总产值包括一月，二月，三月的产值．8．D 点拨：降低19元，所以现价为81元，可列方程为100〔1－x〕2=81．9．设银行一年定期存款的年利率是x元，根据题意，列方程为[2000〔1+x〕－1000]〔1+x〕=1069，整理得2x2+3x－0.069=0，x1≈0.0225，x2≈－1.5225〔不符合题意，舍去〕．10．〔1〕设矩形的长为xcm，那么宽为〔12－x〕cm，根据题意可得x〔12－x〕=48，整理得x2－12x+48=0，∵b2－4ac=144－4×48<0，∴原方程无解，故用24cm长的铁丝不能折成面积为48cm2的矩形．〔2〕根据题意，可列方程为x〔12－x〕=32，整理得x2－12x+32=0，解得x1=4，x2=8．当x=4时，12－x=8；当x=8时，12－x=4，所以长为8cm时，宽为4cm．用长为24cm 的铁丝能折成面积为32cm2的矩形，边长为4cm和8cm．11．设原正方体的边长为xcm，那么现在长方体的长为〔x+3〕cm，宽为〔x－4〕cm，高为〔x+2〕cm，根据题意列方程得：〔x+3〕〔x－4〕〔x+2〕－x3=251，整理得x2－14x－275=0，∴x1=25，x2=－11〔不符合题意，舍去〕．12．这两年产值的平均增长率为x，根据题意可得〔1+x〕2=4，解得x1=1，x2=－3〔不符合题意，舍去〕故这两年生产总值的平均增长率为100%．13．设新品种花生亩产量的增长率为x，那么花生出油率的增长率为12x．根据题意列方程得200〔1+x〕×50%〔1+12x〕=132，整理得25x2+75x－16=0，解得x1=0.2，x2=－3.2〔舍去〕．故新品种花生亩产量的增长率为20%．14．B15．B 点拨：提高和降低的百分率相同，而基点不同，所得的结果是不同的，设进价为a，那么a〔1+20%〕〔1－20%〕=96，∴a=100．16．设平均每年增长的百分率为x，根据题意，得1000〔1+x〕2=1210，1+x=±1.1，解得x1=0.1=10%，x2=－2.1〔不符合题意，舍去〕．所以x=10%．点拨：此题解题关键是理解和熟记增长率公式．17．〔1〕小明的结果不对，设小路的宽为xm，那么得方程〔16－2x〕〔12－2x〕=12×16×12，解得x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，假设小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不符合题意，•应舍去．〔2〕由题意得4×221961612,42xxππ=⨯⨯=，∴x≈5.5m．〔3〕方案不唯一，如图，说明略．18．A。
人教版八年级数学上《完全平方公式》拓展练习
《完全平方公式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．122．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．363．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣674．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．205．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝，＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有项，各项系数的和等于；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有项，各项系数的和等于；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝＝；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝，并用所学知识说明你的结论的正确性．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．《完全平方公式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选：C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67【分析】把a+b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．4．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a＝4+，∴a﹣＝4，两边平方得，（a﹣）2＝16，∴a2+﹣2＝16，即：a2+＝18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键．5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣5）2﹣3×（﹣4）＝37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝2【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可．【解答】解：（a﹣2017）（a﹣2018）＝﹣＝﹣＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，并说出第7排的第三个数是15．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【点评】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为8．【分析】应用基本不等式a2+b2≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把（a﹣b）2展开代入即可得到取值范围，从而得到最大值．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，∴2|ab|≤4，∴﹣4≤﹣2ab≤4，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，∴0≤4﹣2ab≤8，∴（a﹣b）2的最大值8．故答案为：8．【点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，此题较难，不容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝2，＝0．【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，∴对其两边进行平方得；＝2，∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，∵＝﹣2＝2﹣2＝0，∴a﹣＝0，故（a+）（a﹣）×2＝0．故答案为：2，0．【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想．【解答】解：原式＝＝；故答案为：由已知和计算的三个式子知：当n＝0时，＝＝，当n＝1时，＝＝，当n＝2时，原式＝＝…所以猜想＝＝．故答案为：【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有6项，各项系数的和等于32；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有（n+1）项，各项系数的和等于2n；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于0．【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．验证：（a+b）4＝（a+b）2（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，它们的和等于32；（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，∵1＝20，1+1＝21，1+2+1＝22，1+3+3+1＝23，∴（a+b）n各项系数的和等于2n；∵1﹣1＝0，1﹣2+1＝0，1﹣3+3﹣1＝0，∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．故答案为：6，32；（n+1），2n；0．【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝（38+8）×30+82＝1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：210（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；②根据规律确定（a+b）10各项系数之和；（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．（3）“杨辉三角系数集”的规律可知：a0＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相加即可求得．【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6；故答案：﹣6，﹣20；②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21，（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，…（a+b）10各项系数之和：210；故答案为：210；（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217，即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217，∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①，当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②，①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217，∵a0＝1，∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23；（2）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
人教版八年级数学上册课时练 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2.2 完全平方公式
人教版八年级数学上册课时练 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2.2 完全平方公式一、选择题1．已知(x －2015)2＋(x －2017)2＝34，则(x －2016)2的值是( ) A ．4B ．8C ．12D ．162．已知a 2﹣2a﹣1﹣0，则a 4﹣2a 3﹣2a+1等于﹣ ﹣ A ．0B ．1C ．2D ．33．已知2210x x +-=，则4252x x x -+的值为（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．14．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A 类1块，B 类4块，C 类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )A ．m+nB ．2m+2nC ．2m+nD ．m+2n5．已知18221n ++是一个有理数的平方，则n 不能为（ ） A ．20-B ．10C ．34D ．366．设2017a x =-，2019b x =-，2018c x =-．若2234a b +=，则2c 的值是（ ） A ．16B ．12C ．8D ．47．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2+a b 的正方形，需要B 类卡片的张数为（ ）A ．6B ．2C ．3D ．48．下列运算中，结果正确的是（ ） A ．235a b ab += B ．()2a a b a b -+=-C ．()222a b a b +=+ D ．236a a a ⋅=9．设2020x y z ++=，且201920202021x y z ==，则3333x y z xyz ++-=（ ） A ．673 B ．20203 C ．20213D ．67410．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( ) A ．6 B ．6- C ．6±D ．无法确定二、填空题11．已知关于x 的代数式()2x -1x 9a ++是完全平方式，则a =____________12．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1﹣1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1﹣1，系数和为2﹣222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1﹣2﹣1，系数和为4﹣33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1﹣3﹣3﹣1，系数和为8﹣⋯﹣则n(a b)+的展开式共有______项，系数和为______﹣13．用4张长为a 、宽为b ()a b >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为()a b +的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ．若122S S =，则a b 、之间存在的数量关系是__________．14．若241x mx +-是完全平方式，则m 的值是________________．15．如图，//PQ MN ，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转动的速度是a ︒/秒，射线BQ 转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足()2510a b -+-=．若射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动_______秒时，射线AM 与射线BQ 互相平行．三、解答题16．若x 满足(7﹣x )(x ﹣4)=2，求(x ﹣7)2+(4﹣x )2的值：解：设7﹣x =a ，x ﹣4=b ，则(7﹣x )(x ﹣4)=ab =2，a +b =(7﹣x )+(x ﹣4)=3 所以(x ﹣7)2+(4﹣x )2=(7﹣x )2+(x ﹣4)2=a 2+b 2=(a +b )2﹣2ab =32﹣2×2=5 请仿照上面的方法求解下面的问题(1)若x 满足(8﹣x )(x ﹣3)=3，求(8﹣x )2+(x ﹣3)2的值；(2)已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD ，DC 上的点，且AE =2，CF =5，长方形EMFD 的面积是28，分别以MF 、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积．17．认真阅读以下材料，然后解答问题．我们学习了多项式的运算法则，类似地，我们可以计算出多项式的展开式．如：1222323223(),()2,()()()33,a b a b a b a ab b a b a b a b a a b ab b +=++=+++=++=+++．我们依次对()n a b +展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成以下形式：1()a b + 1 1 2()a b + 1 2 13()a b + 1 3 3 14()a b + 1 4 6 4 15()a b + 1 5 10 10 5 1 6()a b + 1 6 15 20 15 6 1……上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角”，仔细观察“杨辉三角”，用你发现的规律回答下列问题： （1）多项式()n a b +（n 取正整数）的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数．（2）结合上述材料，推断出多项式()n a b +（n 取正整数）的展开式的各项系数之和．（结果用含字母n 的代数式表示） 18．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c =11，ab+bc+ac =38，求a 2+b 2+c 2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ．若这两个正方形的边长满足a+b =10，ab =20，请求出阴影部分的面积．19．先化简，再求值：已知代数式2(3)(24)ax x x b -+--化简后，不含有x 2项和常数项. （1）求a﹣b 的值；（2）求2()()()(2)b a a b a b a a b ---+---+的值. 20．先阅读材料，再解答问题：例：已知x ＝123456789×123456786，y ＝123456788×123456787，试比较x 、y 的大小． 解：设123456788＝a ，则x ＝(a ＋1)(a －2)＝22a a --，y ＝a(a －1)＝2-a a ，∵x －y ＝()()222a a a a ----＝－2， ∴x ＜y ．问题：已知x ＝20182018×20182022－20182019×20182021，y ＝20182019×20182023－20182020×20182022，试比较x 、y 的大小．21．在求234561222222++++++的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个数的2倍，于是他设：234561222222S =++++++①，然后在①式的两边都乘以2，得：23456722222222S =++++++②；②-①得7221S S -=-（1）求234561333333++++++的值； （2）求12310012222----+++++的值；（3）求232019a a a a -----（0a ≠且1a ≠）的值．22．先化简，再求值：3（2x ﹣y ）2+（2x +y ）（2x ﹣y ）+（﹣3x ）（4x ﹣3y ），其中x ＝﹣1，y ＝1． 23．探究阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()228060x x -+-的值”解：设()80x a -=，()60x b -=，则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=， 所以()()22228060x x a b -+-=+()22220230340a b ab =+-=-⨯=. 解决问题：（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()224515x x -+-的值.（2）若x 满足()()22202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值.（3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）. 【参考答案】1．D 2．C 3．A 4．D 5．D 6．A 7．D 8．B 9．B 10．C 11．5或-712．n 1+ n 2 13．a =2b 14．4± 15．15或22.5 16．(1)19；(2)33． 17．（1）n 次1n +项式，(1)2n n -；（2）2n ． 18．（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ；（2）45；（3）20． 19．（1）1;122a b ==-；（2）-620．x y =21．（1）()71312-；（2）10022--；（3）20201a a a --22．9．23．（1）940；（2）2018；（3）2900。
人教版初中八年级数学上册专题平方差公式和完全平方公式讲义及答案
平方差公式和完全平方公式（讲义）➢课前预习1.（1）对于多项式(x-4)和多项式(x+4)，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（2）对于多项式(-x-4)和多项式(x-4)，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（3）对于多项式(a+b-c)和多项式(-a+b-c)，完全相同的项是_________，只有符号不同的项是__________．2.利用幂的运算法则证明(-a-b)2=(a+b)2．证明过程如下：(-a-b)2=[-(a+b)]2=(___)2⋅(____)2=__________即(-a-b)2=(a+b)2请你参照上面的方法证明(-a+b)2=(a-b)2．3.计算：①(a+b)(a-b)；②(a+b)2；③(a-b)2．➢知识点睛1.平方差公式：___________________________．④ - x - 2 y ⎪⎭⎝ 4 x - 2 y ⎪ =_______-_______=___________；① (ab + 8)(ab - 8) ；② 2a - b ⎪ - b - 2a ⎪ ； ② m - ⎪ = () 2 - 2()( ) + ( ) 2 = ___________；2. 完全平方公式：_________________________；_________________________．口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央．精讲精练1. 填空：① ( x - 4)( x + 4) = () 2 - () 2 = _________；② (3a + 2b )(3a - 2b ) = ( ) 2 - () 2 = __________； ③ (-m - n )(m - n ) = () 2 - () 2 = _____________；⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ ⎝ 4 ⎭ ⑤ (a n + b )(a n - b ) = _______-_______=__________；⑥ (3a + b + 3)(3a + b - 3) = ( ) 2 - ( ) 2 ； ⑦ (3a - b + 3)(3a + b - 3) = ( ) 2 - () 2 ；⑧(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=()2-()2=_______；⑨ (2 x + 3 y )() = 4 x 2 - 9 y 2 ；⑩ ( x + 3 y )( ) = 9 y 2 - x 2 ．2. 计算：⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ ⎝ 3 ⎭⎝ 3 ⎭③ (2a - b )(2a + b )(4a 2 + b 2 ) ；④103⨯ 97 ；⑤ 2 0152 - 2 014 ⨯ 2 016 ．3. ① (2 x + 5 y )2 = () 2 + 2( )( ) + ( ) 2 = _______________；⎛ 1 1 ⎫2⎝ 32 ⎭③ mn-n⎪=_____________________=______________；⑦ -4x-y⎪=()2=______________________；C． -a-b⎪=4a2+ab+b2D．(-x-y)(x+y)=x2-y2⎛1⎫2⎝2⎭④(-x+y)2=()2=________________；⑤(-m-n)2=()2=________________；⑥(-3x+4y)2=()2=______________________；⎛⎝1⎫2 2⎭⑧x2+4y2+_________=(x-2y)2．4.下列各式一定成立的是（）A．(2a-b)2=4a2-2ab+b2B．(x+y)2=x2+y2⎛1⎫2⎝2⎭15.计算：①(-2t-1)2；②(m+2n)2-4n2；③(a-b-c)2；④1022．6.运用乘法公式计算：①(2x-y)2-4(x+y)(x-y)；②(a-b)(-a+b)-(a-b)(-a-b)；③(x+2y-3)(x-2y+3)；④(-a+b-c)(a-b-c)；⑤(a+b)3；⑥(-a+b-c)(a-b+c)；⑦1022-982；⑧(n2+1)2-(n2-1)2．7.若(3x-y)2=ax2+bxy+y2，则a=______，b=_________．8.若(2x-y)2=a2x2-4x y+y2，则a=______．9.若(ax+y)2=9x2-6x y+y2，则a=______．10.若(x-ky)2=x2+8xy+16y2，则k=______．11.若x2+axy+9y2是完全平方式，则a=______．12.若4x2-4x y+my2是完全平方式，则m=______．【参考答案】课前预习1．（1）x；4，-4；（2）-4；x，-x；（3）b-c；a，-a2．略3．①a2-b2②a2+2ab+b2③a2-2ab+b2④(-2y)， x⎪，4y2-12.①a2b2-64②b2-4a2②m，m，，，m2-m+③(mn)2-2⋅mn⋅n+(n)2；m2n2-mn2+n2⑦4x+1y；16x2+4x y+y2➢知识点睛1.(a+b)(a-b)=a2-b22.(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2➢精讲精练1.①x，4，x2-16②3a，2b，9a2-4b2③-n，m，n2-m22⎛1⎫2⎝4⎭16x2⑤(a n)2，b2，a2n-b2⑥3a+b，3⑦3a，b-3⑧m2-n2，m2，n2，m4-n4⑨2x-3y⑩3y-x19③16a4-b4④9991⑤13.①2x，2x，5y，5y，4x2+20x y+25y211111113322934111224④x-y，x2-2x y+y2⑤m+n，m2+2mn+n2⑥3x-4y，9x2-24x y+16y2124⑧(-4x y)4.C5.①4t2+4t+1②m2+4mn③a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc④104046.①-4xy+5y2②2ab-2b2③x2-4y2+12y-9④c2-a2+2ab-b2⑤a3+b3+3a2b+3ab2⑥-a2+2ab-b2-2ac+2bc-c2⑦800⑧4n27.9；-68.±29.-310.-411.±612.1。
人教版八年级数学上册第十四章专题训练(含答案)
人教版八年级数学上册第十四章专题训练专题一幂的运算性质的应用类型1 直接利用幂的运算性质进行计算1.计算：(1) ____________.(2) ____________.(3) __________.(4) __________.(5) __________.(6) _________.(7) __________.(8) _________.(9) __________.__________.2.计算：类型2 逆用幂的运算性质3.已知.求：的值的值的值4.计算：5.已知（，b都是正整数），用含m，n或p的式子表示下列各式：.专题二整式的化简与求值类型1 整式的化简1.计算：2.计算：类型2 整式的化简求值3.先化简，再求值：(3)，其中满足专题三完全平方公式的变形教材母题：（教材P112习题T7）已知，求的值.【变式1】若，则=（）A.2B.1C.-2D.-1【变式2】已知实数满足，则=（）A.1B.-C.D.【变式3】已知，则_________.【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或. （1）若，则的值为_________.（2）已知，求的值.针对训练1.已知都是正数，，则（）A.-3B.3C. 3D.92.已知.（1）求的值. （2）若，求的值.3.已知，求的值.4.（1）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式：（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①若m+n=8，mn=12，求m-n的值：②已知，请利用上述等式求mn.参考答案专题一 1.2.解：（1）原式=2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=3.4.解：原式=-85.解：..专题二1. 解：（1）原式=（2）原式=（3）原式.2. 解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=.3.解：（1）原式=.当时，原式=24. （2）原式=-2，当时，原式=.（3）原式=6，当时，原式=-6.（4）原式=，原式=-30.专题三 教材母题解：即【变式1】B. 【变式2】C 【变式3】25 【变式4】解：(1).针对训练 1. B 2. 解：(1)..3.解：.4.解：（2）①m-n=4或-4.②mn= 1.。
人教版初中数学八年级上册 平方差公式与完全平方公式的应用指南
平方差公式与完全平方公式的应用指南山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平平方差公式和完全平方公式是两个重要的工具性公式，如能熟练掌握公式，能帮助我们解决许多数学问题，今天就和同学们一起走进平方差公式与完全平方公式的应用指南，领略一番．一、利用公式判断因式分解的正误例1 （2014•福建•泉州）分解因式23x y y-结果正确的是（）A. y2()x y+ B. y2()x y- C. y22()x y- D. y()()x y x y-+分析：解答时，要遵循两点：一是先用提取公因式法分解；二是看余项符合哪一个公式，再用公式进行分解，注意分解时一定要彻底．解：23x y y-= y22()x y-= y()()x y x y-+，所以应该选择D．点评：熟练应用平方差公式是解题关键．二、利用公式确定因式分解的最后结果例2（2014•呼和浩特）把多项式22369xy x y y--因式分解，最后结果为．分析：解答时，我们要尽量保持最高次项的系数为正，后按照常规解题思路解答即可．解：22369xy x y y--=-（32269y xy x y-+）=-y（2269y xy x-+）=- y23 ()y x -.点评：熟练掌握完全平方公式是解题关键．三、利用平方差公式分解因式求值例3 （2014•广东•汕尾）已知a+b=4，a﹣b=3，则22a b-=．分析：根据22a b-=（a+b）（a﹣b），然后代入求解．解：因为a+b=4，a﹣b=3，且22a b-=（a+b）（a﹣b），所以22a b-=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．所以应该填：12．点评：熟练应用平方差公式，把被求解的对象化归为已知条件表达的方式，后代入求解即可．四、利用平方差公式分解因式，探求分解项的值例4 （2014•益阳）若2x﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=．分析：解答时的基本思路是：一是直接用公式分解因式；二是比较分解后因式，按照对应项相同的原则，求出需要的答案．解：因为2x﹣9=（x-3）(x+3)，且2x﹣9=（x﹣3）（x+a），所以x+3= x+a，所以a=3.点评：理解因式分解实质是恒等变形，所以对应项是相同是解题的关键．五、利用平方差公式，探求等式变化中的规律例5（ 2014•安徽省）观察下列关于自然数的等式：22341-?=5 ①，22542-?=9 ②，22743-?=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：29﹣4×2-= ；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． 解：（1）因为22341-?=5 ①，22542-?=9 ②，22743-?=13 ③… 所以29﹣4×2-= =29﹣4×24=17；（2）第n 个等式为：22214()n n +-=2（2n+1）﹣1； 证明：因为左边=22214()n n +-=2221221221241()()()()n n n n n n n +-=+++-=+右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边，所以22214()n n +-=2（2n+1）﹣1； 的猜想是正确的． 点评：找出数字之间的运算规律，充分利用平方差公式就可以顺利完成猜想的证明．六、用平方差公式探求图形覆盖中的面积大小例6 （2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a 、b 的代数式表示）．分析：未被覆盖图形的面积和等于图2中正方形的面积与图1中正方形的面积的差，因此求得两个正方形的边长便成为解题的关键．解：设大正方形的边长为1x ，小正方形的边长为2x ，由图①和②列出方程组得，121222x x a x x bì+=ïïíï-=ïî，解得，1x =2a b +，2x =4a b -，所以大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=2224()()a b a b +--×4=ab ．所以应该填ab ． 点评：正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．七 、用平方差公式完成恒变形结果的猜想例7 （2014•临沂）请你计算：(1+x)(1-x)，2(1)(1)x x x -++，…，猜想2(1)(1x x x -+++…)n x +的结果是( )（A ）11n x +-． （B ）11n x ++． （C ）1n x - （D ）1n x +．分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问题就顺利破解．解：(1+x)(1-x)=1-2x ，2(1)(1)x x x -++=1-3x ，…，规律为结果的第一项是数字1，保持不变，运算为减法，第二项的底数为x ，指数等数多项式中最高次数加1，所以2(1)(1x x x -+++…)n x +=1-1n x +，所以选择A ．点评：善于抓住问题的变量，常量找规律是解题的常用方法，要熟练掌握．八、用完全平方公式，根据条件探求数列中0的个数例8 （2014•扬州）设201421,...,,a a a 是从1,0,1-这三个数中取值的一列数，若69...201421=+++a a a ，4001)1(...)1()1(220142221=++++++a a a ，则201421,...,,a a a 中为0的个数____________．分析： 解答时，同学们要注意把握好两个重要因素，一是完全平方公式的展开要准确；二是正确确定数字1,0，-1的平方的幂值．解： 因为4001)1(...)1()1(220142221=++++++a a a ，所以（21a +22a +…+22014a ）+2（1a +2a +…+2014a ）+（1+1++…+1）=4001，因为1a +2a +…+2014a =69，所以21a +22a +…+22014a +138+2014=4001，所以21a +22a +…+22014a =1849，因为1a ，2a ，…2014a 是从1,0，-1这三个数中取值，所以每一个数平方后的数值为1或0，因为21a +22a +…+22014a =1849，所以2014个数中平方值为1的数有1849个，所以为0的个数为：2014-1849=165个，所以应该填165.点评：21a ，22a ， (2)2014a 中，每一个幂的结果有1或0两种情形，利用完全平方公式展开，确定21a +22a +…+22014a 的和，求可以确定出2014个数中1的个数，从而借助1的个数+0的个数=2014，就确定出0的个数了．。
14.3因式分解(3)——公式法(完全平方公式)讲练课件-2023-2024学年人教版八年级数学上册
；
；
(2b－a)2
(3x＋2)2
；
－(a＋b)2
．
2．填空：
(1)若x2＋8x＋k是完全平方式，则k＝
16
；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝
±4
.
3．分解因式：
(1)1＋10t＋25t2;
2
(2)y －y＋ .
(1)解：原式＝12＋2·1·5t＋(5t)2
＝(1＋5t)2.
2
(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
＝4a(x＋y)2.
4.分解因式：
(1)2x3＋4x2＋2x； (2)－4x3＋4x2y－xy2.
(1)解：原式＝2x(x2＋2x＋1)
＝2x(x＋1)2.
(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
＝－x[(2x)2－2·2x·y＋y2]
＝－x(2x－y)2.
(1)解：原式＝(x2)2－2·x2·4y2＋(4y2)2
＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
(2)解：原式＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
运用因式分解进行简便运算
例5 利用因式分解计算：342＋34×32＋162.
解：原式＝342＋2×34×16＋162
方公式分解因式的有(
A．1个
C )
B．2个
C．3个
D．4个
4．分解因式：
(1)x2－2xy＋y2＝
(2)4a2＋4ab＋b2＝
(x－y)2
(2a＋b)2
；
．
5．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为
完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)(含答案)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，，则的结果为( )A.7B.13C.94D.106答案：D解题思路：由题可知，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．题中给出，因此求出的值即可．故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用2.若，，则的结果为( )A. B.19C. D.10答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用3.若，，则的结果为( )A.45B.39C.15D.21答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用4.若，，则的结果为( )A.20B.112C.-40D.80答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用5.若，，则的值为( )A.112B.12C.72D.176答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用6.若，则的结果为( )A.5B.11C.7D.1答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.若，则与的值分别为( )A.11；119B.11；123C.7；83D.7；47答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用8.若，则的值为( )A.21B.23C.25D.27答案：B解题思路：①分析：观察所求，可以化为，这是平方和的形式，若在的两边同时除以，可以得到，结合，可知这是一个知二求二问题．②解题过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用9.若，则的值为( )A.256B.196C.194D.322答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用10.若，则的结果为( )A.40B.5C.10D.20答案：B解题思路：可以把和分别当作一个整体，就是一个平方和的形式，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：填空：问题2：已知，，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；③将，代入求解即可．所以=__________．问题3：已知，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得=__________．。
2019-2020学年人教版八年级数学上册14.2平方差与完全平方公式培优专题( 解析版 )
2019-2020平方差与完全平方公式培优专题（含答案）一、单选题1．()()()()248323212121211+++⋯++的个位数是 （ ） A.4B.5C.6D.82．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为 （ ） A.6B.6-C.6±D.无法确定3．()()()()242212121 (2)1n++++=（ ）A.421n -B.421n +C.441n -D.441n +4．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个 （ ） A.30B.32C.18-D.95．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ） A ．1 B ．﹣52C ．±1D ．±526．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．8．若m+1m =3，则m 2+21m=_____． 9．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______．10．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___．11．已知1＜x ＜2，，则的值是_____．12．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+12）×(1+212)×(1+412)×(1+812)×(1+1612)×(1+3212)×(1+6412)，结果是_____． 13．如果实数a ，b 满足a+b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．14．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．15．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.16．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .17．计算：（a+1）2﹣a 2=_____．三、解答题18．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn nnn -++-+=，∴()()2220m n n -+-=，∴()20m n -=，()220n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=，则a =__________，b =__________． （2）已知22228160x y xy y +-++=，求xy 的值．（3）已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC △的周长． 19．如图，将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m 或n 的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．20．已知7a b -=，12ab =-． （1）求22a b ab -的值；（2）求22a b +的值； （3）求+a b 的值； 21．已知120153a m =+，120163b m =+，120173c m =+，求222a b c ab bc ac ++---的值． 22．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a=﹣2，b=12． 23．先化简，再求值：已知代数式 化简后，不含有x 2项和常数项. （1）求a 、b 的值；（2）求 的值.24．先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，b=﹣12． 25．先化简，再求值：（x+y ）（x ﹣y ）+y （x+2y ）﹣（x ﹣y ）2，其中x=2+3，y=2﹣3．26．计算:211-2⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-3⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-4⎛⎫ ⎪⎝⎭×…×211-9⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-10⎛⎫⎪⎝⎭. 27．阅读题.材料一：若一个整数m 能表示成a 2-b 2(a,b 为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)＝pq.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)＝3162.请解答下列问题：(1)8______（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= ______.(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值. 28．如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．29．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．30．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三：31．请认真观察图形，解答下列问题：如图①，1号卡片是边长为a 的正方形，2号卡片是边长为b 的正方形，3号卡片是一个长和宽分别为a ，b 的长方形．（1）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张，可拼成一个正方形，如图②，能用此图解释的乘法公式是______________；（请用字母a ，b 表示）（2）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则能用此图解释的整式乘法运算是____________________；（请画出图形，并用字母a ，b 表示）（3）如果图中的a ，b （a ＞b ）满足a 2+b 2=57，ab=12，求a+b 的值；（4）已知（5+2x ）2+（3+2x ）2=60，求（5+2x ）（2x+3）的值．32．已知：x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，求x +y 的值．33．已知a b 、是等腰△ABC 的边且满足2284200a b a b +--+=，求等腰△ABC 的周长。
人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式
课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
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完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例1：已知12x x -
=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】
① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅
=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；
② “x ”即为公式中的a ，“
1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2
221112x x x x x x
⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x
⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x
⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．
【过程书写】
例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．
【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习
1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．
2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a
+的值.
4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．
（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．
5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上
的单项式共有_______个，分别是__________
______________________________．
6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．
7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？
8. 求224448x y x y +-++的最值．
➢ 思考小结
1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，
则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=，
由222()2a b a ab b +=++得，
2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：
若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．
【参考答案】
➢ 例题示范
例1．解：12x x -
=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭∴ 2
221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝
⎭=+=∴
2
22136x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭∴ 2422422111236234x x x x x x
⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴
例2：1 -3
➢ 巩固练习
1. 9
13 2. 5
17 3. 7 47
4. ±6
±24 5. 5 24x - -4 8x -8x 4x
6. 8
7. 4a =时取得最小值，最小值为-2
8. 最小值为3
➢ 思考小结
1. 不相等，相差2
()4
a b -
2. 2 014。