统计图表+平均数等
小学六年级数学总复习统计与概率
小学六年级数学总复习统计与概率Revised by BETTY on December 25,2020小学六年级数学总复习统计与概率复习建议一、统计统计知识在生产和生活中，特别是进行科学研究时，应用非常广泛。
小学阶段，学习内容是统计学中最初步的知识，它包括单式、复式统计表和条形、折线、扇形统计图的用途、结构及绘制方法等问题。
在这里我谈谈自己对统计与概率的认识。
复习内容：1、数据的收集、整理、统计图表。
2、对图表进行分析，解决问题。
3、条形(单式，复式)，折线(单式，复式)，扇形统计图的特点及选择方法。
4、统计图的选用与制作。
复习目标:1、通过复习已学过的统计的初步知识，加深学生对统计的意义及其应用的理解。
2、培养学生会看、会分析、会制作简单统计图表的能力和综合运用统计知识解决实际问题的能力。
3、通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。
复习重难点：重点：1、体会统计在实际生活中的应用，发展统计观念。
2、用自己的语言描各种统计图的特点。
难点：用自己的语言描述各种统计图的特点。
复习要点：1、统计表：把统计数据填写在一定的表格内，用来反映情况说明问题。
种类：单式统计表、复式统计表、百分数统计表。
2、统计图：用点、线、面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形。
分类:(1)、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出来各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区分开，并在制图日期下面注明图列。
（2）、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次联系起来。
优点：不但可以表示数量的多少而且能够清楚表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
2023四年级数学上册四统计表和条形统计图(一)《平均数》说课稿苏教版
(一)教学特色创新
1. 实践活动丰富：本节课设计了多种实践活动，如小组讨论、绘制统计图等，让学生在实践中掌握平均数的计算方法，提高了学生的动手能力和问题解决能力。
2. 情境教学：通过设置与生活紧密相关的情境，让学生体会数学知识在实际生活中的应用，提高了学生的学习兴趣和积极性。
(二)存在主要问题
增加后平均体重 = (35 + 40 + 45 + 50 + 60) ÷ 5 = 46kg
平均体重增加了1kg。
3. 极端值对平均数的影响：
- 课本第51页练习题11：一个小组有5名学生的成绩分别是80、85、90、95和100。如果最高分和最低分都不计入平均分，那么这个小组的平均成绩是多少？
- 答案：不计最高分和最低分，平均成绩 = (85 + 90 + 95) ÷ 3 = 90
- 课本第53页练习题18：一个篮球队有5名队员，他们的平均身高是180cm。如果有一名队员因伤退出，替换他的新队员身高为175cm，那么篮球队的平均身高会发生什么变化？
- 答案：原平均身高 = 180cm
新平均身高 = (4 × 180cm + 175cm) ÷ 5 = 179cm
平均身高降低了1cm。
2. 软件资源：教学PPT、统计表和条形统计图课件、练习题库。
3. 课程平台：学校教学管理系统、课堂互动平台。
4. 信息化资源：电子白板、教学APP（支持数据分析的数学工具）。
5. 教学手段：小组合作、情境教学、互动问答、个别辅导。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过学校教学管理系统，发布预习资料，包括《平均数》概念介绍PPT和预习问题，要求学生预习平均数的定义和计算方法。
北师大版八年级数学知识点
一、数与代数
1.基本数与分数：包括整数、真分数、带分数、换算等。
2.小数：包括小数的读法和写法、小数与分数的关系、小数的运算等。
3.比例与比例计算：包括比例的定义、比例的性质、比例的计算等。
4.百分数与百分数计算：包括百分数的意义、百分数的计算、百分数
与小数的关系等。
二、空间与图形
1.二维图形：包括平面图形的名称、特征和性质，如三角形、四边形、平行四边形、正方形、矩形、菱形等。
2.空间几何体：包括立体图形、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体、正
方体等的特征和性质。
3.二维图形与三维图形的关系：包括二维图形在立体图形表面的展开、平行投影、立体图形的视图等。
三、函数与方程
1.一次函数与线性方程：包括直线的斜率与截距、斜率的表示和计算、线性方程的解法等。
2.二次函数与二次方程：包括二次函数的图像、顶点坐标、二次方程
的解法等。
3.图像与方程：包括函数图象与方程的关系、通过题目给出的条件建
立方程等。
四、统计与概率
1.平均数：包括算术平均数的概念、算法、利用平均数解题等。
2.统计图表：包括频数分布表、条形统计图、折线统计图、饼图等的解读和绘制。
3.概率：包括事件的概念、概率的计算与统计、独立事件和互不独立事件等。
以上只是北师大版八年级数学的一部分知识点，通过学习这些知识点可以帮助学生建立数学基本概念，培养数学思维和解题能力。
但由于篇幅限制，无法涵盖所有的数学知识点，请根据教材的内容进行详细学习。
教学评一体化大单元整体设计：《平均数与条形统计图》项目式学习
教学评一体化大单元整体设计：《平均数与条形统计图》项目式学习01 单元主题本单元主题为“平均数与复式条形统计图”，这两个概念在数学和生活中有着广泛的应用。
平均数是一种刻画数据集中趋势的基础统计方法，有助于我们了解数据的大致水平。
例如，在了解一个班级的平均分时，我们可以快速掌握该班级的整体学术水平。
复式条形统计图则是一种数据可视化的方法，可以直观地展示两类或多类数据的对比情况。
通过掌握平均数的概念和计算方法，学生们可以学会如何衡量一组数据的集中趋势，进一步理解数据的内在含义。
平均数的运用广泛应用于日常生活中。
例如，我们可以通过计算一周内每天的平均气温，来判断这周的天气走势；通过对商场销售数据的平均数分析，我们可以了解某商品的销售情况。
对于复式条形统计图，通过学习它的基本特点和绘制方法，学生们将能以更直观的方式理解和对比数据。
例如，老师可以收集两个班级的考试成绩，然后让学生绘制复式条形统计图，对比分析两个班级的成绩分布情况，从而让数据分析的过程变得更为生动和实际。
本单元不仅要求学生理解和掌握平均数和复式条形统计图的知识，更要求他们能够将这些知识应用到实际问题的解决中，从而培养他们的数据分析和问题解决能力，进一步增强他们对数据内蕴含信息的认识。
02 单元内容分析1. 平均数的理解与计算平均数是一种刻画一组数据集中趋势的方法，它是将一组数据的总和除以数据的个数得到的数。
平均数在数学、科学、经济等多个领域都有着广泛应用。
在这个单元中，我们会让学生们通过实际的数据计算，学习如何得到平均数，比如计算班级所有学生的平均分。
而后，我们还会讨论平均数的实际意义，如平均数可以用来衡量一组数据的集中程度，有助于我们更好地理解和解释数据。
2. 复式条形统计图的理解、特点和绘制复式条形统计图是一种在一张图表上表示两种或多种数据的方法，通过颜色或模式的区别，清晰地呈现出不同类别数据的对比情况。
在这个单元中，学生们将会学习复式条形统计图的基本特点和绘制方法。
人教版四年级下册数学第八单元《平均数与条形统计图》优秀教案
人教版四年级下册数学第八单元《平均数与条形统计图》优秀教案本单元主要学习“平均数”和“复式条形统计图”。
平均数是一个重要的刻画数据集中趋势的统计量。
小数阶段所讲的平均数一般是指算术平均数，即一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。
平均数是在理解了平均分及除法运算含义的基础上教学的，与平均分的意义不完全一样。
把一些物体分成若干份，每份分得同样多，叫做平均分；平均数是一个“虚拟”的数，是借助平均分的意义通过计算得到的，每份不一定一样多。
复式条形统计图是在掌握了复式统计表和单式条形统计图的基础上学习的，把两个单式条形统计图合并，就形成一种新的统计图即复式条形统计图。
把根据统计图表进行简单的数据分析与解决问题结合在一起，使学生更好地理解统计在解决问题中的作用，逐步形成数据分析观念。
第1课时平均数【教学导航】【教学内容】教材第90～92页例1、例2及相关练习【教学目标】1．理解平均数的意义，掌握求平均数的方法。
2．加深对“平均分”和“平均数”意义的理解。
3．培养运用所学知识灵活解决简单实际问题的能力。
【重难点】重点：掌握求平均数的方法。
难点：理解平均数的统计含义和应用。
【教学准备】多媒体课件、8支铅笔【教学设计】【情境导入】师：同学们，老师手中有8支铅笔，要分给四位同学，请大家帮我想一想，怎样分呢？让学生想一想，然后指名发表意见，提出不同的分法。
当有学生提到给每位学生分2支时，教师引导：8支铅笔，分给四位同学，每人分2支，那么这8支铅笔刚好分完，并且每人分得的支数都相同，这种分法叫平均分。
每位同学平均分2支铅笔，这里的2就是平均数。
师：今天这节课我们就来研究平均数。
(板书课题：平均数)【探究新知】1．教学例1。
课件出示例1情境图。
(1)引导学生收集信息，提出问题。
师：从统计图中，你知道了哪些信息？每个人收集的瓶子数一样多吗？(不一样多)你能想办法把他们4个人收集的瓶子数量变成同样多吗？(2)探究求平均数的方法。
专题：综合分析数据--平均数、中位数、众数、方差
20.20专题：综合分析数据--平均数、中位数、众数、方差一．【知识要点】1.平均数、中位数、众数、方差的综合运用。
二．【经典例题】1.某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为___；(2)请你将图②补充完整；(3)求乙校成绩的平均分；(4)经计算知=135,=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价。
2. 某年级共有300名学生.为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：b.A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：三．【题库】【A】【B】【C】1.（本题满分7分）如图是甲.乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数）每人射击了6次。
（1）请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；（2分）（2）请你用学过的统计知识（平均数，中位数，众数，方差等），将他俩的射击成绩进行比较；（5分）2.为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如表：关于以上数据,说法正确的是( )A. 甲、乙的众数相同B. 甲、乙的中位数相同C. 甲的平均数小于乙的平均数D. 甲的方差小于乙的方差【D】1.某排球6名队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194。
现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大。
人教版六年级数学下册第六单元整理和复习——统计(第1课时)
3.统计与概率
统计（1）
R·六年级下册
1. 根据所要描述的情况，填写合适的统计图类型。 （1）描述六（2）班同学身高分组的分布情况， 用 条形统计图 。
（2）描述从一年级到六年级的平均身高变化情况， 用 折线统计图 。
（3）描述各身高组别人数占全班人数的百分比情 况，用 扇形统计图 。
自主探究 设计一张个人情况调查表
2. 下面是50名同学的血型情况。 （1）从图中你能得到哪些信息？ （2）各种血型分别有多少人？
（12）O型血 ：占50×40%40，%是=2最0（多人的）。 A型：50×28%=14（人） B型：50×24%=12（人） AB型：50×8%=4（人）
4. 下面是某鞋店上月女鞋进货和销售的情况。 （1）你认为这样进货合理吗？为什么？ （2）你对下一次进货有什么建议？
六（1）班男生和女生人数统计表 六（1）班男 、女生人数占比统计图
六（1）班同学最喜欢的运动项目统计图
（1）根据以上统计表，你得到了哪些信息？ （2）除了通过问卷调查收集数据，还可以通过 什么手段收集数据？
（1）男生数量比女生多；男生最喜欢的运动是足 球，女生最喜欢的运动是跳绳。（答案合理即可）
（1）根据以上统计表，你得到了哪些信息？ （2）除了通过问卷调查收集数据，还可以通过 什么手段收集数据？
（2）现场举手表决（答案不唯一）
随堂练习
1.下图是某汽车公司去年汽车生产量和销售量情况。 (1)该公司去年汽车的生产和销量情况如何？ (2)该公司的发展前景怎样？ (3)你还能提出哪些问题？
答：（1）去年的生产和销售呈上升趋势。 （2）该公司在未来的一段时间内将有良好的发展。
一、下图是某市五金一厂、二厂2018年产值 情况统计图。
六年级数学上册《五数据处理》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对教师提出的问题，进行小组讨论，共同探讨数据处理的方法。
2.教学实施：各小组根据问题，运用所学知识，设计数据处理方案，并进行讨论。教师巡回指导，给予提示和建议。
3.教学目标：培养学生合作意识，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够将数据处理方法应用于生活和学习中。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、探究学习等方式，培养学生主动参与、积极思考的学习习惯。
2.通过实例分析、动手操作等教学活动，让学生在实践中掌握数据处理的方法和技巧，提高学生的动手操作能力和实践能力。
3.引导学生运用比较、归纳、推理等思维方法，培养学生逻辑思维和分析问题的能力。
d.定期进行教学反思，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以学生熟悉的校园生活为背景，提出一个与数据处理相关的问题，如“如何根据学生的身高和体重来选择校服的尺码？”引发学生的思考。
2.教学实施：教师引导学生回顾已学的统计知识，为新课的学习做好铺垫。通过提问方式，让学生意识到数据处理在日常生活中的重要性。
1.学生在数据处理中的认知水平，针对不同层次的学生进行差异化教学，使他们在原有基础上得到提高。
2.学生在合作学习中的表现，关注团队协作能力较弱的学生，引导他们积极参与，提高沟通能力。
3.学生对数据处理方法的应用能力，注重培养学生在实际情境中运用数据处理方法解决问题的能力。
4.学生在情感态度方面的需求，关注学生在学习过程中的兴趣和自信心，激发学生学习数学的热情。
2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、制作频率分布直方图的步骤．第一步：求极差，决定组数和组距，组距=极差组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第四步：画频率分布直方图．2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距⨯频率组距（3）直方图中每组样本的频数为频率⨯总体个数．3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．【典型例题】例1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间[70,110)内的频率为(0.0040.0120.0190.030)10+++⨯=0.65，所以数学成绩落在区间[110,140]内的频率为10.650.35−=，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为40.35421⨯++0.2=， 数学成绩落在区间[70，100）的频率为(0.0040.0120.019)100.35++⨯=， 所以中位数落在区间[100,110)内，设中位数为x ，则(100)0.0300.50.35x −⨯=−，解得105x =， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为105．（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为0.0310⨯+0.2+20.35421⨯++0.6=，由题意可知，3~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033338(0)C ()(1)55125P X ==⋅−=，12333(1)C (1)55P X ==⋅⋅−36125=， 22333(2)C ()(1)55P X ==⋅⋅−54125=，330333(3)C ()(1)55P X ==⋅−27125=，所以X 的分布列为：所以数学期望8365427()0123125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯95=．例2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在区间[)60,70内的人数为400．（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0．1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间[]90,100内的学生人数为X ，求X 的数学期望．【解析】（1）依题意可得：4001000100.04a =÷÷=，又a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+且(0.0050.005)101a b c ++++⨯=，解得：0.02,0.03c b == 所以0.04,0.03,0.02a b c ===．（2）因为(0.0050.04)100.450.5+⨯=<，设中位数为x ， 则[70,80)x ∈，所以()()0.0050.0410700.030.5x +⨯+−⨯=，解得：71.7x ≈，即中位数约为71.7，平均数为(550.005650.04750.03850.02950.005)1073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． （3）由题意可知：得分在区间[]90,100内概率为10.0051020⨯=， 根据条件可知：X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5,6，且1(6,)20X ，所以1()60.320E X np ==⨯=．例3．（2022·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[75,100)内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“Y=频率组距”）时，发现Y 满足：7,15,15019,16,30011,16,1520n Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪−⋅>⎪−⎩,55(1)n N n X n *∈≤<+． （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95,100)内的同学评为一等奖；分数在[90,95)内的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)内的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）．已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段获得二等奖．①求学生B 最终获奖等级不低于学生A 最终获奖等级的概率；②已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解析】（1）根据题意，X 在[75,100)内，按5为组距可分成5个小区间， 分别是[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)，因为75100X ≤<，由55(1)n X n ≤<+，n N *∈，所以15,16,17,18,19n =．每个小区间的频率值分别是7,15,30195,1660115,17,18,19320n P Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪===⎨⎪⎪−⋅=⎪−⎩由719111511306032k ⎛⎫++−++= ⎪⎝⎭，解得350k =． （2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．由（1）知，学生B 的分数属于区间[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是：730，1960，1460，1160，260．我们用符号ijA （或ijB ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j ≤=记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=．②学生A 最终获得一等奖的概率是111A P =，学生B 最终获得一等奖的概率是21112116060272711272796060B P =+⋅=+=，1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅−+−⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=．所以ξ的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=．。
数据的统计与分析
数据的统计与分析数据的统计与分析是研究数据收集、整理、描述和解释的一种方法。
它包括数据的收集、数据的整理、数据的描述和数据的分析四个步骤。
一、数据的收集数据的收集是研究的第一步，可以通过调查、观察、实验等方式进行。
收集数据时要注意数据的真实性、准确性和可靠性。
二、数据的整理数据的整理是将收集到的数据进行归类、排序和处理的过程。
常用的整理方法有表格法、图形法和统计量表示法。
三、数据的描述数据的描述是通过图表、统计量等手段对数据的分布、趋势、规律等进行展示。
常用的描述方法有条形图、折线图、饼图、散点图等。
四、数据的分析数据的分析是对数据进行解释和推理的过程，目的是发现数据背后的规律和趋势。
常用的分析方法有频数分析、百分比分析、平均数、中位数、众数等统计量的计算和比较等。
五、概率与统计概率是研究事件发生可能性的一种数学方法。
常用的概率计算方法有古典概型、几何概型和条件概率等。
统计是研究数据收集、整理、描述和解释的一种方法，它包括数据的收集、数据的整理、数据的描述和数据的分析四个步骤。
六、统计图表统计图表是数据整理和描述的重要工具。
常用的统计图表有条形图、折线图、饼图、散点图等。
七、数据的处理数据的处理是对数据进行加工、转换和分析的过程。
常用的处理方法有数据的清洗、数据的转换、数据的插补等。
八、统计推断统计推断是通过样本数据对总体数据进行推断和预测的一种方法。
常用的统计推断方法有假设检验、置信区间等。
九、回归分析回归分析是研究变量之间相互关系的一种统计方法。
常用的回归分析方法有线性回归、多元回归等。
十、统计软件统计软件是进行数据统计和分析的重要工具。
常用的统计软件有SPSS、SAS、R等。
以上就是数据的统计与分析的相关知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：某学校进行了一次数学测试，共有100名学生参加。
以下是部分学生的成绩：80, 85, 90, 88, 87, 92, 84, 86, 91, 83求这组数据的众数、中位数和平均数。
四年级数学上册第8单元平均数和条形统计图教材内容说明冀教版
《平均数和条形统计图》教材内容说明（一）单元教育目标1、体会平均数的作用，能计算平均数，能用白己的语言解释平均数的实际意义；通过实例，认识条形统计图，能读懂简单的统计图表，能用条形统计图直观地表示数据。
2、能探索分析解决求平均数问题的有效方法，了解可以用不同的方法解决求平均数问题，并尝试解释方法的合理性。
3、会根据实际问题设计调查表，经历整理描述读书人数和用计算器估算读书字数的过程，获得估算的活动经验。
4、在用平均数和统计图分析、描述实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系，认识到许多实际问题可以借助统计表、统计图来表述和交流。
（二）单元教材说明本单元内容是学生在第一学段经历了简单的收集、整理、描述和分析数据的过程，会用统计表和象形统计图（一方格表示一个单位）表示统计结果，初步体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴含信息的基础上学习的。
主要内容包括：认识平均数，体会平均数的作用；认识单式条形统计图，用条形统计图表示数据。
单元最后安排了“读书调查”的综合与实践活动。
“平均数”是统计中的一个重要概念和统计量，《数学课程标准》中的平均数是指算术平均数，也就是一组数据的总和除以这组数据的总个数所得的商。
在统计中，算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它既可以反映一组数量的一般情况，也可以用来进行不同数量之间差别的一般比较。
用平均数表示一组数量的一般情况，有直观简明的特点，所以在日常生活中有广泛的应用。
如，平均速度、平均成绩、平均年龄等等。
所以本单元把平均数贯穿在每一课的数学活动中。
“认识条形统计图，能用条形统计图直观、有效地表示数据”是《数学课程标准》的要求。
本套教材借助统计图直观表示数据的特点，让学生在读图的过程中，认识统计图的特征，学会用统计图表示数据。
本单元共安排5课时。
具体内容安排如下：第1课时（教科书85页、86页），认识平均数。
教材安排了三个例题。
例1，给出五个笔筒，分别有3支、4支、2支、5支、1支铅笔。
简单的统计图表和求平均数练习
简单的统计图表和求平均数练习1. 下图是崇文小学各年级春季植树统计图，看图填空。
一 二 三 四 五 六 年 年 年 年 年 年 级 级 级 级 级 级 （1）二年级比一年级多植（ ）棵。
（2）四年级比五年级少植（ ）棵。
（3）（ ）年级植树的棵树是一年级的2倍。
（4）五年级再多植树（ ）棵，就和六年级同样多。
（5）六个年级共植树（ ）棵。
2. 3个人骑两辆摩托车到48千米的甲城，平均每人各驾驶多少千米？3. 三根绳子，第一根长12米，第二根比第一根长3米，比第三根短3米，三根绳子平均每根多少米？4. 书上思考题：下面的条形图是三个人收集邮票的张数，张强给李林和王红各多少张，三个人的邮票同样多？（想：一格代表多少张？）（张） 李林张强王红5. 思考题：6. 李英期中考试，语文、数学、英语三科平均成绩是93分，已知数学成绩是100分，语文比英语低9分，李英语文、数学、英语各得多少分？7. 张刚期末考试，语文、数学的平均成绩是96分，英语、语文的平均成绩是95分，数学英语的平均成绩是94分，求三科成绩各多少分？答案：1. 下图是崇文小学各年级春季植树统计图，看图填空。
（1）二年级比一年级多植（10）棵。
（2）四年级比五年级少植（20）棵。
（3）（四）年级植树的棵树是一年级的2倍。
（4）五年级再多植树（10）棵，就和六年级同样多。
（5）六个年级共植树（450）棵。
2. 3个人骑两辆摩托车到48千米的甲城，平均每人各驾驶多少千米？ 482332⨯÷=（千米）3. 三根绳子，第一根长12米，第二根比第一根长3米，比第三根短3米，三根绳子平均每根多少米？ 第二根长：12315+=（米） 第三根长：15318+=（根）平均长：()121518315++÷=（米）4. 书上思考题：下面的条形图是三个人收集邮票的张数，张强给李林和王红各多少张，三个人的邮票同样多？（想：一格代表多少张？） 一格代表5张。
数据分析基础课程设计
数据分析基础课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解数据分析的基本概念，掌握数据收集、整理、描述和推断的基本方法。
2. 学生能运用统计图表、平均数、中位数、众数等描述数据，并解释其意义。
3. 学生能运用概率知识进行简单事件的预测和分析。
技能目标：1. 学生能运用信息技术手段，如电子表格、统计软件等进行数据处理和分析。
2. 学生能运用所学知识解决实际问题，形成数据分析报告，并进行合理的解释和评价。
3. 学生能通过小组合作，进行数据收集、整理和分析，提高团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对数据分析产生兴趣，认识到其在日常生活和学习中的重要性。
2. 学生养成用数据说话的习惯，培养客观、理性的思维方式。
3. 学生在数据分析过程中，学会尊重事实，敢于质疑，培养批判性思维。
本课程针对初中年级学生，结合学生特点和教学要求，注重培养学生的实践操作能力和团队合作精神。
课程内容紧密联系实际，让学生在实际问题中感受数据分析的魅力，提高解决问题的能力。
通过本课程的学习，使学生具备初步的数据分析能力，为今后的学习和生活打下坚实基础。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 数据收集与整理- 教材章节：第一章 数据的收集与整理- 内容：认识数据、数据的收集、数据的整理与展示、频数与频率分布表2. 数据描述与分析- 教材章节：第二章 数据的描述与分析- 内容：平均数、中位数、众数、方差、标准差、频数与频率、概率初步3. 统计图表的应用- 教材章节：第三章 统计图表- 内容：条形图、折线图、饼图、柱状图、散点图、直方图等4. 数据分析综合实践- 教材章节：第四章 数据分析综合实践- 内容：实际问题分析、数据收集与整理、数据分析方法、撰写数据分析报告教学内容安排和进度：第1周：数据收集与整理（1课时）第2周：数据描述与分析（2课时）第3周：统计图表的应用（2课时）第4周：数据分析综合实践（3课时）教学内容注重科学性和系统性，结合课程目标，使学生在掌握数据分析基本概念和方法的同时，通过实践锻炼分析问题和解决问题的能力。
五种统计方法
五种统计方法统计方法是一种可以通过收集和分析数据来获取信息和发现规律的技术手段。
在各个领域中，统计方法都发挥着重要作用。
本文将介绍五种常用的统计方法：频数统计法、平均数统计法、标准差统计法、相关系数统计法和回归分析统计法。
1. 频数统计法频数统计方法通过统计数据中不同分类或数值的出现频率，来分析和总结数据特征。
它可以用于描述某种特征在数据中出现的次数，并以图表的形式展示出来。
常见的频数统计法包括条形图、饼图和直方图等。
通过频数统计法，我们可以直观地了解到不同类别或数值的分布情况，从而有助于进一步分析和决策。
2. 平均数统计法平均数统计方法是一种用于描述数据集中趋势的方法。
它可以通过计算数据集中数值的平均值来代表整体特征。
常见的平均数统计法有算术平均数、几何平均数和加权平均数等。
其中，算术平均数是将数据集中所有数值相加后再除以总个数，几何平均数是将数据集中所有数值相乘后再开方，而加权平均数则是根据不同数值的权重来计算平均值。
通过平均数统计法，我们可以获得数据集中的典型值，以便更好地理解数据。
3. 标准差统计法标准差统计方法是在平均数的基础上，用于描述数据集中数据分布的离散程度。
标准差的计算公式可以通过求每个数据与平均数之间的差值平方的平均值，再开方得到。
标准差越大，代表数据的分布越分散；标准差越小，代表数据的分布越集中。
通过标准差统计法，我们可以对比不同数据集的离散程度，以及判断数据集中是否存在异常值。
4. 相关系数统计法相关系数统计方法用于量化两个变量之间的相关程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，0表示没有线性相关，1表示完全正相关。
通过计算相关系数，我们可以判断和量化两个变量之间的关联关系的强弱。
常见的相关系数统计法包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数等。
5. 回归分析统计法回归分析统计方法用于建立自变量和因变量之间的关系模型，并通过回归方程来预测因变量。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归。
数据统计与分析课程设计
数据统计与分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握数据统计与分析的基本概念，如平均数、中位数、众数等；2. 学生能够运用不同的统计图表（如条形图、折线图、饼图等）对数据进行可视化展示；3. 学生能够掌握数据收集、整理、分析的基本方法，并能解释数据背后的现实意义。
技能目标：1. 学生能够运用计算器或电脑软件进行数据统计与分析，提高数据处理能力；2. 学生能够通过小组合作，共同完成数据收集、整理和分析的任务，提升团队协作能力；3. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到数据统计与分析在生活中的重要性，增强数据意识；2. 学生在数据统计与分析过程中，能够体验到数学的实用性和趣味性，培养对数学的热爱；3. 学生能够在小组合作中学会倾听、尊重他人意见，培养良好的沟通能力和团队精神；4. 学生能够通过数据统计与分析，关注社会现象，培养社会责任感和公民素养。
二、教学内容1. 数据的收集与整理：介绍数据收集的方法，如问卷调查、观察法等；讲解数据整理的方法，如排序、分类等。
2. 描述性统计分析：学习平均数、中位数、众数的概念及计算方法；探讨这些统计量在实际问题中的应用。
3. 统计图表的绘制：掌握条形图、折线图、饼图等常见统计图表的绘制方法；学习如何根据数据特点选择合适的统计图表。
4. 概率与概率分布：了解概率的基本概念，学习简单的概率计算；探讨随机事件及其概率分布。
5. 数据分析的应用：结合实际案例，运用所学知识进行数据分析，如分析班级成绩分布、调查问卷结果等。
教学内容按照以下进度安排：第一课时：数据的收集与整理第二课时：描述性统计分析（平均数、中位数、众数）第三课时：统计图表的绘制第四课时：概率与概率分布第五课时：数据分析的应用教学内容依据教材相关章节，确保课程的科学性和系统性。
在实际教学中，教师可根据学生实际情况对教学内容进行调整。
三、教学方法针对数据统计与分析的教学内容，采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：对于数据统计与分析的基本概念、原理和计算方法，采用讲授法进行教学。
课程设计怎么设计数据分析
课程设计怎么设计数据分析一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数据分析的基本概念和作用，理解数据在现实生活中的重要性。
2. 使学生掌握数据的收集、整理、描述和分析的基本方法，能运用统计图表、平均数、中位数等描述数据。
3. 引导学生运用数据分析的方法，对实际问题进行合理的解释和预测。
技能目标：1. 培养学生运用计算机软件或手动方式收集和处理数据的能力。
2. 培养学生运用图表、统计量等工具分析数据，发现数据背后的规律和趋势。
3. 培养学生将数据分析结果应用于实际问题的解决，提高问题解决能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据分析的兴趣和热情，激发学生学习主动性和探究精神。
2. 培养学生具备合作意识和团队精神，学会在团队中分享和交流数据分析的经验和成果。
3. 引导学生认识到数据分析在生活中的实际应用，增强学生的数据意识和实际操作能力。
课程性质：本课程为实用性较强的学科，旨在培养学生的数据分析能力，提高学生运用数据解决实际问题的素养。
学生特点：考虑到学生所在年级的特点，课程设计将注重引导学生从实际问题出发，激发学生的兴趣，逐步提高学生的数据分析能力。
教学要求：教师在教学过程中要关注学生的个体差异，因材施教，注重启发式教学，引导学生主动参与，提高学生的实践操作能力。
同时，对课程目标的达成情况进行评估，确保教学效果。
二、教学内容本章节内容依据课程目标，结合教材章节，进行以下安排：1. 数据收集：介绍数据的概念、数据来源及收集方法，指导学生运用问卷调查、网络查询等方式收集数据。
2. 数据整理：讲解数据整理的基本原则，如数据清洗、分类、排序等，使学生掌握整理数据的方法。
3. 数据描述：引导学生运用图表、统计量（如平均数、中位数、众数等）描述数据，分析数据分布、集中趋势和离散程度。
4. 数据分析：介绍数据分析的基本方法，如比较、分类、归纳、演绎等，培养学生分析数据、发现规律的能力。
5. 数据应用：通过实例分析，让学生学会将数据分析结果应用于实际问题，提高问题解决能力。
数据的数字特征
n
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm) 因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
练
习
1、下列说法中正确的有___________ （1）在统计中，把所需考察对象的全体 叫做总体， （2）一组数据的平均数一定大于这组数 据中的每一个数据， （3）平均数、众数、中位数，从不同的 角度描述一组数据的集中趋势， （4）一组数据的标准差越大，说明数据 波动越大。
1 2 n
0
24
4、数据a 1 , a 2 a n , 的方差为 S 的方差为（ ） A
1 2 S
2
2
，则 2 a , 2 a
1
2
2an
B
S
2
C
2S
2
D
4S
2
25
小结：
• 1 . 众数、中位数、平均数的概念
• 2. 三种数字特征的优缺点 • 3. 极差、方差、标准差的概念
• 4. 如何利用标准差刻画数据的离 散程度?
16
方差与标准差：
2 2 2
方差：
s
2
(x
=
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
2
2
2
标准差：
(x
s =
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
注：（1）方差变形式 （2）极差，方差和标准差用来反映离散程度 （3）若一组数据全部相等则离散度为0
统计图表、平均数、中位数、众数
完成练习二十二的第1-4题。
【课后反思】
教师准备：知识网络图
导学 过 程
教 师 活 动 预 设
学 生 活 动 预 设
【准诱发】
提问：
1、我们在小学里都学过哪些统计初步知识？
2、统计表和统计图各是怎样分类的？
3、什么是中位数？什么是平均数？什么是众数？
【点拨导思】
教学例1.（课本110页）
1、引导学生观察例题中的图表。
2、指出各统计图的名称。
课时
一课时
课型
复习课
教材分析
本课时主要是复习简单的统计知识。通过复习，学生进一步认识统计表、统计图，提高整理数据制作统计表的能力，掌握各种统计图的特征和作用，能根据统计表和统计图作简单的分析和预测，并掌握平均数、中位数、众数的含义，能够合理选择统计数据。由于统计的知识应用性比较强，因此要创设具体的情境和问题使学生在解决具体问题的过程中进一步巩固知识。在教学过程中应注意培养学生的统计意识、知识应用意识和创新意识。
【我会自学】
1、收集数据，设计统计表。
（1）调查：姓名、性别、身高、体重、兴趣爱好等。
（2）填一填
（3）用统计表记录数据好处。
2、统计图
（1）回顾与交流学过的统计图及特征。
（2）统计图的分类。
3.平均数、中位数和众数
【我会探究】
1、做一项调查统计工作的主要 步骤有哪些？
2、找中位数、平均数和众数方法。
通过复习学生进一步认识统计表统计图提高整理数据制作统计表的能力掌握各种统计图的特征和作用能根据统计表和统计图作简单的分析和预测并掌握平均数中位数众数的含义能够合理选择统计数据
小学2010—2011学年度第二学期导学案集体备课活页
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(1)某地举行了一次数学竞赛，为了估计平均成 绩，在抽取的部分试卷中，有1人得10分，3 人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分 ，7人得5分，则平均成绩是________．
(2)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和 中位数分别是( )
124
2036
3011
412
A.23与26
B.31与28
茎: 叶: 乙
0
1 028 2 02337 3 12448 4 238 5
二、抽象概括
茎叶图的特征: （1）用茎叶图表示数据有两个优点:
①原始数据没有损失, 所有数据信息都可以在茎叶图中得到; ②茎叶图中的数据可以随时添加, 方便记录与表示.
（2）茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据, 对位数多
最大值 最小值
1、方差、标准差的意义 方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，
体现了样本数据到平均数的一种平均距离． 2、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特 征数，方差和标准差的大小与数据的波动有何关系？
方差(标准差)越大，波动越大，稳定性越差；方差(标 准差)越小，波动越小，稳定性越好．
C.24与30 D.26与30
[答案] (1)6.85分 (2)B
[解析] (1)平均成绩是 x ＝
1×10＋3×9＋8×84＋012×7＋9×6＋7×5＝6.85(分)．
(2)众数为 31，中位数为26＋2 30＝28.
方差与标准差的计算
求下列一组数据的平均数、方差、 标准差．
900,920,900,850,910,920 [思路分析] 以上各个数据都比较大，但都集
3000 2000
1000 0
土地收入 打工收入 养殖收入 其他收入项目
1、某地农村某户农民年收入如下（单位：元） 土地收入 打工收入 养殖收入 其他收入
4320
3600
2350
850
请用不同的统计图来表示上面的数据。
解： 扇形统计图 8%
土地收入
26% 39%
打工收入 养殖收入
32%
其他收入
例2.我们对50人的智商情况进行了调查. 如果按照区间[80, 85), [85, 90), …, [115,120)进行分组, 得到的分布情况如图表示.
104, 114, 135, 127, 124, 135, 107. 试用茎叶图分析, 哪个班的成绩比较稳定?
解:
甲乙
88
852 9 8 3 10
8 8 2 0 11 6 1 0 12 5 4 2 13
8 6 2 0 14
67 4788 479 14457 25578 7
通过茎叶图可 知乙班较稳定
练习1.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,
人数/人
20 16
15
10
12
10 6
5
12
21
0
80 85 90 95 100 105 110 115 120 智商
（1）有多少人的智商在95～110之间?
答: （1）有34人; （2）有41人; （3）有9人.
（2）有多少人的智商低于105?
（3）有多少人的智商不低于105?
一、问题提出
统计图表(二)
用茎叶图表示数据有两个优点:
①原始数据没有损失, 所有数据信息茎都叶可图以对在重茎复叶出图现中的得数到据;要 ②茎叶图中的数据可以随时添加, 方重便复记记录录与, 不表能示遗. 漏.
§4 数据的数字特征
统计量
知新益能
位于中间
平均数
位于中间两个数的
出现次数最多
[特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据 中，有时一组数中有好几个众数.
4320
4000
3600
3000
2350
2000
1000
850
0 土地收入 打工收入 养殖收入 其他收入项目
1、某地农村某户农民年收入如下（单位：元） 土地收入 打工收入 养殖收入 其他收入
4320
3600
2350
850
请用不同的统计图来表示上面的数据。
解： 5000 收入（元） 折线统计图
4000
班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生
高一(1)班 10
10
6
10
7
高一(4)班 10
8
8
9
8
高一(8)班
9
10
9
6
9
请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数 中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的 差异？并从中选择一个能反映差异的统计量 将它们的得分进行排序．
[思路分析] 正确理解平均数、中位数和众数 的概念是解题关键.
（B）
A. 条形统计图
B. 茎叶图
C. 扇形统计图
D. 折线统计图
四、课堂小结 统计图
条形统计图
一般地, 当数据很小时, 用中 间的数字表示十位数, 两边的
数字表示个位数, 它的中间部
折线统计图
分像植物的茎, 两边部分像植 物茎上长出来的叶子.
扇形统计图 茎叶图
茎叶图只便于表示两位(或一 位)有效数字的数据, 对位数 多的数据不太容易操作.
8 8 847 6 0 503 5 0 2018
78 34 8 348 2 223 0 012
0 1 2345
0 1 2345
甲
8 8 847 6 0 503 5 0 2018
0 1 2345
乙
78 34 8 348 2 223 0 012
0 1 2345
茎: 叶: 乙
表示乙城 市的这台
表 示 十 位
答)． [答案] 2
[解析] ∵ x ＝15(125＋124＋121＋123＋127)＝124，
∴s2＝15[(125－124)2＋(124－124)2＋(121－124)2＋(123－
124)2＋(127－124)2]＝4，∴s＝2.
课堂典例讲练
平均数、众数、中位数
某学校对高一年级经过初步比较后，决 定从高一年级(1)、(4)、(8)班这三个班中推荐 一个班为市级先进班集体的候选班，现对这 三个班进行综合素质考评，下表是它们五项 素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分 为10分)
金牌 数
5 16 16
28
32
统计图表（一）
一、提出问题 1.什么叫条形统计图? 有什么特点?
金牌/枚
用一定的单位长度表示 一定的数量, 并根据数据的 多少画出长短不同的直条, 然后把这些直条按照一定的 顺序排列起来, 这样的统计 图叫做条形统计图.
届数
从条形统计图上很容易看出各种数量的多少.
2.什么叫折线统计图? 有什么特点?
金牌/枚
届数
用一定单位长度表示一定的数量, 根据数量的多少画出各 点. 然后, 把各点用线段顺次连接起来, 形成折线, 用折线的升 降来表示数量之间的关系及变化趋势的图形叫做折线统计图.
折线统计图可以表示一种数量的增减变化情况, 也可以 表示几种数量的相互依存和发展变化的趋势或情况.
3.什么叫扇形统计图? 有什么特点?
§3 统计图表
复习回顾
一、抽样方法
简单随机抽样
抽签法 随机数表法
分层抽样
系统抽样
抽样过程中每个个体被抽取的机会相等, 体现了 抽样的客观性与公平性
统计图表（一） 一、提出问题
问题1:我国在第24~28届奥运会上获得的金 牌数分别是：5, 16, 16, 28, 32
数据统计表:
届数 24 25 26 27 28
1
85
0
10 20 30 40 50 60 销售额/元
三、应 用
例1.甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下, 试比较 这两位运动员的得分水平.
甲:12, 15, 24, 25, 31, 31, 36, 36, 37, 39, 44, 49, 50.
乙:8, 13, 14, 16, 23, 26, 28, 33, 38, 39, 51.
乙:22, 31, 32, 42, 20, 27, 48, 23, 38, 43, 12, 34, 18, 10, 34, 23. 10, 12, 18, 20, 22, 23, 23, 27, 31, 32, 34, 34, 38, 42, 43, 48.
你能用不同的方式分别表示上面的数据吗?
甲
乙
1．(2015·重庆理，3)重庆市2013年各月的平 均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( ) A．19 B.20 C．21.5 D.23 [答案] B [解析] 根据茎叶图的显示易知中位数为20.
2．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如 下(单位：克)：
125 124 121 123 127 则该样本的标准差s＝________(克)(用数字作
中在900左右，可先将各个数据减去900得到 一组新数据，求这组新数据的平均数和方差 ，再解答本题．
[规范解答] 将原数据都减去 900，得 0,20,0，－50，10,20， 所以新数据的平均数为 x ＝16×(0＋20＋0－50＋10＋20)＝0.所 以所求数据的平均数是 900＋0＝900.又因为新数据的方差是 s2 ＝16×[02＋202＋02＋(－50)2＋102＋202]＝16×3400＝17300，故 s≈23.8.
0
1 2
028 02337
表示个自机为动销38售售元货额 位
数 字
3 4
12448 238
数 字
5
甲
8 8 847 6 0 503 5 0 2018
0 1 2345